高等數(shù)學(xué)概括與總結(jié)1

1、海南大學(xué)課程教學(xué)總結(jié)李 文 雅課程名稱：高 等 數(shù) 學(xué)（Advanced Mathematics）教學(xué)單位：信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 課程資源網(wǎng)址：1/top.htm答疑信箱務(wù)處督導(dǎo)科電話：66279099； 信息學(xué)院教務(wù)科電話：66279136（版權(quán)所有-李 文 雅）高等數(shù)學(xué)（上）-基本內(nèi)容概括與總結(jié)第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)一、函數(shù)1、理解函數(shù)的概念(要求：會求定義域、對應(yīng)法則、函數(shù)值) -函數(shù)的定義、分段函數(shù)、顯函數(shù)：，隱函數(shù)：，參數(shù)式函數(shù)、反函數(shù)（求法）、復(fù)合函數(shù)、 基本初等函數(shù)與初等函數(shù) 2、掌握函數(shù)的幾何性質(zhì)1）有界性：（利用-定義

2、、或閉區(qū)間上連續(xù)的有界性、或存在極限必有界-判別）2）奇偶性： 若，則為奇函數(shù) 若， 則為偶函數(shù)（注意：奇偶的結(jié)合律） 單調(diào)增：3）單調(diào)性： 單調(diào)減：（注意利用-若則在上為單調(diào)增加（減少）4）周期性：若，則稱最小正數(shù)為的周期，為周期函數(shù)。 二、 極限（重點-極限、無窮大量與無窮小量的概念、求極限的方法） 1、極限的概念與性質(zhì)1) 函數(shù)與數(shù)列極限的定義 （略）2）左右極限、極限存在的充要條件即-極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。3）極限的性質(zhì)-有界性、唯一性、保號性。2、無窮大量與無窮小量1) 定義： 若時，為無窮小量; 若，則稱，時，g（x）是無窮大量。2)無窮大與無窮小的關(guān)系：3）、極

3、限與無窮小量的關(guān)系： 無窮小量的性質(zhì)-主要的： 4）無窮小的階的比較-兩個無窮小之商的極限，一般說來隨著無窮小的不同而不同，從而產(chǎn)生了兩個無窮小之間的“高階”、“同階”、“等價”等概念，它們反映了兩個無窮小趨于零的快慢程度。 定義設(shè)是同一種變化趨勢下的無窮小,即則：如果,就說是比高階的無窮小,記作；如果,就說是比低階的無窮??；如果,就說與是同階無窮?。蝗绻?就說是關(guān)于的階無窮??；如果,就說與是等價無窮小,記作.等階無窮小量的一個重要性質(zhì)：若，且存在，則。即：在乘除運算的極限中用等階無窮?。o窮大）替換不改變其極限。常見的等階無窮?。簳r，, , ， ， 。3、求極限的主要方法1） 極限運算法則2

4、） 左右極限存在且相等3） 極限存在的準(zhǔn)則- 兩邊夾Th.（準(zhǔn)則）、 如果數(shù)列及滿足下列條件： （1）, （2） 那么數(shù)列的極限存在,且. 單調(diào)有界 Th.（準(zhǔn)則）-單調(diào)有界數(shù)列必有極限。4） 無窮大與無窮小的關(guān)系、無窮小量的性質(zhì)5） 兩個重要極限 ，一般形式。 ，一般形式：6） 洛必塔法則 三、連續(xù)1、理解函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在點連續(xù)的定義設(shè)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若，則稱在點連續(xù)，稱為的連續(xù)點。連續(xù)函數(shù)的定義：若在 上點點都連續(xù)，則稱是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間 稱為的連續(xù)區(qū)間。若在上連續(xù)，則還要求：結(jié)論：函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點既左連續(xù)，又右連續(xù).2、間斷點的分類第一類間斷點（左、右極

