人教B版高中數(shù)學(xué)選修推出和充分條件、必要條件學(xué)案

1、讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)常用邏輯用語知識網(wǎng)絡(luò)第1講 命題及其關(guān)系，充分條件與必要條件知識梳理1 .用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假、的陳述句稱為命題.其中判斷為真的語句稱為真破UU斷為假的語句稱為假命題2 . (1)如果第一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論_和條件一，那么這兩個命題叫互逆命題 .(2)如果第一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫互否命題(3)如果第一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定,那么這兩個命題叫互否命題 .3 . 一般地，把條件p的否定和結(jié)論q的否定，分別記為3 p”和，q”，則命題的四種 形式可寫為：原

2、命題：工p若qL逆命題：工g笠_p_否命題："若p是q'逆否命題："若q是p特別提醒：可以發(fā)現(xiàn)：(1)原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關(guān)系如下圖所示(2)互為逆否命題的真假性是一致的互逆命題或互否命題真假性沒有關(guān)系4 .用反證法證明的一般步驟是：(1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確特別提醒：1、適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題：(1)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的命題.(2)關(guān)于唯一性、存在性的的命題.結(jié)論以“至多”，“至少”等形式出現(xiàn)的命題.(4)結(jié)論

3、的反面比原結(jié)論更具體或更易于研究的命題2.用反證法證明引出矛盾的四種常見形式：(1)與定義、公理、定理矛盾.(2)與已知條件矛盾.(3)與假設(shè)矛盾.(4)自相矛盾.5 .如果“若p則q”為真，記為p q,如果“若p則q”為假，記為p q.6 .若p q,則p是q的充分,q是p的必要7 .判斷方法：(1)定義法：p qp是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p qp是q的充要條件 p是q的既不充分也不必要條件(2)集合法：設(shè) P=p, Q=q, 若P§eQ,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件 若 P=Q,則p是q的充要條件(q也是p的充要條件). 若 P妥 Q且Q P

4、,則p是q的既不充分也不必要條件.(3)逆否命題法： q是 p的充分條件不必要條件p是q的 充分條件不必要條件_ q是 p的必要條件不充分條件p是q的 充分條件不必要條件 q是 p的充分要條件p是q的 充要條件 q是 p的既不充分條件與不必要條件p是q的_既不充分條件與不必要條件 _特別提醒：1、解決充要條件的逆向問題時，往往從集合角度考慮，會更文便快捷，設(shè)P=p, Q=q,若p是q的充分不必要條件，則 PWQ若q是p的必要不充分條件，則 P Q 若P=Q，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件).若P& Q且Q S P,則p是q的既不充分也不必要條件.2、證明p是q的充要條件，既要證

5、“p q”，又要證“q p”，前者證明的是充分性；， 后者證明的必要性.重難點突破1 .重點：初步掌握四種命題的關(guān)系，并能判斷四種命題的真假；初步掌握利用反證法證明一些問題；正確理解三個概念，并在分析中正確判斷.正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個概念，并能用定義法、集合法和逆否命題法來判斷命題p是命題q的什么條件.2 .難點：利用反證法證題；充要條件的證明 .3 .重難點：.(1)與命題相關(guān)的判析問題1:下列語句中哪些是命題？其中哪些是真命題？“等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？”；“垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；“一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”；“珠海是一個多么美麗的海濱城市啊！”；

6、“ x y為有理數(shù)，則x、y也都是有理數(shù)”“作 ABCs AB1C1” .解：根據(jù)命題的概念，判斷是否為命題，若是，再判斷真假 通過反問句，對等邊三角形是等腰三角形作出判斷，是真命題 疑問句，沒有垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷，不是命題； 是假命題，數(shù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).感嘆句，不是命題.是假命題,如x 22 y yJ2.祈使句，不是命題.命題有：；真命題有：點撥：判斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假.一般地，陳述句、反問句都是命題，而疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題問題2：你能將把下列命題寫成“若 p若q”的形式，并判斷其真假嗎 ？(1)實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù).(2)等

