人教B版高中數學選修推出和充分條件、必要條件學案

1、讓學生學會學習常用邏輯用語知識網絡第1講 命題及其關系，充分條件與必要條件知識梳理1 .用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假、的陳述句稱為命題.其中判斷為真的語句稱為真破UU斷為假的語句稱為假命題2 . (1)如果第一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論_和條件一，那么這兩個命題叫互逆命題 .(2)如果第一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題叫互否命題(3)如果第一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定,那么這兩個命題叫互否命題 .3 . 一般地，把條件p的否定和結論q的否定，分別記為3 p”和，q”，則命題的四種 形式可寫為：原

2、命題：工p若qL逆命題：工g笠_p_否命題："若p是q'逆否命題："若q是p特別提醒：可以發(fā)現：(1)原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關系如下圖所示(2)互為逆否命題的真假性是一致的互逆命題或互否命題真假性沒有關系4 .用反證法證明的一般步驟是：(1)反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；(2)歸謬：從假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；(3)結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確特別提醒：1、適宜用反證法證明的數學命題：(1)結論本身以否定形式出現的命題.(2)關于唯一性、存在性的的命題.結論以“至多”，“至少”等形式出現的命題.(4)結論

3、的反面比原結論更具體或更易于研究的命題2.用反證法證明引出矛盾的四種常見形式：(1)與定義、公理、定理矛盾.(2)與已知條件矛盾.(3)與假設矛盾.(4)自相矛盾.5 .如果“若p則q”為真，記為p q,如果“若p則q”為假，記為p q.6 .若p q,則p是q的充分,q是p的必要7 .判斷方法：(1)定義法：p qp是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p qp是q的充要條件 p是q的既不充分也不必要條件(2)集合法：設 P=p, Q=q, 若P§eQ,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件 若 P=Q,則p是q的充要條件(q也是p的充要條件). 若 P妥 Q且Q P

4、,則p是q的既不充分也不必要條件.(3)逆否命題法： q是 p的充分條件不必要條件p是q的 充分條件不必要條件_ q是 p的必要條件不充分條件p是q的 充分條件不必要條件 q是 p的充分要條件p是q的 充要條件 q是 p的既不充分條件與不必要條件p是q的_既不充分條件與不必要條件 _特別提醒：1、解決充要條件的逆向問題時，往往從集合角度考慮，會更文便快捷，設P=p, Q=q,若p是q的充分不必要條件，則 PWQ若q是p的必要不充分條件，則 P Q 若P=Q，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件).若P& Q且Q S P,則p是q的既不充分也不必要條件.2、證明p是q的充要條件，既要證

5、“p q”，又要證“q p”，前者證明的是充分性；， 后者證明的必要性.重難點突破1 .重點：初步掌握四種命題的關系，并能判斷四種命題的真假；初步掌握利用反證法證明一些問題；正確理解三個概念，并在分析中正確判斷.正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個概念，并能用定義法、集合法和逆否命題法來判斷命題p是命題q的什么條件.2 .難點：利用反證法證題；充要條件的證明 .3 .重難點：.(1)與命題相關的判析問題1:下列語句中哪些是命題？其中哪些是真命題？“等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？”；“垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；“一個數不是正數就是負數”；“珠海是一個多么美麗的海濱城市啊！”；

6、“ x y為有理數，則x、y也都是有理數”“作 ABCs AB1C1” .解：根據命題的概念，判斷是否為命題，若是，再判斷真假 通過反問句，對等邊三角形是等腰三角形作出判斷，是真命題 疑問句，沒有垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷，不是命題； 是假命題，數0既不是正數也不是負數.感嘆句，不是命題.是假命題,如x 22 y yJ2.祈使句，不是命題.命題有：；真命題有：點撥：判斷一個語句是否是命題，關鍵在于能否判斷其真假.一般地，陳述句、反問句都是命題，而疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題問題2：你能將把下列命題寫成“若 p若q”的形式，并判斷其真假嗎 ？(1)實數的平方是非負數.(2)等

