數(shù)學學習的理論探討

1、數(shù)學學習的理論探討2前言：教師成為研究者20世紀80年代以來，教師教育出現(xiàn)了一種“反思性轉(zhuǎn)向”。以美國為開端，關(guān)于反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討論的結(jié)果就是形成了“教師即研究者”（ Elliott， 1990）的理念，也就是說，教師不應(yīng)只是別人研究成果的消費者，更應(yīng)是研究者。 教師即技師（教師即技師（Teacher as technician）教師即研究者（教師即研究者（Teacher as researcher） 3一、教師成為研究者是教師專業(yè)發(fā)展的需要一、教師成為研究者是教師專業(yè)發(fā)展的需要 “教師成為研究者教師成為研究者”有利于教師去發(fā)現(xiàn)和解決發(fā)生在自己有利于教師去發(fā)現(xiàn)和解決發(fā)生在

2、自己課室中的教學問題，或是教育上的問題，進而改進教學課室中的教學問題，或是教育上的問題，進而改進教學以及提升教育質(zhì)量。以及提升教育質(zhì)量。 “研究者研究者”與與“教師教師”看問題的視角往往是不一樣的，看問題的視角往往是不一樣的，“教師成為研究者教師成為研究者”有利于促進教師對學生學習的理解有利于促進教師對學生學習的理解?！皩W學”是是“教教”的前提，只有理解了學生是怎么學的的前提，只有理解了學生是怎么學的，教學才能對癥下藥。在理解學生的學習方面，教師的，教學才能對癥下藥。在理解學生的學習方面，教師的經(jīng)驗固然重要，但由于學習行為是一種復雜的心理活動經(jīng)驗固然重要，但由于學習行為是一種復雜的心理活動，因

3、此，單純的經(jīng)驗有時也會將教學引入歧途。，因此，單純的經(jīng)驗有時也會將教學引入歧途。 “教師成為研究者教師成為研究者”有助于促進教師之間、教師與專業(yè)有助于促進教師之間、教師與專業(yè)研究人員之間、以及教師與其它行業(yè)之間的合作與交流研究人員之間、以及教師與其它行業(yè)之間的合作與交流。教師的經(jīng)驗由于帶有太多的個性，一旦脫離了具體的。教師的經(jīng)驗由于帶有太多的個性，一旦脫離了具體的情境，就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經(jīng)情境，就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經(jīng)驗提升為一種帶有共性的東西，才可能跨越時空和行業(yè)驗提升為一種帶有共性的東西，才可能跨越時空和行業(yè)的界線。的界線。 4二、教師成為研究者是課

4、程改革的二、教師成為研究者是課程改革的需要需要 數(shù)學新課程的實施，帶來了許多新的東西，如：新的數(shù)學新課程的實施，帶來了許多新的東西，如：新的教學理念，新的教學方法，新的教學內(nèi)容，以及傳統(tǒng)教學內(nèi)教學理念，新的教學方法，新的教學內(nèi)容，以及傳統(tǒng)教學內(nèi)容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種種困惑：如何看待我國的雙基教學？傳統(tǒng)的教學經(jīng)驗是不是種困惑：如何看待我國的雙基教學？傳統(tǒng)的教學經(jīng)驗是不是不適用啦？什么是數(shù)學探究？如何評價教學的有效性？等等不適用啦？什么是數(shù)學探究？如何評價教學的有效性？等等。為了解除困惑，老師們常常把目光轉(zhuǎn)向?qū)＜液屠?/p>

5、論，而他。為了解除困惑，老師們常常把目光轉(zhuǎn)向?qū)＜液屠碚摚麄兂３Ｓ謺l(fā)現(xiàn)，專家們的觀點似乎并不一致，理論也似乎們常常又會發(fā)現(xiàn)，專家們的觀點似乎并不一致，理論也似乎沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺灣的報紙沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺灣的報紙用三個字來概括實施（臺灣地區(qū)）新課程后老師們的心情，用三個字來概括實施（臺灣地區(qū)）新課程后老師們的心情，那就是：那就是：“忙、盲、茫忙、盲、?！?。要改變這種現(xiàn)象，要改變這種現(xiàn)象，“教師成為研究者教師成為研究者”至關(guān)重要。因至關(guān)重要。因為面對新的情境，老的經(jīng)驗往往并不適用。只有采取研究的為面對新的情境，老的經(jīng)驗往往并不適用。只有采取

6、研究的態(tài)度，才能透過表面的現(xiàn)象看清本質(zhì)的東西，從而提高教師態(tài)度，才能透過表面的現(xiàn)象看清本質(zhì)的東西，從而提高教師的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風吹兩面倒。的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風吹兩面倒。 5三、研究風格的轉(zhuǎn)變?nèi)?、研究風格的轉(zhuǎn)變1. 自上而下（自上而下（演繹法演繹法）自下而上（自下而上（歸納法歸納法）2. 定性研究定性研究定量研究定量研究定性研究（定性研究（質(zhì)的研究質(zhì)的研究）3. 教育學方法（教育學方法（望遠鏡望遠鏡） 心理學方法（心理學方法（顯微鏡顯微鏡） 數(shù)學教育研究方法（數(shù)學教育研究方法（？）4. 理論研究（理論研究（改變理論改變理論） 實證研究（實證研究（檢驗

7、假設(shè)檢驗假設(shè)） 行動研究（行動研究（改變行為改變行為）5. 象牙塔（象牙塔（獨立研究獨立研究） 課堂（課堂（合作研究合作研究）6. 基于書面資料（基于書面資料（博覽群書博覽群書）基于因特網(wǎng)（基于因特網(wǎng)（搜索搜索與鑒別與鑒別）6四、數(shù)學教育的基本研究規(guī)范7論文的一般格式課題的提出課題的提出文獻綜述文獻綜述研究方法研究方法研究過程研究過程結(jié)果與應(yīng)用結(jié)果與應(yīng)用參考文獻參考文獻附錄附錄（已有的成果及其與本研究的聯(lián)系）（起因與意義）（取樣，問卷，測試卷等及其信度和效度，包括反應(yīng)率）8五、幾點建議9選擇一個適合自己的研究方向選擇一個適合自己的研究方向 數(shù)學教育涉及的研究領(lǐng)域和方向很多，教師的數(shù)學教育涉及的