7、底等高的兩個三角形是全等三角形.(3)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除.(4)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的弧.解：(1)若一個實數(shù)，則它的平方是非負(fù)數(shù).這個命題是真命題.(2)若兩個三角形等底等高，則這個三角形是全等三角形.這個命題是假命題.(3)若一個數(shù)能被6整除的數(shù)，則它既能被3整除也能被2整除.(4)若一條直線是弦的垂直平分線 ，則它經(jīng)過圓心并平分弦所對的弧.點撥：將命題寫成“若 p若q”形式時，一定要注意找出命題的條件和結(jié)論，同時要注出意敘述條件和結(jié)論完整性.(2)能掌握判斷充要條件的三種基本方法，并能根據(jù)具體問題選擇使用問題3:下列四個命題中真命題有哪幾個？“若xy=

8、1,則x、y互為倒數(shù)”的逆命題“面積相等的三角形全等”的否命題“若 mwi,則方程x22x+m=0有實根”的逆否命題“若AA B=B,則A B”的逆否命題解析：的逆命題為“若 x、y互為倒數(shù)，則xy=1"，是真命題；的否命題為“面積不相等的三角形不全等"，是真命題；“若mwi,則x2-2x+m=0有實根”為真命題，因此其逆否命題也為真命題；“若An B=B,則A B”為假命題，則其逆否命題也為假命題.真命題有點撥：在判斷原命題及其逆命題、否命題、逆否命題的真假時，可以借助原命題與逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假.問題4.你能判斷下列命題的真假嗎 ？(1)已知 a

9、,b,c,d R,若 a c,或 b d,則 a b cd.(2)若m 1,則方程x2 2x m 。無實數(shù)根。解： 因為“已知a,b,c, d R,若a c,或b d,則a b c d.”的逆否命題是：“已知 a,b,c,d R,若 a b c d,則a c,且b d.”我們不難舉反例說明其逆否命題不正確，從而原命題是假命題。(2)因為“若m 1,則方程x2 2x m 0無實數(shù)根”的逆否命題是：“若方程x2 2x m 0有實數(shù)根，則m 1”當(dāng)方程x2 2x m 0有實數(shù)根時，4 4m 0, m 1成立。故其逆否命題正確，從而原命題是真命題；點撥利用互為逆否的兩個命題同真同假的關(guān)系，將不易判斷真

10、假的命題，轉(zhuǎn)化為判斷其逆 否命題的真假(尤其是對否定式語句的命題)一一充分利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法。熱點考點題型探析支考點一：命題及其相互關(guān)系 題型1.判斷命題及真假 例1陳述句“在2016年，法國巴黎將舉辦第 31屆夏季奧林匹克運動會”是命題嗎？解題思路：判斷一個語句是不是命題，就是要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”解析：是命題，在2016年，法國巴黎將舉辦第 31屆夏季奧林匹克運動會，是真是假，雖然 目前還無法確定，但是隨著時間推移，總能確定它的真假，所以我們把這類猜想仍算 為命題.例2廣東省深圳外國語學(xué)校 2009屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測)下列四個命題中，真命題的個數(shù)為()A(1)

11、若兩平面有三個公共點，則這兩個平面重合；(2)兩條直線可以確定一個平面；(3)若 M , M ,1,則M l ;(4)空間中，相交與同一點的三條直線在同一平面內(nèi)。A.1B.2C.3D.4解題思路:根據(jù)命題本身涉及的知識去判斷真假，判斷一個命題為真，一般要進行嚴(yán)格的邏輯推理，但判斷一個命題為假，只要舉出一個反例即可解析：(1)是假命題，兩平面也可能相交；(2)是假命題，若兩直線是異面直線，不可能確定一個平面；(4)是假命題，兩相交直線確定一個平面，第三條直線過該交點，可 與該平面相交?！久麕熤敢颗袛嘁粋€語句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假.【新題導(dǎo)練】1 .下列命題中是假命題的是()(A)矩

12、形的對角線相等(B)若a是奇數(shù)，則a2是奇數(shù)(0 .( 1)2(D)若 x 3,則(x 1)(x 3) 0答案：C2 .(廣東省華南師范附屬中學(xué) 2009屆高三綜合測試)以下命題：二直線平行的充要條件是它們的斜率相等；一 、 、222 2 過圓上的點(Xo,yo)與圓x y r相切的直線萬程是 x°x y°y r ； 平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓；拋物線上任意一點 M到焦點的距離都等于點 M到其準(zhǔn)線的距離。其中正確命題的標(biāo)號是 。答案；題型2。寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題例3寫出下述命題逆命題、否命題、逆否命題(1)若 x2 y2 0 ,貝U

