北師大版小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解試題附答案全套共14套新

1、小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第1課列方程解應(yīng)用題試題附答案習(xí)題一L 某工廠三個(gè)車(chē)間共有 180 人，第二年間人數(shù)是第一車(chē)間人數(shù)的 3 倍還多 1人，第三車(chē)間人數(shù)是第一車(chē)間人數(shù)的一半少 L 人.三個(gè)車(chē)間各有多少人？2-甲、乙兩個(gè)容器共有溶液 2600 克.從甲容器中取出）,從乙容器中取出，兩個(gè)容器共剩溶液 2。00 克，求兩個(gè)容器原來(lái)各有溶液多少克？3-25 支鉆筆分給甲、乙,丙三人.乙分到的比甲的一半多 3 支，丙分到的比乙的一半多 3 支.問(wèn),甲、乙、丙三人各分到幾支鉛筆？工甲.乙共有?63冊(cè)，乙.丙共有?車(chē)冊(cè).三人中?多的人的?數(shù)是?少的人的?數(shù)的2倍.問(wèn)甲.乙，丙三人各有?多少冊(cè)？5

2、.體育用品商店購(gòu)進(jìn) 5。個(gè)足球，如個(gè)籃球，共 30。0 元.零售時(shí)足球加價(jià)9%,籃球加價(jià) 11%,全部賣(mài)出后獲利潤(rùn) 2 兆元.問(wèn)二每個(gè)足球、 籃球進(jìn)價(jià)各多少元 76.王虎用1元錢(qián)買(mǎi)了油菜籽、 西紅柿杼和蘿卜籽共100包.油菜籽3分錢(qián)一包,西紅柿籽 4 分錢(qián)一包，蘿卜籽 1 分錢(qián) 7 包，問(wèn)王虎買(mǎi)進(jìn)油菜籽、西紅柿籽和蘿卜籽各多少包？習(xí)題一解答習(xí)題一解答1,解=設(shè)第一車(chē)間有戈人，則第二車(chē)間有3 宜十/人第三車(chē)間有白人x+3 煞+1+1w-1=130.2汽三 40403M+1=3X40 十 1=121,管，第一車(chē)間有 40 人，第二車(chē)間有 12L 人，第三車(chē)間有 19 人.2.解：設(shè)甲容器原有溶液

3、x 克，乙容器原有溶液(2600-x)克.xX(1-1)+(2600-x)X(1-1)=2000 x=16002600-x=2600-1600=1000.答，甲容器原有溶液 1600 克，乙容器原有溶液 1300 克.3.提示：設(shè)甲有 x 支，乙分到的比甲的一半多 3 支，則乙有(9+3)支.丙分到的比乙的一半多 3 支，則丙有心(1+3)+3支.乙乙乙解：設(shè)甲有鉛筆 N 支，則乙有鉛筆(1+?)支，內(nèi)有鉛筆擊裊+3)+3支.x+!北+3+5（次+3）+3=252223151x+=2542x=1011-x+3=-X0+3=8221C1x+3）+3=7.乙乙答：甲、乙、內(nèi)各分得鉛第 1U 支、8

4、 支、7 支.4 .提示： 這道題要先推理后列方程.關(guān)鍵是分析出甲、 乙、 丙三人中誰(shuí)?多、誰(shuí)?少.依題意；甲+乙二 63,乙+丙二 77,兩式相減得丙-甲二題目中還給出?多的人的?數(shù)是?少的人的?數(shù)的 2 倍， 也即它們的和是?少的人的3 倍，又 3T77,所以不可能是乙和丙兩人,由丙大于于甲，知丙不是?少,若丙?多，甲?少,設(shè)丙有?K冊(cè)，則由條件有；x=28.求出乙為 49 本，這樣顯然丙不是?多，也不是?少.因此，乙?大，甲?睇設(shè)用有?其冊(cè)，則乙有? 2x 冊(cè)K+2K=63x=212x=4277-42=35.答：甲有? 21 冊(cè)，乙有? 42 冊(cè)，丙有? 35 冊(cè).5.解：設(shè)每個(gè)足球進(jìn)價(jià)

5、 x 元，每個(gè)籃球進(jìn)價(jià) y 元.倒乂十 40y=3000（1 1）9%50+11% y 40=298（2）由得 5x+4y=300（3）由（2）得 45x+44y=2980（4）用 C4）-X9 得8y=280/.y=35.把 y=35 代入（3）得5x+4X35=300 x=32.答：每個(gè)足球進(jìn)價(jià) 32 元，每個(gè)籃球進(jìn)價(jià) 35 元.6.解：設(shè)買(mǎi)回油菜籽 x 包，西紅柿籽飽，則蘿卜籽為 C100-x）包.3x+4y+yX(100/-y)依題意， 逆值一定是整數(shù)， 那么竦?也一定是整數(shù)， 所以 y 必須是 20 的倍數(shù).當(dāng)尸 20 時(shí)，x=3?100-x-y=77.當(dāng) y40 時(shí)，父是負(fù)數(shù)，不合

