2019北京市12區(qū)高三一模(3、4月)數(shù)學(xué)理分類匯編--立體幾何

1、2019 二匕京市12區(qū)高三一模（3、4月）數(shù)學(xué)理分類匯編立體幾何、選擇、填空題1、（朝陽區(qū)2019屆高三一模）某三棱錐的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為i）,則該三棱錐的體積8A . 4 B. 2C. 83D. 43正（主）視圖2 / 272、（東城區(qū)2019屆高三一模）正方體被一個(gè)平面截去一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面圖形的形狀為（A）等腰三角形（B）直角三角形 （C）平行四邊形（D）梯形正視倒第，左）福酊他祝周3、（豐臺(tái)區(qū)2019屆高三一模）已知 a和P是兩個(gè)不同平面，apiP =1 , 11, %是與1不同的兩條直線，且11仁口，12仁P , 1J/ 12 ,那

2、么下列命題正確的是（B）1與11,12都相交（A） l與11,12都不相交（C） 1恰與11,12中的一條相交（D） 1至少與1，12中的一條相交4、（懷柔區(qū)2019屆高三一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為偌肥圖作觀圖AB左視圖則在這四個(gè)正方體中例4左）在圖UA. 2B. 6A, B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)AB與平面MNQT垂直的是N, Q為所在棱的某幾何體的三視圖如右圖所示，該幾何體的體積為2 / 27一個(gè)體積為 12 J3的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的左視圖的面積6、（門頭溝區(qū)如圖，在下列四個(gè)正方體中5、（門頭溝區(qū)8 CC. 10 D.248 百D , 12C.A

3、. 12 B. 2正住觀目,蚓左視圖僧視圖乜,則該幾何體的表面積是8、（順義區(qū)2019屆高三第二次統(tǒng)練（一模）某幾何體的三視圖如下圖所示2+12 D. 3+ .2模）某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為5 / 2710、（延慶區(qū)2019屆高三一模）已知一個(gè)正四面體的底面積為3J3,那么它的正視圖（如右圖）的面積為(A) 4,2(B) 3 3(C) 2 6(D) 3 211、（房山區(qū)2019屆高三一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1,俯視圖是正方形，則該三棱錐的四個(gè)面的面積中最大的是(A)(B)當(dāng)2(C)132(D) 1俯視圖12、（平

4、谷區(qū)2019屆高三一模）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)為A. 1B. 2C. 3 D. 4£ 規(guī)的1w（a）一臥數(shù)學(xué)試題答案1、6、11D2、A3、A4、C5、AD7、B8、D9、410、3C12、D6 / 27二、解答題1、(朝陽區(qū)2019屆高三一模)如圖，在多面體ABCDEF中，平面ADEF _L平面ABCD .四邊形ADEF為正方形,四邊形 ABCD為梯形，且 AD/BC, /BAD=90- AB =AD =1 , BC=3.(I )求證：AF 1CD ;(n)求直線BF與平面CDE所成角的正弦值；(m)線段BD上是否存在點(diǎn) M ,使得直線CE/平

5、面AFM ?若存在，求.BM-的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.BD2、(東城區(qū)2019屆高三一模)如圖，在棱長(zhǎng)均為2的三棱柱 ABCAiBiCi中，點(diǎn)C在平面AABB1內(nèi)的射影O為ABi與AiB的交點(diǎn)，E,F分別為BC,AiCi的中點(diǎn).(I)求證：四邊形 AABB1為正方形;(II)求直線EF與平面AACC1所成角的正弦值;AD 一(出)在線段 ABi上存在一點(diǎn)D ,使得直線EF與平面A1CD沒有公共點(diǎn)，求 的值.DBi由M3、(豐臺(tái)區(qū)2019屆高三一模)如圖，四棱柱ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD為直角梯形， AB/CD,AB _LBC ,平面 ABCD_L平面 ABBA , NBA

6、A=601 AB=AAi =2BC=2CD = 2 .(I )求證：BC _LAA ;(n )求二面角 D -AA -B的余弦值;(出)在線段 DBi上是否存在點(diǎn) M ,使得CM /平面DAA1 ?若存在，求DM db1的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.BiCi4、(海淀區(qū)2019屆高三一模)如圖，在直三棱柱ABCAB1cl中，AC _L BC, AC = BC =CC1 = 2 ,點(diǎn)D,E,F分別為棱ACi,BiCi, BB,的中點(diǎn).(n)求證：AC1/平面DEF(n)求證：平面ACB1 _L平面DEF ;(n)在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得直線DP與平面ACB1所成的角為300被口果存在，求