13、x, y 全為 0 .(2)若a b是偶數(shù)，則a,b都是偶數(shù).(3)若 x 3或 x 7 ,則(x 3)(x 7) 0解題思路：“都”的否定詞是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定詞是“不全”，而 不是“全不”.另外，原命題中的“或”，在否命題中要改為“且”.要認(rèn)真體會它 們的區(qū)別.解析：因為原命題是“若p若q ”的形式，根據(jù)其他三種命題的構(gòu)造方法 ，分別寫出逆命題、 否命題、逆否命題.解答：(1)逆命題：若x,y全為0,則x2 y2 0 .否命題：若x2 y2 0 ,則x,y不全為0 .逆否命題：若x, y不全為0,則x2 y2 0 .(2)逆命題：若a,b都是偶數(shù)，則a b是偶數(shù).否

14、命題：若a b不是偶數(shù)，則a,b不都是偶數(shù).逆否命題：若a,b不都是偶數(shù)，則a b不是偶數(shù).(3)逆命題：若(x 3)(x 7) 0,則 x 3或 x 7.否命題：若x 3且x 7 ,則(x 3)(x 7) 0逆否命題:若（x 3）（x 7） 0,則x 3且x 7.【名師指引】認(rèn)清命題的條件 p和結(jié)論q,然后按定義寫出逆命題、否命題、逆否命題，最后判斷真假【新題導(dǎo)練】3.（廣東省湛江市實驗中學(xué) 2009屆高三第四次月考（數(shù)學(xué)理）1命題若m>0,則m 2”的逆命題是m，一-1-答案：逆命題是“若m - 2,則m 0”m4.（2009年廣東省廣州市高三年級調(diào)研測試）命題“若a b,則a 1

15、b 1”的百命題是（）A.若 ab,則a1b1B.若ab,則 a1b1C.若 ab,則a1b1D.若ab,則 a1b1答案：C題型3。四種命題間的關(guān)系與反證法例4若a、b、cC R,寫出命題"若 acv 0,則ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假解題思路:認(rèn)清命題的條件p和結(jié)論q,然后按定義寫出逆命題、否命題、逆否命題，最后 判斷真假解析：逆命題：若ax2+bx+c=0 （a、b、cC R）有兩個不相等白實數(shù)根，則acv0;是假命題，如當(dāng)a=1, b= 3, c=2時，方程x23x+2=0有兩個不等實根 x=1, x2=2,但a

16、c=2>0 否命題：若ac>0,則方程ax2+bx+c=0 （a、b、cCR）沒有兩個不相等的實數(shù)根；是假 命題.這是因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題逆否命題：若 ax2+bx+c=0 （a、b、c R）沒有兩個不相等的實數(shù)根，則 ac>0;是真命 題.因為原命題是真命題，它與原命題等價例5用反證法證明：111設(shè)二個正實數(shù) a、b、c滿足條件一 一二2求證：a、b、c中至少有兩上不小于1.ab c解題思路:用反證法證題時作出正確的反設(shè)是前提，“a, b, c中至多有一個數(shù)不小于1”的反設(shè)為"a, b, c中至多有一個數(shù)不小于1”,有兩種情況“a、b、c三

17、數(shù)均小于1"和"a、b、c中有兩數(shù)小于1”;而推出矛盾是關(guān)鍵，也是難點 解析：證明：假設(shè)a, b, c中至多有一個數(shù)不小于1,這包含下面兩種情況：（1） a、b、c三數(shù)均小于1,111,即 0<a<1 , 0Vb<1, 0<c<1 則一 1,1,1,abc1 11 一、一一 - >3與已知條件矛盾； a b c（2） a、b、c中有兩數(shù)小于1,51 i 1. 1,設(shè) 0<a<1, 0<b<1,而 c>1,則 1- 1, a b,1111一一 一一- - - >2+ >2,也與已知條件矛盾； a b

