專題一 數(shù)列求和(2)裂項相消法+錯位相減法

1、專題一 （2） 裂項相消法裂項相消法：裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和說明：（說明：（1）裂項相消法的關鍵就是將數(shù)列的每一項拆成二項或裂項相消法的關鍵就是將數(shù)列的每一項拆成二項或多項多項,使數(shù)列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，進而達到求和的目的。使數(shù)列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，進而達到求和的目的。 即：即：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消消，于是前，于是前n項和變成首尾若干項之和項和變成首尾若干項之和 適合于

2、適合于分式型分式型數(shù)列的求和。數(shù)列的求和。（2 2）利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下）利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數(shù)，使裂開就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等變式例2、設an是公差d不為零的等差數(shù)列 ,bn 滿足 求數(shù)列bn的前n項和。11nnnaab解:11nnnba a11nnnnaada a1111()nndaa

3、123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nna a它的拆項方法你掌握了嗎？111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)(11. 5bababa12112()(1)(1)12nan nn nnn11111112(1)223341122(1)11nSnnnnn思考求111112123123n提示：研究通項提示：研究通項,對通項進行化簡或變形對通項進行化

4、簡或變形專題一（專題一（3 3）錯位相減法）錯位相減法等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和：項和：Sn=a1+a2+a3+ +an即：即：Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1qSn= a1q+a1q2+a1q3+ a1qn-1+a1qn錯位相減得：錯位相減得：（1-q）Sn=a1-a1qnqqaaqqasqnnn11)1 (111時，當11nasqn 時，當錯錯位位相相減減法法憶一憶憶一憶等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項和公式的推導采用了什項和公式的推導采用了什么方法？么方法？數(shù)列an是由項數(shù)相同的等差數(shù)列bn與等比數(shù)列cn的對應項乘積組成的新數(shù)列,即an=那么這個數(shù)列的前n項和則采用“

5、錯位相減法” 求和.說明：（1）使用錯位相減法的條件：如：an=n. .2n,an=(2n-1). . ,1 -n31）（問:下面可以用錯位相減法求數(shù)列的前n項和的有哪些？nann 21）（.212) 1(311nnnna）（ ,22,26,24,22432nn）（)2112(815 ,413 ,2112nn）（)0() 12( ,5 ,3 , 1512aanaan）（(3),(4),(5)說明：（2）使用錯位相減法的步驟： 展開，乘公比，錯位，相減，求和。展開：將展開：將Sn展開展開;乘公比：等式兩邊乘以等比數(shù)列的公比乘公比：等式兩邊乘以等比數(shù)列的公比q;得新得新式式qSn；錯位：讓式子錯位

6、：讓式子qSn往后錯一位，與往后錯一位，與Sn式子次數(shù)式子次數(shù)相同的相對齊相同的相對齊;相減：左側為（相減：左側為（1-q）Sn，右側中間一般有，右側中間一般有n-1項可用等比數(shù)列求和；項可用等比數(shù)列求和；解出解出Sn。n1 12 23 3-1-1231n2 SS1 22 23 2(1) 22nnnnnn nnna bnaba ba ba ba bnn 解：即-得nS223411 22 22 2 (n-1) 22nnn 132n22222Snnn即132n221212121Snnn22)1 (22122211nnnnn1n2)1 (2Snn故錯位相減法：錯位相減法：展開展開, ,乘公比乘公比,

7、 ,錯位錯位, ,相減相減, ,求求和和例4、已知數(shù)列an,bn,且an=n,bn=2n,求數(shù)列an.bn的前n項和。變式訓練、變式訓練、本例條件下本例條件下求數(shù)列 的前n項和。nnba231n234123n1231n ()2211111T12()3() +(1)()()22222111111 1()2()3() +(1)()()222222111111111() +1()222222111()() +222nnnnnnnnnnnanbnnTnnTn 解： 得（）（）11n11111()()22111()1222()1212111()2112+n1T2()() =2-()22222nnnnnn

8、nnnnnnn故求和：nn3) 12(33312nnnn3) 12(3) 32(3331S12n記解：1323) 12(3) 32(3331nnnnnS3123) 12(3232312nnnnS兩式相減得1n2n3) 12()3323S2nn（1n23) 12(3133323nn13)22(6nn1n3)1 (3Snn故課堂練習課堂練習-2Sn課本P61 T4(3)1.寫求和展開式時習慣算出每一項。2.出現(xiàn)某些項的遺漏現(xiàn)象。3.項數(shù)的計算錯誤。4.兩式相減時，等比數(shù)列前面的系數(shù)出錯。5.第四步中 前面的系數(shù)沒有除盡。nS1 1、公式法：、公式法：直接套用公式.3 3、倒序相加法：、倒序相加法：如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.回顧數(shù)列求和常用方法：2 2、分組求和法：、分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和即可。如求數(shù)列2n+n的前n數(shù)列項的和.6、并項法：、并項法：將數(shù)列的每兩項（或多項）并到一起后，再求和，這種方法常適用于正負相間隔數(shù)列的求和。4、錯位相減法、錯位相減法：若數(shù)列形如an. .bn，其中a