2.第二章群論自測(cè)練習(xí)

1、第二章群論自測(cè)練習(xí)一、概念解釋1 .置換 2.群的方程定義3群的公理化定義4.群的階 5.循環(huán)群 6.群的指數(shù)二、判斷題2 .對(duì)于群G的任意兩個(gè)元a,b來(lái)說(shuō)，方程ax = b和 ya=b都在G中有解。3 .任何一個(gè)子群都同一個(gè)變換群同構(gòu)。4 .設(shè)Hi , H2均為群G的子群，則Hi = H2也為G的子群。（）5 .群G的不變子群N的不變子群 M未必是G的不變子群。（）（1 2 3 4）5.S4的置換冗=是一個(gè)4循環(huán)置換。必 1 4 3J6.群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。三、選擇題1 .下面是交換半群，但不是群的是（）。、 ， 一、_， * 、A. （N,+）B. （Q,+）C.（Z,+

2、）,其中是非零整數(shù)集合D. （C+）2 .設(shè)e是群G的單位元，a,b是G的兩個(gè)元素，則（）。A. （ab），= a"b/B. （ab）2 = a'b2 C.若 a2 =e,則 a = a/D. ab = ba3 .精確到同構(gòu)，4階群有（）個(gè)。A. 1 B. 2 C. 3 D. 44 .以下結(jié)論正確的是（）。A.全體非零整數(shù)對(duì)普通乘法作成一個(gè)群B.全體奇數(shù)對(duì)普通加法作成一個(gè)群C.實(shí)數(shù)域上全體n階矩陣對(duì)普通乘法作成一個(gè)群D.、實(shí)數(shù)域上行列式等于 1的全體n階矩陣對(duì)普通乘法作成一個(gè)群5 .若H, K分別是群G的2011階，2012階子群，則H 口 K是群G的（）。A.1階子群B.2

3、011階子群C.2012階子群D.2011父2012階子群6 .以下結(jié)論正確的是（）。A.無(wú)限群中除了單位元外其余元的階都是無(wú)限B.無(wú)限群中至少有一個(gè)無(wú)限階元C.有限群中階大于2的元的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)D.有限群中兩個(gè)有限階元的乘積可能是無(wú)限階元7 .在4次對(duì)稱(chēng)群S4中，階等于2的元的個(gè)數(shù)是（）。A. 2B. 3 C.6D.98 .設(shè)N是群G的不變子群，以下結(jié)論不正確的是（）。A若G是交換群，則 G/N是交換群 B、若G是非交換群，則 G/N是非交換群C、若G是循環(huán)群，則G/N是循環(huán)群D、若G中元的階都有限，則G/N中元的階都有限四、填空題1 .設(shè)群G中元素a的階為m ,如果an = e,那么m與

4、n存在整除關(guān)系為。2 .凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè) 同構(gòu)。3 .設(shè)G = （a）是循環(huán)群，則 G與整數(shù)加群同構(gòu)的一個(gè)充要條件是 。4 .設(shè)Z是整數(shù)加群，2Z =2n | n w Z是Z的子群，則商群Z/2Z的階是。5 .模12的剩余類(lèi)加群Z12到模18的剩余類(lèi)加群Z18的同態(tài)映射有 個(gè)。6 . p（p是素?cái)?shù)）階群的子群有 個(gè)。7 .在全體非零復(fù)數(shù)對(duì)普通乘法作成的群C*中，由一1+"”生成的子群的所有元素28 .若N是4次對(duì)下群S4的12階子群，則商群S4/N的階是。9 .在同構(gòu)的意義下，p（p是素?cái)?shù)）階群共有 個(gè)。0 -1 |10 .在實(shí)數(shù)域上全體 2階可逆矩陣對(duì)普通乘法作成的群

5、中，由A=|生成的子群的所：1。一有兀素是。11 .模12的剩余類(lèi)加群Z12的單位元是.12 .已知群G中元素a的階為6,則a4的階等干 .13 .整數(shù)加群Z的所有生成元是.14 . n次對(duì)稱(chēng)群Sn的階星.五、計(jì)算題1.設(shè)G是由有理數(shù)域上全體2階滿(mǎn)秩方陣對(duì)方陣普通乘法作成的群，試求G中下列各元素0的階：a =ab.12342.設(shè)仃S S6 ,其中CT =2 5416'2)1)將仃分解成不相連循環(huán)置換的乘積;2)求仃的階;-1 一23)求。及仃。3.設(shè)9次置換仃='1234569376187 8 9、9 4 2,(1)將仃表成互不相交的輪換乘積;(2)將仃表示成形式為對(duì)換的乘積;