18、 c c，假設(shè)不成立，a、b、c中至少有兩個不小于 1.【名師指引】利用互為逆否的兩個命題同真同假的關(guān)系，將不易判斷真假的命題，轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假（尤其是對否定式語句的命題），充分利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法。正確的反設(shè)是（即否定結(jié)論）是正確運用反證法的前提，要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，另外，需注意作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況。【新題導(dǎo)練】5 .（廣東省汕頭市澄海區(qū) 2008年統(tǒng)測）命題：“設(shè)a、b、c R,若ac2 bc2則a b”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：C6 .（廣東省普寧市城東中學(xué) 2009屆高三

19、上學(xué)期第三次月考）命題：”若X2 1,則1 X 1”的逆否命題是（）A若 x 1,或x 1,則 x2 1 B, 若 1 x 1,則 x2 1C.若 x 1,或x 1 ,則 x2 1 D.若 x2 1,則 x 1,或x1答案：A7 .若 x、v、z均為實數(shù)，且 a=x22y+ , b=y22z+工，c=z2 2x+,貝U a、b、c 中是否至少有一個大于零？請說明理由.分析：“a、b、c中是否至少有一個大于零”包括多種情況，正面解決很復(fù)雜，可考慮反面入手，利用反證法證明，但如何導(dǎo)出矛盾頗有技巧解：假設(shè) a、b、c 都不大于 0,即 aw。，b< 0, c< 0,則 a+b+cw 0.

20、而 a+b+c=x2 2y+ +y2 2z+ +z2 2x+ = （x 1） 2+ （y 1） 2+ （z- 1） 2 + 兀 一 3,兀一3>0,且無論x、v、z為何實數(shù)，（x1） 2+ （y1） 2+ （z 1） 2>0, a+b+c> 0.這與a+b+cw 0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個大于 0.考點二：充要條件及其判定題型1:利用定義作判斷例6 （2008學(xué)年中山市一中高三年級統(tǒng)測試題）在 ABC 中，“sin A sinB”是 “A B” 的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解題思路：判定p是q的充要條件，既要看“

21、 p q ”是否為真，又要看“ q p ”否 為真，只有都為真時，p才是q的充要條件.讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)解析：A “sin A sinB”“A B ”但反之不成立，故選 A【名師指引】定義判斷的重要依據(jù)。【新題導(dǎo)練】8 . （2009屆省實高三次月考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)f（x） ax3 x 1有極值的充要條件是（）A. a 0B. a 0C. a 0 D. a 0答案：D9 . “a 2”是“函數(shù)f（x） x a在區(qū)間2,）上為增函數(shù)”的（）A.充分條件不必要B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A題型2:從集合思想或利用逆否命題判定例7（廣東省四會中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)

22、量檢測）“ x 1 2成立”是“ x（x 3） 0成立”的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C ,充分必要條件D.既不充分也不必要條件解題思路:當(dāng)直接判斷p是q什么條件較困難時，可借助于集合或利用逆否命題來考慮 會更快捷和準(zhǔn)確.解析：x 1 2的解集是A x|1 x 3, x(x 3) 0的解集是B x|0 x 3. A冥B ，選A例8（廣東省普寧市城東中學(xué) 2009屆高三上學(xué)期第三次月考）11右a,b R,則 不 二成立的一個充分不必要的條件是（）33a bA. ab 0 B. b a C.a b 0 D. ab（a b） 0，、11 ，一 解題思路:以選項為條件，要能得到二二，但反

23、之不成立33 ，a b解析：c可以取反例，易得只有c答案【名師指引】解答充分與必要條件問題時，要根據(jù)命題的特點，在三種方法（定義法、集合法和逆否命題法）中選擇一種進行判斷，而且還依賴于問題本身所涉及到的具體數(shù)學(xué)內(nèi)容 的掌握與理解程度.【新題導(dǎo)練】10 .（廣東省黃岐高級中學(xué) 2009屆高三上學(xué)期月月考）設(shè)集合 M y|y lnx,x 0 , N x|y ln x, x 0，那么 “ a M ” 是 “ a N ” 的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)答案：B11 .（廣東省深圳市2009屆高三九校聯(lián)考）設(shè)、是方程x2 mx n 0

