第十八章數(shù)學(xué)物理方程綜述

1、18.1 線性偏微分方程解法綜述線性偏微分方程解法綜述 對(duì)于二階線性偏微分方程定解問(wèn)題，前面我們介紹了對(duì)于二階線性偏微分方程定解問(wèn)題，前面我們介紹了幾種主要解法，并詳細(xì)闡述了其解題思路為了理解方便，幾種主要解法，并詳細(xì)闡述了其解題思路為了理解方便，對(duì)它們對(duì)它們綜述如下綜述如下：1.行波法行波法：先求出滿足定解問(wèn)題的：先求出滿足定解問(wèn)題的通解通解，再根據(jù)定解條件，再根據(jù)定解條件確定其定解問(wèn)題的解確定其定解問(wèn)題的解. 行波法是通解法中的一種特殊情形行波法是通解法中的一種特殊情形,行波法又稱達(dá)朗貝爾行波法又稱達(dá)朗貝爾(dAlembert)解法解法. 它不僅可以求解無(wú)它不僅可以求解無(wú)界區(qū)域的線性偏微分

2、方程，而且能求解某些非線性偏微界區(qū)域的線性偏微分方程，而且能求解某些非線性偏微分方程分方程2.分離變量法分離變量法：先求出滿足一定條件（如邊界條件）的：先求出滿足一定條件（如邊界條件）的特特解族解族，然后再用線性組合的辦法組合成，然后再用線性組合的辦法組合成級(jí)數(shù)或含參數(shù)的積分級(jí)數(shù)或含參數(shù)的積分,最后最后構(gòu)成適合定解條件的特解構(gòu)成適合定解條件的特解； 這是求解這是求解線性偏微分方程定解問(wèn)題的最主要方法線性偏微分方程定解問(wèn)題的最主要方法從理從理論上說(shuō)，分離變量法的論上說(shuō)，分離變量法的依據(jù)依據(jù)是是SturmLiouville型方程的本型方程的本征值問(wèn)題從征值問(wèn)題從解題步驟解題步驟上上看，要求本征值問(wèn)

3、題所對(duì)應(yīng)的定解看，要求本征值問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的定解條件必須是條件必須是齊次的齊次的(若為非齊次，則若為非齊次，則需先齊次化需先齊次化)從而使從而使得這種解法對(duì)于得這種解法對(duì)于定解問(wèn)題中微分方程的具體形式定解問(wèn)題中微分方程的具體形式有一定的有一定的限制，同時(shí)對(duì)所討論問(wèn)題的限制，同時(shí)對(duì)所討論問(wèn)題的空間區(qū)域形狀也有明顯限制空間區(qū)域形狀也有明顯限制并且并且還涉及到正交曲面坐標(biāo)系的選取還涉及到正交曲面坐標(biāo)系的選取 在在具體求解具體求解時(shí)，當(dāng)然還必須求解相應(yīng)的常微分方程時(shí)，當(dāng)然還必須求解相應(yīng)的常微分方程的的本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題除了本書中介紹過(guò)的幾個(gè)本征值問(wèn)題外，除了本書中介紹過(guò)的幾個(gè)本征值問(wèn)題外，也可能會(huì)出現(xiàn)其

4、他的也可能會(huì)出現(xiàn)其他的特殊函數(shù)特殊函數(shù)3 冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法：就是在某個(gè)任選點(diǎn)的鄰域上，把待求的解：就是在某個(gè)任選點(diǎn)的鄰域上，把待求的解表示為系數(shù)待定的級(jí)數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)表示為系數(shù)待定的級(jí)數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)勒讓勒讓德多項(xiàng)式、貝塞爾函數(shù)德多項(xiàng)式、貝塞爾函數(shù)即用冪級(jí)數(shù)解法求解得出這種解即用冪級(jí)數(shù)解法求解得出這種解法普遍，但計(jì)算量大，較為繁瑣必要時(shí)可借助于計(jì)算機(jī)法普遍，但計(jì)算量大，較為繁瑣必要時(shí)可借助于計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算迭代計(jì)算4 格林函數(shù)法格林函數(shù)法：這種方法具有極大的理論意義它給出了：這種方法具有極大的理論意義它給出了定解問(wèn)題的解和方程的非齊次項(xiàng)以及定解條件之間的關(guān)系，定解問(wèn)題的