5、限存在的間斷點）第二類間斷點（左、右極限至少一個不存在的間斷點） 3、連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì)1）一切初等函數(shù)在其定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)連續(xù)2）連續(xù)與極限的關(guān)系：連續(xù)極限存在3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則1、一定有界：。 （有界性Th.）。 2、一定存在最大值和最小值。 （最大和最小值Th.）。 3、對于任一個：，存在使。（介值Th.）。4、如果=0。（零點Th.）。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念1、導(dǎo)數(shù)定義1）對的導(dǎo)函數(shù), 簡稱為導(dǎo)數(shù), 記為，即 。 2）在點的導(dǎo)數(shù)為 。注意理解-導(dǎo)數(shù)定義的幾種等價形式： = = 3）導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是：左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即（左導(dǎo)

6、數(shù)）（右導(dǎo)數(shù)）即 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 =曲線在點處的切線的斜率， 即 =，因此, 曲線在點的切線方程為：；法線方程為：。3、微分的定義 增量 微分 = 4、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系： 可導(dǎo)可微 二、導(dǎo)數(shù)與微分基本公式）導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 三、導(dǎo)數(shù)與微分法則 1、四則運算法則設(shè)均可導(dǎo)、可微，則也可導(dǎo)、可微，且 導(dǎo)數(shù)法則 微分法則 2、復(fù)合函數(shù)的微分法則（導(dǎo)數(shù)）設(shè), 而，且及都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)，且或 (微分)-微分形式不變性：3、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 方法一：復(fù)合求導(dǎo)法-方程兩邊對x求導(dǎo)，再解出方法二：微分法求導(dǎo)法-方程兩邊微分先出微分，再求導(dǎo)數(shù)。 4、對數(shù)求導(dǎo)法-先取對數(shù)后求導(dǎo)的方法。 5、高

7、階求導(dǎo)法-一階、一階地求導(dǎo)，再找規(guī)律 6、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法 - 四、微分的近似計算應(yīng)用（略）第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、微分中值定理1、羅爾Th.、拉格朗日Th.、柯西Th.若在a,b上連續(xù)，在點(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則2、 2個推論 3、 泰勒Th.若在含有的某個區(qū)間內(nèi)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則對該區(qū)間內(nèi)任意點都有：即 其中：，（在與之間的數(shù)）稱為拉格朗日型余項，且 二、洛必塔法則 （） =A(或)。 （其他未定型極限要先化為后才用該法則）三、函數(shù)單調(diào)性曲線的凹凸性及拐點的判別方法1、 函數(shù)單調(diào)性的判別方法設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，若在內(nèi)，則在上為單調(diào)增加（減少）2、 曲線的凹凸性及拐點的

8、判別方法 設(shè)在上連續(xù)，且二階可導(dǎo)，若>0 (<0) ，則曲線曲線在上為凹（凸）的；若=0，且點左、右邊二階導(dǎo)數(shù)變號，則為曲線的拐點。4、 函數(shù)的極值與最大、最小值及其求法 1、 可微的在點取得極值的必要條件為： 一般的，使 的點稱為的駐點（或穩(wěn)定點、靜止點）。使不存在的點稱為的奇異點。 2 、極值的判別方法：（判別方法一）設(shè)在點某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（或不存在） .若點左邊，右邊，則為極大值 ； 若點左邊,右邊,則為極小值 ； 若點左、右邊不變號，則不是極值。 （判別方法二）設(shè)在點存在，且若 ；若 。（判別方法三）設(shè)，······

9、;， 則 當(dāng)3、函數(shù)的最大、最小值求法-求出駐點，奇異點和區(qū)間端點的函數(shù)值加以比較，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲滴?、求漸近線的方法1、 若 2、 若 3、若作圖(略)六 曲率、弧微分公式（略）1、弧微分公式已知曲線弧方程為（可微），則其弧微分公式為： （） 若曲線方程為，則 2、曲率的計算公式曲線方程為y=f(x), 則 第四章 不 定 積 分一、不定積分的概念與性質(zhì) 1、理解原函數(shù)與不定積分的概念 設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上都有定義，若或者，則稱函數(shù)為在區(qū)間上的一個原函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù) +c稱為在區(qū)間上的不定積分，記作 ，即 ，2、 不定積分的性質(zhì) 1）、積分與微分的關(guān)系： （先積后導(dǎo)） （先