8、研究領(lǐng)域和方向很多，教師的工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學教育研究的方方工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學教育研究的方方面面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向面面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實，作為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實地做一點自己的東西?，F(xiàn)在學術(shù)界的新觀點、新口地做一點自己的東西。現(xiàn)在學術(shù)界的新觀點、新口號很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引號很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領(lǐng)潮流的畢竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波逐領(lǐng)潮流的畢竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波逐流，容易迷失方向。大約在流，容易迷失方向。大約

9、在7年前，筆者因為出國訪年前，筆者因為出國訪學的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙學的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評價是：你的研究只是東一榔頭、西先生。先生的評價是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自己的研究特長。這讓我很是振動一榔頭，看不出自己的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領(lǐng)域。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領(lǐng)域。10從從“小小”做起做起 喜歡做大做空，是我國傳統(tǒng)教育研究的一個喜歡做大做空，是我國傳統(tǒng)教育研究的一個通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文風。從研究角度來

10、看，大體上有兩種：一種是的文風。從研究角度來看，大體上有兩種：一種是“望遠鏡望遠鏡”式的，高瞻遠矚，整體把握；另一種是式的，高瞻遠矚，整體把握；另一種是“顯微鏡顯微鏡”式的，選一個小的切入點，逐步深入。式的，選一個小的切入點，逐步深入。從目前的國際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從從目前的國際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實際情況看，比較合適的也是后一種。我們教師的實際情況看，比較合適的也是后一種。本刊的老主編唐復蘇教授經(jīng)常掛在嘴上的一本刊的老主編唐復蘇教授經(jīng)常掛在嘴上的一句話是：文章不在長短，有一得之見即可。這一得句話是：文章不在長短，有一得之見即可。這一得之見指的是自己的獨到見解

11、，而不是泛泛而談。我之見指的是自己的獨到見解，而不是泛泛而談。我們不能期望一篇短文能夠講出許多的大道理。們不能期望一篇短文能夠講出許多的大道理。11注意相關(guān)文獻的積累注意相關(guān)文獻的積累 做研究不能靠拍腦袋。雖然論點的選擇可以來自經(jīng)驗，做研究不能靠拍腦袋。雖然論點的選擇可以來自經(jīng)驗，但經(jīng)驗不能代替有效的論據(jù)。在一些學術(shù)期刊的文章中，我們但經(jīng)驗不能代替有效的論據(jù)。在一些學術(shù)期刊的文章中，我們?nèi)匀豢梢钥吹剑喝匀豢梢钥吹剑骸拔艺J為我認為”這類比較隨意的斷言，卻始終沒這類比較隨意的斷言，卻始終沒有給出為什么可以這樣認為的證據(jù)，則不是研究的態(tài)度。當然有給出為什么可以這樣認為的證據(jù)，則不是研究的態(tài)度。當然，

12、像，像中學數(shù)學月刊中學數(shù)學月刊這樣兼顧學術(shù)性和實用性的刊物，并不這樣兼顧學術(shù)性和實用性的刊物，并不排斥有效教學經(jīng)驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅排斥有效教學經(jīng)驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅是經(jīng)驗之談。是經(jīng)驗之談。提高研究水平的一條具體措施就是注意相關(guān)文獻的搜集提高研究水平的一條具體措施就是注意相關(guān)文獻的搜集與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經(jīng)做了與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經(jīng)做了哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復勞動。我國老一哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復勞動。我國老一代數(shù)學教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他代數(shù)

13、學教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他不僅自費訂閱幾乎全部的中小學數(shù)學類期刊，而且制作了大量不僅自費訂閱幾乎全部的中小學數(shù)學類期刊，而且制作了大量的學術(shù)卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然的學術(shù)卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然在網(wǎng)絡(luò)時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月在網(wǎng)絡(luò)時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月累。累。12掌握基本的研究方法掌握基本的研究方法 長期以來，學科教育研究常常受到學科專長期以來，學科教育研究常常受到學科專家的質(zhì)疑，其根本原因就是研究方法的科學性家的質(zhì)疑，其根本原因就是研究方法的科學性。與自然科學不同的是，教

14、學假設(shè)是不能用純。與自然科學不同的是，教學假設(shè)是不能用純邏輯的方法來論證的，教學實驗也通常是不可邏輯的方法來論證的，教學實驗也通常是不可復制的。因此，研究方法的適用性及信度和效復制的。因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關(guān)鍵的因素。近年來流行的教學研究度就成為關(guān)鍵的因素。近年來流行的教學研究方法包括：案例研究，問卷調(diào)查，深度訪談，方法包括：案例研究，問卷調(diào)查，深度訪談，出聲思維，錄像帶分析，教學實驗等等。這些出聲思維，錄像帶分析，教學實驗等等。這些方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉了。了。 13增加合作與交流增加合作與交流 現(xiàn)代社會越來越強調(diào)人

15、與人的合作交流，現(xiàn)代社會越來越強調(diào)人與人的合作交流，數(shù)學教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅數(shù)學教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指研究結(jié)果的呈現(xiàn)，更在于研究過程的開放性。指研究結(jié)果的呈現(xiàn)，更在于研究過程的開放性。近年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就近年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就在網(wǎng)絡(luò)上公布，并毫無保留地展現(xiàn)自己的研究過在網(wǎng)絡(luò)上公布，并毫無保留地展現(xiàn)自己的研究過程，包括其中的困惑，希望引起別人的關(guān)注與介程，包括其中的困惑，希望引起別人的關(guān)注與介入。這種做法，于人于己都有益處。入。這種做法，于人于己都有益處。 14教師參與研究的程度 漢森（漢森（Henson, 1996）

16、曾將教師參與研究的程度分為三級）曾將教師參與研究的程度分為三級：1. 第一級為第一級為“協(xié)助者協(xié)助者”（helper）的角色，即僅提供）的角色，即僅提供教室與學生給外來的研究者使用；教室與學生給外來的研究者使用；2. 第二級為第二級為“初級研究者初級研究者”（junior partner）的角色）的角色，即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策，即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策；3. 第三級為第三級為“實質(zhì)研究者實質(zhì)研究者”（researcher）的角色，即）的角色，即不論單獨進行或與他人合作研究，皆處于主導研究的不論單獨進行或與他人合作研究，皆處于主導研究的地位。地位。研究表