6、題意.所以只能有一組解.魯王虎買(mǎi)油菜將 3 包，西紅才褥加包，蘿卜籽仃包.小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第2課關(guān)于取整計(jì)算試題附答案例 1 1 判斷正誤：若 2 日 3(i)=1.則&二 8解：不正確.假設(shè) U)=0,則；xl=K.原式為；2+3(X)=1,5J=lr例 2 求 11993 中可被 2 或 3 或 5 整除的整數(shù)的個(gè)數(shù).EI+r3x1.BX2、3X10例 3 求+J+的值.例 4 求滿足方程 3 十=19 的工的值.例 5 5 問(wèn)下面一列數(shù)中共出現(xiàn)了多少個(gè)互不相同的數(shù)?例 6 設(shè)和 100112 一心其中 Mn 均是自然數(shù),則門(mén)?大取多少?答案例例 1 判斷正誤：若

7、2K+33=1.則=0.解：不正確.假設(shè)=0,則，同=x.原式為：2（x）+3（x）=1,5K=1,=矛盾.例例 2 求 11993 中可被 2 或 3 或 5 整除的整數(shù)的人數(shù).分析我們知道，自然數(shù)中不超過(guò) n 的口的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（-）.所以 1n1993 中能被 2、3、5 整除的數(shù)分別有（挈）=996（個(gè)），（注）乙 31993=664（個(gè)），詈）=398（個(gè)）.但若把這三個(gè)數(shù)相加，作為答案就多了，因?yàn)橛行?shù)被重復(fù)計(jì)算了,例如 6 及其倍數(shù)，既是 2 的倍數(shù)，又是 3 的倍數(shù)，被計(jì)算了兩次.同理，重復(fù)計(jì)算兩次的數(shù)還有 10 及它的倍數(shù)和 15及它的倍數(shù)，一共有萼十辱十等=66 父?jìng)€(gè)）要從

8、和中減去.進(jìn)一步61U1J還要考慮 30 及它的倍數(shù)，它們既是 2、3 與 5 的公倍數(shù)，也是 6、10 與 15 的公倍數(shù).開(kāi)始計(jì)算了三次，后來(lái)又減去了三次，所以要補(bǔ)上.解：合題意的數(shù)有:1993,1993.1993,1993,1993,1993,t1993,亍乜/川 k-丁 H 丁 HF】乜丁=2058-663+66=1461（個(gè)）,mic+3 義 1r3x2、,3X10,必上例例 3 求不】+（F-+的值.分析加法運(yùn)算中常用高斯求和法簡(jiǎn)算.求 H 的基本方法是根據(jù)定義W+&.要善于觀察特殊值.解，答+（干）是整數(shù)，斗，十弋產(chǎn)=地是整數(shù)，3x13x103x13xl0n3x13xl（

9、i而亓+FT=丁川+（中+寸?+空是整數(shù)，又因001,01,0答1,1,例例 4 求滿足方程(x)+2x)=19 的 x 的值.分析分析解這道題的關(guān)鍵是由(x)+&求 2x 的整數(shù)部分和小數(shù)部分.解：因?yàn)?K 二氏+&,則 2K=2 氏+2 僅.(2K)=2W+2W1=2x+2.g0 xl,.*.02x2.現(xiàn)在時(shí)僅分段來(lái)討論：當(dāng) oWJ 時(shí),0202 1,1,這時(shí)(2x)=2【X,10原方程化為：3(x)=19,x=,3x10TT2,在 0 至 2 之間的整數(shù)只有 1.(當(dāng)113x1F同理誓()111111r r3x10.3x10.+.11+節(jié)=1I=3-1=2.)=2,35、

10、,3x6、中+E=2.3X21,3x10+1 寸+(TT=2此時(shí)無(wú)解.當(dāng)時(shí)，l2(x)2,這時(shí)(2x)=2(x)+1,原方程化為：3Ex+1=19,/.3x=18,x=6.故滿足原方程的 K 為大于或等于 6J 且小于 7 的數(shù)，即若乙乙說(shuō)明：此題運(yùn)用了適當(dāng)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.例 5 5 問(wèn)下面一列數(shù)中共出現(xiàn)了多少個(gè)互不相同的數(shù)?I2221993?，1993分析首先要考慮由己知條件我們能推出什么？222可推知這一列數(shù)的笫一項(xiàng)諒)=0,第二項(xiàng)()=0,19932一共有 1993 個(gè)數(shù)，?后一項(xiàng)(彳醞)=1993.可推知這一列數(shù)不等于同一個(gè)數(shù)，但也不是互不相同.I2221993，可推知這一列數(shù)是逐

11、漸增大的，即礪 K.該】考慮利用公式(a+b)2 二 I+2ab+b:分析項(xiàng)的變化.考慮利用公式 1+b）三+2ab+b 吩析項(xiàng)的變化.（k+Mk22k+1因與子=1+言，根據(jù)性質(zhì) 4,Otr4-1若蕓1則這列數(shù)的相鄰兩項(xiàng)有關(guān)系，k2k2|2k+111993996.這說(shuō)明當(dāng) k996 時(shí)，裝1QQ721QQ72由分析知從 （備） 至?后一項(xiàng) 既） 互不相同， 共有 1993-997+1 二 997 （個(gè)） .而當(dāng) k4996 時(shí)，前 996 項(xiàng)的相鄰兩項(xiàng)相等或差 1.因知第一項(xiàng)=0,又第 996 項(xiàng)（）=497,所以共有 4%+1=498 個(gè)不同的數(shù).綜上所述，這一列數(shù)共有 997 十 498

