初中數(shù)學圓的知識點總結(jié)

1、知識點一、圓的定義及有關(guān)概念1. 圓的左義：平而內(nèi)到泄點的距離等于左長的所有點組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)槪念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點間的線段叫做弦，經(jīng)過圓 心的弦叫做直徑.直徑是最長的弦在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧*例P為00內(nèi)一點，0P=3cm,。0半徑為5cm,則經(jīng)過P點的最短弦長為:回最長弦長為.解題思路：圓內(nèi)最長的弦是直徑，最短的弦是和0P垂直的弦，答案：10 cm, 8 cm.知識點二、平面內(nèi)點和圓的位置關(guān)系平而內(nèi)點和圓的位置關(guān)系有三種：點在圓外、點在圓上.點在圓內(nèi)當點在圓外

2、時，dr；反過來，當d廠時，點在圓外。當點在圓上時，d=r；反過來，當d=廠時，點在圓上。8當點在圓內(nèi)時，d幾反過來，當dV廠時，點在圓內(nèi)。例如圖，在C中，直角邊AB = 3t BC = 4,點E , F分別是BC, AC的中點，以點A為圓心，的長為半徑畫圓，則點E在圓人的點尸在圓人的解題思路：利用點與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部練習：在直角坐標平面內(nèi)，圓O的半徑為5,圓心0的坐標為(-1，-4)試判斷點P(3, -1)與圓O的位置關(guān)系.答案：點P在圓o上.知識點三、圓的基本性質(zhì)1圓是軸對稱圖形，英對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑立理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的狐。垂徑

3、泄理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，特別的圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角左理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組疑相等，那 么它們所對應的英余各組量都分別相等。4、圓周角立理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角左理推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角左理推論2：直徑所對的圓周角是直角：90。的圓周角所對的弦是直徑。例1如圖，在半徑為5cm的O0中，圓心O到弦力8的距離為3cm,則弦AB的長是（）A 4cm B. 6cm C 8cm D 10cm解題思路：在一個圓中，若知圓的半徑

4、為R,弦長為Q,圓心到此弦的距離為d，回根據(jù) 垂徑左理，有R2如 （-）2,所以三個量知道兩個，就可求出第三個.答案C2例2.如圖，4、B、C、D是00上的三點，Z BAC=30則乙BOC的大小是（ ）A、60 B、45。C、30D、15解題思路：運用圓周角與圓心角的關(guān)系左理，答案：A例3、如圖1和圖2, MN是00的直徑，弦AB. CD0相交于MMD上的一點P, 0Z APM=Z CPM.（1）由以上條件，你認為A3和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由.（2）若交點P在OO的外部，上述結(jié)論是否成立若成立，加以證明；若不成立，請說 明理由.解題思路：(1)要說明AB=CD,只要證明AB、CD所對的

5、圓心角相等，回只要說明它們的一半相等.上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上而的題目是一模一樣的.解：(1) AB=CD理由：過0作OE、OF分別垂宜于AB、CD,垂足分別為E、F Z APM=Z CPM Z 1=Z 2 OE=OF連結(jié) OD、0B 且 OB二OD RtA OFD RtA OEB .I DF=BE根據(jù)垂徑左理可得：AB=CD(2)作0E丄AB, OF丄CD,垂足為E、F Z APM=Z CPN 且 OP二OP, Z PEO=Z PFO=90 RtA OPE空 RtA OPF OE=OF連接 OA、OB、OC、OD易證 RtA OBE空 RtA ODF, RtA OAE旻 RtA O

6、CF Z 1+Z 2=Z 3+Z 4/. AB=CD例4如圖，是00的直徑，BD是OO的弦，延長3D到C,使AC=AB, BD與CD的 大小有什么關(guān)系為什么解題思路：BD二CD,因為AB=AC.所以這個 ABC是等腰，要證明D是BC的中點,回只要連結(jié)AD證明AD是高或是Z BAC的平分線即可.解：BD=CD理由是：如圖24 30,連接AD AB 是00 的直徑 Z ADB=90即 ADBC又AC=ABBD=CD知識點四.圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個點確泄一個圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。4、三角

7、形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1如圖，通過防治“非典.人們增強了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了, 人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24-49所示，人、3、為市內(nèi)的三個住宅小區(qū), 環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，回要使得回收站建在三個小區(qū)都相等的某處，請 問如果你是工程師，你將如何選址.解題思路：B連結(jié)BC,作線段AB. BC的中垂線，兩條中垂線的交點即為垃圾回收站所在的位垃.例2如圖，點0是ZkABC的內(nèi)切圓的圓心.若Z BAC=80則 Z B0C二()解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄淸三角形內(nèi)切圓的圓

8、心是三角形內(nèi)角平分線的交點，答案A例3如圖,Rt4 ABC, Z C=90, 4C=3cm, BC=4cm,則它的外心與頂點C的距離為().A. 5 cm B C 3cm D 4cmA解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點，答案B知識點五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當直線和圓相交時，dr：反過來，當d門I寸，直線和圓相離。切線的性質(zhì)左理：圓的切線垂直于過切點的直徑切線的判定立理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點到切點之間的線段的長叫做這點到圓的切 線長。切線長左理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這