7、出線段 AP的長(zhǎng)；如 果不存在，說明理由.12 / 271,5、(懷柔區(qū) 2019屆局二一模)已知二棱錐 P- ABC中，PL平面 ABC AEJ±AC PA=AC= AB=2 N為AB上一點(diǎn),2AB=4AN M S分別為PB, BC的中點(diǎn).(I )證明：CM_ SN(n)求直線SN與平面CMNf成角的大小;(m)求二面角 B -NC -M大小的余弦值6、(門頭溝區(qū)2019屆高三一模)在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且/ABC =60°,PA 面ABCD , PA =6, F是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn).(D 求證：BD _CF(n)若 A

8、F =2 ,(i)求PC與平面BDF所成角的正弦值；(ii )側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點(diǎn) E的一條直線，使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線,都滿足CM /平面BDF ,若存在，求出此直線被直線 PA, PD所截線段的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)明理由7、(石景山區(qū)2019屆高三一模)如圖，在四棱錐 EABCD中，平面ABCD _L平面AEB ,且四邊形 ABCD為矩形，ZBAE= 120°, AE= AB= 4, AD= 2, F ,G分別為BE, AE的中點(diǎn)，H在線段BC上(不包括端點(diǎn)).(I )求證：CD /平面FGH ;(n)求證：平面 DAF 面CEB ;(ID)是否存在點(diǎn)H ,使得二面角H

9、 -GF -B的大小為若存在，求BH ;若不存在，說明理由.8、(順義區(qū)2019屆高三第二次統(tǒng)練(一模)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，等邊三角形 PCD所在的平面垂直1于底面 ABCD, AB=AD=CD=1, /BAD =/ADC = 90 , M 是棱 PD 的中點(diǎn). 2(l)求證：AD _L平面PCD；(n)求二面角 M -BC -D的余弦值；(m)判斷直線 CM與平面PAB的是否平行，并說明理由.9、(西城區(qū)2019屆高三一模)如圖，在多面體 ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形 ABCD所在平面互相垂1-直， AFDE, DE _L AD , AD _L BE , AF=AD=

10、DE=1, AB =R2(I )求證：BF平面CDE ;(n )求二面角 B -EF -D的余弦值；(m)判斷線段 BE上是否存在點(diǎn)Q,使得平面CDQ_L平面BEF?若存在，求出BQ的值，若不存在，說明理由.BE10、(延慶區(qū)2019屆高三一模)如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，/BCD=135,側(cè)面PAB _L底面 ABCD , PA1AB, AB=AC=PA=2, E,F 分別為 BC, AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 在線段 PD上.(I )求證：直線 EF _L平面PAC ;(H)若M為PD的中點(diǎn)，求平面MEF與平面PBC所成銳二面角的余弦值;(出)設(shè)PM二九，當(dāng)入為何值時(shí)

11、，直線 ME與平面PBC所成角的正弦值為 隨,求人的值. PD15*11、（房山區(qū)2019屆高三一模）如圖1,在矩形 ABCD中，AB=4,AD=2, E,F ,0分別為DC , AE ,BC的中點(diǎn).以AE為折痕把 ADE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面 PAE 1平面ABCE （如圖2）.（I）求證：BC _L平面POF ;（n）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（出）在線段PE上是否存在點(diǎn) M，使得AM II平面PBC ?若存在，求工業(yè)的值；若不存在，說明理由PE21 / 271、解：（I）證明：因?yàn)?ADEF為正方形，所以 AF _L AD .又因?yàn)槠矫?ADEF _L平面ABCD

12、 ,且平面ADEF p|平面ABCD = AD ,所以AF，平面ABCD .所以AF ±CD . 4分（n）由（I）可知， AF，平面 ABCD，所以 AF _L AD , AF _L AB .因?yàn)?BAD =90©,所以AB, AD,AF兩兩垂直.分別以AB, AD, AF為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.因?yàn)?AB=AD =1 , BC =3,所以 A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1),F(0,0,1),所以 BF -(-1,0,1),DC = (1,2,0), DE =(0,0,1).設(shè)平面CDE的