12、 二 1495 個(gè)不同的數(shù).例 6 設(shè) E100I=12-M,其中脹：n 均是自然數(shù).則 n ?大取多少？解：V12=22X3,而人中因數(shù) 2 有竽+察+翳）=97 個(gè)，A 中因數(shù) 3 有與+（翳）+（舞）+（竽）=48 個(gè).A 二 248K2T34& k=2 （12）48，k=124S*M,其中 122M./.n大取 48.習(xí)題二習(xí)題二1.在 110000 這一萬(wàn)個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)能移被 5 或 7 整除?習(xí)題二解答習(xí)題二解答L 解:在這一萬(wàn)個(gè)自然數(shù)申，能被 5 或 7 整除的數(shù)有2 .鵬/筍+箸是整數(shù).199 乂 119”95+-，9797=1 四（整數(shù)）.199x197159

13、X：199y9697、,199x1)+十-一-一773797199Ml97199x96+199*9697是整數(shù).又1991972. 已知：3=（199x1W+192、,-+97199x96.卡 c 門(mén)F）求；3. 求滿足方程必+2s口 g 的工的值.4.k 是自然數(shù)，且1001*1002，-*1985*198611R年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第二講是整數(shù)，k 的?大值是多少 1關(guān)于取整計(jì)算習(xí)題解答10000丁+【1000C1,710000,1 內(nèi)人萬(wàn)一=3143 個(gè).(199x1.j199 乂 961/.0+29797可得可得與/+笥戶岑;+笠駕=198199 乂 4%(199 乂 49)97十一97/.

14、3=198X48=9504.3 .解：二 X(x)+&,2x=2x+2(x,/.(2x)=2xl+(2x)J若若 0 x5，則。則。2xL原方程化為 3(x)=18,(x)=6,64x.若:幺)1,貝Ul(2漢)AyB=PK，+FB=PA+PB，而這里不等式 PA，+F，BA，B 成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段，所以 PA+FE 是?短路線.此伊愉 J 用對(duì)稱性把折線 APB 乃成了易求的另一條?短路線即直線段 rB,所以這種方法也叫做化直法.其他還有旋轉(zhuǎn)怯.翻折怯等.看下面例題.例 2 如一只壁虎要從一面墻壁Q上 A 點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁吐的瞋捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，

15、但哪一條是?近的路線昵 9解；我們假想把含 B 點(diǎn)的堵口順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90（如下頁(yè)右），使它和含 A點(diǎn)的墻故 I 底向一年面上，此時(shí)。強(qiáng)過(guò)果的質(zhì)置記為 B 點(diǎn)的位置記為，則機(jī) 1 之間?通路線應(yīng)該是線段出、設(shè)這條線段與墻棱線交于一點(diǎn) P,那么口折線 4PE 就是從 A 點(diǎn)沿著兩扇墻面走到 B 點(diǎn)的?短路線.證明：在墻棱上任取異于 P 點(diǎn)的 P點(diǎn)，若沿折線 APB 走，也就是沿在墻轉(zhuǎn)90“后的路線 AP,走都比直線段 APB，長(zhǎng)，所以折線 APB 是壁虎捕蛾的?短路線.由此例可以推廣到一般性的結(jié)論；想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的?通路線時(shí)，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連

16、起來(lái)，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的?短路線.例例 3 3 長(zhǎng)方體 ABCDA，B，C，D，中，AB=4,A，A 二 2，AD=1,有一只小蟲(chóng)從頂點(diǎn) D，出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到 B 點(diǎn)，問(wèn)這只小蟲(chóng)怎樣爬距離?短？（見(jiàn) Q）解；因?yàn)樾∠x(chóng)是在長(zhǎng)方體的表面上爬行的，所以必需把含 DB 兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開(kāi)”在同一平面上，在這個(gè)“展開(kāi)”后的平面上 DB 間的?短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，這樣，從 D，點(diǎn)出發(fā)，到 B 點(diǎn)共有六條路線供選擇.從 D，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá) B 點(diǎn)，將這兩個(gè)面攤開(kāi)在一個(gè)平面上（上頁(yè)（2）,這時(shí)在這個(gè)平面上 DJB

17、間的?短路線距離就是連接 D、B 兩點(diǎn)的直線段，它是直角三角形 AB的斜邊，根據(jù)勾股定理，DB2=D，A4 止（1+2）2+4 25,.DB=5.容易知道，從“出發(fā)經(jīng)過(guò)后他面再進(jìn)入下底面到達(dá) B 點(diǎn)的?短距離也是5.從 D,點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入前例 I 面到達(dá)瓦點(diǎn).將這兩人面攤開(kāi)在同一平面上，同理求得在這個(gè)平面上“、B 兩點(diǎn)間的?短路線（上頁(yè)），有：DB2 斗（1+4）2=29.容易知道，從 D出發(fā)經(jīng)過(guò)后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá) B 點(diǎn)的?短距離的平方也是 29.從 D點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá) B 點(diǎn)，將這兩個(gè)平面攤開(kāi)在同一平面上，同理可求得在這個(gè)平面上 D，、B 兩點(diǎn)間的?

