數(shù)學(xué)建模解題方法與步驟

1、4石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)業(yè)計(jì)劃實(shí)踐部學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟；2. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的逼真性、可行性、漸進(jìn)性、強(qiáng)健性、可轉(zhuǎn)移性、非預(yù)制性、條理性、技藝性和局限性等特點(diǎn)；3. 能表述數(shù)學(xué)建模的分類(lèi)；4. 會(huì)采用靈活的表述方法建立數(shù)學(xué)模型；5. 培養(yǎng)建模的想象力和洞察力。一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟般說(shuō)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類(lèi)、一類(lèi)是機(jī)理分析方法，一類(lèi)是測(cè)試分析方法.機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)、分析其因果關(guān)系， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.測(cè)試分折將研 究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，可以

2、測(cè)量系統(tǒng)的輸人輸出 數(shù)據(jù)、并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類(lèi)模型中選 出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。這種方法稱(chēng)為系統(tǒng)辨識(shí)(SystemIdentification).將這兩種方法結(jié)合起來(lái)也是常用的建模方法。即用機(jī)理分析建立 模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識(shí)確定模型的參數(shù).可以看出，用上面的哪一類(lèi)方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度 和建模目的決定的.如果掌握了機(jī)理方面的一定知識(shí)， 模型也要求具有反映內(nèi)部 特性的物理意義。那么應(yīng)該以機(jī)理分析方法為主.當(dāng)然，若需要模型參數(shù)的具體數(shù)值，還可以用系統(tǒng)辨識(shí)或其他統(tǒng)計(jì)方法得到. 如果對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理基本上沒(méi)掌 握，模型也不用于分析內(nèi)部特性，

3、譬如僅用來(lái)做輸出預(yù)報(bào)，則可以系統(tǒng)辯識(shí)方法 為主.系統(tǒng)辨識(shí)是一門(mén)專(zhuān)門(mén)學(xué)科，需要一定的控制理論和隨機(jī)過(guò)程方面的知識(shí). 以 下所謂建模方法只指機(jī)理分析。建模要經(jīng)過(guò)哪些步驟并沒(méi)有一定的模式，通常與實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)、建模的 目的等有關(guān)模型準(zhǔn)備 首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各 種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對(duì)象的特征，由此初步確定用哪一類(lèi)模型，總 之是做好建模的準(zhǔn)備工作情況明才能方法對(duì)， 這一步一定不能忽視，碰到問(wèn)題 要虛心向從事實(shí)際工作的同學(xué)請(qǐng)教，盡量掌握第一手資料 .模型假設(shè) 根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化， 用精確的語(yǔ)言做出假設(shè)，可以說(shuō)是建模的關(guān)鍵一

4、步一般地說(shuō)，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題不經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使可能，也很難求解.不同的簡(jiǎn)化假設(shè)會(huì)得到不同的模型假設(shè)作得不合理或過(guò)份簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型失敗或部分失敗， 于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過(guò)分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對(duì)象的各方面因素都 考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無(wú)法繼續(xù)下一步的工作通常，作假設(shè)的依據(jù)，一 是出于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的 綜合作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問(wèn)題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)， 又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力， 善于辨別問(wèn)題的主次，果斷地抓住主要 因素，舍棄次要因素，盡量將問(wèn)題線(xiàn)性化、均勻化經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用.寫(xiě) 出

5、假設(shè)時(shí)，語(yǔ)言要精確，就象做習(xí)題時(shí)寫(xiě)出已知條件那樣.模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適 當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其他數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu).這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專(zhuān)門(mén)知識(shí)外， 還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方 面的知識(shí)，以開(kāi)拓思路.當(dāng)然不能要求對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科門(mén)門(mén)精通，而是要知道這些學(xué)科 能解決哪一類(lèi)問(wèn)題以及大體上怎樣解決. 相似類(lèi)比法，即根據(jù)不同對(duì)象的某些相 似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法.建模時(shí)還應(yīng)遵循的 一個(gè)原則是，盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟憬⒌哪Ｐ涂偸窍Ｍ苡懈嗟?人了解和使用，而不是只供少數(shù)人欣賞.模型