6、(3)求出仃的逆與的階。六、解答與證明題1 .請(qǐng)舉一個(gè)幺半群其中有一個(gè)元素的左逆元不一定是右逆元，右逆元也不一定是左逆元。2 .設(shè)G是由以下四個(gè)二階方陣作成的集合0、1b =1；<00、1,c =-1；2-1?-11J，證明：G對(duì)方陣的普通乘法作成一個(gè)交換群，并給出乘法表。3 .假設(shè)G是2n階群，則G包含有2階元素；如果n是奇數(shù)并且G是Abel群，則G只有 一個(gè)2階元素。證明4 .實(shí)數(shù)集R,對(duì)運(yùn)算a 0b = 2(a+b)能否作成群，并說(shuō)明理由。5 .設(shè)G= (a)是循環(huán)群，證明：當(dāng) a =n時(shí)，G= (a)與n次單位根群同構(gòu)。6 .設(shè)G是整數(shù)環(huán)Z上行列式等于1或-1的全體n階方陣作成集

7、合，證明：對(duì)于方陣的普通 乘法G作成一個(gè)群。7 .設(shè)R是一個(gè)有單位元1的環(huán)，a,bWR,證明：如果1十a(chǎn)b在R中有逆元，則1 + ba在R中也有逆元。8 .設(shè)R2為所有實(shí)數(shù)對(duì)(x, y)作成的集合，對(duì)運(yùn)算 (a,b) °(c,d) = (a + c,b d) , R2能否構(gòu) 成群，說(shuō)明理由。9 .令G= (e, a, b且G有如下乘法：證明：G對(duì)此乘法作成一個(gè)群。10 .非零實(shí)數(shù)集R對(duì)運(yùn)算a *b = ab能否作成群，說(shuō)明理由。11 .實(shí)數(shù)集R,對(duì)運(yùn)算a 'b =2(a+b)能否作成群，并說(shuō)明理由。一 ，一 一、212 .證明：在群G中只有單位兀滿(mǎn)足方程 x =x。13 .設(shè)

8、G是一個(gè)階大于1的群，證明：若 G中除單位元外其余元素的階都相同，則這個(gè)相 同的階不是無(wú)限就是一個(gè)素?cái)?shù)。14 .證明：任何群都不能是兩個(gè)非平凡子群的并。15 .兩個(gè)子群的乘積不-一定是子群。16 .證明：群G是有限群當(dāng)且僅當(dāng) G只有有限個(gè)子群。17 .試舉出滿(mǎn)足以下條件的群：1) G是無(wú)限群，除單位元外，每個(gè)元素的階都無(wú)限。2) G是無(wú)限群，G中除單位元外，既有有限階元素，也有無(wú)限階元素。18 .證明：在任意群G中，a與cac(a,cWG)同階。19 .假定群G的階為n,且G =(a).證明：G = (ar),這里(r,n) = 1.20 .一個(gè)群G的可以寫(xiě)成a'bab形式的元叫做換位

9、子，證明：(1)所有有限個(gè)換位子的乘積組成的集合C是G的一個(gè)不變子群，稱(chēng)為G的導(dǎo)群或換位子群；(2) G/C是交換群；(3)若N是G的一個(gè)不變子群，并且G/N是交換群，那么NnC .21 .假定是一個(gè)群 G的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且對(duì)于 G的任意三個(gè)元 a, x, y來(lái)說(shuō)，有 axay = xy。證明：與G的單位元e等價(jià)的元所作成的集合是 G的一個(gè)子群。22 .設(shè)循環(huán)群G =(a)是可換群.23 .設(shè)G是一個(gè)階大于1的群，證明：G只有平凡子群當(dāng)且僅當(dāng) G為素?cái)?shù)階循環(huán)群。24 .假定群G的不變子群N的階是2,證明:G的中心C(G)包含N.25 .假定G和G是兩個(gè)群，并且邛是G到G的同態(tài)滿(mǎn)射。(1