17、明，唯有位于第三級的教師，才能確實利用研究來改研究表明，唯有位于第三級的教師，才能確實利用研究來改進自身的教學。進自身的教學。 15提綱I.前言前言II. 范希爾的幾何思維水平范希爾的幾何思維水平III. 克魯切茨基的數(shù)學能力心理學克魯切茨基的數(shù)學能力心理學IV. 韜爾的高等數(shù)學思維研究韜爾的高等數(shù)學思維研究V. 安德森的安德森的ACT-R理論理論VI. 杜賓斯基的杜賓斯基的APOS理論理論16I. 前言呼喚數(shù)學領(lǐng)域自身的學習理論！呼喚數(shù)學領(lǐng)域自身的學習理論！教育心理學教育心理學教學心理學教學心理學教與學心理學教與學心理學學與教心理學學與教心理學學習理論學習理論17理論的意義1. 支持預測；支

18、持預測；2. 為研究提供框架；為研究提供框架；3. 具有解釋的能力；具有解釋的能力；4. 能夠應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；能夠應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象；5. 有助于組織對復雜的相關(guān)現(xiàn)象的思考；有助于組織對復雜的相關(guān)現(xiàn)象的思考；6. 作為數(shù)據(jù)分析的工具；作為數(shù)據(jù)分析的工具；7. 提供一種深層次的交流觀點的語言。提供一種深層次的交流觀點的語言。18數(shù)學學習領(lǐng)域的理論建構(gòu)兩條途徑：兩條途徑：第一條途徑是第一條途徑是“一般學習理論一般學習理論 + 數(shù)學例子數(shù)學例子”，也，也就是將一般的學習原理應(yīng)用于具體的數(shù)學學習情就是將一般的學習原理應(yīng)用于具體的數(shù)學學習情境，然后根據(jù)數(shù)學學習的特點修正原來的理論，境，然后根據(jù)數(shù)學學習的

19、特點修正原來的理論，或者提出新的假設(shè)去尋找更合適的理論依據(jù)?；蛘咛岢鲂碌募僭O(shè)去尋找更合適的理論依據(jù)。1. 另外一條途徑則另外一條途徑則源自數(shù)學學習中的問題與經(jīng)驗源自數(shù)學學習中的問題與經(jīng)驗, 通通過建立模型去解釋數(shù)學學習的心理過程過建立模型去解釋數(shù)學學習的心理過程。這一類。這一類研究人員通常是數(shù)學專業(yè)出生，對數(shù)學有較為深研究人員通常是數(shù)學專業(yè)出生，對數(shù)學有較為深入的理解，但在教育學和心理學的理論功底上有入的理解，但在教育學和心理學的理論功底上有所欠缺，其研究的重點主要在于大學生和中學生所欠缺，其研究的重點主要在于大學生和中學生的數(shù)學學習。相比之下，心理學界對數(shù)學學習的的數(shù)學學習。相比之下，心理學

20、界對數(shù)學學習的討論主要集中在小學階段。討論主要集中在小學階段。 19學習理論研究的趨勢：走進課堂 三十年前三十年前, 教育工作者們很少關(guān)注認知科學教育工作者們很少關(guān)注認知科學家的工作家的工作, 在認知科學研究的初期在認知科學研究的初期, 研究者們的工研究者們的工作是遠離課堂的作是遠離課堂的. 今天今天, 認知研究者們更多的是與認知研究者們更多的是與教師合作教師合作, 在真實的課堂情景中檢驗和改進他們在真實的課堂情景中檢驗和改進他們的理論的理論, 因為在教室里因為在教室里, 他們才能看到不同的課堂他們才能看到不同的課堂情境和不同的課堂交往是如何影響他們的理論在情境和不同的課堂交往是如何影響他們的

21、理論在課堂中的應(yīng)用課堂中的應(yīng)用. 摘自摘自人是如何學習的人是如何學習的20II. 范希爾的幾何思維水平21起因在在50年代的荷蘭，幾何教學所面臨的問題年代的荷蘭，幾何教學所面臨的問題是很普遍的（是很普遍的（Freudenthal, 1958）。范希爾夫）。范希爾夫婦（婦（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作為）作為荷蘭一所中學的數(shù)學教師，每天都親身經(jīng)歷著荷蘭一所中學的數(shù)學教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識常常超的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識常常超出

22、了學生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮出了學生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時間的研究，他們提出亞杰的工作。經(jīng)過一段時間的研究，他們提出了幾何思維的五個水平。這一成果最初發(fā)表在了幾何思維的五個水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于他們夫婦于1957年在烏特勒克大學共同完成的年在烏特勒克大學共同完成的的博士論文上。的博士論文上。 22評價前蘇聯(lián)學者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文前蘇聯(lián)學者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在）在1963年就由皮什卡羅（年就由皮什卡羅（A. M. Pyshkalo）作了）作了詳盡的報道。詳盡的報道。10年之后，美國人才開始了解范

23、希爾的工作。年之后，美國人才開始了解范希爾的工作。在在1974年召開的大西洋城年召開的大西洋城NCTM年會上，芝加哥大學的威茲年會上，芝加哥大學的威茲普（普（Isaak Wirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國學）將范希爾的思想正式介紹給了美國學者，并同時介紹了前蘇聯(lián)幾何教學的者，并同時介紹了前蘇聯(lián)幾何教學的“驚人進展驚人進展”。威茲普。威茲普的報告后來以的報告后來以“幾何教學心理學中的一個重大突破幾何教學心理學中的一個重大突破”為標題為標題發(fā)表在發(fā)表在Martin 和和Bradbard主編的著作上（主編的著作上（Wirszup，1976）。）。 與此與此同時，弗賴登塔爾也提供了思維水平

24、在數(shù)學歸納同時，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數(shù)學歸納法學習中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學歸納實際上也是沿著五個思法學習中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學歸納實際上也是沿著五個思維水平發(fā)展的（維水平發(fā)展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有這一些）。所有這一些，使范希爾理論，使范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀80年代幾何教學研究的一個熱點。年代幾何教學研究的一個熱點。 23水平的劃分層次層次0視覺視覺 ( visuality) 層次層次1分析分析(analysis) 層次層次2非形式化的演繹非形式化的演繹 (informal deduction)

