微積分學(xué)基本定理

1、9.5 9.5 微積分學(xué)基本定理微積分學(xué)基本定理一個實例一、間間的的關(guān)關(guān)系系與與速速度度函函數(shù)數(shù)位位移移函函數(shù)數(shù))()(tVtS物體所經(jīng)過的路程顯然有兩種表達(dá)方式物體所經(jīng)過的路程顯然有兩種表達(dá)方式:);()()(aSbStS將其表示為將其表示為應(yīng)用路程函數(shù)應(yīng)用路程函數(shù)第一種第一種:第二種第二種:badttV)(將其表示為將其表示為應(yīng)用定積分的物理意義應(yīng)用定積分的物理意義).()(),()()(tStVaSbSdttVba其中其中時時刻刻物物體體所所對對應(yīng)應(yīng)直直線線運運動動一一物物體體在在直直線線上上作作變變速速t ,物物體體所所經(jīng)經(jīng)過過時時變變到到由由當(dāng)當(dāng)速速度度為為的的路路程程為為,),()

2、,(battVtS?的的路路程程是是多多少少變上限的定積分變上限的定積分二二、一一種種表表達(dá)達(dá)函函數(shù)數(shù)的的新新方方法法.)()(babadttfdxxf且且存存在在則則有有定定積積分分上上可可積積在在若若badxxfbaf)(,因因而而有有上上可可積積在在,xaf存存在在,bax xadttf)( 定義定義 ,)()(,)(baxdttfx，baxfxa則則上上可可積積在在設(shè)設(shè)稱稱為為變變上上為為自自變變量量的的函函數(shù)數(shù)定定義義了了一一個個以以積積分分上上限限，x.或或積積分分上上限限函函數(shù)數(shù)限限的的定定積積分分，.,)()(稱稱為為變變下下限限的的定定積積分分類類似似地地baxdttfx，b

3、x .與統(tǒng)稱為變限積分 定理定理9.99.9 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是與與則則上上可可積積在在若若,ba，baf 證明證明: : , , , ,a bxxxa b 對上任一確定的點只要按變上限積分的定義有.)()()( xaxxxxxadttfdttfdttf .,)(,batMtfbaf 可可設(shè)設(shè)上上有有界界在在因因時時有有當(dāng)當(dāng)于于是是0, x;)()(xMdttfdttfxxxxxx , 0lim.00 xxMx由由此此得得到到時時則則有有當(dāng)當(dāng).,.上上處處處處連連續(xù)續(xù)在在的的任任意意性性由由連連續(xù)續(xù)在在點點即即證證得得bafxx 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，

4、則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補充補充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF基本定理基本定理三三、微微積積分分學(xué)學(xué)基基本本定定理理 定理定理9.109.10 上上在在則則可可變變上上限限積積分分上上連連續(xù)續(xù)在在若若,ba，baf且且處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)，.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 分析分析: 前提前提)()(,)(,xfxbaxbaf 可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在連

5、連續(xù)續(xù)在在只須只須).(lim,0 xfxbafx 連連續(xù)續(xù)在在 證明證明: : , 0 , a bxxxxa b 對上任一確定的當(dāng)且時 , , , .xa bfa b由 在上的任意性 故 是 在上的一個原函數(shù)()( )( )( )xxxaaxxxf t dtf t dt ( ).xxxf t dt由變上限積分的定義1( )(), 01.xxxf t dtf xxxx 由積分第一中值定理00limlim()( ).xxf xxf xx ,fx由于 在點 連續(xù) 故有( )( )( ).xxxf x所以在 可導(dǎo)且要要性性微微積積分分學(xué)學(xué)基基本本定定理理的的重重(i) 解決了原函數(shù)的存在性問題解決了

6、原函數(shù)的存在性問題(ii) 溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系(iii) 為尋找定積分的計算方法提供了理論依據(jù)為尋找定積分的計算方法提供了理論依據(jù)精僻地得出精僻地得出: 上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù),且且, ba 是是 的一個原函數(shù)這一基本結(jié)論的一個原函數(shù)這一基本結(jié)論.)(x )(xf為微分學(xué)和積分學(xué)架起了橋梁為微分學(xué)和積分學(xué)架起了橋梁,因此被稱為微積分學(xué)因此被稱為微積分學(xué)基本定理基本定理.)(x 定理指出定理指出 是是 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù),而而 又是變上限又是變上限)(xf)(x 積分積分,故故( )( ),( )( )baaabf

7、 x dxaf x dx( )( )( ).baf x dxba比較變速直線運動中比較變速直線運動中).()()(aSbSdttVba ).()()(abdxxfba 共同點共同點: 等式左端同是等式左端同是 a , b 上的定積分上的定積分,等式右端又等式右端又都是原函數(shù)在都是原函數(shù)在a , b 上的增量上的增量.定積分的基本公式定積分的基本公式四四、萊萊布布尼尼茲茲公公式式牛牛頓頓 定理定理9.119.11 上上的的在在是是且且上上連連續(xù)續(xù)在在若若函函數(shù)數(shù),)()(,baxfxFbaf則則一一個個原原函函數(shù)數(shù)， baaFbFdxxf).()()(分析分析: 前提條件前提條件.)()2(,)

8、()1(,存在原函數(shù)存在原函數(shù)存在存在連續(xù)連續(xù)在在xfdxxfbafba .)(就是它的一個原函數(shù)就是它的一個原函數(shù) xadttf 證明證明: : 連連續(xù)續(xù)在在因因為為,)(baxf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是故故)()(xfdttfxa ，xfxF的的原原函函數(shù)數(shù)是是又又)()().(0)(aFCdttfa，xaa 得得到到則則由由在在上上式式中中令令移移項項得得).()()(aFxFdttfxa 即即得得令令b，x ).()()(aFbFdxxfba 此式稱為定積分的基本公式此式稱為定積分的基本公式.又稱牛頓又稱牛頓-萊布尼茲公式萊布尼茲公式常表示為常表示為( )( )bbaaf x dx

9、F x.)()(CdttfxFxa 所所以以例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.例題例題五五、例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證明函數(shù)證明函數(shù) xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)加函數(shù).證證 xdtttfdxd0)(),(

10、xxf xdttfdxd0)(),(xf 0020( )( )( )( )( )( )xxxxfxf t dtfxtf t dtFxf t dt020()()( )(),( )xxfxxtft d tFxft d t)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(

11、2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210