2021年中考數(shù)學一輪復習訓練24矩形(解析版)

1、專題24矩形問題領知磁雌1 .矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2 .矩形的性質（1）矩形的四個角都是直角：（2）矩形的對角線平分且相等。3 .矩形判定定理（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形：（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。4 .矩形的面積：S=ab （a、b分別表示矩形的長、寬）例題解析與對點練習【例題1】（2020湘西州）如圖，在平而直角坐標系式勿中，矩形月反力的頂點月在x軸的正半軸上，矩形 的另一個頂點，在y軸的正半軸上，矩形的邊但a, BC=b, ADAO=x,則點。到x軸的距離等于（ ）B acosxrbcosxD. asin

2、廿6sin*A. &cos田bsinxC. asinBAosx【答案】A【解析】作 gy軸于屬 由矩形的性質得出07=四=排AD=BC=b, NADC=90° ,證出NQ?£=N%0= x，由三角函數(shù)定義得出勿=6sinx, DE= acosx,進而得出答案.作£Ly軸于瓦加圖：四邊形.皿是矩形，ACD=AB=a, AD=BC=b, ZADC=9Q<> ,：.CDE-ZADO=W ,VZ/469O° , ：.DA&rADO= ,：.CDE= DAO=x.VsinZZZ4t= cos 4 CDF , ADCD0D= ADX si

3、nZDAO= bsinx, DE=DX cos Z CDE= acosAs 0E= DE-OD= acos 田 bsinx,點。到才軸的距離等于acosBbsinx.【對點練習】（2019貴州省銅仁市）如圖為矩形的，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為4和6,則a+6不可能是（）A. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【答案】C.【解答】一條直線將該矩形即分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內角和都是180°的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個答案，只有630不能被180整除，所以資6不可能是630°

4、; .【例題2】（2020荷澤）如圖，矩形的?中，四=5,月=12,點尸在對角線切上，且»=BA,連接肝并 延長，交加的延長線于點。，連接60，則/的長為.【答案】3g.【解析】根據(jù)矩形的性質可得劭=13,再根據(jù)陽易可得際加8,所以得。0=3,在RtZkB。中，根 據(jù)勾股定理即可得60的長.;矩形板P中，AB=5, AD=12. ZBAD=ZBCD=9Q0 ,：.BD= VAB2 +AD2 =13>：BP=BA=5,：.PD=BD- BP=8,: BA=BP,：.ZBAP= ZBPA= /DPQ,: AB" CD,：.ABAP= ZDQP.：.Z.DPQ= ZDQP.

5、：.DQ=DP=3,：.CQ=DQ- CD=DQ- AB=8 - 5=3.在Rt萬的中，根據(jù)勾股定理，得BQ= BC2 + CQ2 = V153 =3vT7.【對點練習】（2019內蒙古通遼）如圖，在矩形板P中，AD=8,對角線月。與即相交于點0, AEA.BD,垂 足為點£，且熊平分/胡0,則月6的長為.【答案】竽.【解答】.四邊形皿 是矩形：.AO=CO=BO=DO.月£平分/胡0:./BAE= /EAO.且月g =熊，NAEB= /AEO,:AABEgAOE (ASA)：.AO=AB,且月。=仍：.AO=AB=BO=DO.：.BD=2AB,:5+西=所，,64+初=4

6、位 兒)-3【例題3】（2020聊城）如圖，在山崎中，萬為5。的中點，連接四并延長交勿的延長線于點尸，連接小AC,若3月尸，求證：四邊形兩是矩形.【答案】見解析.【解析】根據(jù)平行四邊形的性質得到兩角一邊對應相等，利用44S判定的2尸5從而得到AB=CF； 由已知可得四邊形.W。是平行四邊形，BC=AF,根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形 郎。是矩形.證明：四邊形月附是平行四邊形，：.AB/ CD, AB=CD.:./BAE=/CFE,ABE= 4FCE, "為6。的中點，：.EB=EC.，松修"（也IS）,：.AB=CF.、：ABH CF, 四邊形麗是平行四邊形

7、， : BC=AF,.四邊形的"。是矩形.【對點練習】（2019湖北省鄂州市）如圖，矩形雙7?中，AB=8,/?=6,點。是對角線切的中點，過點。 的直線分別交相、邊于點及F.(1)求證：四邊形應防是平行四邊形:(2)當龐 =8時，求瓦7的長.【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)矩形的性質得至"跖，由平行線的性質得到N加gN皈，根據(jù)全等三角形的性質得到加" =阻于是得到四邊形血尸是平行四邊形：推出四邊形6的是菱形，得到*跖EFLBD, OE=OF,設 但x.則DE=BE=8 - x根據(jù)勾股定理即可得到結論.(1)證明：四邊形的?是矩形，：.AB/CD.：.4 DFO= /