9、點的連線 平分兩條切線的夾角。例1、在ABC中，BC=6cm, Z B=30, Z C=45,以&為圓心，當半徑r多長時所作的OA與直線8C相切相交相離解題思路：作AD丄BC于DCD=AD BC=6cm 5Z)+CZ) =+= (73+ 1)=6- AD= 3(3-1)()- -lr = 3(75-1)時，OA -J BC 相切：當尸l)cw時，OA 與 BC 相交： 當r /%+廠2外切Od二相交O r1r2drr2內(nèi)切 c/=|ri r2| 內(nèi)含0d|rif2| （其中d=0,兩圓同心）例1兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖而如圖1所示（點6 0,是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條

10、直線.TP、NP分別為兩圓的切線，求ZTP/V的大小.l+3,外離.(2)設(shè) B (x, 0) x#-2,則 AB=V9 + XT, OB 半徑為 |x+2|,設(shè)OB與0A外切，則j9 + /=|x+2|+當x-2時，yJ9 + X2 =x+3,平方化簡得：x=0符題意,B (0, 0),當 x2 (舍)，設(shè) OB 與 0A 內(nèi)切，則 a/9 + X2 =|x+2|-lt當 x-2 時，j9+?=x+l,得 x=4-2, B (4, 0),當 x/9 + X2 =-x-3,得 x=0.知識點七、正多邊形和圓重點：講淸正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、回邊長之間的關(guān)系.難點：使學生理

11、解四者：正多邊形半徑、中心角、回弦心距、邊長之間的關(guān)系.正多邊形的中心：所有對稱軸的交點：正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應 的邊心距分成兩個全等的直角三角形。例如圖，已知正六邊形ABCDEF.其外接圓的半徑是回求正六邊形的周長和而積.解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然 而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA,過O點作OM丄AB垂于M,在RtA AOMS 中便可求得AM,又應用垂徑龍

12、理可求得AB的長.正六邊形的而積是由六塊正三角形面積 組成的.360解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60%回 OBC是6因此，所求的正六邊形的周長為6a等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑在 RtA OAM 中，OA=a, AM= AB= a 2 2利用勾股泄理，可得邊心距1 |J33.所求正六邊形的而積=6x xABxOM=6x xaxa= y/3 a22 222例2.在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃岀一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為 頂點C在半圓圓周上，苴它兩邊分別為6和8,現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于 A8CI3的矩形水池DEFN, 其中D、F在朋上，如圖24

13、-94的設(shè)計方案是使AC=8, BC=6.（1）求ZkABC的邊AB 的高/1h_ DN NF（2）設(shè)DN二x,且=，當x取何值時，水池的而積最大h AB（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在上距3點185的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否 位于最大矩形水池的邊上如果在，為了保護大樹，請設(shè)計出列外的方案，使內(nèi)接于滿足條件 的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.C解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出而積表達式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學的知識，應用配方法求最值.（3）的設(shè)訃要有新意，回應用圓的對稱性就能解： 由ABCG=ACBC得AB圓滿解決此題.10h DN NF10(4.8-x)(2) /

14、h= 且 DN=x . NF=hAB4.8貝U S曲邊形DEFN=X104825 ,25(x)=x2+10x=12 12(X2 120 x) 2525n一藝25_一 （x-） 2+1242且當x二時，取等號603600n 25)Z=25625 x(x-) 2+12XX當x二時，Sdefn最大.（3）當Sdefn最大時，xr 此時，F(xiàn)為BC中點，在RtA FEB中，EF=, BF=3. BE 二 J DE? _EF? =V32-2.42 =VBM=, /.BMEB,即大樹必位于欲修建的水池邊上，應重新設(shè)計方案.當 x二時，DE=5 /. AD=,由圓的對稱性知滿足條件的另一設(shè)計方案，如圖所示：r

15、此時，SAC=6, BC二& AD=, BE=,這樣設(shè)計既滿足條件,又避開大樹.知識點八、弧長和扇形.圓錐側(cè)面積面積(重點：n。的圓心角所對的弧長L=,扇形而積s扇二竺空、圓錐側(cè)面積而積及其它180360們的應用.難點：公式的應用.1n。的圓心角所對的弧長L= 1802. 圓心角為n。的扇形而積是S扇形=罟?3. 全面積是由側(cè)面積和底面圓的而積組成的，所以全而積二兀rL+r2.例1.操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠 長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD 的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a.解題思路：如圖所示，

16、不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD0分別交于點M、N,連結(jié)OA、0D.四邊形ABCD是正方形 OA=OD, Z AOD=90% Z MAO=Z NDO,又Z MON=90, Z AOM=Z DON .& AMO旻 DNOAM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a特別地，當點M與點A （點B）重合時，點N必與點D （點A）重合，此時AM+AN仍 為泄值a.故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為泄值a.例2.已知扇形的圓心角為120,面積為300 cm2.（1）求扇形的弧長：（2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截而而積為多少解題思路：由S詢鵠求出R,再代入?yún)[罟求得.（?是什么三