18、短路線（見(jiàn)），DD2A4D,B2=（2+4）4P=37.容易知道， 從 D， 出發(fā)經(jīng)過(guò)上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá) B 點(diǎn)的?短距離的平方也是 37.比較六條路線，顯然情形、中的路線?短，所以小蟲(chóng)從 V 點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá) B 點(diǎn)（上頁(yè)（2）,或者經(jīng)過(guò)后側(cè)面然后進(jìn)入下底而到送 B 點(diǎn)的造蛙是?短路線它的長(zhǎng)度是個(gè)單位長(zhǎng)度.利用例 2、例 3 中求相鄰兩個(gè)平面上兩點(diǎn)間?通距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決一些類(lèi)似的問(wèn)題，例即求六棱柱兩個(gè)不衽鄰的側(cè)面上睛叫兩點(diǎn)之間的?短路線問(wèn)題下左），同樣可以把 A、B 兩點(diǎn)所在平面及與這兩個(gè)平面都相鄰的平面展開(kāi)成同一個(gè)平面（下右），連接 A、E，版線段

19、AP1P2B,Pl、P2 是殯段 AB與兩條側(cè)棱線的交點(diǎn)，則折線 AP1P2B 就是 AB 間的?短路線.S柱表面的?短路線是一條曲線，“展開(kāi)”后也是直線 3 這條曲線稱為螺旋線.因?yàn)樗哂?短的性質(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.如，螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，棺腔里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題.例例 4 4 景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線，如下左，如果將金線的起點(diǎn)固定在 A 點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為 B 點(diǎn)，問(wèn)沿什么線路嵌金線才能使金線的用量?少？解；將上左中圓柱面沿母線卷剪開(kāi)，展開(kāi)成平面形如上頁(yè)右（把中的長(zhǎng)方形卷成上頁(yè)左中的圓柱面時(shí)，丁分別與機(jī)

20、 B 重合），連接 ABJ 再胞上貝右還原成上貝左的形狀，則 AB，在圓柱面上形成的曲線就是連接 AB 且繞一周的?短線路.圓錐表面的?短路線也是一條曲線，展開(kāi)后也是直線.請(qǐng)看下面例題.例例 5 有一圓錐如下，A、B 在同一母線上，B 為 80 的中點(diǎn)，試求以 A 為起點(diǎn)，以 B 為終點(diǎn)且澆圓椎側(cè)面一周的?短路線.解，將圓錐面沿母線 A0 剪開(kāi)，展開(kāi)如下（把右中的扇形卷成上中的圓錐面時(shí)，A-B，分別與 A、B 重合），在扇形中連 AB，則將扇形還原成圓錐之后，AB所成的曲線為所求.例 6 如下 3 在圓柱形的桶外， 有一只螞蟻要從桶外的 A 點(diǎn)爬到桶內(nèi)的 B 點(diǎn)去尋找食物，己知&點(diǎn)沿母

21、線到桶口 C 點(diǎn)的距離是 12 厘米，B 點(diǎn)沿母線到桶口 D點(diǎn)的距離是 8 厘米，而 C、D 兩點(diǎn)之間的（桶口）弧長(zhǎng)是 15 厘米.如果螞蟻爬行的是?短路線，應(yīng)該怎么走？路程總長(zhǎng)是多少？分析我們首先想到格桶的圓柱面展開(kāi)成矩形平面（下），由于 B 點(diǎn)在里面，不便于作，設(shè)想將 BD 延長(zhǎng)到 F,使 DF 二 BD,即以直線 CD 為對(duì)稱軸，作出點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn) F,用 F 代替 B,即可找出?短路線了.解；將圓柱面展成平面形（上），延長(zhǎng) BD 到 F,使 DF 二 BD,即作點(diǎn) B 關(guān)干直線 CD 的對(duì)稱點(diǎn) F,連結(jié)好，交桶口沿線 CD 于 0.因?yàn)橥翱谘鼐€ CD 是 B、F 的對(duì)稱軸，所以 0B

22、=0F,而 A、F 之間的?短線路是直線段 AF,又如二 A0+0F,那么 A、B 之間的?短距離就是 A0+0B,故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到 0 點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi) B 點(diǎn)照去.廷長(zhǎng) AC 到 E,使 CE=DF,易知 aAEF 是直角三角形，AF 是斜邊，EF=CD,根據(jù)勾股定理，相三（AC+CE）斗 E 產(chǎn)=（12+8+152=625=252,解得 AF=25.即螞蟻爬行的?短路程是 25 厘米.例 8 在河中有 A、B 兩島（如下），六年級(jí)一班組織一次劃船比賽，規(guī)則要求船從 A 島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到 B 島，?后回到 A 島，試問(wèn)應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程?短？解：如上，分別作