10、) .證明ker中是群G的正規(guī)子群；(2). 證明甲是同構(gòu)映射當(dāng)且僅當(dāng) ker邛=e。26 .證明：階是pm的群G 一定包含一個(gè)階是 p的子群，其中mZ+, p是素?cái)?shù).27 .設(shè)G= (a)是循環(huán)群，證明：當(dāng) a =8時(shí)，G= (a)與整數(shù)加群同構(gòu)。28 .整數(shù)加群Z是否與偶數(shù)加群2Z同態(tài)？整數(shù)環(huán)Z是否與偶數(shù)環(huán)2Z同態(tài)？請(qǐng)簡(jiǎn) 要陳述理由.29 .設(shè)N MG ,證明：N < G的充要條件是 N的任意兩個(gè)左陪集的乘積是左陪集。30 .設(shè)H ,K是群G的子群，證明：H : H cK <G : K;(2)當(dāng)G : K有限時(shí)，則H : H c K =G : K當(dāng)且僅當(dāng)G = HK。31.設(shè)f

11、是群G到群G的同態(tài)滿(mǎn)射,NG, N = f,(N),證明：GN 三自測(cè)練習(xí)參考答案 一、概念解釋參見(jiàn)課本二、判斷題1. V,23,3. X ,4V, 5. X , 6. X三、選擇題1.(A ) 2.(C ) 3.(B ) 4.(D )四、填空題11. ab 2. 變換群 3. | a| = g 4. 2 5. 65. (A )6.(C)7.(D) 8. (B )(2-1、. 3i6. 2 7.1, , ,=-8. 29. 10 -1 ： 17 0010. 4 0 j " -i1 1-1110I I 1 11.0 12. 3 13. 1,-1 14. n!0|tO 1五、計(jì)算題一10

12、、1.G的單位元為e=a<0 V0 1(ab)n0、21-11、又b =1) U 0Jb30、L1 1、ab =對(duì)任意白勺整數(shù)n<0 11<0即a的階為4, b的階為3, ab的階為無(wú)限21二=c-=(143)(265)2. 1)仃=(134)(256) ; 2 )仃的階為 3; 3)仃口 =(143)(265)3. ( 1 )仃=(15)(2379)(468),( 2 )仃=(15)(29)(27)(23)(48)(46)( 3 )仃=(15)(9732)(864),|。|=12。六、解答與證明題1 .設(shè)A是正整數(shù)集合，M=f|f:A|4A,則M是一個(gè)幺半群。做變換f (n

13、) =n+1,Vn w A , f 是一個(gè)單射但不是滿(mǎn)射，g(1) = 1,g(n) = n 1,n 之 2, Vnw A, g是一個(gè)滿(mǎn)射但不是單射，并且有g(shù)f =不但是fg #1A,則g是f的左逆元不是右逆元，同樣f是g的右逆元不是左逆元。2 .由題設(shè)可列乘法表:a b c d由此表可知：方陣普通乘法是 G的代表運(yùn)算，a是G的單位元，又由于對(duì)角線(xiàn)位置上的元素相等，故乘法可以交換，且每個(gè)元素 G中都有逆元，結(jié)合率顯然成立。故G對(duì)方陣普通 乘法作成一個(gè)交換群。3. (1)由于G是一個(gè)偶數(shù)階群，則 G中階等于2的元素的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以群 G包含一定有2階元素；(2)假設(shè)G有兩個(gè)不同的2階元素a

14、,b,又由于G是Abel群，則易知e, a,b, ab是G的一個(gè)4階子群，于是由Lagrange定理知，4 | 2n ,進(jìn)而2 | n ,但這于n是奇數(shù)矛盾，所以 G只有一個(gè)2階元素。4.R不能作成群，因?yàn)?R對(duì)所給運(yùn)算來(lái)說(shuō)沒(méi)有單位元。若R有單位元x,則由于0W R,由所給運(yùn)算有：x°0=2(x+0)=2(1+0)=2#0,即單位元x = 0,而1乞R,但1 °0 =2(1 +0) = 2 00 ,這與x = 0是單位元矛盾。5.設(shè)a w G = (a)的階為n ,則易看出映射 中：am t em是G= (a)到n次單位根群(e) =1,e,e2,en, (e為n次原根)的