5、解和方程的非齊次項(xiàng)以及定解條件之間的關(guān)系，因而便于討論當(dāng)方程的非齊次項(xiàng)或定解條件發(fā)生變化時(shí)，解因而便于討論當(dāng)方程的非齊次項(xiàng)或定解條件發(fā)生變化時(shí)，解是如何相應(yīng)地發(fā)生變化的是如何相應(yīng)地發(fā)生變化的. Green函數(shù)法函數(shù)法，已經(jīng)成為理論物，已經(jīng)成為理論物理研究中的常用方法之一理研究中的常用方法之一5. 積分變換方法積分變換方法：這種方法的：這種方法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是減少方程自變量的是減少方程自變量的數(shù)目從原則上說(shuō)，無(wú)論對(duì)于時(shí)間變量，還是空間變量；數(shù)目從原則上說(shuō)，無(wú)論對(duì)于時(shí)間變量，還是空間變量；無(wú)論是無(wú)界空間，還是有界空間；都可以采用積分變換無(wú)論是無(wú)界空間，還是有界空間；都可以采用積分變換的方法求解線性偏微

6、分方程的的方法求解線性偏微分方程的定解問(wèn)題定解問(wèn)題但從實(shí)際計(jì)算上但從實(shí)際計(jì)算上看，還需要根據(jù)方程和定解條件的類型，選擇最合適的積看，還需要根據(jù)方程和定解條件的類型，選擇最合適的積分變換分變換反演問(wèn)題反演問(wèn)題，是關(guān)系到擬采用的積分變換是否實(shí)際，是關(guān)系到擬采用的積分變換是否實(shí)際可行的關(guān)鍵問(wèn)題反演時(shí)涉及的積分很簡(jiǎn)單，甚至有現(xiàn)成可行的關(guān)鍵問(wèn)題反演時(shí)涉及的積分很簡(jiǎn)單，甚至有現(xiàn)成的結(jié)果的結(jié)果(如查積分變換表，專用工具書等如查積分變換表，專用工具書等)可供引用，采用可供引用，采用積分變換的確可以帶來(lái)極大的便利但若涉及的積分比較積分變換的確可以帶來(lái)極大的便利但若涉及的積分比較復(fù)雜，而且沒有現(xiàn)成的積分變換結(jié)果可

7、供引用，那么復(fù)雜，而且沒有現(xiàn)成的積分變換結(jié)果可供引用，那么反演反演問(wèn)題就成為了積分變換的難點(diǎn)問(wèn)題就成為了積分變換的難點(diǎn) 積分變換法和分離變量法積分變換法和分離變量法存在密切的聯(lián)系例如，存在密切的聯(lián)系例如，當(dāng)本征值過(guò)渡到連續(xù)譜時(shí)，分離變量法就變?yōu)橄鄳?yīng)的積分當(dāng)本征值過(guò)渡到連續(xù)譜時(shí)，分離變量法就變?yōu)橄鄳?yīng)的積分變換法變換法 另外，從另外，從實(shí)用的角度實(shí)用的角度來(lái)看，如果空間是有界的，一般來(lái)看，如果空間是有界的，一般說(shuō)來(lái)，積分變換和分離變量法沒有什么差別，故仍不妨采用說(shuō)來(lái)，積分變換和分離變量法沒有什么差別，故仍不妨采用分離變量法分離變量法 積分變換方法積分變換方法也具有分離變量法所沒有的也具有分離變量法

8、所沒有的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：它還可以：它還可以應(yīng)用于求解某些非線性偏微分方程應(yīng)用于求解某些非線性偏微分方程6. 保角變換法保角變換法這種方法的理論基礎(chǔ)是這種方法的理論基礎(chǔ)是解析函數(shù)所代表的解析函數(shù)所代表的變換具有保角性變換具有保角性這種解法主要用于二維這種解法主要用于二維Laplace 方程或方程或Poisson方程的邊值問(wèn)題，因?yàn)樵诒＝亲儞Q下，前者的形式方程的邊值問(wèn)題，因?yàn)樵诒＝亲儞Q下，前者的形式不變，后者也只是非齊次項(xiàng)作相應(yīng)的改變粗略地說(shuō)，不變，后者也只是非齊次項(xiàng)作相應(yīng)的改變粗略地說(shuō)，運(yùn)用運(yùn)用保角變換，可以把保角變換，可以把“不規(guī)則不規(guī)則”的邊界形狀化為規(guī)則的邊界形的邊界形狀化為規(guī)則的邊界形狀狀例如