23、 A、B 關(guān)于甲岸線、乙岸線的對(duì)稱點(diǎn)和 B連結(jié) AJ 分別交甲岸線、乙岸線于 E、F 兩點(diǎn)，則 AfEfFfBA 是?短路線,即?短路程為：AE+EF+FB+BA.證明：由對(duì)稱性可知路線 AfEFB 的長(zhǎng)度恰等于線段 A，B，的長(zhǎng)度.而從內(nèi)島到甲岸，又到乙岸，再到 B 島的任意的另一條路線，利用時(shí)稱方法都可以化成一條連接 AB，之間的折線，它們的長(zhǎng)度都大于線段 A，B，例如上中用“”表示的路線 A-E）一 F一 B 的長(zhǎng)度等于折線 AE/F，B 的長(zhǎng)度，它大于 A，B的右度，所以 A-E*iF*3*A 是?匆路線.習(xí)題三1 .如下，EF 為一河流的河岸線，假設(shè)成一條直線，A、B 是河中兩個(gè)小島

24、，有一只船經(jīng)常從 A 島把水產(chǎn)運(yùn)回岸上，再把食品等物運(yùn)回 B 島，再由 B 島將水產(chǎn)運(yùn)上岸上，?后由岸上將食品等物運(yùn)回 A 島，問(wèn)轉(zhuǎn)運(yùn)碼頭應(yīng)設(shè)在何處，才能使運(yùn)輸船的航程?矩.-B2 .少先隊(duì)一小隊(duì)組織一次有趣的賽跑比賽，規(guī)則是從 A 點(diǎn)出發(fā)（見(jiàn)下），跑到墻邊，用手觸摸墻壁，然后跑到 B 點(diǎn),接著，離 B 點(diǎn)再次跑到墻邊手觸摸墻壁后，跑到 C 點(diǎn).問(wèn)選擇怎樣的路線?節(jié)省時(shí)間，請(qǐng)你在中標(biāo)出來(lái).A-B3.如下，在河彎處 M 點(diǎn)有個(gè)觀測(cè)站，觀測(cè)員要從 M 點(diǎn)出，先到 AB 岸，再到 CD岸 ， 然 后 返 回M點(diǎn) ， 問(wèn) 船 應(yīng) 該 走 什 么 路 線 ? 短 ？4 .如下，MB 兩個(gè)村子之間隔了兩條

25、河，兩條河的寬度相同，為了使兩個(gè)村子之間的行程?知，在這兩條河上架橋的時(shí)候,應(yīng)該把精架在哪里？（兩座橋分別垂直于兩條河的河岸.）5 .如下，在河的兩岸共有三個(gè)小鎮(zhèn) hB、C.問(wèn)應(yīng)在河的什么位置架兩座橋，使兩岸人們來(lái)往路程?短？（兩座橋都垂直于河岸.）6,如下是 T 丘臺(tái)球桌子， 桌子上球 R與球 B 之間有其它球阻隔.現(xiàn)在要擊碎，經(jīng)桌邊 CD、CF 兩次反射再碰到 B 球，請(qǐng)你畫(huà)出 AI 來(lái)行走的?短路線.7.如下，M 氏 C 三點(diǎn)分別是正方體三條棱的中點(diǎn)，一只小蟲(chóng)沿著正方體的表面從點(diǎn)碘到點(diǎn) C,中所示路線是否為小蟲(chóng)爬行的?短第線？8 .如下，鼠 E 為長(zhǎng)方體同一棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)，且 AE 二孔

26、底面為邊長(zhǎng)是 2的正方形，氏 C、D 分別到底面距離為工工 6,連接 AB.BC,CD,DE,則折線 ABCDE 為以 A 為起點(diǎn)，況為終點(diǎn)斃犢柱側(cè)面一周?短的路線，請(qǐng)說(shuō)明理由.9 .00 的半徑為 W 厘米，扇版 AA，是。的四分之一（下左），把扇形 0AV卷成圓錐面（下右）？取母線 0A 甲點(diǎn) B 及 AB 中點(diǎn) M.從 N 拉一繩子圍繞圓錐面轉(zhuǎn)到下底面 A 點(diǎn)（下右,試求此繩的?短長(zhǎng)度.匚六年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第三講?短路線問(wèn)題習(xí)題解答CLCL習(xí)題三解答習(xí)題三解答1 .作點(diǎn) A 關(guān)于 EF 的對(duì)稱點(diǎn)卜點(diǎn)， 連結(jié)卜點(diǎn),B 點(diǎn)交 EF 于 P 點(diǎn)， 則 P 點(diǎn)即為所求，它就是轉(zhuǎn)運(yùn)科頭應(yīng)設(shè)的位置.2