15、一個(gè)同構(gòu)映射，故 G=(a)三(e)。6 .G顯然非空，又任取 A, BW G ,則A = ±1, B = ±1 ,于是AB是整數(shù)方陣，且AB = A，B = ±1,故AB w G ,即G對(duì)乘法封閉。結(jié)合律顯然成立，且E是G單位元。又設(shè)AG,由于A(yíng)是整數(shù)方陣，故 A的伴隨矩陣 A也是整數(shù)方陣；又A =±1,故A。=工慶* = ±A",即A也是整數(shù)方陣，即G中每一個(gè)元在 G中都有逆 A元，從而證得 G作成一個(gè)群。7 .令 c 是 1+ab 的逆元，則有：c (1+ab) =(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=0,于

16、是有： (1-bca ) (1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-bc-1+cab a=1 同理有：(1+ba) (1-bca)=1.即 1-bca是1+ba的逆元。8 . R2不能作成群，因?yàn)樗o運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律，例：取 a = (0,0),b=(0,0), c=(0,1)則 a (b c) =(0,0) (0,-1) =(0,1)(a b) c = (0,0) (0,1) = (0,-1)a '(b *c) #(a "b) "c 即結(jié)合律不成立，不能作成群。9 .G對(duì)此乘法作成一個(gè)群。1、證：由乘法表可知，G對(duì)所給乘法封閉，e是單位元，又e=e, a=b

17、, b'=a,即每個(gè)元素在 G中都有逆元，因此要證 G是一個(gè)群，只要再證結(jié)合律 成立即可。任取 x, y w G ,貝U顯然有： e(xy) = x(ey) = xy = x(ye)(xx)x = x(xx)其次令x, y w a,b,且x # y ,則由乘法表知： xx = y, yy = x, xy = yx = e,可知結(jié)合 律成立。10 .非零實(shí)數(shù)集R對(duì)運(yùn)算a0b = ab不能作成群。因?yàn)?,-1 w R ,但方程1 'x = 1 ,即x = -1在R中無(wú)解，由群的定義知 R對(duì)所給代數(shù)運(yùn)算，不能作成群。11 .R不能作成群，因?yàn)?R對(duì)所給運(yùn)算來(lái)說(shuō)沒(méi)有單位元。若R有單位元

18、x,則由于0W R,由所給運(yùn)算有：x*0=2(x+0)=2(1+0)=2¥0,即單位元x = 0,而1正R,但1 °0 =2(1 +0) = 2。0 ,這與x = 0是單位元矛盾。12 .設(shè)e是群G的單位元，則e顯然滿(mǎn)足方程另外設(shè) a= G,且a2 =a ,則有a,a2 =aa 即a=e,即只有e滿(mǎn)足方程x2 = x。13 .若G中除單位元外其余元素的階均是無(wú)限，則結(jié)論已對(duì)；若 G中非單位元素的階都 n , 若n是合數(shù)，即n =n1n2 , n1A1, n2 >1 ,則G中任意的元素a ,有| an1尸1# n ,這與 易知矛盾，所以n必是素?cái)?shù)。14 .假設(shè)群G是兩個(gè)

19、非平凡子群 H , K的并，即G = H2K。由于H,K是G是兩個(gè)非平凡子群，故有a,bG ,使得b更H ,a盤(pán)K ,又由于G = H = K ,所以有a H ,b K ,又 因?yàn)閍bG = H = K ,故必有ab三H , ab K。若abH ,則由于H是G是子群，故 b=a(ab)w H矛盾，若abwK ,則由于K是G是子群，故a = (ab)b,w K矛盾，因此15 . S3 =(1),(12),(13),(23), (123),(132) , H =(1),(12), K =(1),(13),則HK = ( 1 ) , ( 1 2,當(dāng)然不可能是S3的子群，因?yàn)?132),= (123)