7、底等高的兩個三角形是全等三角形.(3)能被6整除的數既能被3整除也能被2整除.(4)弦的垂直平分線經過圓心，并平分弦所對的弧.解：(1)若一個實數，則它的平方是非負數.這個命題是真命題.(2)若兩個三角形等底等高，則這個三角形是全等三角形.這個命題是假命題.(3)若一個數能被6整除的數，則它既能被3整除也能被2整除.(4)若一條直線是弦的垂直平分線 ，則它經過圓心并平分弦所對的弧.點撥：將命題寫成“若 p若q”形式時，一定要注意找出命題的條件和結論，同時要注出意敘述條件和結論完整性.(2)能掌握判斷充要條件的三種基本方法，并能根據具體問題選擇使用問題3:下列四個命題中真命題有哪幾個？“若xy=

8、1,則x、y互為倒數”的逆命題“面積相等的三角形全等”的否命題“若 mwi,則方程x22x+m=0有實根”的逆否命題“若AA B=B,則A B”的逆否命題解析：的逆命題為“若 x、y互為倒數，則xy=1"，是真命題；的否命題為“面積不相等的三角形不全等"，是真命題；“若mwi,則x2-2x+m=0有實根”為真命題，因此其逆否命題也為真命題；“若An B=B,則A B”為假命題，則其逆否命題也為假命題.真命題有點撥：在判斷原命題及其逆命題、否命題、逆否命題的真假時，可以借助原命題與逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假.問題4.你能判斷下列命題的真假嗎 ？(1)已知 a

9、,b,c,d R,若 a c,或 b d,則 a b cd.(2)若m 1,則方程x2 2x m 。無實數根。解： 因為“已知a,b,c, d R,若a c,或b d,則a b c d.”的逆否命題是：“已知 a,b,c,d R,若 a b c d,則a c,且b d.”我們不難舉反例說明其逆否命題不正確，從而原命題是假命題。(2)因為“若m 1,則方程x2 2x m 0無實數根”的逆否命題是：“若方程x2 2x m 0有實數根，則m 1”當方程x2 2x m 0有實數根時，4 4m 0, m 1成立。故其逆否命題正確，從而原命題是真命題；點撥利用互為逆否的兩個命題同真同假的關系，將不易判斷真

10、假的命題，轉化為判斷其逆 否命題的真假(尤其是對否定式語句的命題)一一充分利用等價轉化的思想方法。熱點考點題型探析支考點一：命題及其相互關系 題型1.判斷命題及真假 例1陳述句“在2016年，法國巴黎將舉辦第 31屆夏季奧林匹克運動會”是命題嗎？解題思路：判斷一個語句是不是命題，就是要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”解析：是命題，在2016年，法國巴黎將舉辦第 31屆夏季奧林匹克運動會，是真是假，雖然 目前還無法確定，但是隨著時間推移，總能確定它的真假，所以我們把這類猜想仍算 為命題.例2廣東省深圳外國語學校 2009屆高三上學期第二次統(tǒng)測)下列四個命題中，真命題的個數為()A(1)

11、若兩平面有三個公共點，則這兩個平面重合；(2)兩條直線可以確定一個平面；(3)若 M , M ,1,則M l ;(4)空間中，相交與同一點的三條直線在同一平面內。A.1B.2C.3D.4解題思路:根據命題本身涉及的知識去判斷真假，判斷一個命題為真，一般要進行嚴格的邏輯推理，但判斷一個命題為假，只要舉出一個反例即可解析：(1)是假命題，兩平面也可能相交；(2)是假命題，若兩直線是異面直線，不可能確定一個平面；(4)是假命題，兩相交直線確定一個平面，第三條直線過該交點，可 與該平面相交。【名師指引】判斷一個語句是否是命題，關鍵在于能否判斷其真假.【新題導練】1 .下列命題中是假命題的是()(A)矩