6、求解 可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳 統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù).一道實(shí)際問(wèn)題的解決往往需要紛 繁的計(jì)算，許多時(shí)候還得將系統(tǒng)運(yùn)行情況用計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，因此編程和 熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。模型分析對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)分析變量 間的依賴(lài)關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)， 有時(shí)則可能 要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型 對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等.模型檢驗(yàn) 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題， 并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù) 與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性.這一步對(duì)于建模的成

7、敗是非常重要的， 要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來(lái)對(duì)待.當(dāng)然，有些模型如核戰(zhàn)爭(zhēng)模型就不可能要求接受實(shí) 際的檢驗(yàn)了.模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問(wèn)題通常出在模 型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模.有些模型要經(jīng)過(guò)幾次反復(fù)，不斷完 善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿(mǎn)意.模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是咱們討論的范圍。應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過(guò)程都要經(jīng)過(guò)這些步驟， 有時(shí)各步驟之間的界限 也不那么分明建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班 .二、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)我們已經(jīng)知道建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段。數(shù)學(xué)模型有許多優(yōu)點(diǎn)，也有弱點(diǎn)。建模需要相當(dāng)豐富的知識(shí)

8、、經(jīng)驗(yàn)和各方面的能力，同時(shí)應(yīng)注 意掌握分寸下面歸納出數(shù)學(xué)模型的若干特點(diǎn)，以后在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步領(lǐng)會(huì).模型的逼真性和可行性一般說(shuō)來(lái)總是希望模型盡可能逼近研究對(duì)象，但是 一個(gè)非常逼真的模型在數(shù)學(xué)上常常是難于處理的，因而不容易達(dá)到通過(guò)建模對(duì)現(xiàn) 實(shí)對(duì)象進(jìn)行分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制的目的，即實(shí)用上不可行另一方面，越 逼真的模型常常越復(fù)雜，即使數(shù)學(xué)上能處理，這樣的模型應(yīng)用時(shí)所需要的“費(fèi)用” 也相當(dāng)高，而高“費(fèi)用”不一定與復(fù)雜模型取得的“效益”相匹配所以建模時(shí)往往 需要在模型的逼真性與可行性，“費(fèi)用”與“效益”之間做出折衷和抉擇.模型的漸進(jìn)性稍微復(fù)雜一些的實(shí)際問(wèn)題的建模通常不可能一次成功，要經(jīng) 過(guò)上一節(jié)描述的

9、建模過(guò)程的反復(fù)迭代，包括由簡(jiǎn)到繁，也包括刪繁就簡(jiǎn)，以獲得越來(lái)越滿(mǎn)意的模型.在科學(xué)發(fā)展過(guò)程中隨著人們認(rèn)識(shí)和實(shí)踐能力的提高，各門(mén)學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型也存在著一個(gè)不斷完善或者推陳出新的過(guò)程從19世紀(jì)力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等許多學(xué)科由牛頓力學(xué)的模型主宰，到 20世紀(jì)愛(ài)因斯坦相對(duì)論模型 的建立，是模型漸進(jìn)性的明顯例證.模型的強(qiáng)健性 模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)常常是由對(duì)象的信息如觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)確定的， 而觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)是允許有誤差的.一個(gè)好的模型應(yīng)該具有下述意義的強(qiáng)健性： 當(dāng)觀(guān)測(cè) 數(shù)據(jù)（或其他信息）有微小改變時(shí)，模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化，并且一般也應(yīng) 導(dǎo)致模型求解的結(jié)果有微小變化.數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)業(yè)計(jì)劃實(shí)踐部九月制石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息工程學(xué)