27、 .解法 1：分別作 hC 關(guān)于墻線的對(duì)稱點(diǎn) A,CJ,分別連結(jié)卜、B 和 CLB,它們分別交墻線于 E、F 兩點(diǎn)，則 A-E-B-F-C 即?短路線.解法 2；作 B 關(guān)于墻線的對(duì)稱點(diǎn) B，,連結(jié) MBC、U,它們交于墻線處也既、F 點(diǎn)，?短路函司薛是 L3 .分別作 M 點(diǎn)關(guān)于孫 CD 的時(shí)稱點(diǎn) Ml、M2,連簞 M1M2 分別交 AB、CD 于 N1、N2 兩點(diǎn),連結(jié)帆、MN2,則 1 即+即改+由 1 蹴是?短路程.ML4 .過(guò) MB 分別向兩條河作垂線，并截取 AA，二 BB，等于河寬，連結(jié) AB,分別交兩相鄰河岸于 C、D 兩點(diǎn)，分別過(guò) C、D 兩點(diǎn)向兩條河的另一岸作垂線，分別交另

28、一岸于&F 兩點(diǎn)，CE.DF 即架橋位置.B5 .過(guò) A 作河岸線垂線，并在其上截取 AA等于河寬，連結(jié) A，B 和 AC,分別交河岸于反兩點(diǎn)，過(guò)碟 F 分別作河岸垂線交另一岸于 MN 兩點(diǎn)，見(jiàn)歸此 FN 即為架橋位置.6.分別作 MB 關(guān)于 CD.CF 的對(duì)稱點(diǎn) A121所以 SAJJJD+S&BDE+S&CFG=C-+SAABC5=一-9AABCAABC所以 S 快彭=0-）SAABCSAABC答：陰影部分的面積占三角形 ABC 面積的孑 4 4 解 S&ADE=*AADC=xQ痂=-X|X48=22（平方厘米）.lblb3 3答；AADE 的面積為 22

29、平方厘米.廠 3、，1“rc=-x-xqc*Q&BFD_4EQ（1ABC_所以 SADEF=6卯 C-$3 歷-3 插血-$ACDE=（1.122）s1658,4ABe一兩船 C所以 SADEF:SAZBC=61:120.答：ZDEF 與ABC 的面積之比為 61：120.6 幅因?yàn)槠币怀?41123KZCF=-CD=-AB,FD=-AB,AB=-FD,又NBAE=NEDFNJN乙5 5 解：S6AEPS&CDES&CDE5=X64 4=-X515XS1 16ABC1_5s砥=90,133所以有 SZXABEtgX-xS6EDF=jSdEDFABE:SAEDF=3：4.

30、答：三角形 ABE 與三角形 EDF 的面積之比為 3：4.7 .解：SAADF=4X1XSAABC=4SAABC,SABED=2X2xSAABC=4SAABC,SAECF=3X3xsABC=9SAABC.SAECF=3X3XSAABC=9sABC.所以 SADEF 二 SAADF+SAEBD+SECF+Sa=4SAABC4-4SAABC+9SAABC+SAABC=18SAABC所以 S.=SADEP=X54=3（平方厘米）.Io答：三角形 ABC 的面積為 3 平方厘米.8 .解：連 DF.因?yàn)?AE=ED,所以有ABE=SABED,SAAEF=SADEF.所以 S4BEA+SAAEF:SA

31、BED+S&DEF;SBDF 二 S 陰影2因?yàn)?BD、BC,所以 BD=2CD,因WSADCP=萬(wàn)$&3所以SAABC=SAABF+SABDF4-SCDF=Cl+l+y)5 謝乙2s2ABDF2ABDF2 答；陽(yáng)影部分的面積為 g9 .解，記Si=S4AEN2,S2=SABFN3,S3=SACDN1,S二SAN1N2N3.由下知SABE+SABCF+SZSCAD+S=SABC+S1+S2+S3但是SAABE二SABCF=S&c.謝，所以SS+S2+S3.連結(jié)CN2,則LkUAl/其s=ss-2SS=c-QABDF-QABDFA AQCDN*Q(ICAD-QCEN：=5

32、&ABC_3SI，112所以/&麗-克】=可（不&即-2S。，同理 S?=S3=萬(wàn)$&.，乙 1因此 S 哼十$2 十 S3T.WSM1N2N3:S屈 81：7.笞：SANIN2H3 與 SAABC 之比為 1：7.10 .解：為了方便,在下中標(biāo)上字母取 F、G、H、山、Nl,K,連結(jié) DK.容易知道BE=JAB,M】N=；AC,AC2=2AB2,所以 SM=BE?=那i2SN=M1N?=-AC2=-AB2,1.2Q/.SM.SM=-AB5,所以加數(shù)大于 4 函強(qiáng)還真噩坡拆小.由于 4 二 2+2,又 4 二 2 吊 2,因此拆出的加數(shù)中可以不出現(xiàn)工拆出的加數(shù)中