12、形的對角線相等(B)若a是奇數，則a2是奇數(0 .( 1)2(D)若 x 3,則(x 1)(x 3) 0答案：C2 .(廣東省華南師范附屬中學 2009屆高三綜合測試)以下命題：二直線平行的充要條件是它們的斜率相等；一 、 、222 2 過圓上的點(Xo,yo)與圓x y r相切的直線萬程是 x°x y°y r ； 平面內到兩定點的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓；拋物線上任意一點 M到焦點的距離都等于點 M到其準線的距離。其中正確命題的標號是 。答案；題型2。寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題例3寫出下述命題逆命題、否命題、逆否命題(1)若 x2 y2 0 ,貝U

13、x, y 全為 0 .(2)若a b是偶數，則a,b都是偶數.(3)若 x 3或 x 7 ,則(x 3)(x 7) 0解題思路：“都”的否定詞是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定詞是“不全”，而 不是“全不”.另外，原命題中的“或”，在否命題中要改為“且”.要認真體會它 們的區(qū)別.解析：因為原命題是“若p若q ”的形式，根據其他三種命題的構造方法 ，分別寫出逆命題、 否命題、逆否命題.解答：(1)逆命題：若x,y全為0,則x2 y2 0 .否命題：若x2 y2 0 ,則x,y不全為0 .逆否命題：若x, y不全為0,則x2 y2 0 .(2)逆命題：若a,b都是偶數，則a b是偶數.否

14、命題：若a b不是偶數，則a,b不都是偶數.逆否命題：若a,b不都是偶數，則a b不是偶數.(3)逆命題：若(x 3)(x 7) 0,則 x 3或 x 7.否命題：若x 3且x 7 ,則(x 3)(x 7) 0逆否命題:若（x 3）（x 7） 0,則x 3且x 7.【名師指引】認清命題的條件 p和結論q,然后按定義寫出逆命題、否命題、逆否命題，最后判斷真假【新題導練】3.（廣東省湛江市實驗中學 2009屆高三第四次月考（數學理）1命題若m>0,則m 2”的逆命題是m，一-1-答案：逆命題是“若m - 2,則m 0”m4.（2009年廣東省廣州市高三年級調研測試）命題“若a b,則a 1

15、b 1”的百命題是（）A.若 ab,則a1b1B.若ab,則 a1b1C.若 ab,則a1b1D.若ab,則 a1b1答案：C題型3。四種命題間的關系與反證法例4若a、b、cC R,寫出命題"若 acv 0,則ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假解題思路:認清命題的條件p和結論q,然后按定義寫出逆命題、否命題、逆否命題，最后 判斷真假解析：逆命題：若ax2+bx+c=0 （a、b、cC R）有兩個不相等白實數根，則acv0;是假命題，如當a=1, b= 3, c=2時，方程x23x+2=0有兩個不等實根 x=1, x2=2,但a

16、c=2>0 否命題：若ac>0,則方程ax2+bx+c=0 （a、b、cCR）沒有兩個不相等的實數根；是假 命題.這是因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題逆否命題：若 ax2+bx+c=0 （a、b、c R）沒有兩個不相等的實數根，則 ac>0;是真命 題.因為原命題是真命題，它與原命題等價例5用反證法證明：111設二個正實數 a、b、c滿足條件一 一二2求證：a、b、c中至少有兩上不小于1.ab c解題思路:用反證法證題時作出正確的反設是前提，“a, b, c中至多有一個數不小于1”的反設為"a, b, c中至多有一個數不小于1”,有兩種情況“a、b、c三

17、數均小于1"和"a、b、c中有兩數小于1”;而推出矛盾是關鍵，也是難點 解析：證明：假設a, b, c中至多有一個數不小于1,這包含下面兩種情況：（1） a、b、c三數均小于1,111,即 0<a<1 , 0Vb<1, 0<c<1 則一 1,1,1,abc1 11 一、一一 - >3與已知條件矛盾； a b c（2） a、b、c中有兩數小于1,51 i 1. 1,設 0<a<1, 0<b<1,而 c>1,則 1- 1, a b,1111一一 一一- - - >2+ >2,也與已知條件矛盾； a b