8、BEO、又因為N0"=NS應；OD=OB.:,D024B0E (月$0,：.DF=BE.又因為DFBE, 四邊形幽尸是平行四邊形：(2)解：*)；四邊形即下是平行四邊形四邊形幽尸是菱形，：.DE=BE. EFLBD, 0E=0F, 設 AE=x,貝 I DE= BE=8 - x在斤亡女中，根據(jù)勾股定理，有痣-疝=渡，d+6'= （8 - x） 解之得：尸二，4.應=8-工=空.44任RtAABD中,根據(jù)勾股定理，有超-而=而,762 + 82=10,A OD BD=3,2住RtADOE中,根據(jù)勾股定理，有/ - OD = OE.：.EF=20E=.2專題點強化訓練一、選擇題L

9、 （2020懷化）在矩形的?中，AC.加相交于點0,若月第的面積為2,則矩形皿的面積為（）A. 4【答案】CB. 6C. 8D. 10【解析】根據(jù)矩形的性質得到勿=如=%=如 推出S3=S3=5-=S3=2,即可求出矩形，曲的面積.四邊形皿是矩形，對角線月。、切相交于點0,：.AC=BD.豆 0A=0B=OC=0D,SKV= 5a«?= S'皿=2 ,.矩形板P的面積為42,皿=8,2. （2020達州）如圖，/BOD=A5： 50=刈，點、A住05上,四邊形物力是矩形，連接月。、初交于點月 連接更交助于點凡下列4個判斷：比平分/反切：OF= BD：的技驚：若點G是線段）的中

10、 點，則血為等腰直角三角形.正確判斷的個數(shù)是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】由矩形得比加瓦1, N員切為直角，再由等腰三角形的三線合一性質可判斷的正誤：證明 月*初,便可判斷的正誤；連接愿 由線段的垂直平分線得加一好,由前面的三角形全等得心9 進而便可判斷的正誤；由直角三角形斜邊上的中線定理得月6=宓，進而求得N4您 =45° ,由矩形性質得 ED= EA,進而得N£切=22.5° ,再得N瓦k7=90° ,便可判斷的正誤.四邊形月比P是矩形，:.EB=ED,：BO=DO,：.OEN分/BOD、 故正確:四邊形月反力是矩形，：.OA

11、D= Z.BAD=W ,：.ZABD-ZADB=90<> ,： OB=OD, BE=DE.：.OELBD.工 NB0EM0BE=9T ,BOE= NBDA,N&P=45° , ZO4P=90° ,：.ADO=A ,：.AO=AD.：.AOF/ABD，OF=BD,故正確：；Aaof/abd.:AF=AB,連接不如圖1,：.BF= y2 AF,: BE=DE, OELBD.：.DF=BF.：.DF=五AF,故正確：根據(jù)題意作出圖形，如圖2,G是 8的中點，Z0=90° , AG 0G,：.NA0G=/0AG,V ZAOD=45° ,萬平分

12、/月勿.A ZAOG=ZOAG=22. 5° ,，NG=67.5° , ZADB= ZAOF=22.o" ,四邊形的?是矩形，:EA=ED,：.EAD= Z.EDA=22. 5" ,：.ZEAG=9Q ,V ZAGE= ZAOGrZOAG=45" ,，NJ5G=45° ,：.AE=AG.，飯；為等腰直角三ffj形, 故正確;故選：A.3. (2019廣東廣州)如圖，矩形相以?中，對角線月。的垂直平分線及7分別交SC AV于點、E,尸，若殮=3,臚=5,則月。的長為()A. 4石【答案】AB.，的C. 10D. 8【解析】連接月E由線段

13、垂直平分線的性質得出/=公AE=CE,證明月冉，比得出月F=35, 得出公一四=5, BC=BACE=8,由勾股定理求出一=Jae2-BE2一 L與由勾股定理求出月C即可.連接拈如圖：;斯是月0的垂直平分線,：.OA=OC, AE=CE>四邊形的力是矩形，.Z5=90° , AD/BC.：.OAF= AOCE.'ZA0F=ZC0E在和初中-OA=OC/OAF=/0CEJ.AOFCOE (ASA),:AF=CE=5,:AE=CE=5, BC=BE-CE=3+5 = K,但 Jae2-BE-Vs2-32 1',，,jVaB2+BC2 " + 8、75；故選