25、 層次層次3形式的演繹形式的演繹 (formal deduction) 層次層次4嚴密性嚴密性( rigior ) 24層次0視覺 ( visuality) 兒童能通過整體輪廓辨認圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述. 如：兒童可能會某個圖形是三角形，因為它看起像一個三明治。25層次1分析(analysis) 兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組

26、成要素比較兩個形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導出公式和使用正式的定義。如：兒童會知道三角形有三條邊和三個角，但能解如果內(nèi)角愈大，則對邊愈長的性質(zhì)。26層次2非形式化的演繹 (informal deduction) 兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。如：學生解了等腰三角形的性質(zhì)后，他們會推出等腰直角三角形同時也是直角三角形的一種，因

27、為等腰直角三角形較直角三角形多一些性質(zhì)的限制。因此，學童能作一些非正式的說明但還能作系統(tǒng)性的證明.27層次3形式的演繹 學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個邊對應(yīng)相等或至少一個角對應(yīng)相等是證明兩個三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應(yīng)相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理

28、，如平行四邊形的對角線互相平分，其逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 28層次4嚴密性 在這個層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴謹?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。29水平的修正（Van Hiele，1986） 1. 直觀水平（visual level）整體地認識幾何對象。Fuys, geddes, Lovett和Tischler（1988）認為這一階段是“學習者依據(jù)幾何圖形的外表來認識，命名，比較，和畫出這些圖形的時候，像三角形，角度，平行線”。2. 描述水平（descriptive level）通過幾何性質(zhì)認識幾何對象。在這一階段學生按照圖形的組成部分

29、和這些組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形。學生依據(jù)經(jīng)驗確立圖形的性質(zhì)和使用這些性質(zhì)解決問題。3. 理論水平（theoretical level）利用演繹推理證明幾何關(guān)系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網(wǎng)絡(luò)圖在這一階段完整和穩(wěn)定了。學生理解和接受了準確的定義，學生談?wù)撔螤顣r涉及到這些定義，學生理解圖形內(nèi)部和圖形之間的聯(lián)系。這一階段學生能夠運用“如果那么”思想，并由此發(fā)展邏輯推理能力。 30SOLO理論 SOLO是“學習結(jié)果的結(jié)構(gòu)性觀察”（Structure Of the Observed Learning Outcome）的縮寫，由澳大利亞學者Collis和Biggs（1982）所創(chuàng)

30、，SOLO分類法的理論基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)主義學說和皮亞杰認知發(fā)展階段理論 31SOLO水平分類 SOLO層次規(guī)則描述前結(jié)構(gòu)學生無法解決問題或只會重復問題。學生不能理解要點。單結(jié)構(gòu)學生注意到了問題的一個相關(guān)特征，但事實或觀點之間沒有聯(lián)系。理解是有名無實的。多元結(jié)構(gòu) 學生找到了許多獨立的相關(guān)特征，但還無法將他們有機聯(lián)系起來。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu) 整合各部分內(nèi)容使其成為一個有機整體。擴展抽象 學生會歸納問題或重新概念化到更高的抽象層次32范希爾理論與SOLO理論的比較SOLO 分類與范希爾理論在許多方面是相似的，如兩者都為教師提供了一種評價學生推理的途徑；兩者都可以作為一種教學的框架；在各級水平（特別是最高水平和最低水

31、平）上學生的反應(yīng)指標有些類似；等。但兩者之間的區(qū)別也是存在的，如SOLO系統(tǒng)側(cè)重于評價學生的學習結(jié)果，而范希爾的目標則是學生個體的能力變化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分類可以應(yīng)用于所有的學科，而范希爾一般只適用于幾何課程；SOLO系統(tǒng)除了五個結(jié)構(gòu)層次外，還給出了不同層次之間的“過渡水平”，目的是幫助學生從一個層次向另一個層次過渡，而范希爾的教學階段則聚焦于每個層次上的教學設(shè)計 33幾何思維水平的評估 范希爾理論在幾何評價上的應(yīng)用主要包括相關(guān)的兩個方面：一是在每個思維水平上設(shè)計出相應(yīng)的測試題；二是利用編制好的測試題考查學生的范希爾思維水平。 在這方面的工作中，第一個，也是最經(jīng)

32、典的一項研究是芝加哥大學的一個題為“中學幾何課上學生認知的發(fā)展和成就”的研究課題。這項研究的目的是確定學生的認知發(fā)展階段以及學生在一個數(shù)學基礎(chǔ)知識測驗上的成績對他們掌握幾何概念和證明的影響（Usiskin，1982）。這項課題的對象包括了六個州的學習高中幾何課程的近2900名學生。34Usiskin得到的初步的研究結(jié)果 1. 以紙筆測驗進施測，有8的初初中生可達到van Hiele 層次3之上。2. 范希爾幾何思考層次和幾何測驗分數(shù)間有顯著的相關(guān)。3. 部分學生的解答介于兩個水平之間，難以指派到某一層次。4. 完成中學幾何課程后，仍有40學生的幾何發(fā)展仍在層次3以下。5. 范希爾層次在性別間有

33、差異現(xiàn)象。6. 利用van Hiele 幾何思考層次可預測學生在標準幾何學習上會遇到困難35III. 中小學生數(shù)學能力心理學36簡介前蘇聯(lián)心理學家克魯切茨基從前蘇聯(lián)心理學家克魯切茨基從50年代末開始年代末開始就對中小學生數(shù)學能力進行了長達十二年的研究就對中小學生數(shù)學能力進行了長達十二年的研究. 他運用深度訪談、問卷調(diào)查、跟蹤分析、出聲思維他運用深度訪談、問卷調(diào)查、跟蹤分析、出聲思維等質(zhì)的研究方法，分析了不同能力的學生解題時的等質(zhì)的研究方法，分析了不同能力的學生解題時的心里特性，以及數(shù)學能力組成成分中的類型、年齡心里特性，以及數(shù)學能力組成成分中的類型、年齡、性別差異以及數(shù)學能力與個性的關(guān)系。這些