10、導(dǎo)后積） （先積后微） （先微后積） 2）、積分的運算性質(zhì)： 3）、積分的形式與積分變量選擇無關(guān) 若 則。二、積分基本公式1） 2) ，(為常數(shù))，特別地，當(dāng)時，記作，3) ， 4) ，5) ， 或者，6) 或者7）， 8) ，9) ，10) ，11) ， 12) ，13) ， 14），15）， 16）， 17) ， 18) ， 19) ， 20) ， 21) ， 22) ， 23) ， 24） 三、掌握主要的積分方法與技巧求不定積分,一般說來,我們依靠的是三法一表,所謂三法就是分項積分法、換元積分法和分部積分法。一表就是基本積分表。三種方法的基本思想都是要將原積分變形成為可以利用基本積分公式

11、的形式，從而達(dá)到求出積分的目的。1、第一換元積分法（湊微分法）若,可微則 （對比積分公式-）2、第二換元積分法（變量置換法） （對難積分）（） （變形后對t易積分）一般上，若被積函數(shù)含有因子：1）。2）積分。注： 3）. 。注： 4）.積分。注： 另外 還有-倒代換，負(fù)代換等。3、分部積分法（或部分積分法） 4、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的積分法 （用綜合除法、 （ 設(shè)待定系數(shù)法） 或 等）第五章 定 積 分一、定積分的概念與性質(zhì)1、理解定積分的概念（略） = 積分變量選擇無關(guān)，即 。定積分的幾何意義-曲邊梯形的面積S2、 定積分的性質(zhì) 1）、 2）、（規(guī)定） 3）、 4）、 5）、 6）、=（

12、積分區(qū)間的可加性） 7）、若 , ，則 8）、（估值Th.） 9）、（中值Th.）若在 上連續(xù)，則在上至少存在一點c，使得， 10）、（奇偶性）二、可變上、下限積分及其求導(dǎo)Th。若 在上連續(xù)，則變上、下限積分與 均可導(dǎo)，且 1. 2 3 4= 5 三、牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz公式) 若在 上連續(xù).且，則 四、定積分的換元積分法與分部積分法 1、定積分第一換元積分法設(shè)，則有 2、定積分第二換元積分法（變量代換法） 設(shè) 1） 在 上連續(xù)；函數(shù)滿足以下條件 2） 在上單調(diào)，且連續(xù)； 3）當(dāng)；則有：（對x難積分） （換元的同時要換限，且換元方法與 不定積分的換元法類同） 。 3

13、、定積分的分部積分法 給出五、廣義積分法（反常積分法）-變上、下限積分的極限法 （為瑕點）。 （為瑕點）。第六章 定積分的應(yīng)用 一、定積分的元素法-用量的微分元素進(jìn)行積分而得到量的方法稱為定積分的元素法（微元法）。二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1、面積公式 2、 旋轉(zhuǎn)體的體積公式 3、截面面積已知的幾何體體積若垂直于某坐標(biāo)軸（x）的各截面的面積已知A(x),(),則其體積為： 4、（略）曲線在區(qū)間a，b上的弧長為s=。（s=。）三、定積分在物理方面的應(yīng)用（略）-變力沿直線所作的功 w=-流體（水）的壓力、等（略）第七章 微分方程一、理解微分方程的基本概念-微分方程的定義、方程的分類、方程的階、方程

14、的解 微分方程的解分為 二、掌握一階微分方程的解法1、可分離變量的方程 解法-分離變量、積分。2、齊次方程： 解法設(shè)，變?yōu)榭煞蛛x變量的方程求解。3、一階線性微分方程：的通解為（通解公式）三、掌握二階幾個特殊方程的解法1、型 解法-連續(xù)2次積分便可得通解2、型 解法-設(shè)降為一階方程求解3、型解法-設(shè)，則，原方程降為一階方程求解4、二階常系數(shù)齊次線性方程：若特征方程的兩個根為 ，則方程（1）的通解為： 兩個不相等的的實根， 兩個相等的實根 ， 一對共軛的復(fù)根， 5、二階常系數(shù)非齊次線性方程：方程（2）的通解形式為 ：y=+，其中為齊次方程（1）的通解，為方程（2）的一個特解。用比較系數(shù)法（待定系數(shù)法）求。按照的不同形式，寫出的相應(yīng)形式，（一