10、院模型的可轉(zhuǎn)移性 模型是現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對(duì)象的所 屬領(lǐng)域所獨(dú)有，可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域內(nèi)建模就常 常借用物理領(lǐng)域中的模型模型的這種性質(zhì)顯示了它的應(yīng)用的極端廣泛性.模型的非預(yù)制性 雖然已經(jīng)發(fā)展了許多應(yīng)用廣泛的模型， 但是實(shí)際問(wèn)題是各 種各樣、變化萬(wàn)千的，不可能要求把各種模型做成預(yù)制品供你在建模時(shí)使用。模型的這種非預(yù)制性使得建模本身常常是事先沒(méi)有答案的問(wèn)題 (Ope n end problem).在建立新的模型的過(guò)程中甚至?xí)殡S著新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn) 生.模型的條理性 從建模的角度考慮問(wèn)題可以促使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析更 全面、更深入、更具條理性，這樣

11、即使建立的模型由于種種原因尚未達(dá)到實(shí)用的 程度，對(duì)問(wèn)題的研究也是有利的。模型的技藝性建模的方法與其他一些數(shù)學(xué)方法如方程解法、規(guī)劃解法等是 根本不同的，無(wú)法歸納出若干條普遍適用的建模準(zhǔn)則和技巧有入說(shuō)。建模目前與其是一門(mén)技術(shù)、不如說(shuō)是一種藝術(shù)是技藝性很強(qiáng)的技巧經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞 察力、判斷力以及直覺(jué)、靈感等在建模過(guò)程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知 識(shí)更大.模型的局限性 這里有幾方面的含義.第一，由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論雖然具 有通用性和精確性，但是因?yàn)槟Ｐ褪乾F(xiàn)實(shí)對(duì)象簡(jiǎn)化、理想化的產(chǎn)物，所以一旦將模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，就回到了現(xiàn)實(shí)世界，那些被忽視、簡(jiǎn)化的因素必須考慮，于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對(duì)

12、的和近似的第二，由于人們認(rèn)識(shí)能力和科學(xué)技術(shù)包括數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，還有不少實(shí)際問(wèn)題很難得到有著實(shí) 用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、影響因素眾多、測(cè)量手段不夠完善、數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)業(yè)計(jì)劃實(shí)踐部九月制7石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息工程學(xué)院技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過(guò)程，像生鐵冶煉過(guò)程， 需要開(kāi)發(fā)專(zhuān)家系統(tǒng)，與建立數(shù)學(xué)模型 相結(jié)合才能獲得較滿(mǎn)意的應(yīng)用效果. 專(zhuān)家系統(tǒng)是一種計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)，它總結(jié)專(zhuān) 家的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，模擬人類(lèi)的邏輯思維過(guò)程， 建立若干規(guī)則和推理途徑，主要是 定性地分析各種實(shí)際現(xiàn)象并做出判斷專(zhuān)家系統(tǒng)可以看成計(jì)算機(jī)模擬的新發(fā) 展.第三，還有些領(lǐng)域中的問(wèn)題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段， 如中醫(yī)診斷

13、過(guò)程，目前所謂計(jì)算機(jī)輔助診斷也是屬于總結(jié)著名中醫(yī)的豐富臨床經(jīng) 驗(yàn)的專(zhuān)家系統(tǒng).建模過(guò)程是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、 邏輯思維范疇的能力之外，直覺(jué)和靈感往往也起著不可忽視的作用。 當(dāng)由于各種 限制利用已有知識(shí)難以對(duì)研究對(duì)象做出有效的推理和判斷時(shí)，憑借相似、類(lèi)比、 猜測(cè)、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴(yán)密的，帶啟發(fā)性的直覺(jué)和靈感， 去“戰(zhàn)略性”地認(rèn)識(shí)對(duì)象，是人類(lèi)創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)之一，也是人腦比按程序邏輯 工作的計(jì)算機(jī)、機(jī)器人的高明之處.歷史上不乏在科學(xué)家的直覺(jué)和靈感的火花中 誕生的假說(shuō)、論證和定律.當(dāng)然，直覺(jué)和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有 豐富的背景知識(shí)，對(duì)