18、 c c，假設不成立，a、b、c中至少有兩個不小于 1.【名師指引】利用互為逆否的兩個命題同真同假的關系，將不易判斷真假的命題，轉化為判斷其逆否命題的真假（尤其是對否定式語句的命題），充分利用等價轉化的思想方法。正確的反設是（即否定結論）是正確運用反證法的前提，要注意一些常用的“結論否定形式”，另外，需注意作出的反設必須包括與結論相反的所有情況?！拘骂}導練】5 .（廣東省汕頭市澄海區(qū) 2008年統(tǒng)測）命題：“設a、b、c R,若ac2 bc2則a b”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：C6 .（廣東省普寧市城東中學 2009屆高三

19、上學期第三次月考）命題：”若X2 1,則1 X 1”的逆否命題是（）A若 x 1,或x 1,則 x2 1 B, 若 1 x 1,則 x2 1C.若 x 1,或x 1 ,則 x2 1 D.若 x2 1,則 x 1,或x1答案：A7 .若 x、v、z均為實數，且 a=x22y+ , b=y22z+工，c=z2 2x+,貝U a、b、c 中是否至少有一個大于零？請說明理由.分析：“a、b、c中是否至少有一個大于零”包括多種情況，正面解決很復雜，可考慮反面入手，利用反證法證明，但如何導出矛盾頗有技巧解：假設 a、b、c 都不大于 0,即 aw。，b< 0, c< 0,則 a+b+cw 0.

20、而 a+b+c=x2 2y+ +y2 2z+ +z2 2x+ = （x 1） 2+ （y 1） 2+ （z- 1） 2 + 兀 一 3,兀一3>0,且無論x、v、z為何實數，（x1） 2+ （y1） 2+ （z 1） 2>0, a+b+c> 0.這與a+b+cw 0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個大于 0.考點二：充要條件及其判定題型1:利用定義作判斷例6 （2008學年中山市一中高三年級統(tǒng)測試題）在 ABC 中，“sin A sinB”是 “A B” 的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解題思路：判定p是q的充要條件，既要看“

21、 p q ”是否為真，又要看“ q p ”否 為真，只有都為真時，p才是q的充要條件.讓學生學會學習解析：A “sin A sinB”“A B ”但反之不成立，故選 A【名師指引】定義判斷的重要依據?！拘骂}導練】8 . （2009屆省實高三次月考數學試題）函數f（x） ax3 x 1有極值的充要條件是（）A. a 0B. a 0C. a 0 D. a 0答案：D9 . “a 2”是“函數f（x） x a在區(qū)間2,）上為增函數”的（）A.充分條件不必要B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A題型2:從集合思想或利用逆否命題判定例7（廣東省四會中學2009屆高三上學期第一次質

22、量檢測）“ x 1 2成立”是“ x（x 3） 0成立”的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C ,充分必要條件D.既不充分也不必要條件解題思路:當直接判斷p是q什么條件較困難時，可借助于集合或利用逆否命題來考慮 會更快捷和準確.解析：x 1 2的解集是A x|1 x 3, x(x 3) 0的解集是B x|0 x 3. A冥B ，選A例8（廣東省普寧市城東中學 2009屆高三上學期第三次月考）11右a,b R,則 不 二成立的一個充分不必要的條件是（）33a bA. ab 0 B. b a C.a b 0 D. ab（a b） 0，、11 ，一 解題思路:以選項為條件，要能得到二二，但反

23、之不成立33 ，a b解析：c可以取反例，易得只有c答案【名師指引】解答充分與必要條件問題時，要根據命題的特點，在三種方法（定義法、集合法和逆否命題法）中選擇一種進行判斷，而且還依賴于問題本身所涉及到的具體數學內容 的掌握與理解程度.【新題導練】10 .（廣東省黃岐高級中學 2009屆高三上學期月月考）設集合 M y|y lnx,x 0 , N x|y ln x, x 0，那么 “ a M ” 是 “ a N ” 的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件讓學生學會學習答案：B11 .（廣東省深圳市2009屆高三九校聯(lián)考）設、是方程x2 mx n 0