33、 2 的個(gè)數(shù)不能多于兩個(gè).例如拆成三個(gè)不如拆成兩個(gè) 3.因?yàn)槿齻€(gè) 2 的積為九兩個(gè) 3 的積為 9,這就是說(shuō)，應(yīng)盡可能多拆出 3.因?yàn)?14=3X4+2,所以把 14 拆成 3、3.3.3、2 時(shí).積為 3X3M3X3 乂 XI62 ?大.對(duì)?大與?小問(wèn)題一要注意變化規(guī)律，即弄清思路，又要注意限制條件，對(duì)于字母則要根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行討論分析.例例 Z 已知q-Lr,其中 dq 為質(zhì)數(shù)且均小于 1000,K 是奇數(shù)，那么乂的?大值是一“分析與解答分析與解答由戈為奇數(shù)可知，qp+l 是偶數(shù)又因?yàn)?p、q 為質(zhì)數(shù)，所以 P、q 中必有一個(gè)為偶質(zhì)數(shù) 2.不妨設(shè) p=2.為了使 x 盡可能大，只須取 q 為

34、?大的三位點(diǎn)數(shù) 997.這時(shí) x 達(dá)到?大值：2X997-1=1993.方程中有參數(shù)和其他條件，也可能出現(xiàn)?大或?小問(wèn)題.例 3 已知關(guān)于 x 的方程號(hào)-次=3+142,當(dāng) a 為某些自然數(shù)時(shí)，方程的根為 2o自然數(shù)，則?小自然數(shù)一.分析與解答與解答由原方程可得因?yàn)?a 為自然數(shù)，所以?應(yīng)為大于 142 的整數(shù)又 n 為自然數(shù)，要3+a9-3a=2、3+a、9-3a、vbc0,v-。.M 乙,3所以 a 的?大值是 3,?小值是 1二二. .統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的步應(yīng)用統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的步應(yīng)用在開(kāi)始引例中引用了華羅庚教授統(tǒng)籌方法平話中的例子，統(tǒng)籌方法是生產(chǎn)建設(shè)和企業(yè)管理中合理安排工作的

35、一種科學(xué)方法，它對(duì)于進(jìn)行合理調(diào)度、加快工作進(jìn)展、提高工作效率、保證工作質(zhì)量是十分有效的，所用數(shù)學(xué)思想是樸素而精彩的.解：由解得,解得得K3.,3所以 a 的?大值是 3,?小值是一二、統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的步應(yīng)用統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的步應(yīng)用在開(kāi)始引例中引用了華羅庚教授統(tǒng)籌方法平話中的例子，統(tǒng)籌方法是生產(chǎn)建設(shè)和企業(yè)管理中合理安排工作的一種科學(xué)方法，它對(duì)于進(jìn)行合理調(diào)度、加快工作進(jìn)展、提高工作效率、保證工作質(zhì)量是十分有效的，所用數(shù)學(xué)思想是樸素而精彩的.例例 5 55 個(gè)人各拿一個(gè)水棉在自來(lái)水龍頭前等候打水，他們打水所需的時(shí)間分別是 1 分鐘、2 分鐘、3 分鐘、4 分鐘和 5 分鐘.如果只有一個(gè)

36、水龍頭，出問(wèn)怎樣適當(dāng)安排他們的打水順序， 使所有人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和??。坎⑶蟪?小值.分析分析這是我們徑常遇到而不去思考的問(wèn)題， 其中卻有著豐富的數(shù)學(xué)思想.5 個(gè)人排隊(duì)一共有 5 義 4 乂 3 乂 2 乂 1 口 20 種順序， 要把所有情形的時(shí)間總和都計(jì)算出來(lái)加以比較， 就太繁瑣了.憑直覺(jué)， 應(yīng)該把打水時(shí)間少的人排在前面所費(fèi)的總時(shí)間會(huì)省些.試用“逐步調(diào)整”法求解.解：首先證明要使所用總時(shí)間?省，應(yīng)該把打水時(shí)間需 1 分鐘的人排在笫一位置.假如第一位置的人打水時(shí)間要盼鐘（其中 2a5）,而打水需 1 分鐘的人排在笫 b 位（其中 2b5）,我們將這兩個(gè)人位置交換，其他三人位置不動(dòng).這樣調(diào)

37、整以后第 b 位后面的人耳瞅和打水所費(fèi)時(shí)間與調(diào)整前相同，并且前 b 個(gè)人打水所費(fèi)時(shí)間也未受影響，但第二位至第 b 位的人排隊(duì)等候的時(shí)間都減少 T（a-1）分鐘，這說(shuō)明調(diào)整后五個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和減少了.換言之，要使折費(fèi)時(shí)間?省，就要把打水需 1 分鐘的人排在第一位置.解解: :b+c=6-a-b+c=3-2ab解得解得3+ar9-3a22+aQ-&其次，根據(jù)同樣的道理，再將打水需 2 分鐘的人調(diào)整到笫二位置；將打水需3、4、5 分鐘的人逐次調(diào)整到三、四、五位.所以，將五人照打水所需時(shí)間由少到多的順序排隊(duì)， 所費(fèi)的總時(shí)間?省， 得出 5 人排隊(duì)和打水時(shí)間總和的?小值是，1X5+2X4