24、的兩個實根。那么“ m 2且n 1 ”是“兩根、 均大于1”的（）A.充分但不必要條件C.充分必要條件答案：BB.必要但不充分條件D.既不充分也不必要條件搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1 .下列語句中命題的個數(shù)是（） 地球是太陽系的一顆行星； 0 N; 這是一顆大樹；x a;1 1 2老年人組成一個集合；A. 1B. 2C. 3D. 4解：是命題，故選 D2 .設(shè)原命題：若a b 2,則a,b中至少有一個不小于 1.則原命題與其逆命題的真假情況是（）AA.原命題真，逆命題假B.原命題假，逆命題真C.原命題與逆命題均為真命題D.原命題與逆命題均為假命題答案：A. 提示：a=1.2, b=0.3,則a b=

25、1.5 2, 逆命題為假.3 .（廣東省四會中學(xué) 2009屆高三質(zhì)量檢測）ABC中“ cosA 2sinBsinC”是“ ABC為鈍角三角形”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要答案：B4 .（廣東省深圳外國語學(xué)校 2009屆高三統(tǒng)測）若a,b是常數(shù)，則3 0且b2 4a 0 ”是對任意x R,有ax2 bx 1 0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案： 對任意x R,有ax2 bx 1 0”的等價命題是：a=0時，必有b=0；或a 0時,.2 一一 一b4a 0。選 A5 .（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上

26、學(xué)期12月月考（數(shù)學(xué)理）“a 2”是“（x a）6的展開式的第三項是 60x4”的 條件 （）D.既不充分也不必要A.充分不必要B.必要不充分C.充要答案：A6 .(黃家中學(xué)高08級十二月月考)條件p ： _條件q ： f (x)42A.充要條件C.必要不充分條件10g tan X在(0,)內(nèi)是增函數(shù)，則 p是q的B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件答案： f(X) log tan X在(0,)內(nèi)是增函數(shù)tan 1,得 一k , k ,k Z，42p q p q且p / q . . p是q的充分不必要條件故選B；綜合拔高訓(xùn)練7 .用反證法證明："已知x、yCR, x+y >

27、;2,求證x、y中至少有一個大于 1”.則所作的反設(shè)是答案：假設(shè)x<1且y<18 .寫出命題“乘積為奇數(shù)的兩個整數(shù)都不是偶數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假.解：典型錯解：原命題可寫成：若兩個整數(shù)的乘積為奇數(shù)，則它們都不是偶數(shù)，是真命題.逆命題：若兩個整數(shù)的乘積都不是偶數(shù)，則這兩個整數(shù)的乘積為奇數(shù)，是真命題.否命題：若兩個整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個整數(shù)不都是偶數(shù)，是真命題.逆否命題：若兩個整數(shù)中不都是偶數(shù)，則這兩個整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，是真命題.否命題：若兩個整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個整數(shù)至少有一個是偶數(shù)；點撥：對“都不”的否定，許多同學(xué)都誤認(rèn)為是 “不都”，這是錯誤的，

28、應(yīng)為“至少有一個”， 而“不都”是對“都”的否定 .正確解答：原命題可寫成：若兩個整數(shù)的乘積為奇數(shù)，則它們都不是偶數(shù)，是真命題.逆命題：若兩個整數(shù)的乘積都不是偶數(shù)，則這兩個整數(shù)的乘積為奇數(shù)，是真命題.否命題：若兩個整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個整數(shù)至少有一個是偶數(shù)，是真命題.逆否命題：若兩個整數(shù)中至少有一個是偶數(shù)，則這兩個整數(shù)的乘積不為奇數(shù) ，是真命題.9 .( 2008學(xué)年中山市一中高三年測試題理科數(shù)學(xué))一，X 1 一 一已知 p ： 1 2, q ： (x 1 m)(x 1 m) 0 (m 0)3且q是p的必要不充分條件，求實數(shù) m的取值范圍。x 1x 1解：由1 22 1 2332 x 10 即 p為：2,10而 q為：1 m,1 m,又q是p的必要不充分條件，即p q所以1 m 21 m 1012分即實數(shù)m的取值范圍為9,）。10.已知：a、b、c是互不相等的非零實數(shù).求證：三個方程 ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異 實根.證明（反證法）：假設(shè)三個方程