9、，可以把多邊形化為上半平面或單位圓內(nèi)再結(jié)合例如，可以把多邊形化為上半平面或單位圓內(nèi)再結(jié)合上半平面或圓內(nèi)的上半平面或圓內(nèi)的Poisson公式，就能直接求出二維公式，就能直接求出二維Laplace方程的解方程的解 運(yùn)用保角變換運(yùn)用保角變換，可以解決一些典型的物理問(wèn)題或工程問(wèn)，可以解決一些典型的物理問(wèn)題或工程問(wèn)題例如，有限大小的平行板電容器的邊緣效應(yīng)問(wèn)題，空氣動(dòng)題例如，有限大小的平行板電容器的邊緣效應(yīng)問(wèn)題，空氣動(dòng)力學(xué)中的機(jī)翼問(wèn)題，以及其他一些流體力學(xué)問(wèn)題又如，應(yīng)用力學(xué)中的機(jī)翼問(wèn)題，以及其他一些流體力學(xué)問(wèn)題又如，應(yīng)用保角變換法，可以把偏心圓化為同心圓保角變換法，可以把偏心圓化為同心圓7. 變分法變分法

10、這個(gè)方法具有理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值在理論上，這個(gè)方法具有理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值在理論上，它可以把不同類型的偏微分方程的定解問(wèn)題用相同的泛函語(yǔ)言它可以把不同類型的偏微分方程的定解問(wèn)題用相同的泛函語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)表達(dá)出來(lái)(當(dāng)然不同問(wèn)題中出現(xiàn)的泛函是不同的當(dāng)然不同問(wèn)題中出現(xiàn)的泛函是不同的)，或者說(shuō)，把，或者說(shuō)，把 不同的物理問(wèn)題用相同的泛函語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)正是由于這個(gè)不同的物理問(wèn)題用相同的泛函語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)正是由于這個(gè)原因，變分或泛函語(yǔ)言已經(jīng)成為表述物理規(guī)律的常用工具之原因，變分或泛函語(yǔ)言已經(jīng)成為表述物理規(guī)律的常用工具之一在實(shí)用上，變分法又提供了一種一在實(shí)用上，變分法又提供了一種近似計(jì)算近似計(jì)算的好辦法有的好辦法有效

11、地利用物理知識(shí)，靈活巧妙地選取試探函數(shù)，可以使計(jì)算效地利用物理知識(shí)，靈活巧妙地選取試探函數(shù)，可以使計(jì)算大為簡(jiǎn)化在物理學(xué)中，無(wú)論過(guò)去或現(xiàn)在，變分法都是常用大為簡(jiǎn)化在物理學(xué)中，無(wú)論過(guò)去或現(xiàn)在，變分法都是常用的一種近似計(jì)算方法的一種近似計(jì)算方法 例如，在原子和分子光譜的計(jì)算中就廣泛地采用了例如，在原子和分子光譜的計(jì)算中就廣泛地采用了變分法變分法8.計(jì)算機(jī)仿真解法計(jì)算機(jī)仿真解法：利用：利用數(shù)學(xué)工具軟件數(shù)學(xué)工具軟件（Matlab,Mathematic,Mathcad）和）和常用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言常用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言（Visual C+）等實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)物理）等實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的求解，參考計(jì)算機(jī)仿真部分對(duì)三類典型的數(shù)學(xué)物

12、理方程的方程的求解，參考計(jì)算機(jī)仿真部分對(duì)三類典型的數(shù)學(xué)物理方程的求解及其解的動(dòng)態(tài)演示求解及其解的動(dòng)態(tài)演示9.數(shù)值計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法: 對(duì)于邊界條件復(fù)雜，幾何形狀不規(guī)則的數(shù)學(xué)物對(duì)于邊界條件復(fù)雜，幾何形狀不規(guī)則的數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題，精確求解很困難，甚至不可能的情形，擬采用數(shù)理定解問(wèn)題，精確求解很困難，甚至不可能的情形，擬采用數(shù)值求解的方法其中主要的數(shù)值解法包括：值求解的方法其中主要的數(shù)值解法包括：有限差分法、蒙特有限差分法、蒙特卡洛（卡洛（Monte-Carlo）法等）法等 前面我們討論了前面我們討論了線性偏微分方程定解問(wèn)題的解法線性偏微分方程定解問(wèn)題的解法, 而現(xiàn)實(shí)中而現(xiàn)實(shí)中的許多物理現(xiàn)象都是非線性