13、一個(gè)法向量為n =（x, y,z）,nDC"即1y=°,n DE =0. z =0.所以 n =(2, 1,0).zD FAED一 .y設(shè)直線BF與平面CDE所成角為日，則 sin 二 一| cos n, BF | 二|2 (-1)|10 D5 .25.9分(出)設(shè) BM(九 w(0,1),BD設(shè) M (x1,y1,z1)，則(為 一1,%,乙產(chǎn)九(一1,1,0),所以 x1 =1 一九,y1 = % 乙=0 ,所以 M (1 九,K,0 ),所以 AM =(1 A X,0 ).設(shè)平面AFM的一個(gè)法向量為m AM =0, m =（xo, yo,。），則 «m AF

14、 = 0.因?yàn)椤?1 ?以仁0）X0+九yo =。.令xo =九，則yo =九一1 ,所以m =（九九-1,0）.在線段BD上存在點(diǎn)M ,使得CE/平面AFM等價(jià)于存在九w0,1,使得m CE = 0 .因?yàn)?CE =（1,2,1）,由 m CE所以九2（%1）=0,2解得九=_乞0,1, 3所以線段BD上存在點(diǎn)M ,使得CE 平面AFM ,且BM 2BD 3.14分2、解：（I ）連結(jié)CO .所以CO _L平面A1ABB1 .因?yàn)镃在平面A ABBi內(nèi)的射影。為ABi與A1B的交點(diǎn),所以AC =BC ,且AABB1為菱形.由已知三棱柱 ABC - A1 B1cl各棱長(zhǎng)均相等,由勾股定理得OA

15、=OB,即ABi =AiB.所以四邊形AiABBi為正方形.（n）由（I）知 CO_L平面 A1ABB1, CO .LOA,CO 1OA1.在正方形 A1ABB1中，OA1 _L OA .如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得 o（o,o,o）, a（T2,o,o）, a（o,72,o）, b（-V2,o,o）, c（o,o, V2）,Ci（V2, -V2, V2）,E（-：22,0,72）,F（ ,-）所以 AA = (-2, J2,0), AC =(0,- .2, .2).設(shè)平面A1ACC1的法向量為 m =(x,y, z),m AA1 =0,匚J2x、2y =0,則 T 即V 廣 l

16、m AC =0.-、,2y 、2z =0.令 x =1,則 y =1,z =1.于是 m = (1,1,1).z又因?yàn)镋F,0),設(shè)直線EF與平面AACC1所成角為9,則sin 二 一1 cos m ,EF | =15所以直線EF與平面A1AC所成角的正弦值為301510（出）直線EF與平面ACD沒有公共點(diǎn)，即EF /平面 ACD .設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0, y0,0） , D與O重合時(shí)不合題意，所以y0 # 0 .一 一因?yàn)?AD=（夜,y°,0） , AC=（一四,0,衣）.設(shè)n =（x1，y1,z1）為平面ACD的法向量,n AD =0,-、.2xi y。 =0,i T 即廠 rn

17、AC =0.-、.2x1, 2z1 = 0.xB日2于是n=(1, ，1).V。若 EF /平面 A1CD , n EF =0.又 EF =(3:2.2 八、，,0)，223 2.2.2 八左/口2所以x.= 0 解得 丫0 =.22V03此時(shí)EF a平面ACD ,所以ad二晅,DB1 =逑. 33AD 1八所以=.14分DB123、解：(I)因?yàn)?平面 ABCD _L 平面 ABB1A，平面 ABCD。平面 ABB1A1 =AB, AB _L BC ,BC u 平面 ABCD , 所以BC _L平面ABB1A1.因?yàn)锳A,二平面ABB1A , 所以BC _ AA .(n)取AB的中點(diǎn)N ,連

18、結(jié)BN .平行四邊形 ABB1A1 中 AB =AA1 , /BAA, =60* 易證 BN _L AB.由(I )知BC _L平面ABBA .故以為B原點(diǎn)，BA, BN, BC所在直線為坐標(biāo)軸, 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B -xyz.依題意，A(2,0,0), A(1,石0), D(1,0,1),設(shè)平面DAA的一個(gè)法向量為n =(x,y,z)則京=(1,石,0) , AD =(1,0,1)n AA1 = 0則 一 ,n AD =0即一X3二0X z = 0令 y = 1 ,得 n = (*3,1,志).易知平面ABB1A的一個(gè)法向量為 m = (0,0,1),設(shè)二面角 D -AA1 -B的

