導數(shù)的幾何意義教案(后附教學反思)

1、導數(shù)的幾何意義教案（后附教學反思） 永嘉中學 數(shù)學組 周瑛 【教學目標】知識與技能目標：（1）使學生掌握函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線的斜率。（數(shù)形結合），即：切線的斜率(2)會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“以直代曲”的數(shù)學思想方法。過程與方法：通過讓學生在動手實踐中探索、觀察、反思、討論、總結，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而達到培養(yǎng)學生的學習能力，思維能力，應用能力和創(chuàng)新能力的目的。情感態(tài)度與價值觀：導數(shù)的幾何意義能夠很好地幫助理解導數(shù)的定義，達到數(shù)與形的結合；同時又是知識在幾何學，物理學方面的遷移應用。培養(yǎng)學生學數(shù)學，用數(shù)學的意識?！窘虒W手段】采用幻燈片，實物投影等

2、多媒體手段，增大教學容量與直觀性，有效提高教學效率和教學質量?！菊n型】探究課【教學重點與難點】重點：導數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結合，以直代曲”的思想方法。難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應用導數(shù)的幾何意義【教學過程】（一） 課題引入，類比探討：讓學生回憶導數(shù)的概念及其本質。（承上啟下，自然過渡）。師：導數(shù)的本質是什么？寫出它的表達式。（一位學生板書），其他學生在“學案”中寫：導數(shù)的本質是函數(shù)在處的瞬時變化率，即： （注記：教師不能代替學生的思維活動，學生將大腦中已有的經(jīng)驗、認識轉換成數(shù)學符號，有利于學生思維能力的有效提高，為學生“發(fā)現(xiàn)”,感知導數(shù)的幾何意義奠定基礎）師：導數(shù)的本質僅是從代數(shù)（數(shù)）的角度來詮釋導數(shù)

3、，若從圖形（形）的角度來探究導數(shù)的幾何意義（板書課題），應從哪兒入手呢？（教師引導學生：數(shù)形結合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要結合“數(shù)”）生1：研究導數(shù)的代數(shù)表達式。師：那必然就要回憶求導數(shù)的步驟了。生（齊）：分三步：第一步：求第二步：求平均變化率；第三步：當趨近于0時，平均變化率無限趨近于的常數(shù)就是。（回歸本質，數(shù)形結合）教師進一步引導學生：這是從“數(shù)”的角度來求導數(shù)，若從“形”的角度探索導數(shù)的幾何意義，類比地，也可以分三個步驟：師：第一步：的幾何意義。（并在學案的圖（二次函數(shù)）中畫出）生：當與所對應的函數(shù)值的差量。師：很好，那么第二步：平均變化率的幾何意義是什么？（同樣請在函數(shù)圖像

4、中畫出來）；由于上節(jié)探究中做過，所以還是比較簡單。生2：平均變化率的幾何意義是割線AB的斜率。其中。（提醒學生A、B兩點的坐標必須寫清楚。）師：第二步：時，割線有什么變化？請用你的筆描繪出來。（有靜態(tài)到動態(tài)的過渡，比較考察學生的觀察能力，動手能力與獨立思考能力）很快，有幾個學生又畫了三條直線（其中橫坐標在與之間。）教師讓生3用投影儀展示自己的作品，并向其它學生介紹自己作圖的意圖，由此引導同伴觀察到：，師（趁勝追擊）：很好，那么當，于是A，B之間的差距越來越小，B一直，一直這樣靠近A，最后會-生(齊):重合。師：那么直線AB？生（齊）：變成一條切線了。師：大家真不錯，確實，當，割線有一個無限趨近

5、的確定位置，這個確定位置上的直線叫做曲線在處的切線，下面請把它畫出來。等學生化出切線AD后，教師用Flash展示動態(tài)過程，引導學生回顧過程。結論：（形），割線切線，則割線的斜率切線的斜率。（口述） 由數(shù)形結合，得切線的斜率。（板書）所以，函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。（數(shù)形結合）。（說明：動手實踐，探索發(fā)現(xiàn)。使學生經(jīng)歷探究“導數(shù)的幾何意義”的過程以獲得理智和情感體驗，建構“導數(shù)及其幾何意義”的知識結構，準確理解 “導數(shù)的幾何意義”，掌握“數(shù)形結合，類比探討”的數(shù)學思想方法。） （二）深入研究，知識拓展師：好，我們現(xiàn)在清楚導數(shù)的幾何意義就是在該點處切線的斜率。其中切