13、地依賴于一些物理參量變化的的許多物理現(xiàn)象都是非線性地依賴于一些物理參量變化的, 從而從而描述這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程就是描述這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程就是非線性偏微分方程非線性偏微分方程. 非線性偏非線性偏微分方程有許多不同于線性偏微分方程的特征微分方程有許多不同于線性偏微分方程的特征, 比如線性偏微分比如線性偏微分方程的疊加原理對(duì)非線性偏微分方程就不再成立方程的疊加原理對(duì)非線性偏微分方程就不再成立, 從而基于疊加從而基于疊加原理的求解方法對(duì)非線性偏微分方程就不再適用原理的求解方法對(duì)非線性偏微分方程就不再適用. 另外另外, 解的性質(zhì)解的性質(zhì)也有許多本質(zhì)的變化也有許多本質(zhì)的變化. 自自20世紀(jì)世紀(jì)60

14、年代以來(lái)，非線性方程在物理、化學(xué)、生物等各年代以來(lái)，非線性方程在物理、化學(xué)、生物等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中不斷出現(xiàn)，其研究?jī)?nèi)容日趨豐富與線性方程的個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中不斷出現(xiàn)，其研究?jī)?nèi)容日趨豐富與線性方程的定解問(wèn)題一樣，非線性方程同樣存在定解問(wèn)題的適定性，但后定解問(wèn)題一樣，非線性方程同樣存在定解問(wèn)題的適定性，但后者要復(fù)雜得多限于篇幅，我們主要介紹物理現(xiàn)象中典型的非者要復(fù)雜得多限于篇幅，我們主要介紹物理現(xiàn)象中典型的非線性方程及其求解方法，它們?cè)诜蔷€性光學(xué)、量子場(chǎng)論和現(xiàn)代線性方程及其求解方法，它們?cè)诜蔷€性光學(xué)、量子場(chǎng)論和現(xiàn)代通信技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景通信技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景典型非線性方程及其行波解典型

15、非線性方程及其行波解在無(wú)限空間，在無(wú)限空間，線性或非線性偏微分方程線性或非線性偏微分方程0Pu（18.2.1）Ptx其中其中為包括時(shí)間為包括時(shí)間和空間和空間偏導(dǎo)數(shù)的微分算子。形如偏導(dǎo)數(shù)的微分算子。形如 )(),(ctxFtxu的解，稱為上式的的解，稱為上式的行波解行波解，其中，其中 c為常數(shù)對(duì)線性偏微分方程，比如波動(dòng)方程，則為常數(shù)對(duì)線性偏微分方程，比如波動(dòng)方程，則 =FF xct為滿足一定條件的任意函數(shù)但對(duì)為滿足一定條件的任意函數(shù)但對(duì) 非線性偏微分方程，由于疊加原理已不成立，非線性偏微分方程，由于疊加原理已不成立， F只能取只能取特定的形式才有可能滿足特定的形式才有可能滿足(18.2.1)事實(shí)

16、上，滿足式（事實(shí)上，滿足式（18.2.1）的）的特定形式特定形式 F是方程的非線性本征模式由行波解可以是方程的非線性本征模式由行波解可以 分析非線性偏微分方程解的重要性質(zhì)我們特別感興趣的是非線分析非線性偏微分方程解的重要性質(zhì)我們特別感興趣的是非線性偏微分方程的所謂性偏微分方程的所謂“孤立波孤立波”形式的解形式的解 18.21 孤立波孤立波 1834 年年,英國(guó)科學(xué)家英國(guó)科學(xué)家S.Russel沿河邊騎馬時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的沿河邊騎馬時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象現(xiàn)象14,由于船的推動(dòng)由于船的推動(dòng),河中涌起一個(gè)孤立的波河中涌起一個(gè)孤立的波,以幾乎不變的速以幾乎不變的速 度和不變的波形向前推進(jìn)（如圖度和不變的波形