19、平面角為 a,可知a為銳角，ntt 門n m73V2T則 cos 豆=cos < n, m > =； = j =n jmJ3 + 1 +37即二面角D _AA -B的余弦值為.217M (x, y,z).（出）解：設(shè) DM = zDB1 ,九wo,i,因?yàn)?D(1,0,1), Bi(,iJ3,0) , C(0,0,1),y,z-1)t - l r 所以 DB1K-2, J3,-1),DM =(x-1,所以 x =1 - 2'L., y = 3 , z =1-'.M (1 一2 ,，、.3 ' ,1 - )CM =(1 2 , 3, ')因?yàn)镃M II

20、平面DAA 所以CM n=即 J3(1 2K)+J3九一J3人=0,所以 F2.所以存在點(diǎn)M,使得CM /平面DAA1 ,此時(shí)DM 1=二.DB124、解：（I）方法一：連結(jié)BC1因?yàn)镈,E分別為AG, 又因?yàn)锳B/AB ,所以因?yàn)镋,F分別為B1C1, 又因?yàn)镈E P1EF =EB1C1中點(diǎn)，所以DE/A3DE /ABBB中點(diǎn)，所以EF/BC1DE U平面DEF , EF匚平面DEFAB u平面ABC1 , BG仁平面ABg所以平面 ABC1二平面DEF又AC1二平面ABC1 ,所以AG平面DEF方法二：取AA中點(diǎn)為G ,連結(jié)FG由 AA L! BB1 且 AA1 = BB1又點(diǎn)F為BB中點(diǎn)

21、，所以FGL AB又因?yàn)镈,E分別為AG, B1C1中點(diǎn)，所以DE：；AiBi所以DE FG所以D,E,F,G共面于平面DEF因?yàn)镈 , G分別為ACi, AA中點(diǎn),所以ACi日DGACi電平面DEFDG U平面DEF所以ACi平面DEF方法三：在直三棱柱 ABCAiBCi中，CCi_L平面ABC又因?yàn)锳C _ BC以C為原點(diǎn)，分別以 CA,CB,CCi為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz由題意得 A(2,0,0), Ci(0,0,2), D(1,0,2), E(0,1,2), F (0,2,1).所以 DE =(-1,1,0), EF =(0,1,-1)設(shè)平面DEF的法向量為n

22、=(x1,y1, z1),則n DE =0« -tn EF =0，即一x1 2°J y - Z1 - 0令 X1 =1 ,得 y1 =1,z =1于是 n =(1,1,1)又因?yàn)?AC1 *2,0,2)所以 AC1 n - -2 0 2 =0又因?yàn)锳G遼平面def ,所以AG 平面DEF(n )方法一：在直棱柱 ABC AB1C1中，CG，平面ABC因?yàn)?AC U ABC ,所以 CC1 _L AC又因?yàn)锳C，BC ,且 CC1 n BC =C所以AC _L平面BBiCiCEF U平面 BBGC,所以 AC _LEF又BC =Cg ,四邊形BBC。為正方形所以BCi _ B

23、C又 BCi /./ EF ,所以 BiC _L EF又 AC _L EF ,且 AC A BiC =C所以EF _L平面ACBi又EF u平面DEF所以平面ACBi _L平面DEF方法二：設(shè)平面ACBi的法向量為m =(X2,y2,Z2), CA = (2,0,0), CBi =(0,2,2)m CA =02x2 =0a ，即42m CBi =02y2 2Z2 = 0令 y2 =i ,得 X2 =0,Z2 =T于是 m =(0,i,-i)n m =(i,i,i)(0,i,-i尸0即n_Lm ,所以平面 ACBi _L平面DEF(出)設(shè)直線DP與平面ACBi所成角為9 ,則8=30*T T設(shè)

24、AP=/.AA(0<?.<i),則 AP =(0,0,2 九)DP =(i,0,2>2)i7 / 27所以cos-=2 -2.1:sin30 =-2 . 1 (2 , 一2)2231 / 27分()CN =(1,-2,0)則二02x -2y z =0,令 y =1 ,則 x=2 , z = -2,一 13解得九=或兒=(舍)22所以點(diǎn)P存在，即AAi的中點(diǎn)，AP =15、證明：以A為原點(diǎn)，AB, AC, AP分另1J為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 P (0,0,2 ) , C (0,2,0 ) , B(4,0,0 ) , M (2,0,1 ) , N (1,0,0