14、問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)思考和艱苦探索，對(duì)各種思維方法運(yùn)用嫻熟.相 互討論和思想交鋒，特別是不同專(zhuān)業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺(jué)和靈感的重 要因素.所以由各種專(zhuān)門(mén)人才組成的所謂團(tuán)隊(duì)工作方式(Team work)越來(lái)越受到重視.前面說(shuō)過(guò)，建?？梢钥闯梢婚T(mén)藝術(shù).藝術(shù)在某種意義下是無(wú)法歸納出幾條準(zhǔn) 則或方法的.一名出色的藝術(shù)家需要大量的觀(guān)摩和前輩的指教，更需要親身的實(shí)踐.類(lèi)似地，掌握建模這門(mén)藝術(shù)培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人 做過(guò)的模型，二要親自動(dòng)手，認(rèn)真做幾個(gè)實(shí)際題目.數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)業(yè)計(jì)劃實(shí)踐部九月制10石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息工程學(xué)院三、數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類(lèi)，下面介紹常用的幾種.

15、1. 按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生 態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更 大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù) 學(xué)社會(huì)學(xué)等.2. 按照建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、 微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等.按第一種方法分類(lèi)的數(shù)學(xué)模型教科書(shū)中， 著重于某一專(zhuān)門(mén)領(lǐng)域中用不同方法 建立模型，而按第二種方法分類(lèi)的書(shū)里，是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來(lái) 解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用.在本書(shū)中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù) 學(xué)知識(shí)在各個(gè)不同領(lǐng)域中建模.3

16、. 按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機(jī)性模型取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響.近年來(lái)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，又有所謂突變性模型和模糊性模型.靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型 取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化.線(xiàn)性模型和非線(xiàn)性模型 取決于模型的基本關(guān)系，如微分方程是否是線(xiàn)性的. 離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量（主要是時(shí)間變量）取為離散還是連續(xù) 的.雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題是隨機(jī)性的、動(dòng)態(tài)的、非線(xiàn)性的，但是由于 確定性、靜態(tài)、線(xiàn)性模型容易處理，并且往往可以作為初步的近似來(lái)解決問(wèn)題， 所以建模時(shí)常先考慮確定性、靜態(tài)、線(xiàn)性模型.連續(xù)模型便于利用微積分方法求 解，作理論分析，而離散模型便于在計(jì)算機(jī)上作數(shù)值計(jì)

17、算， 所以用哪種模型要看 具體問(wèn)題而定.在具體的建模過(guò)程中將連續(xù)模型離散化，或?qū)㈦x散變量視作連續(xù)， 也是常采用的方法.4. 按照建模目的分.有描述模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、 控制模型等.5. 按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分.有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型.這是 把研究對(duì)象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān)， 要通過(guò)建模來(lái)揭示它的奧妙.白箱主要包 括用力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問(wèn)題，這方面的模型大多已經(jīng)基本確定， 還需深入研究的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控 制等問(wèn)題了.灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等領(lǐng)域中機(jī)理尚不十分清楚的 現(xiàn)象，在建立和改善模型方面都

18、還不同程度地有許多工作要做.至于黑箱則主要指生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中一些機(jī)理（數(shù)量關(guān)系方面）很不清楚的現(xiàn)象.有些 工程技術(shù)問(wèn)題雖然主要基于物理、化學(xué)原理，但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜和觀(guān)測(cè) 困難等原因也常作為灰箱或黑箱模型處理.當(dāng)然，白、灰、黑之間并沒(méi)有明顯的 界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，箱子的“顏色”必然是逐漸由暗變亮的.6. 按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類(lèi)：生物學(xué)數(shù)學(xué)模型醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型地質(zhì)學(xué)數(shù)學(xué)模型 氣象學(xué)數(shù)學(xué)模型 經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)模型 社會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)模型物理學(xué)數(shù)學(xué)模型化學(xué)數(shù)學(xué)模型天文學(xué)數(shù)學(xué)模型工程學(xué)數(shù)學(xué)模型按是否考慮隨機(jī)因素分類(lèi)：確定性模型隨機(jī)性模型按是否考慮模型的變化分類(lèi)：靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類(lèi)：