34、研究、性別差異以及數(shù)學能力與個性的關(guān)系。這些研究成果集中反映在其著作成果集中反映在其著作中小學生數(shù)學能力心理學中小學生數(shù)學能力心理學中。這本書的俄文版在中。這本書的俄文版在1968年出版后，于年出版后，于1976年被基爾帕特里克等人翻譯成英文版（年被基爾帕特里克等人翻譯成英文版（Krutetskii, 1976）。分別于）。分別于1983、1984和和1993年由我國上海年由我國上海教育出版社、教育科學出版社和九章出版社出版的教育出版社、教育科學出版社和九章出版社出版的中譯本均譯自這本英文版。中譯本均譯自這本英文版。 37評價“可以毫不夸張地說，這本書對從事數(shù)學教育可以毫不夸張地說，這本書對從

35、事數(shù)學教育的人來說，和皮亞杰的著作有同樣的影響力。正像的人來說，和皮亞杰的著作有同樣的影響力。正像皮亞杰的實驗題目曾為教師和研究人員所改編和使皮亞杰的實驗題目曾為教師和研究人員所改編和使用一樣，克魯切茨基的實驗題目更接近于學校的數(shù)用一樣，克魯切茨基的實驗題目更接近于學校的數(shù)學課程，因而同樣地能為教師和研究人員加以改編學課程，因而同樣地能為教師和研究人員加以改編和使用；正如皮亞杰關(guān)于智力發(fā)展的概念曾使教育和使用；正如皮亞杰關(guān)于智力發(fā)展的概念曾使教育工作者認識到不同年齡兒童思維上的差異一樣，克工作者認識到不同年齡兒童思維上的差異一樣，克魯切茨基關(guān)于數(shù)學能力結(jié)構(gòu)的概念，能使他們認識魯切茨基關(guān)于數(shù)學能

36、力結(jié)構(gòu)的概念，能使他們認識到能力的不同組成和它們是怎樣在共同起作用的；到能力的不同組成和它們是怎樣在共同起作用的；正如皮亞杰曾經(jīng)擴大了我們關(guān)于什么是恰當?shù)难芯空缙喗茉?jīng)擴大了我們關(guān)于什么是恰當?shù)难芯糠椒ㄒ粯?，克魯切茨基則更進一步擴展了這個概念方法一樣，克魯切茨基則更進一步擴展了這個概念?！被鶢柵撂乩锟嘶鶢柵撂乩锟?38三個基本問題 1. 數(shù)學能力特殊性問題數(shù)學能力特殊性問題。數(shù)學能力本身是作為一種特殊形。數(shù)學能力本身是作為一種特殊形式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數(shù)學能力是一般式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數(shù)學能力是一般心理過程和人格品質(zhì)的特殊化呢？也就是說，一般智力心理過程和人格品

37、質(zhì)的特殊化呢？也就是說，一般智力是與數(shù)學能力一起發(fā)展的嗎？換句話說，人們能說數(shù)學是與數(shù)學能力一起發(fā)展的嗎？換句話說，人們能說數(shù)學能力不外是一般智力加上對數(shù)學的興趣和學習數(shù)學的傾能力不外是一般智力加上對數(shù)學的興趣和學習數(shù)學的傾向性嗎？向性嗎？2. 數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)性問題數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)性問題。數(shù)學稟賦是單一性的（單獨的。數(shù)學稟賦是單一性的（單獨的、不可再分的）還是綜合性的（復雜的）？如果是綜合、不可再分的）還是綜合性的（復雜的）？如果是綜合性的，人們就可追問關(guān)于數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)問題，也就是性的，人們就可追問關(guān)于數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)問題，也就是復雜心理形式的組成成分問題。復雜心理形式的組成成分問題。3. 數(shù)學

38、能力的類型差異問題數(shù)學能力的類型差異問題。是否存在著不同類型的數(shù)學。是否存在著不同類型的數(shù)學秉賦或者有一個主要成分而只是在對某些數(shù)學分支的興秉賦或者有一個主要成分而只是在對某些數(shù)學分支的興趣和傾向上出現(xiàn)差別？趣和傾向上出現(xiàn)差別？39（一）能力結(jié)構(gòu)40兩類數(shù)學能力1. 作為創(chuàng)造性（科學）的能力作為創(chuàng)造性（科學）的能力在數(shù)學科學在數(shù)學科學活動中的能力。這種能力產(chǎn)生對人類有意義活動中的能力。這種能力產(chǎn)生對人類有意義的新成果與新成就。這是在社會上有價值的的新成果與新成就。這是在社會上有價值的成品。成品。2. 作為學校的能力作為學校的能力在學習（學會、掌握）在學習（學會、掌握）數(shù)學（在這種情況下是學校的

39、數(shù)學課程）上數(shù)學（在這種情況下是學校的數(shù)學課程）上的能力，迅速而成功地掌握適當知識和技能的能力，迅速而成功地掌握適當知識和技能的能力。的能力。41中小學生數(shù)學能力結(jié)構(gòu) 1. 獲得數(shù)學信息獲得數(shù)學信息 A. 對于數(shù)學材料形式化感知的能力；對問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能對于數(shù)學材料形式化感知的能力；對問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能力。力。2. 數(shù)學信息加工數(shù)學信息加工A. 在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號方面的邏輯思維能力；在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數(shù)學符號進行思維的能力。對數(shù)學符號進行思維的能力。B. 迅速而廣泛地概括數(shù)學對象、關(guān)系和運算的能力。迅速而廣泛地概括數(shù)學對象、關(guān)系和運算的能

40、力。C. 縮短數(shù)學推理過程和相應(yīng)的運算系統(tǒng)的能力；以簡短的結(jié)構(gòu)縮短數(shù)學推理過程和相應(yīng)的運算系統(tǒng)的能力；以簡短的結(jié)構(gòu)進行思維的能力。進行思維的能力。D. 在數(shù)學活動中心理過程的靈活性。在數(shù)學活動中心理過程的靈活性。E. 力求解答的清晰、簡明、經(jīng)濟與合理。力求解答的清晰、簡明、經(jīng)濟與合理。F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉(zhuǎn)向另一個相迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉(zhuǎn)向另一個相反思路的能力（數(shù)學推理中心理過程的可逆性）。反思路的能力（數(shù)學推理中心理過程的可逆性）。3. 數(shù)學信息保持數(shù)學信息保持A. 數(shù)學的記憶（關(guān)于數(shù)學關(guān)系，類型特征，論據(jù)和證明的圖式數(shù)學的記憶（關(guān)于數(shù)學關(guān)系