38、+3X3+4X2+5X1=35（分鐘）.本題所用的逐步調(diào)整法是一個(gè)很樸素的數(shù)學(xué)思想，它使我們思考問(wèn)題過(guò)程簡(jiǎn)化，更有趣味.例 6 一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管，當(dāng)打開(kāi) 4 個(gè)進(jìn)水管時(shí)需要朝、時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開(kāi) 2 個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要 15 小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在需要在 2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？分析本題沒(méi)給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進(jìn)水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管.解：本題是具有實(shí)際意義的工程問(wèn)題，因沒(méi)給出注水速度和排水速度，故需引入?yún)?shù),設(shè)每個(gè)進(jìn)水管 1 小時(shí)注水量為熱排水管 1 小時(shí)排水量為 b

39、,根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4a-b）X5=（2a-b）X15,化簡(jiǎn)，得：4a-b=6a-3b,即 a=b.這就是說(shuō)，每個(gè)進(jìn)水管 1 小時(shí)的注水量等于排水管 1 小時(shí)的排水量.再設(shè) 2 小時(shí)注滿水池需要打開(kāi) x 個(gè)進(jìn)水管，根據(jù)水池的容量列方程，得（xa-a）X2=（2a-a）X15,化簡(jiǎn)，得 2ax-2a=15&,即 2xa=l7a.（a#0）所以 x 二，5因此至少要打開(kāi) 9 個(gè)進(jìn)水管，才能在 2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿.注意；x=8.5,這里若開(kāi) 8 個(gè)水管達(dá)不到 2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿的要求；開(kāi) 8.5個(gè)水管不切實(shí)際.因此至少開(kāi) 9 個(gè)進(jìn)水管才行.例例 7 在一條公路上，每隔 10

40、0 千米有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，共 5 個(gè).一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存貨 10 噸，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)存貨 20 噸，五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存貨 40 噸，三、四號(hào)倉(cāng)庠空著.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸 1 千米需要 0.8 元運(yùn)費(fèi)，那么?少要花多少運(yùn)費(fèi)？0-d）（a）-10 噸 20 噸 qo 噸分析與解答分析與解答由于運(yùn)費(fèi)是以每噸貨物運(yùn)輸 1 千米為單位（即噸千米）計(jì)量的，因此要使運(yùn)費(fèi)?省，就要把所有貨物運(yùn)往離貨物?多的倉(cāng)庫(kù)適當(dāng)近的地方集中.我們依次討算以一、二、五號(hào)倉(cāng)庫(kù)為集中點(diǎn)所需的運(yùn)費(fèi)：0.8X（20X100440X400）=14400（元）,0.8X（10X100+40X300）=10400（元），0.8X

41、（100X200+20X100+40X200）=9600（元），0.8X（10X300+20X2QQ4-40X1QO）=8800（元）,0.8X（10X400+20X300）=8000（元）.因此，把所有貨物集中到五號(hào)倉(cāng)庫(kù)所需的運(yùn)費(fèi)?少，運(yùn)費(fèi)為 8000 元.說(shuō)明；由例 7 的枚舉解法中我們可以看出，如果某處貨物的重量大于或等于貨物總重量的一半，那么，把貨物往此處集中花的運(yùn)費(fèi)是?少（或?少之一）的.這可以叫做“小住大處靠”原則.可以解祥如下.把各個(gè)倉(cāng)庫(kù)用 Al,A2,，An 表示，AL中的貨物重量為時(shí)，把所有貨物集中到心的運(yùn)輸噸千米數(shù)為加 （它與集中貨物到 A 所需的運(yùn)輸費(fèi)用成江生），貨物總重

42、量為 i（二皿+卬 2+ron）.假設(shè) A1 中貨物重量不小于總重量的一半，即分，那么 m?十 m3al 相比較，.把貨物集中到阮（2in）的運(yùn)輸噸千米數(shù) ai 所增加的至少是ml AlA 工，所減少的至多是（m2+m3+加）AlAi,這里 Al 加表不 Al 與 Ai 之間的距離.nij空AAj）（皿+如臺(tái)+巾）AA乙這說(shuō)明了“小住大處靠力原則是正確的.當(dāng)各個(gè)倉(cāng)庫(kù)中的貨物重量都小于所有貨物總重量的;時(shí)，“小住大處靠”原則不成立.例如.在例 7 中一、 二、 五號(hào)倉(cāng)庫(kù)中的存貨如果分別為 30 噸、 10 噸.30噸，那么容易知道把貨物集中到二號(hào)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)費(fèi)?少.例例 8 若干箱貨物總重 19.5 噸， 每箱重量不超過(guò) 353 千克，今有載重量為 1.5噸的汽車(chē)，至少需要幾輛，才能把這些箱貨物一次全部運(yùn)走。分析與解答分析與解答如果認(rèn)為 19.5-1.5=13,因此只需 13 輛汽車(chē)就可以把這些箱貨物一次全部運(yùn)走，這就把題意理解錯(cuò)了.因?yàn)樨浳锸钦溲b的，每輛汽車(chē)不一定都能滿載.請(qǐng)先看一個(gè)反例，它說(shuō)明甚至 15 輛車(chē)都不一定能一次運(yùn)完.例如這批貨物共裝有 65 只箱子， 其中 64 箱的重量都是 301 千克 （不超過(guò) 353千克），另一箱的重量是 23