24、的兩個實根。那么“ m 2且n 1 ”是“兩根、 均大于1”的（）A.充分但不必要條件C.充分必要條件答案：BB.必要但不充分條件D.既不充分也不必要條件搶分頻道基礎鞏固訓練1 .下列語句中命題的個數是（） 地球是太陽系的一顆行星； 0 N; 這是一顆大樹；x a;1 1 2老年人組成一個集合；A. 1B. 2C. 3D. 4解：是命題，故選 D2 .設原命題：若a b 2,則a,b中至少有一個不小于 1.則原命題與其逆命題的真假情況是（）AA.原命題真，逆命題假B.原命題假，逆命題真C.原命題與逆命題均為真命題D.原命題與逆命題均為假命題答案：A. 提示：a=1.2, b=0.3,則a b=

25、1.5 2, 逆命題為假.3 .（廣東省四會中學 2009屆高三質量檢測）ABC中“ cosA 2sinBsinC”是“ ABC為鈍角三角形”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要答案：B4 .（廣東省深圳外國語學校 2009屆高三統(tǒng)測）若a,b是常數，則3 0且b2 4a 0 ”是對任意x R,有ax2 bx 1 0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案： 對任意x R,有ax2 bx 1 0”的等價命題是：a=0時，必有b=0；或a 0時,.2 一一 一b4a 0。選 A5 .（廣東省北江中學2009屆高三上

26、學期12月月考（數學理）“a 2”是“（x a）6的展開式的第三項是 60x4”的 條件 （）D.既不充分也不必要A.充分不必要B.必要不充分C.充要答案：A6 .(黃家中學高08級十二月月考)條件p ： _條件q ： f (x)42A.充要條件C.必要不充分條件10g tan X在(0,)內是增函數，則 p是q的B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件答案： f(X) log tan X在(0,)內是增函數tan 1,得 一k , k ,k Z，42p q p q且p / q . . p是q的充分不必要條件故選B；綜合拔高訓練7 .用反證法證明："已知x、yCR, x+y >

27、;2,求證x、y中至少有一個大于 1”.則所作的反設是答案：假設x<1且y<18 .寫出命題“乘積為奇數的兩個整數都不是偶數”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假.解：典型錯解：原命題可寫成：若兩個整數的乘積為奇數，則它們都不是偶數，是真命題.逆命題：若兩個整數的乘積都不是偶數，則這兩個整數的乘積為奇數，是真命題.否命題：若兩個整數的乘積不為奇數，則這兩個整數不都是偶數，是真命題.逆否命題：若兩個整數中不都是偶數，則這兩個整數的乘積不為奇數，是真命題.否命題：若兩個整數的乘積不為奇數，則這兩個整數至少有一個是偶數；點撥：對“都不”的否定，許多同學都誤認為是 “不都”，這是錯誤的，

28、應為“至少有一個”， 而“不都”是對“都”的否定 .正確解答：原命題可寫成：若兩個整數的乘積為奇數，則它們都不是偶數，是真命題.逆命題：若兩個整數的乘積都不是偶數，則這兩個整數的乘積為奇數，是真命題.否命題：若兩個整數的乘積不為奇數，則這兩個整數至少有一個是偶數，是真命題.逆否命題：若兩個整數中至少有一個是偶數，則這兩個整數的乘積不為奇數 ，是真命題.9 .( 2008學年中山市一中高三年測試題理科數學)一，X 1 一 一已知 p ： 1 2, q ： (x 1 m)(x 1 m) 0 (m 0)3且q是p的必要不充分條件，求實數 m的取值范圍。x 1x 1解：由1 22 1 2332 x 10 即 p為：2,10而 q為：1 m,1 m,又q是p的必要不充分條件，即p q所以1 m 21 m 1012分即實數m的取值范圍為9,）。10.已知：a、b、c是互不相等的非零實數.求證：三個方程 ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異 實根.證明（反證法）：假設三個方程