14、：A.4. （2019山東泰安）如圖，矩形的力中，AB=4, AD=2,七為月6的中點，尸為上一動點，P為DF中點，連接依，則用的最小值是（）C. V2D. 2亞【答案】D【解析】根據(jù)中位線定理可得出點點尸的運動軌跡是線段再根據(jù)垂線段最短可得當班時，收取 得最小值；由矩形的性質以及已知的數(shù)據(jù)即可知配_LA2,故爐的最小值為質的長，由勾股定理求解即 可.如圖:當點尸與點。重合時，點尸在只處，CP產(chǎn)DP、,當點尸與點6重合時，點尸在月處，EP：=DP：,絲且公尺=工紡2當點尸在左上除點。、萬的位置處時，有DP=FP由中位線定理可知：P.P/CE11 P.P=CF，點P的運動軌跡是線段月2，當皿AA

15、時，所取得最小值;矩形月灰刀中，月5=4, AD=2. £為月5的中點，儂、XADE、員H為等腰直角三角形，6 = 2: NADE= /CDE= /CP,B=45° , N應C=90°，/旌H=90°，/加2=45°，N2A6=90° ,即跖，A2，.明的最小值為能的長在等腰直角成H中，CP.=BC=2 ，元=26，用的最小值是2725. （2019湖北荊州）如圖，矩形池Q的頂點月，6,。分別落在NMQV的邊。從QV上，若"=",要求只 用無刻度的直尺作NM2V的平分線.小明的作法如下：連接月G切交于點片作射線應；

16、則射線龐平分N MON.有以下幾條幾何性質：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線互相平分，等腰三角形的“三線 合一”.小明的作法依據(jù)是（ ）A. ®B. ®C.D.【答案】C【解析】四邊形皿為矩形，：.AE=CE.而 OA=OC,紀為N月X的平分線.二、填空題6. （2020紹興）將兩條鄰邊長分別為e，1的矩形紙片剪成四個等腰三角形紙片（無余紙片），各種剪法剪 出的等腰三角形中，其中一個等腰三角形的腰長可以是下列數(shù)中的 （填序號）.揚1,魚-1,贈， V3.【答案】.【解析】首先作出圖形，再根據(jù)矩形的性質和等腰三角形的判定即可求解.如圖所示:42-1則其中一個等腰三角形的腰長

17、可以是歷，1,歷一1, 吟 不可以是遍.7. （2020瀘州）如圖，在矩形中，E,尸分別為邊月6,月的中點，BF與EC、瓦?分別交于點M M已 知月5=4, BC=6,則MV的長為.【解析】: 【分析】延長 綏、加交于0,延長班和S 交于肌根據(jù)勾股定理求出班 根據(jù)矩形的性質求出也?，根 據(jù)全等三角形的性質得出AQ=BG AB= CW,根據(jù)相似三角形的判定得出QJ折雙胡*公。，根 據(jù)相似三角形的性質得出比例式，求出AV和aP的長，即可得出答案.【解析】延長依久交于。，如圖1,丁四邊形的?是矩形，BC=6,：.ZBAD=90" , AD=BC=6. AD/BC尸為月中點，:.AF=DF=

18、3,在 RtZkE”7中，由勾股定理得：BF= 'AB2 + AF2 = V42 + 32 =5,AD/BC.，/Q= 4ECB,YE為45的中點，AB=4,:AE=BE=2,在。比和談中ZQEA = NBECNQ = ZECBAE = BE:.QAEACBE （朋S）,：.AQ=BC=6,即即 =6+3 = 9,°： AD BC,：.4QMFs4CMB, FM _ QF _ 9 = = -9BM BC 6 : BF=5,：.B）f=2,尸/=3,延長身和。交于祇如圖2,同理熊=仁4, 0F=8, BF=Fm5, AB/ CD,，囪萬s 傷.BN BE .=,NF DW. B

19、N 2 = 一,5-BAT+S 4解得：母三孩，io4：.N=BN- B'U 2=- 338. （2020黔東南州）如圖，矩形月6Q?中，AB=2, SC=五，萬為8的中點，連接熊、劭交于點只過點P作尸QL5C于點、Q,貝1尸。=.【解析】（【分析】根據(jù)矩形的性質得到助 8, AB=CD, AD=BC, N房山=90° ,根據(jù)線段中點的定義得到由：GA為8根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論.【解析】:四邊形皿是矩形，：.AB/CD. AB=CD. AD=BC, £BAD=W ,；E為Q?的中點，：.DE= CD=觸 22:AABPAEDP,.AB _ PB -&quo