17、向前推進(jìn)（如圖18.1所示）所示）,很久以后才遇障礙而很久以后才遇障礙而消失消失. Russel后來(lái)發(fā)表了觀察報(bào)告后來(lái)發(fā)表了觀察報(bào)告,首先提出首先提出“孤立波孤立波”的名詞概念的名詞概念 .1895年年,荷蘭數(shù)學(xué)家（荷蘭數(shù)學(xué)家（D.J. Korteweg）和他的學(xué)生）和他的學(xué)生(G. de Vries)在研在研究淺水波時(shí)究淺水波時(shí),導(dǎo)出了如下形式的方程導(dǎo)出了如下形式的方程 0 xxxxtuuuu (18.2.1) 其中其中 是常數(shù)，該方程以兩位科學(xué)家命名而稱為是常數(shù)，該方程以兩位科學(xué)家命名而稱為KdV方程方程. 由由 于方程左邊第二項(xiàng)關(guān)于于方程左邊第二項(xiàng)關(guān)于 xuu,是非線性的，是非線性的，

18、所以所以(18.2.1)是一非是一非 線性偏微分方程線性偏微分方程. 現(xiàn)在來(lái)尋求方程現(xiàn)在來(lái)尋求方程(18.2.1)的的平面前進(jìn)波平面前進(jìn)波(簡(jiǎn)稱行波簡(jiǎn)稱行波)解解,令令 , ( , )( )xct u x tu (18.2.2)其中其中 c是常數(shù)，將是常數(shù)，將(18.2.2)式代入式代入(18.2.1),得得0uuucu 3cu u 圖 18.1 對(duì)對(duì) 積分一次得積分一次得 Auucu22（A為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） (18.2.3)u用用乘乘(18.2.3)式兩邊式兩邊,并對(duì)并對(duì)積分積分,得得2323366uucuAuB ( 18.2.4)其中其中B為任意常數(shù)由于孤立波是一個(gè)為任意常數(shù)由于孤

19、立波是一個(gè)局部波局部波,當(dāng)當(dāng) )(u及其各階及其各階導(dǎo)數(shù)都趨于零導(dǎo)數(shù)都趨于零 于是于是,由由(18.2.3),(18.2.4)式知式知, 時(shí)，有時(shí)，有 0AB,從而從而(18.2.4)式變成式變成 223(3)uucu (18.2.5)從方程從方程(18.2.5)可看出可看出,只有當(dāng)只有當(dāng) 03 uc時(shí)時(shí),KdV方方程才可能有實(shí)的程才可能有實(shí)的行波解行波解.當(dāng)當(dāng)cu3時(shí)時(shí), 0u,可知當(dāng)可知當(dāng) uc3由由變到變到時(shí)時(shí),由零上升到由零上升到極大值極大值,然后又然后又 下降到零下降到零,其圖形大致形如圖其圖形大致形如圖18.1所示所示,這種形狀的波稱為這種形狀的波稱為孤立波孤立波.下面我們來(lái)求下面

20、我們來(lái)求 u的具體表達(dá)式的具體表達(dá)式,為此把方程為此把方程 (18.2.5)寫成變量寫成變量分離的形式分離的形式3dd3uucu (18.2.6)查積分表查積分表,可解得可解得3d133ln333uccuAucucccu (18.2.7)其中其中A為為積分常數(shù)積分常數(shù).不妨設(shè)不妨設(shè)A=0 (否則對(duì)否則對(duì) 作平移作平移), 則則(18.2.7)可可化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)為為222233sech ()() ,22ccccc eeuctx (18.2.8)這個(gè)函數(shù)的圖形如圖這個(gè)函數(shù)的圖形如圖18.1所示所示,它表示它表示KdV方程方程(18.2.1)有任意有任意波速波速c的孤立波解的孤立波解,其峰高為其峰高為 c

