近五年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽選編函數(shù)集合

1、近五年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽選編函數(shù)、集合1. （2010 年 一試 1）函數(shù) f ( x)x 5243x 的值域是.3,3提示：易知f (x) 的定義域是5,8 ，且 f ( x) 在 5,8上是增函數(shù)，從而可知f ( x) 的值域?yàn)?3,3.2.（2010年 一試5） 函數(shù)f ( x)a2 x3ax2( a0, a1)在區(qū)間x 1,1上的最大值為 8，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是.解：令 a xy, 則原函數(shù)化為 g ( y)y 23y 2 , g( y) 在 (3 ,+) 上是遞增的 .2當(dāng) 0a1時(shí)，y,1 ,a ag( y)maxa 23a 128a 12a1，2所以g( y) min(1)

2、23121；224當(dāng)a 1時(shí)，ya1,，ag( y)maxa 23a28a2 ，所以g ( y)min2 232 121.4綜上 f (x) 在 x 1,1上的最小值為1.42.（2010 年 一試 9）已知函數(shù) f ( x)ax 3bx2cxd (a 0) ，當(dāng) 0x 1時(shí)， f (x)1，試求 a 的最大值 .f(0)c,解法一：( )322, 由13得f xaxbx cf ( )4a b c,2f(1)3a2bc3a2 f(0)2 f (1)4 f (1 ) .2所以3a 2 f(0)2 f (1)4 f ( 1)22 f(0)2 f(1)4 f (1 )8，2所以 a8.又易知當(dāng) f

3、( x)8 x34x 2xm （ m 為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以a 最大值為8 .333解法二 ： f( x)3ax22bx c .設(shè) g (x)f( x)1，則當(dāng)0 x1時(shí)， 0g( x)2 .設(shè) z 2x1，則 xz 1 , 1z1.2g( z1)3a z23a2b z3ah( z)bc1.2424容易知道當(dāng)1z1時(shí)，0h( z)2,0h(z)2 .從而當(dāng)1z1時(shí)，0h( z)h( z)2 ，2即03a z23abc 12 ，44從而 3ab c 1 0 , 3a z22，由 0z21知 a8 .443又易知當(dāng) f ( x)8 x34x 2xm （ m 為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以a 最大值

4、為8 .333. （ 2011年 一試1） 設(shè)集合 A a1 , a 2 , a3 , a4 ，若 A 中所有三元子集的三個(gè)元素之和組成的集合為B 1, 3, 5, 8 ，則集合 A解： 3,0,2,6. 提示：顯然，在A 的所有三元子集中，每個(gè)元素均出現(xiàn)了3 次，所以3(a1a 2a 3a4 ) (1)3 58 15，故 a1a2a3a 45 ，于是集合 A 的四個(gè)元素分別為5（ 1） 6，5 3 2，5 5 0，5 8 3，因此，集合A 3, 0,2,6 4. （2011 年 一試 2） 函數(shù) f (x)x 21 的值域?yàn)閤1解： (,2 (1,) .提示：設(shè) xtan,2，且4，則221

5、11f (x)cos1 sincostan2 sin()4設(shè) u2 sin() ，則2u1，且 u0 ，所以f ( x)1( ,2 (1,) 4u25. （ 2011 年 一試 9）設(shè)函數(shù) f ( x) | lg( x1) |，實(shí)數(shù) a, b(ab) 滿足 f ( a)f (b1) ， f (10 a6b 21)4 lg 2 ，b2求 a,b 的值因?yàn)?f (a)f (b1) ，所以b2| lg(a1) | | lg(b11) | lg( b2)|，b21) | | lg(b2所以 a 1b2或 ( a1)(b 2)1，又因?yàn)?ab ，所以 a1b2，所以 (a1)( b2) 1又由 f (a)| lg( a1) |有意義知0 a1，從而0a1b1b2，于是0a11b2 所以(10a6b21)110(a1)6(b2)6(b2)101 b 2從而f (10a 6b21)| lg 6(b2)10 |lg 6(b 2)10 b2b 2又f (10a6b21)4lg 2 ，所以lg6(b2)104 lg 2 ，b2故 6(b 2)1016解得 b1 或 b1（舍去）b23把 b1 代入 (a1)( b 2)1 解得 a2 35所以a2 ， b1 5 36. （2012 年 一試 3）7. （2012 年 一試 6）8. （2012 年 一