圓錐曲線易錯(cuò)題小結(jié)

1、圓錐曲線易錯(cuò)題小結(jié)1求過(guò)點(diǎn)（2，1）且與兩坐標(biāo)所圍成的三角形面積為4的直線方程。錯(cuò)解：設(shè)所求直線方程為。（2，1）在直線上， 又，即ab = 8 ， 由、得a = 4，b = 2。故所求直線方程為x + 2 y = 4 。剖析：本題的“陷阱”是直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的表示。上述解法中，由于對(duì)截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為，而不是ab。故所求直線方程應(yīng)為：x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。2求過(guò)點(diǎn)A（-4，2）且與x軸的交

2、點(diǎn)到（1，0）的距離是5的直線方程。錯(cuò)解：設(shè)直線斜率為k，其方程為y 2 = k（x + 4），則與x軸的交點(diǎn)為（-4-，0），解得k = -。故所求直線的方程為x + 5y 6 = 0 。剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過(guò)A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”。其實(shí)x = - 4也符合題意。3求過(guò)點(diǎn)（1，1）且橫、縱截距相等的直線方程。錯(cuò)解：設(shè)所求方程為，將（1，1）代入得a = 2，從而得所求直線方程為x + y 2 = 0。剖析：上述錯(cuò)解所設(shè)方程為，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實(shí)上，橫、縱截距為0且過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線y = x 也符合條件。4已知圓的方

3、程為x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點(diǎn)為A（1，2），要使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。錯(cuò)解：將圓的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。其圓心坐標(biāo)為C（，1），半徑r 。當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)A可作圓的兩條切線，則 r 。即 。即a2 + a + 9 0，解得aR。剖析：本題的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出 r ，即a2 + a + 9 0，卻忽視了a的另一制約條件4 3 a2 0。事實(shí)上，由a2 + a + 9 0及4 3 a2 0可得a的取值范圍是（）。

4、變式、過(guò)定點(diǎn)（1，2）作兩直線與圓相切，則k的取值范圍是A k>2 B -3<k<2 C k<-3或k>2 D 以上皆不對(duì)解 答：D易錯(cuò)原因：忽略題中方程必須是圓的方程，有些學(xué)生不考慮5、在直角坐標(biāo)系中，方程所表示的曲線為（）A一條直線和一個(gè)圓 B一條線段和一個(gè)圓 C一條直線和半個(gè)圓 D一條線段和半個(gè)圓正確答案：D錯(cuò)因：忽視定義取值。6已知直線L：y = x + b與曲線C：y =有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)線b的取值范圍。錯(cuò)解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 1 = 0。 （ * ） L與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)， = 4b2 8 ( b2 1 ) > 0，解得

5、b剖析：上述解法忽視了方程y =中y 0 ， 1 x 1這一限制條件，得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。事實(shí)上，曲線C和直線L有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程（*）有兩個(gè)不等的非負(fù)實(shí)根。解得1 b 。7等腰三角形頂點(diǎn)是A（4，2），底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B（3，5），求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程。錯(cuò)解：設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x ，y ），依題意有：=，即：= （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即為C點(diǎn)的軌跡方程。這是以A（4，2）為圓心、以為半徑的圓。剖析：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)為三角形三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線，即B、C不能重合，且不能為圓A一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，這正是解題后沒(méi)有對(duì)軌跡進(jìn)行檢驗(yàn)，出現(xiàn)增解，造成

6、的解題錯(cuò)誤。事實(shí)上，C點(diǎn)的坐標(biāo)須滿足，且，故端點(diǎn)C的軌跡方程應(yīng)為（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y1)。它表示以（4，2）為圓心，以為半徑的圓，除去（3，5）（5，-1）兩點(diǎn)。8已知圓，圓都內(nèi)切于動(dòng)圓，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。 錯(cuò)解：圓O2：，即為 所以圓O2的圓心為,半徑, 而圓的圓心為,半徑, 設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r 則且，所以 即，化簡(jiǎn)得即為所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。剖析：上述解法將=3看成,誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。 事實(shí)上，|表示動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)及的距離差為一常數(shù)3。 且,點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右支，方

7、程為9、圓x2 + 2x + y2 + 4y 3 = 0上到直線x + y + 1 = 0的距離等于的點(diǎn)共有（ ）A、1個(gè) B、 2個(gè) C、 3個(gè) D、 4個(gè)分析：這里直線和圓相交，很多同學(xué)受思維定勢(shì)的影響，錯(cuò)誤地認(rèn)為圓在此直線的兩側(cè)各有兩點(diǎn)到直線的距離為，導(dǎo)致錯(cuò)選（ D ）。 事實(shí)上，已知圓的方程為：（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，這是一個(gè)以（-1，-2）為圓心，以2為半徑的圓，圓的圓心到直線x + y + 1 = 0的距離為d=，這樣只需畫出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8和直線x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距離為的平行直線即可。如圖2所