17、角形并說明理由.（2）若AP不過圓心O,如圖，PDC又是什么三角形為什么 AAPC m/BDC PC = DC又AP過圓心O, AB = AC, ZE4C = 60 ABAP = ZPAC = - ABAC = 30ZBAP = ABCP = 30, ZPBC = APAC = 302乙 CPD = ZPBC+ZBCP = 30 + 30 = 60：APDC 為等邊三角形.（2）仍為等邊三角形理由：先證AAPCABDC （過程同上）PC = DCVZ4P+ZE4C = 60 又: ZBAP = ABCP, 許AC = APBC ZCPD= ZBCP + ZPBC = ZBAP + APAC =

18、 3又T PC = DC PDC為等邊三角形.例3”如圖OA、OB是OO的兩條半徑，且OAXOB,點C是OB延長線上任意一點： 過點C作CD切OO于點D,連結(jié)AD交DC于點E.求證：CD=GE（2）若將圖中的半徑0B所在直線向上平行移動交0A于F,交OO于X,其他條件不變, 那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎為什么（3）若將圖中的半徑0B所在直線向上平行移動到OO外的CF,點E是DA的延長線與CF 的交點其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎為什么解題思路：本題主要考查圓的有關(guān)知識.考查圖形運動變化中的探究能力及推理能力.解答:(l)i明：連結(jié) 0D 貝lj0DCD, /. Z CDE+Z

19、ODA=90在 RtA AOE 中，Z AEO+Z A=90在00 中，OA二0D.Z A=Z ODA, .I Z CDE=Z AEO 又 Z AEO=Z CED, Z CDE=Z CED /. CD=CE (2)CE=CD仍然成立.T原來的半徑OB所在直線向上平行移動CF丄AO于F, 在 RtA AFE 中，Z A+Z AEF=90連結(jié) 0D,有Z ODA+Z CDE=90% 且 OA=OD Z A=Z ODA Z AEF=Z CDE 又Z AEF=Z CED /. Z CED=Z CDE. CD=CE (3)CE=CD仍然成立.原來的半徑OB所在直線向上平行移動.A0丄CF延長 0A 交

20、CF 于 G,在 RtA AEG 中，Z AEG+Z GAE=90連結(jié) 0D, 有Z CDA+Z ODA=90 且 OA=OD. Z ADO=Z OAD=Z GAE Z CDE=Z CED CD=CE考査目標二.主要是指點與圓的位置關(guān)系.直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān) 系的相關(guān)內(nèi)容。學生要學會用動態(tài)的觀點理解和解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系的問題。例1、A3是OO的直徑，必切OO于A, OP交OO于C,連BC.若ZP = 30 ,求Z3的度數(shù)./一解題思路：運用切線的性質(zhì)Q4切00于4是00的直徑，ZP4O = 90ZP = 30 , ZAOP = 60 ZB = -ZAOP = 302例2.如

21、圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO, 3D是OO的直徑，AE丄CD,垂足為, DA 平分ZBDE.(1)求證：4E是OO的切線；(2)若ZD3C = 30 , DE = 1cm,求BD的長.解題思路：運用切線的判左r(1)證明：連接OA，: DA平分ZBDE、ZBDA = ZEDA OA = OD :. ZODA = ZOAD /. ZOAD = ZEDA S.OA/CE 肚丄應， ZAED = 90 , ZOAE = ZDEA = 907./. AE丄Q4. :.AE是30的切線.(2) BD是直徑,ZBCD = ZBAD = 90 .v ZDBC = 30 , ZBDC = 60 , :. ZB

22、DE = 120 DA平分ZBDE, /.ZBDA = ZEDA = 60 . /.ZABD = ZEAD = 30 .在RtAAED 中，ZAED = 90 , ZEAD = 30 AD = IDE 在 RtAABD 中，ZBAD = 90 , ZABD = 30 , /. BD = 2AD = 4DE DE的長是lcm, .BD的長是4cm考査目標三、主要是指圓中的計算問題，包括弧長、扇形面積，以及圓柱與圓錐的側(cè) 面積和全面積的計算，這部分內(nèi)容也是歷年中考的必考內(nèi)容之一。學生要理解圓柱和其側(cè) 面展開圖矩形、圓錐和其側(cè)面展開圖扇形之間的關(guān)系。例如圖，已知在00中，AB=4JJ, AC是OO的直徑，AC丄BD 于 F, Z A=30.(1)求圖中陰影部分的面積;若用陰影扇形0BD用成一個圓錐側(cè)而，請求出這個圓錐的底而 圓的半徑.解題思路：(1)法一：過0作0E丄AB于E,A 廠 在 Rt AaE0 中，Z BAC=30, cos30= OA.0A=_=4. cos30 J3則 AE=1aB=2a/3 .2 AC丄BD, BC = CD Z C0D=Z BOC=60.ZBOD=120.S時竺竺二空佔=%3603603法二：連結(jié)ADAC丄BD, AC是直徑,A AC垂直平分BD。 AB二AD, BF=FD, BC = CD /. Z BAD二2Z BAC=60% Z BOD=120