20、t; = DE PD 2 PB 一 =一， 1 PD.PB _ 2 =一,BD 3 : PQLBC,：.PQ/CD.，方匕灰；.PQ _ BP _ 2 = =, CD BD 3 / CD=2,：.PQ=- 3（添加一個條9. （2019湖南婁底）如圖，要使平行四邊形ABCD是矩形，則應添加的條件是 件即可）.【答案】乙步G90°或AC=BD.【解析】根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形； 故添加條件：ZABC=90"或AC=BD.故答案為：Z.ABOW或AC=BD.10. （2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，矩形雙7?中，AB=4

21、,6,點?是矩形相內一動點，且S=-Sg則尸。+a?的最小值是.2【答案】4".【解析】結個已知條件，限據(jù)S”=L S .eU判斷出點P在平行于AB,bAB的距離為2、與CD的:： 24的直線上，再根據(jù)“將軍飲馬問題”的解法解之即可.過點P作直線1AB,作點D關于直線1的對稱點口,連接CD：, .矩形 3?中，相=4,歐=6, CD=4,DDm8,在RtZMZDD,中，由勾股定理得CDk4",，尸。+也的最小值是4".11. （2019貴州省安順市）如圖，在Rt嫉中，ZBAC=9Q° , AB=3. AC=4,點。為斜邊天上的一個 動點，過分別作歸_四于

22、點M作口月。于點出 連接加；則線段照的最小值為D【解析】連接辦 即可證明四邊形兒血丫是矩形：由矩形小01,得出心一月"再由三角形的面積關系求出相 的最小值，即可得出結果.連接出?，如圖所示：DM LAB. DNLAC. ：. Z.AMD= ZAZ7=90" , 又次1C=9O° , 四邊形山似,是矩形：9： ZBAC= 90" , AB=3, AC=4, ：.BC=5, 當月DISC時，曲最短，此時血的面枳=1叱/?= 1協(xié)水; 22 mii A8.AC 12 AD的取小值=一，BC 5.Y段3的最小值為經(jīng)12. （2019湖北省咸寧市）如圖，先有一張矩

23、形紙片月反刀，月5=4, BC=8,點M N分別在矩形的邊必BC 上，將矩形紙片沿直線必.折疊，使點。落在矩形的邊相上，記為點尸，點。落在G處，連接尸0,交必守 點0，連接G7.下列結論：。=8 四邊形G肥V是菱形:尸,月重合時，MV=2«：的面積S的取值范闈是3WSW5.其中正確的是（把正確結論的序號都填上）.【答案】.【解析】先判斷出四邊形。7）宏是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質可得CV= A凡然后根據(jù)鄰邊相等的平行四 邊形是菱形證明，判斷出正確：假設。kS 得斤e留gZkC。進而得N%N久仁N&P=30° , 這個不一定成立，判斷錯誤；點尸與點月重合時，設氏V=

24、k表示出鄧一AC=8-x,利用勾股定理列出方 程求解得x的值，進而用勾股定理求得必；判斷出正確；當MV過。點時，求得四邊形Gg的最小而積， 進而得S的最小值，當尸與月重合時，S的值最大，求得最大值便可.如圖1,: PY" C,：.£PMN=V Z.tnr= ：. PMN= PNM. :.PM=PN,9：NC=NP. ：.PM= CN,: MP" CN,，四邊形GE”是平行四邊形， CV=AH .四邊形是菱形，故正確；ABCP=MCP.，/J3=N，= 90 ° ,: CP=CP,若 CQ= CD,則 RtX CMg CMD,：.ZDC)f= ZQClf=

25、 ZBCP=30Q ,這個不一定成立，故錯誤；點產(chǎn)與點片重合時，如圖2,設 EV=m 則加-Ar=8-x,在斤士四V中，即443=(8-x) 3,解得*=3,"'.=8-3=5, /aB2+BC2=W5, CQ方02遙， 郎他卜產(chǎn)依2二遙,MV=2QV=2匹故正確：當MV過點。時,如圖3,此時，G.最短，四邊形解v的面枳最小.則s最小為s=為菱皿網(wǎng)二義小4二小 當尸點。A點重合時，G最長，四邊形QKV-的面枳最大，則S最大為S=-X 5X 4=5， .4Wg5,故錯誤.故答案為：.13. （2019 貴州貴陽）如圖，在矩形3?中，AB=4, Ng=30° ,點尸是對