41、，類型特征，論據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4. 一般綜合性組成成分一般綜合性組成成分 A. 數(shù)學氣質(zhì)。數(shù)學氣質(zhì)。42數(shù)學稟賦結(jié)構(gòu)中非必要成分 1. 以時間為特征的心理過程的敏捷性。數(shù)學家可以慢慢地思考，但是卻想得非常透徹和深刻。2. 計算能力。法國著名數(shù)學家龐卡萊說，他自己即使做加法也要出錯誤。3. 對符號、數(shù)字和公式的記憶。正如科爾莫戈羅夫指出的那樣，許多著名數(shù)學家在這方面的記憶并不突出。4. 關(guān)于空間概念的能力；5. 對抽象數(shù)學關(guān)系和相依關(guān)系形象化的能力。43（二）研究中小學生數(shù)學能力的實驗題體系普通測驗普通測驗：考查學生知道什么和

42、會什么?？疾閷W生知道什么和會什么。能力測驗能力測驗：考查學生解題的容易程度和迅速程考查學生解題的容易程度和迅速程度度44選擇實驗題的依據(jù) 1. 選用的實驗題目或是不需要特殊的知識、技能或習選用的實驗題目或是不需要特殊的知識、技能或習慣就可以解決的，或是它所需要的知識對全體學生慣就可以解決的，或是它所需要的知識對全體學生來說都是具備的。來說都是具備的。2. 實驗題目對學生來說是新的，所用的材料也是他們實驗題目對學生來說是新的，所用的材料也是他們不熟悉的，因此，也就大大減弱了過去經(jīng)驗的影響不熟悉的，因此，也就大大減弱了過去經(jīng)驗的影響。3. 如果他們的材料是新近學過的，那么就使我們有可如果他們的材料

43、是新近學過的，那么就使我們有可能去探索學生掌握新技能的特點（解答相應(yīng)類似題能去探索學生掌握新技能的特點（解答相應(yīng)類似題目的技能）。目的技能）。4. 我們運用了一些具有數(shù)學創(chuàng)造性成分的題目我們運用了一些具有數(shù)學創(chuàng)造性成分的題目非非常規(guī)的題目。常規(guī)的題目。45系列1：沒有提出問題的題目考查目的考查目的：本系列題目中，既沒有直接提出問題，：本系列題目中，既沒有直接提出問題，也沒有間接提出問題，但題中所給的數(shù)量關(guān)系可以也沒有間接提出問題，但題中所給的數(shù)量關(guān)系可以合乎邏輯地引申出問題。目的是弄清學生是否能提合乎邏輯地引申出問題。目的是弄清學生是否能提出問題，是否能發(fā)現(xiàn)題目中已知關(guān)系的邏輯依從性出問題，是

44、否能發(fā)現(xiàn)題目中已知關(guān)系的邏輯依從性，是否能理解這些關(guān)系的本質(zhì)，以此來考查學生對，是否能理解這些關(guān)系的本質(zhì)，以此來考查學生對數(shù)學題的心理知覺的某些特征。數(shù)學題的心理知覺的某些特征?？疾榉椒疾榉椒ǎ河伤阈g(shù)、代數(shù)、幾何三套測驗組成，學：由算術(shù)、代數(shù)、幾何三套測驗組成，學生拿到一張帶題目的卡片之后就立即閱讀并立即提生拿到一張帶題目的卡片之后就立即閱讀并立即提出問題。主試要弄清被試的整個推理過程，并記下出問題。主試要弄清被試的整個推理過程，并記下測驗所用的時間。測驗所用的時間。46系列2：信息不完全的題目考查目的考查目的：本系列題目中有些信息缺少了，看：本系列題目中有些信息缺少了，看起來對所提的問題似

45、乎不可能有正確答案，而起來對所提的問題似乎不可能有正確答案，而當補充了信息以后，就能得到正確的答案。目當補充了信息以后，就能得到正確的答案。目的是弄清學生能否指出解題必需具備的條件，的是弄清學生能否指出解題必需具備的條件，并注意到丟失的信息，以此考查學生能否看出并注意到丟失的信息，以此考查學生能否看出題目的形式結(jié)構(gòu)。題目的形式結(jié)構(gòu)?？疾榉椒疾榉椒ǎ河伤阈g(shù)和幾何兩套測驗組成，當學：由算術(shù)和幾何兩套測驗組成，當學生肯定地回答不能解決問題時，要求他說明原生肯定地回答不能解決問題時，要求他說明原因，并補上丟失的信息。因，并補上丟失的信息。47系列3：有多余信息的題目考查目的考查目的：本系列題目中插進

46、了附加的、不必：本系列題目中插進了附加的、不必要的信息，或者沒有用的提示，以掩蓋解題所要的信息，或者沒有用的提示，以掩蓋解題所需要的論據(jù)，目的是弄清學生能否辨別解題所需要的論據(jù)，目的是弄清學生能否辨別解題所需要的條件體系，以揭示他們頭腦中理解數(shù)學需要的條件體系，以揭示他們頭腦中理解數(shù)學題的一些特點。題的一些特點?？疾榉椒疾榉椒ǎ阂话阌脙山M題：一般用兩組題：“總是缺少必要的總是缺少必要的條件條件”“”“都有多余的事實都有多余的事實”同時進行，可在學同時進行，可在學生學習了典型例題的一課、一周或一月之后進生學習了典型例題的一課、一周或一月之后進行，用以考查學生是否記住了：行，用以考查學生是否記住

47、了：1）題目的類）題目的類型；型；2）特殊的事實；）特殊的事實；3）多余的信息。）多余的信息。48系列4：具有互相滲透因素的題目 考查目的考查目的：研究學生分析：研究學生分析綜合知覺幾何圖綜合知覺幾何圖形的一些因素，特別是從不同觀點辨別和確形的一些因素，特別是從不同觀點辨別和確定幾何圖形滲透成分的技能，從背景中區(qū)分定幾何圖形滲透成分的技能，從背景中區(qū)分出圖形和圖形成分的技能，把一個成分包含出圖形和圖形成分的技能，把一個成分包含在不同圖形中，并給予恰當?shù)牟煌忉尩募荚诓煌瑘D形中，并給予恰當?shù)牟煌忉尩募寄?。能?？疾榉椒疾榉椒ǎ褐饕獛缀螠y驗，其圖形中有些要：主要幾何測驗，其圖形中有些要素是素是“