6、線很關鍵，但是它與以前學過的切線定義有什么不同呢？見P77的探究問題。生4：初中平面幾何中，如圓的切線的的定義：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切。這時，直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點。師：講得非常好，確實如此，但從剛才那刻開始，將會有變數(shù)。（展示如下動畫，A點-直線l1-B-直線l2）。學生們發(fā)現(xiàn)生4講的初中切線的定義已不適合這里了。師：圓是一種特殊的曲線。這種定義并不適用于一般曲線的切線。例如上圖中，直線雖然與曲線有惟一的公共點，但我們不能認為它與曲線相切；而另一條直線雖然與曲線有不只一個公共點，我們還是認為它是曲線的切線。因此，以上圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近

7、的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一），適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質。（三）“以直代曲”思想利用PPT做出三個切點附近的近景，而且由小放到大，類似于放大鏡的效果，讓學生觀察切點附近曲線與直線的位置關系。學生發(fā)現(xiàn)，它們越來越靠近，幾乎重合。此時，教師點出：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在點P附近，曲線可以用在點P處的切線近似代替，這是微積分中重要的思想方法以直代曲（以簡單的對象刻畫復雜的對象）。（動畫演示：通過信息技術將函數(shù)曲線某一點附近的圖象放大得到一個近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越象直線；大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所

8、以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”）（說明：適時、有效地采用計算機等多媒體輔助教學，可以不僅加強學生對“導數(shù)的幾何意義”形象、直觀地理解，還能將學生的動手實踐（感知體驗）與抽象思維（深層內(nèi)化）有效結合，增強學生的思維能力訓練，提高教學效率和教學質量。）（四）例題講解，加強理解例1 在函數(shù)的圖像上，用圖形來體現(xiàn)導數(shù)，的幾何意義，并用數(shù)學語言表述出來。變式：請描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？ (如下圖)（注記：要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（同桌討論、描述運動員的運動狀態(tài)），體會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結合”、“

9、以直代曲”的思想方法。） 從中小結出:1.點附近的增減-導數(shù)的正負-過該點切線的斜率正負; 2.增減快慢-導數(shù)的絕對值大小-過該點切線的斜率大小的絕對值-曲線在該點附近的陡峭程度。（板書） 例2 如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時間（單位：）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。(精確到0.1)0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時變化率（注記：要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率），進一步體會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）抽象概括，歸納小結（先由學

10、生小結）1抽象概括：由練習2抽象概括出導函數(shù)（簡稱導數(shù)）的概念： 是確定的數(shù)（靜態(tài)），是的函數(shù)（動態(tài)）由（特殊一般） （靜態(tài)動態(tài)）（說明：體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領會從特殊到一般的辯證思想2歸納小結：由學生進行開放式小結：（1）函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。（數(shù)形結合），即：切線的斜率（2）利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“數(shù)形結合”、“以直代曲”的思想方法。（3）導函數(shù)（簡稱“導數(shù)”）的概念。（六）作業(yè)布置1習題P80.A5,6;B1 2（給好的學生）請給出求函數(shù)在處的切線方程的一個算法，并小組自編四個求切線的題目。（探索：若把3 “在點 處”改為“

11、過點”，算法有何不同？并小組自編四個求切線的題目。）附：教學反思本節(jié)內(nèi)容是在學習了“變化率問題、導數(shù)的概念”等知識的基礎上，研究導數(shù)的幾何意義,由于新教材未設計極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學生通過動手作圖,自我感受整個逼近的過程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動態(tài)的過程，讓學生更加深刻地體會導數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義”和“利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開。先回憶導數(shù)的實際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數(shù)形結合的角度思考，獲得導數(shù)的幾何意義“導數(shù)是曲線上某點處切線的斜率”。完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學習后，教師點明，利用導數(shù)的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數(shù)與切線斜率的關系，并感受導數(shù)應用的廣泛性。本節(jié)課注重以學生為主體,每一個知識、每一個發(fā)現(xiàn)，總設法由學生自己得出，課堂上給予學