26、角線月。上的一個動點，連 接",以才為斜邊作/段=30°的直角三角形應冗使點萬和點4位于。尸兩側，點尸從點看到點。的運 動過程中，點萬的運動路徑長是.【答案】竽.【解析】萬的運動路徑是四的長;VJ5=4, ZPC4=30a ,RL入可 DI" »3當尸與月點重合時,在斤中，砂=生巨，£DA£ =30" , /血=60° ,3:.定=3匣，4CDE =30：3當尸與。重合時，NEDC=60：/EDE =9y,N血=30° ,在斤亡血中，EE =蚪立314. （2019山東濰坊）如圖，在矩形型7?中，AD=2

27、.將/月向內翻折，點月落在6。上，記為H ,折痕為DE.若將N6沿&T向內期折，點6恰好落在龍上，記為£ ,則月3=【答案】V3【解析】利用矩形的性質，證明/祖/=/4>=/4= 30° , NC=N/E，=90° ,推出函月'9DCA , CD=B D,設月5=ar=x,在斤匕血£中，通過勾股定理可求出的長度.四邊形皿為矩形，A ZADC= ZC= Z5=90" , AB=DC,由翻折知，4AE2XS ED, 比“月6£ /A B E= 48=B g900 ,：./AED=/£ ED, 46 EB=

28、46 EB , BE=B E,A Z.AED= Z/ ED= A A EB=X 180° =60° ， 3：.£ADE=W - N的=30° , N/龐 =90° -/歷=30° ,ADE= Z/ DE= Z/ DC=3Q",又NG=N/Eg90° , %'=%',:ZB A W4DCA (AAS),:.dbdB在萬亡?!&?中,NADE=3Q° , AD=2,AE=2 2V32酒 &A5=DC=x, BE= E=x- 3：aE+a/=dE、2+o2（4. 2V、：33解得

29、，*=（負值舍去）» -v：=VsJ15. （2019北京市）在矩形ABCD中，M, N, P, Q分別為邊AB, BC, CD, DA上的點（不與端點重合）.對于 任意矩形ABCD,下面四個結論中， 存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形: 存在無數(shù)個四邊形MXPQ是矩形;存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形:至少存在一個四邊形MXPQ是正方形.所有正確結論的序號是.【答案】【解析】如圖，0為矩形ABCD對角線的交點,圖H6T圖中任過點。的兩條線段PM, QN,則四邊形MXPQ是平行四邊形：顯然有無數(shù)個.本結論正確.圖中任過點。的兩條相等的線段PM. QX，則四邊形MNPQ是矩形：顯然有無

30、數(shù)個.本結論正確.圖中任過點。的兩條垂直的線段PM, Q,則四邊形MNPQ是菱形：顯然有無數(shù)個.本結論正確.圖中過點0的兩條相等且垂直的線段PM, QN,則四邊形MNPQ是正方形：顯然有一個.本結論錯誤.故填：®.三、解答題16. (2020蘇州)如圖，在矩形相中，5是6。的中點，DFLAE,垂足為尸.(1)求證：鹿S勿叫(2)若AB=6, BC=49求方的長.【解析】見解析?！痉治觥浚?）由矩形性質得出?6G進而由平行線的性質得/=/晰 再根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似；（2）由£是理的中點，求得比，再由勾股定理求得小 再由相似三角形的比例線段求得加【解析】（1） 四邊

31、形皿是矩形，：.AD/BC, Z5=90° , NDAF= ZAEB,: DFLAE,工 NAFD=/B=90' ,：4ADFs4EAB,:叢ABEsDFA：（2）二萬是5。的中點，BC=4,：.BE=2,V/i5=6,：.AE= >/AB2 + BE2 =后 + 22 = 2、時 四邊形的是矩形，：.AD=BC=y ： AABEsDFA,.AB _AE *DF 石 .DF =空"=隼=&同AE 2vl0 517. （2020貴陽）如圖，四邊形物力是矩形，萬是方。邊上一點，點尸在萬。的延長線上，且 g跖（1）求證：四邊形月國是平行四邊形：（2）連接切，若N月初=90° ,月5=4, BE=2,求四邊形月瓦叨的面積.【解析】見解析?！痉治觥浚?）先根據(jù)矩形的性質得到四芯AD=BC.然后證明/=岳可