25、) , S (2,1,0 )CM =(2, -2,1) , SN =(_1,_1,0)丁 CM SN =2父(一1)+(-2)x(1)+1 M0 =0 ,CML SN設(shè)a= (x, y, z)為平面CMN勺一個(gè)法向量,a= (2, 1, -2)cos <a,SN > =2M(1) +1X(1)+0，SN與片面CMNf成角為45°。10(出)由(n)知平面 CMN勺一個(gè)法向量 a =(2,1,-2),又平面BNC勺法向量為b =(0,0,1),且二面角B NCM為銳角,cos :二 a,b =2 0 1 0( -2)11 3142，二面角 B -NC -M的余弦值為 36、

26、解：(I)由題意可知，PA_L平面ABCD，則BD_LPA ,又底面ABCD是菱形,BDAC,所以，BD_L 平面 PAC, BD -LCFP(n)(i)由(i)可知，OB_LOC,過。作OZ/PA,建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B(0, -3 -3,0), D(0,3 ',3,0), F(-3,0,2), P(-3,0,6), C(3,0,0)PC = (6,0, -6),FB = (3,-3.3, -2), FD = (3,3,3,-2)T設(shè)平面bdf的法向量為n=(x, y,z)3x - 3.3y -2z =0_ 3x 3 3y -2z =0n =(2,0,3)設(shè)PC與平面BDF所成角

27、為日，則 sin 口,2626(ii )設(shè)G是PF的中點(diǎn)，連結(jié) EG,CG,OF ,皿EG/FD 丁入 丁工則«二 平面CEG/平面FBDCG/OF所以直線EG上任一點(diǎn)M與C的連線CM，都滿足CM /平面BDF ,直線EG被直線PA, PD所截線段EG的長(zhǎng)度為：由(i)可知，G(0, 3,4) , E(空，3,3)= EG =J10 227、 (I)證明：在矩形 ABCD中，CD/AB,. F ,G分別為BE , AE的中點(diǎn)，F(xiàn)G / AB,且 FG = 1 AB2，CD / FG ,. CD0平面FGH , FG u平面FGH ,CD /平面 FGH .(n)證明：在矩形 ABCD

28、中，AD_LAB, .矩形ABCD _L平面AEB ,且平面ABCD I平面AEB= AB ,AD _L 平面 AEB ,又BEu平面AEB ,AD_L BE,AE= AB , F 為 BE 的中點(diǎn)，AF _L BE,又 AD I AF = A ,BE_L 平面 ADF , BEu 平面 CEB , 平面DAF_L平面CEB .(m)在平面ABE內(nèi)作AB的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A- xyz ,.一/BAE = 120°, AE= AB= 4, AD= 2, A(0,0, 0), B(0,4,0), C(0,4,2),E(2Q,_2,0), G(石，1,0), F(T3,1,0

29、),BHuur uuu設(shè)=九，BH = KBC =九(0,0, 2) =(0,0, 2K), BCH(0 ,4, 2人),uuuuuir_GF=(0,2, 0) , FH =(擲，3, 2Q ,r設(shè)平面FGH的法向量為n = (x , y, z), r uuu.n GF =0,日口 |2y =0, , . < r uuu 即 « 廣n FH =0,I-J3x+3y+2Kz =0，令 x = 2 ,則 z = J3 ,rn = (2兒，0, J3)是平面FGH的一個(gè)法向量， AD _L 平面 AEB ,uuu 平面AEB的法向量為AD =(0,0, 2),nr 二面角H -GF

30、B的大小- 6r uuu2J3J31 cos < n , AD >|= ,=-=,解得九=土一 ,J(2Z)十 3 2221 H 在 BC 上，. .九=. 28、( I )證明：平面PCD，平面ABCD平面PCD門平面ABCD = CDAD仁平面ABCDAD CDAD _L平面 PCD 4分(n)取CD的中點(diǎn)O ,連結(jié)OB , OP. PC = PDOP - CD1 ABCD2AB =OD又. BAD =/ADC =90，四邊形ABOD是平行四邊形. OB/ADOB _OC. AD _L平面 PCDAD _OPOB _OPz*建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 5則 A(1,-