20、正HK。16 .群G是有限群當(dāng)且僅當(dāng) G只有有限個(gè)子群。證明：若群G是有限群，則 G的子集的個(gè)數(shù)是有限的，從而其子群的個(gè)數(shù)當(dāng)然是有限的； 反之，G只有有限個(gè)子群，則G中顯然不能有無(wú)限階元素，因?yàn)闊o(wú)限循環(huán)群有無(wú)限個(gè)子群，這樣G中每個(gè)元素的階都是有限的，任取a1 w G ,則(a1)是G的一個(gè)有限子群，再取a2 wG (a1)，于是(a?)又是G的一個(gè)異于(a1)有限子群，但 G只有有限子群，故這種過(guò)s程不能無(wú)限地持續(xù)下去，從而存在正整數(shù)s ,使得G =|lai ,而每個(gè)(ai)都是有限的，于是群G是有限群。1.1 1 )如整數(shù)加群 G除單位元。外，每個(gè)元的階都無(wú)限。2)如：全體非零有理數(shù)對(duì)普通乘

21、法作成一個(gè)群，滿(mǎn)足題設(shè)條件，除單位元1的階是1外，-1的階是2,而其余各元素的階都是無(wú)限。18 .設(shè) an =e, (cac,)" =ca"c，= e,反之若(cac,)“=3,有 canc=ean = e即a與cac，有相同的階。19 .因(r, n) =1,故存在整數(shù)s、t,使得rs + nt = 1,這樣Vam w G ,有mmrs:mntr ms n mtr msrr、a =a =(a) (a ) =(a),故a是G的一個(gè)生成兀，從而G = (a ).20 . (1) 由于e = e'e,ee, ew c ； C的兩個(gè)元的乘積仍是有限個(gè)換位子的乘積 ，因而仍

22、 是C的一個(gè)元；一個(gè)換位子的逆仍是一個(gè)換位子，所以C的一個(gè)元的逆仍是的 C 一個(gè)元，這樣C是G的一個(gè)子群；對(duì)于a w G,cwc, aca，=(aca'c)c C ,所以C是G的一個(gè) 不變子群.(2)令 a,bw G ,那么(ba)，ab =a"bab = c C ,由此得 abC = baC ,即 aCbC = bCaC ,因而G / C是交換群.(3)因?yàn)镚 / N是交換群，所以對(duì)G的任何兩個(gè)元a和b , .1.1.1(aN)(bN) =(bN)(aN)，由此得(ba) (ab) = a b ab = N ,這樣 N 含有一切換位子，因 而N含有C .21.設(shè)H=e,由于

23、是等價(jià)關(guān)系，故 ee,即e H ;111Va, b匚H ,則ae, be因而aea , beb b ,由題設(shè)可得 ea , e.1111.11. .1.b ,-10 分；由對(duì)稱(chēng)性及傳遞性得 b a , aa ba-e,再由題設(shè)得ab-e即a bwH，那么與G的單位元e等價(jià)的元所作成的集合 G的一個(gè)子群。22 . yas, at G ,由于 asat =as* =atHs =atas，從而 G =(a)是可換群。23 .充分性，由Lagrange定理知，顯然成立。必要性，因?yàn)閨G|>1 ,所以存在a w G,a #e。設(shè)H = (a),則H #e，但是H J G , 由假設(shè)，H =G;若|

24、a| = m,則(a2)是G的非平凡子群，與假設(shè)矛盾；若 | a |= n 是合數(shù)，即 n = n1n2, n1A1, n2 A1 ,則 | an1 |= n2,從而(an1)是 G 的非 平凡子群與假設(shè)矛盾。因此G為素?cái)?shù)階循環(huán)群。24 .設(shè) N=e,n, X/a w G ,有 ana，w N ,必有 ana'= n ,否則 ana/=e,便彳# n=e 的矛盾，從而ana,=e ,an=na,另外顯然ae=ea,故N三C(G)。25 .先證ker中非空， 其次證ker中是子群；最后證ker中的不變性。2、只證中是單射 即可。n26 .取a亡G而a # e,則由Lagrange定理知，| a |= pn,其中1 E n E m ,則ap 一的階是p ,n J_所以H =(ap)是G的一個(gè)p階子群。27 .設(shè)a =g ,則當(dāng)m#n時(shí)，am#an,于是映射中：amT m就是g= (a)到整數(shù)加群Z的一個(gè)一一映射。又 am -a