48、互相滲透的互相滲透的”，如看出棋盤中有多少，如看出棋盤中有多少個長方形。個長方形。 49系列5：單一類型的題目體系考查目的考查目的：通過學生怎樣從不同的題目中看出一般的類：通過學生怎樣從不同的題目中看出一般的類型、如何從解決同一類型簡單的題目到解決復雜的題目型、如何從解決同一類型簡單的題目到解決復雜的題目、以及他們怎樣從外表類似的另一類型的題目中區(qū)分出、以及他們怎樣從外表類似的另一類型的題目中區(qū)分出這一類型的題目，來考查他們的概括能力。并通過分析這一類型的題目，來考查他們的概括能力。并通過分析學生連續(xù)解一個類型的問題時的推理過程，來判斷他們學生連續(xù)解一個類型的問題時的推理過程，來判斷他們“縮短

49、縮短”推理的能力。推理的能力?？疾榉椒疾榉椒ǎ簩Σ煌瑢哟蔚膶W生用兩組不同難度的測驗，：對不同層次的學生用兩組不同難度的測驗，每組測驗由每組測驗由8道題，由易到難體現(xiàn)了一個類型從容易到道題，由易到難體現(xiàn)了一個類型從容易到復雜的復雜的“階梯式階梯式”。測試時，先做第。測試時，先做第8題，不行就做第題，不行就做第1題，然后再做第題，然后再做第8題，不行再做第題，不行再做第2題，如此下去，只題，如此下去，只要求學生回答解題的思路，而不必完整解題。要求學生回答解題的思路，而不必完整解題。50其它系列目目形象與語言邏輯成分之間形象與語言邏輯成分之間關(guān)關(guān)系的題目系的題目51（三）能力差異克魯切茨基堅決主張

50、有所謂克魯切茨基堅決主張有所謂“有數(shù)學頭腦有數(shù)學頭腦”即即傾向于以數(shù)學方式來解釋世界的人。在數(shù)學稟賦好的學生傾向于以數(shù)學方式來解釋世界的人。在數(shù)學稟賦好的學生身上可以清楚地看到這一點。他還提到，這種傾向甚至在身上可以清楚地看到這一點。他還提到，這種傾向甚至在人一生下來就可能有所表現(xiàn)。他區(qū)分出三種數(shù)學頭腦的基人一生下來就可能有所表現(xiàn)。他區(qū)分出三種數(shù)學頭腦的基本類型：分析型（傾向以言語本類型：分析型（傾向以言語邏輯的關(guān)系來思考）、邏輯的關(guān)系來思考）、幾何型（傾向以視覺幾何型（傾向以視覺形象的關(guān)系來思考）和調(diào)和型（形象的關(guān)系來思考）和調(diào)和型（兼具前兩種類型的特征）。兼具前兩種類型的特征）。 “能力問

51、題也就是個別差異問題。如果每個人在各能力問題也就是個別差異問題。如果每個人在各方面的發(fā)展和在從事任何活動上都有同樣的能力，那么討方面的發(fā)展和在從事任何活動上都有同樣的能力，那么討論能力問題也就沒有意義了。我們談?wù)撃芰栴}，就等于論能力問題也就沒有意義了。我們談?wù)撃芰栴}，就等于預先假定了人們之間有某些個別差異。沒有一個人在任何預先假定了人們之間有某些個別差異。沒有一個人在任何事情上都是無能的，每個人都有最適宜從事某種活動的能事情上都是無能的，每個人都有最適宜從事某種活動的能力，不過，同是從事一樣的工作，也有能力水平上的差異力，不過，同是從事一樣的工作，也有能力水平上的差異。” （克魯切茨基，克

52、魯切茨基，1984）521. 天才兒童的個案研究53個案1：索尼婭（2年級，1950年生于莫斯科，小傳完成于1958-1959年） 她有一個她有一個7年級的哥哥，發(fā)育正常，沒有表現(xiàn)出數(shù)學年級的哥哥，發(fā)育正常，沒有表現(xiàn)出數(shù)學才能，她的近親中只有外祖母據(jù)說酷愛數(shù)學，但無據(jù)可查。才能，她的近親中只有外祖母據(jù)說酷愛數(shù)學，但無據(jù)可查。索尼婭個子矮小，動作緩慢，講話從容（甚至是慢吞索尼婭個子矮小，動作緩慢，講話從容（甚至是慢吞吞地），情感表達較差；除了算術(shù)成績優(yōu)良外，其它各門功吞地），情感表達較差；除了算術(shù)成績優(yōu)良外，其它各門功課學習正常，成績一般。寫作很差，閱讀也不流暢，不大喜課學習正常，成績一般。寫作

53、很差，閱讀也不流暢，不大喜歡做作業(yè)。她有高度集中的能力。當她思想集中時，她不能歡做作業(yè)。她有高度集中的能力。當她思想集中時，她不能安靜地坐著，而是走來走去，坐立不安，有時甚至會做出各安靜地坐著，而是走來走去，坐立不安，有時甚至會做出各種反常的動作。有一次，她竟在解答一道難題時，突然站起種反常的動作。有一次，她竟在解答一道難題時，突然站起來跑到床上，像演員表演似地翻了一個筋斗又回來坐到椅子來跑到床上，像演員表演似地翻了一個筋斗又回來坐到椅子上。但當她從事過于簡單的事情時，會明顯地表現(xiàn)出心不在上。但當她從事過于簡單的事情時，會明顯地表現(xiàn)出心不在焉。這就是為什么她常常焉。這就是為什么她常常10以內(nèi)的