31、1,0), B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,V3),1 .3 M(0，-2，l-).3 .3CM =(0,-2,-), CB = (1,-1,0)m CM -033得r2y tz=0令x=1,得y =1 , z = V3 ,所以 m = (1,1, J3)、x y = 0因?yàn)閦軸垂直于平面BCD,所以取平面BCD的一個(gè)法向量n= (0,0,1)cos m,n 二.3J5所以二面角M-BC-D的余弦值為1510(m)解：直線CM與平面PAB不平行,11設(shè)m = (x, y, z)為平面MBC的一個(gè)法向量，由理由如下:AB =(0,1,0) PB =(1,0,h 3)-,、v

32、AB = 0設(shè)v = （x, y,z）為平面PAB的一個(gè)法向量，由 Jv PB =0得Jy =0一令z=i,得 x = J3,所以 V =（J3,0,i）x - a/3z =0CM v = （0, ）*3,0,1）=-0 0 13分2 22所以CM與V不垂直，又因?yàn)镃M0平面PAB所以直線 CM與平面PAB不平行.14分或法2：（反證法）假設(shè) CM /面PAB ,因?yàn)镃D /面PAB ,且CM e CD =C所以 面PCD / /面PAB ,又 面PCD面PAB=P （矛盾）所以假設(shè)不成立，故直線 CM與平面PAB不平行.9、解：（I）由底面 ABCD為平行四邊形，知 AB/CD ,又因?yàn)锳B

33、0平面CDE, CDu平面CDE,所以AB/平面CDE . 2分同理AF 平面CDE ,又因?yàn)锳BflAF =A,所以平面 ABF/平面CDE . 3分又因?yàn)锽F二平面ABF ,所以BF/平面CDE. 4分（n ）連接BD ,因?yàn)槠矫?ADEF _L平面 ABCD,平面 ADEF D 平面 ABCD = AD , DE _L AD ,所以 DE _L平面 ABCD.則 DE _L DB .又因?yàn)?DE _L AD , AD .L BE , DE 門 BE = E ,所以AD _L平面BDE，則AD _L BD .故DA, DB, DE兩兩垂直，所以以 DA, DB, DE所在的直線分別為 x軸

34、、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,F(1,0,1),則 D(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0) , C(1,1,0), E(0,0,2), 所以 BE=(0,1,2), EF=(1,0,-1), n = (0,1,0)為平面 DEF設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為m =(x, y, z),由 m BE =0, m EF =0 ,得 -y 2z=°,x z = 0,令 z=1,得 m =(1,2,1).所以 cos : m, n = m n| m | n |3如圖可得二面角 B -EF -D為銳角,所以二面角B-EF-D的余弦值為3的一個(gè)法向量.11分(出)結(jié)論：線段B

35、E上存在點(diǎn)Q ,使得平面 CDQ _L平面BEF .BQ 133 / 27證明如下:設(shè) BQ=kBE =(0,%2 浦(兒勺0,1),所以 DQ =DB BQ =(0,1 - ,2 ).設(shè)平面CDQ的法向量為u =(a,b,c),又因?yàn)镈C =(1,1,0),T T(1 -)b 2 c=0,12分13分所以 u DQ =0 , u DC =0 ,即 4(),-a b = 0,若平面 CDQ _L平面 BEF ,則 m u =0 ,即 a+2b+c = 0,1 解得，=-0,1.所以線段BE上存在點(diǎn)Q ,使得平面CDQ _L平面BEF ,且此時(shí)BE 714分10、(1) 證明：在平行四邊形 AB

36、CD中，因?yàn)?AB = AC, /BCD =1350 ,所以AB _L AC .由E,F分別為BC, AD的中點(diǎn)，得 EF/AB,所以 EF _|_AC . 1 分因?yàn)閭?cè)面 PAB_L底面ABCD ,且PA1AB,面PAB。面ABCD=AB且PA匚面PAB所以PA_L底面ABCD. 3分又因?yàn)镋F U底面ABCD ,所以PA_LEF . 4分又因?yàn)?PAp|AC = A, PAU平面 PAC , ACu平面 PAC ,所以EF _L平面PAC. 5分(n)解：因?yàn)镻A_L底面ABCD, AB_LAC ,所以AP, AB, AC兩兩垂直，故以 AB, AC, AP 分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(T,2,0), E(1,1,0), 6 分設(shè)平面PBC的法向量為n =(x,y,z),由 n BC=0, n PB=0,得卜2x+2y =0, 2x -2z =0,令 x=1,得 n =(1,1,1). 7 分M為PD的中點(diǎn)，由(1)知，AC_L平面MEF且"AC =(0,2,0) , 8分所以 |cos<AC