8、示，圖中三個(gè)點(diǎn)A、B、C為所求，故應(yīng)選（C）。10已知正方形ABCD 對(duì)角線AC所在直線方程為 .拋物線過(guò)B，D兩點(diǎn) （1）若正方形中心M為（2，2）時(shí)，求點(diǎn)N(b,c)的軌跡方程。（2）求證方程的兩實(shí)根，滿足解答：（1）設(shè) 因?yàn)?B,D在拋物線上 所以兩式相減得 則代入（1） 得 故點(diǎn)的方程是一條射線。 （2）設(shè) 同上 （1）-（2）得 （1）+（2）得 （3）代入（4）消去得 得 又即的兩根滿足 故。易錯(cuò)原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。11已知雙曲線兩焦點(diǎn)，其中為的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A (-3,2) B (1,2)都在雙曲線上，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；（3

9、）若直線與的軌跡方程有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) t的取值范圍。 解答：（1）由得：，故（2）設(shè)點(diǎn)，則又雙曲線的定義得 又 或 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓除去點(diǎn)或除去點(diǎn) 圖略。（3）聯(lián)列：消去得 整理得： 當(dāng)時(shí) 得 從圖可知：， 又因?yàn)檐壽E除去點(diǎn) 所以當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，即或5 易錯(cuò)原因：（1）非標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)計(jì)算易錯(cuò)；（2）求點(diǎn)的軌跡時(shí)易少一種情況；（3）對(duì)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)誤認(rèn)為方程只有一解。12、已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin+cos=則方程xsinycos=1表示（ ）A 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 B 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 D 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓正確答案：D

10、 錯(cuò)因：學(xué)生不能由sin+cos=判斷角為鈍角。13、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x,y）滿足，則P點(diǎn)的軌跡是 （ ）A、直線 B、拋物線 C、雙曲線 D、橢圓正確答案：A錯(cuò)因：利用圓錐曲線的定義解題，忽視了（1，2）點(diǎn)就在直線3x+4y-11=0上。14，橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率,已知點(diǎn)P（）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。 錯(cuò)解 設(shè)所求橢圓方程為 因?yàn)?，所以a=2b 于是橢圓方程為 設(shè)橢圓上點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)P 的距離為d, 則： 所以當(dāng)時(shí)，有 所以所求橢圓方程為 剖析 由橢圓方程得 由(1)式知是y的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為 上述錯(cuò)解在于沒(méi)有就對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進(jìn)行分類， 其正解應(yīng)

11、對(duì)f(y)=的最值情況進(jìn)行討論： （1）當(dāng)，即時(shí) =7,方程為 （2）當(dāng), 即時(shí)， ，與矛盾。 綜上所述，所求橢圓方程為15已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點(diǎn)，直線過(guò)原點(diǎn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說(shuō)明理由。 錯(cuò)解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、 因?yàn)椋?所以， 又橢圓中心為（1，0）,右準(zhǔn)線方程為x=5， 所以 即，同理 所以 設(shè)直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得 所以 代入(1)式得 所以，所以|有最小值3,無(wú)最大值。 剖析 上述錯(cuò)解過(guò)程忽視了過(guò)原點(diǎn)斜率不存在的直線，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，有 所以有最小值為 3，最大值為25/416、雙曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離為8.5，

12、則點(diǎn)P到點(diǎn)()的距離_。 錯(cuò)解 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, 由雙曲線定義知 所以或 剖析 由題意知，雙曲線左支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為1,所以不合題意，事實(shí)上，在求解此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用雙曲線定義，分析出點(diǎn)P的存在情況，然后再求解。如本題中，因左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9>8.5，故點(diǎn)P只能在右支上，所求17、過(guò)雙曲線x2的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣的直線有_條。錯(cuò)解：2錯(cuò)因：設(shè)代入橢圓的方程算出有兩條，當(dāng)不存在，即直線AB軸時(shí)，AB4，忽視此種情況。正解：318、經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為的弦AB，則的周長(zhǎng)為 。 答案：設(shè)其中，所以，將弦AB的方程代入雙曲線方程，整理得，可求得，故答案為 錯(cuò)解：10 錯(cuò)因：作圖錯(cuò)誤，沒(méi)有考慮傾斜角為的直線與漸近線的關(guān)系，而誤將直線作成與右支有兩交點(diǎn)。19已知雙曲線,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由。 錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)，所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述