21、3. 由由(18.2.8)式及圖式及圖18.1可得出結(jié)論可得出結(jié)論(1)波峰高與波速成正比波峰高與波速成正比;(2)由由(18.2.7)式知式知,當(dāng)當(dāng) u固定時(shí)固定時(shí),相應(yīng)的相應(yīng)的 的絕的絕對(duì)值與對(duì)值與c近似地成反比近似地成反比. 因此因此,速率速率c大的孤立大的孤立波波,其波寬反而小其波寬反而小. sech( )x 是鐘形的正割雙曲函數(shù)，其圖形與淺水槽中觀察到的是鐘形的正割雙曲函數(shù)，其圖形與淺水槽中觀察到的孤立波的形狀相同上述孤立波的形狀相同上述KdV方程的行波解方程的行波解(18.2.8)稱為稱為孤立波解孤立波解，從而在數(shù)學(xué)上證實(shí)了孤立波的存在從而在數(shù)學(xué)上證實(shí)了孤立波的存在20世紀(jì)世紀(jì)70

22、年代兩位美國(guó)科學(xué)家年代兩位美國(guó)科學(xué)家 (Zabusky和和Kruskal)用用數(shù)值模擬證實(shí)數(shù)值模擬證實(shí)了：兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的孤立了：兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的孤立波在碰撞之后仍為兩個(gè)穩(wěn)定的，形狀與碰撞前相同的孤立波，僅波在碰撞之后仍為兩個(gè)穩(wěn)定的，形狀與碰撞前相同的孤立波，僅僅相位發(fā)生了變化，也就是說(shuō)兩個(gè)孤立波的碰撞類似于粒子之僅相位發(fā)生了變化，也就是說(shuō)兩個(gè)孤立波的碰撞類似于粒子之間的碰撞這種孤立波具有類似粒子的性能，因而這兩位科學(xué)間的碰撞這種孤立波具有類似粒子的性能，因而這兩位科學(xué)家將家將孤立波命名為孤立波命名為“孤立子孤立子”（Solition） 20世紀(jì)中世紀(jì)中,人們不僅在淺水波中發(fā)現(xiàn)孤立波人們不僅在淺水

23、波中發(fā)現(xiàn)孤立波,在光纖通信在光纖通信,金屬金屬相變相變,神經(jīng)傳播等許多領(lǐng)域中都有神經(jīng)傳播等許多領(lǐng)域中都有”孤立波孤立波”現(xiàn)象現(xiàn)象, 即即某種現(xiàn)象或某種現(xiàn)象或信息脈沖以幾乎恒定的形態(tài)進(jìn)行傳播信息脈沖以幾乎恒定的形態(tài)進(jìn)行傳播. 非線性偏微分方程存在孤立波解，除非線性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，還有方程之外，還有很多，如很多，如1）非線性薛定諤方程）非線性薛定諤方程222i|0ktx(18.2.9)2）正弦）正弦戈登方程戈登方程2222sintx(18.2.10) 此外，還有此外，還有Klein-Gordon 方程，方程，Toda非線性晶格非線性晶格方程方程等，這些非線性偏微分方程在等

24、離子體物理、非線性光等，這些非線性偏微分方程在等離子體物理、非線性光學(xué)、量子場(chǎng)論和通信技術(shù)等領(lǐng)域都有著重要的地位和作用學(xué)、量子場(chǎng)論和通信技術(shù)等領(lǐng)域都有著重要的地位和作用18.2.2 沖擊波沖擊波本節(jié)研究另一類非線性偏微分方程本節(jié)研究另一類非線性偏微分方程220uuuutxx （18.2.11）式（式（18.2.11）稱為）稱為Burgers 方程方程其中其中 0Burgers 方程方程 為常數(shù)，為常數(shù)，是非線性耗散方程是非線性耗散方程 下面我們以之為例來(lái)分析其沖擊波解我們不妨設(shè)上式下面我們以之為例來(lái)分析其沖擊波解我們不妨設(shè)上式有行波解，并具有下列形式有行波解，并具有下列形式 ; uuxct（18.2.12） 將其代入將其代入Burgers 方程得到方程得到22ddd0ddduuucu （18.2.13）對(duì)對(duì)積分得到積分得到2d1d22uacuu （18.2.14）其中其中a為積分常數(shù)上式改寫成為積分常數(shù)上式改寫成2d12d2uucua（18.2.15）設(shè)方程右邊有兩個(gè)實(shí)根設(shè)方程右邊有兩個(gè)實(shí)根;21accuaccu22（18.2.16）ca由于由于和和都是待定常數(shù)，取都是待定常數(shù)，取 02 ac于是式（于是式（18.2.15）為）為12d1d2uuuuu（18.2.17）上式上式積分可