54、加法做錯的原因。以內(nèi)的加法做錯的原因。在實驗中，她用在實驗中，她用60節(jié)課就學完了節(jié)課就學完了5-7年級的全部數(shù)學課程年級的全部數(shù)學課程。15歲時成為莫斯科大學數(shù)學力學系的學生歲時成為莫斯科大學數(shù)學力學系的學生 54心理特點推理和心理定向敏捷推理和心理定向敏捷。這是索尼婭最顯著的特。這是索尼婭最顯著的特征之一。通常她能以驚人的速度找到她所能理征之一。通常她能以驚人的速度找到她所能理解的一種解題方案?？梢哉f，她對數(shù)學材料有解的一種解題方案?？梢哉f，她對數(shù)學材料有一種獨特的分析和綜合的一種獨特的分析和綜合的“眼力眼力”，她能立刻，她能立刻找到一個解題方法或看出證明的邏輯。找到一個解題方法或看出證明

55、的邏輯。55心理特點（續(xù)）邏輯推理，有系統(tǒng)、有順序的思考力邏輯推理，有系統(tǒng)、有順序的思考力。這也是。這也是索尼婭最顯著的特征之一。她對定理的意義、索尼婭最顯著的特征之一。她對定理的意義、求證的含義都理解得相當透徹。她能很容易地求證的含義都理解得相當透徹。她能很容易地從前提得出結(jié)論，但并不簡單地相信它。她在從前提得出結(jié)論，但并不簡單地相信它。她在論證上邏輯嚴密，且有說服力。她解答數(shù)學題論證上邏輯嚴密，且有說服力。她解答數(shù)學題都毫無例外地經(jīng)過邏輯上的驗證。都毫無例外地經(jīng)過邏輯上的驗證。56解題分析1問題問題：一個牧人對另一個牧人說：一個牧人對另一個牧人說：“你給我你給我8只只羊，我們兩人的羊數(shù)就相

56、等了羊，我們兩人的羊數(shù)就相等了”。另一個牧人回。另一個牧人回答說：答說：“不，你給我不，你給我8只羊，我的羊就成了你的只羊，我的羊就成了你的兩倍。兩倍?！?7索尼婭的解答“假如一個牧人給另一個牧人假如一個牧人給另一個牧人8只羊，他們兩只羊，他們兩個人的羊數(shù)就一樣多，就是說，兩者的差數(shù)個人的羊數(shù)就一樣多，就是說，兩者的差數(shù)是是16只羊。另一方面，如果另一個人拿出了只羊。另一方面，如果另一個人拿出了8只，他們的差數(shù)就成了只，他們的差數(shù)就成了32只，這樣可以知只，這樣可以知道，一個人比另一個人多兩倍，或者說多道，一個人比另一個人多兩倍，或者說多32只，就是說他們的羊數(shù)是只，就是說他們的羊數(shù)是32和和

57、64。他們交。他們交換之前的羊數(shù)是換之前的羊數(shù)是40和和56?！彼挥昧怂挥昧?0秒秒。58解題分析2例例2：索尼婭證明了三角形的內(nèi)角和等于平角之后，應(yīng)實：索尼婭證明了三角形的內(nèi)角和等于平角之后，應(yīng)實驗者的要求，很容易地又證明了四邊形的內(nèi)角之和等于兩驗者的要求，很容易地又證明了四邊形的內(nèi)角之和等于兩個平角，及五邊形的內(nèi)角和等于個平角，及五邊形的內(nèi)角和等于3個平角并畫了圖（圖個平角并畫了圖（圖1）。然后，她想了想說：。然后，她想了想說：“任何多邊形都是如此：三角形的任何多邊形都是如此：三角形的數(shù)目永遠比邊的數(shù)目少數(shù)目永遠比邊的數(shù)目少2。所以，要求內(nèi)角和，就必須從。所以，要求內(nèi)角和，就必須從邊數(shù)

58、中減邊數(shù)中減2，再乘以，再乘以2d?！?2d2d2d2d2d59心理特點（續(xù)）思維的靈活性思維的靈活性。索尼婭不受陳腐思想的束縛。索尼婭不受陳腐思想的束縛和一般解題方法的限制，她能很容易地從一和一般解題方法的限制，她能很容易地從一種心理運算轉(zhuǎn)為另一種運算，從一種解題方種心理運算轉(zhuǎn)為另一種運算，從一種解題方法轉(zhuǎn)為另一種解題方法，而且通常能找出多法轉(zhuǎn)為另一種解題方法，而且通常能找出多種解法。種解法。 60解題分析3例例3：小雞和兔子在外面跑，一共有：小雞和兔子在外面跑，一共有35個頭，個頭，94只只腳，問雞兔各有多少？腳，問雞兔各有多少？索尼婭的解答是索尼婭的解答是：“如果全部是如果全部是35個頭

59、，那么雞個頭，那么雞兔總共有兔總共有35只。假如全是小雞，就有只。假如全是小雞，就有70只腳，就只腳，就是說另外多出了是說另外多出了24只腳。因為在院子里跑的除了只腳。因為在院子里跑的除了小雞外，還有兔子，每只兔子比小雞多兩只腳，小雞外，還有兔子，每只兔子比小雞多兩只腳，這意味著有這意味著有12只兔子和只兔子和23只小雞。還可以這樣做只小雞。還可以這樣做：一共有：一共有94只腳，假如全是小雞，就有只腳，假如全是小雞，就有47只，但只，但總共只有總共只有35個頭個頭少了少了12個頭。這個頭。這12個頭，每個頭，每頭應(yīng)有頭應(yīng)有4只腳而不是只腳而不是2只腳。所以是只腳。所以是12只兔子和只兔子和23

60、只小雞。只小雞?！?61心理特點（續(xù)）能自如地從正面的思維進程轉(zhuǎn)到反面的思維進程。能自如地從正面的思維進程轉(zhuǎn)到反面的思維進程。解答問題時推理的迅速簡略和解答問題時推理的迅速簡略和“壓縮壓縮”的傾向。的傾向?！肮?jié)約思考節(jié)約思考”的明顯傾向的明顯傾向。索尼婭的一個顯著特點。索尼婭的一個顯著特點是，力求找出一種最簡便的解題方法，解答力求簡是，力求找出一種最簡便的解題方法，解答力求簡單、明了。單、明了。對數(shù)學材料的迅速而牢固的記憶對數(shù)學材料的迅速而牢固的記憶。雖然她對具體材。雖然她對具體材料和數(shù)只有在解題的時候才記住，但對求證的基本料和數(shù)只有在解題的時候才記住，但對求證的基本過程、題目的類型和解題原則以及推理