2020高考數(shù)學不等式、推理與證明、算法初步與復數(shù)考點測試37直接證明與間接證明文含解析

1、考點測試 37 直接證明與間接證明高考概覽高考在本考點的?？碱}型為解答題，分值 12 分，中、高等難度考綱研讀1, 了解直接證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點2, 了解反證法的思考過程和特點第1步，狂刷小題基礎練一、基礎小題1.命題“對于任意角 0,cos40sin40=cos20的證明：cos40sin40=(cos20sin20)(cos20+sin20)=cos20sin20=cos20”過程應用了()A.分析法 B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法答案 B解析因為證明過程是“從左往右”，即由條件？結論.2.用反證法證明結論“三角形內(nèi)

2、角至少有一個不大于 60?！?，應假設()A.三個內(nèi)角至多有一個大于 60B.三個內(nèi)角都不大于 60C.三個內(nèi)角都大于 60D.三個內(nèi)角至多有兩個大于 60答案 C解析“三角形內(nèi)角至少有一個不大于 60。”即“三個內(nèi)角至少有一個小于等于60?！?，其否定為“三角形內(nèi)角都大于 60。”.故選 C.3.若a,b,c是不全相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca.證明過程如下：.a,b,ceR,，a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.又.a,b,c不全相等，以上三式至少有一個“=”不成立.，將以上三式相加得 2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac).a2+b2+c2ab+b

3、c+ca.此證法是()A.分析法 B.綜合法C.分析法與綜合法并用 D.反證法答案 B解析由已知條件入手證明結論成立，滿足綜合法的定義.4.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設abc,且a+b+c=0,求證b匚WC0B.a-c0C.(ab)(a-c)0D.(ab)(ac)0答案 C解析b2-ac3a?b2ac3a222?(a+c)ac3a?a2+2ac+c2ac3a20?-2a2+ac+c20?(a-c)(2a+c)0?(a-c)(a-b)0.5.若 P=3+5+7,Q=小+3+，a+4,a0,則 P,Q 的大小關系是()A.PQB.P=QC.P/43.7,.P0 時 PQ證明如下：要證

4、PQ只要證P2Q,只要證 2a+7+2a(a+7 產(chǎn)+7+2 寸 0+3 產(chǎn)+41只要證a2+7aa2+7a+12,只要證 012,012 成立，PQ成立.故選 C.6 .兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是()窗口12671112過道345891131415窗口A.48,49B,62,63C.75,76D,84,85答案 D解析由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知，被 5 除余 1 的數(shù)和能被 5 整除的座位號靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的 4 組座位號知，只有 D 符合條件.7 .有 6 名選

5、手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4 號或 5 號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：12,6 號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4,5,6 號選手都不可能獲得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜對比賽結果，此人是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案 D解析若 1,2 號得第一名，則乙丙丁都對，若 3 號得第一名，則只有丁對，若 4,5 號得第一名，則甲乙都對，若 6 號得第一名，則乙丙都對，因此只有丁猜對.故選 D.、一一 11118.記S=2o+2+1+2+2+2”1則S與 1 的大小關系正答案S11111斛析212720270+22T

6、,、tWj 考小題9.（219山東高考）用反證法證明命題“設a,b為實數(shù)，則方程x3+ax+b=至少有一個實根”時，要做的假設是（）111211-1=21+2112，-1.1.1.S=產(chǎn)+可+2+11.1.1211_1b,ab及 a=b中至少有一個成立；awc,bwc,awb不能同時成立.其中正確判斷的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3答案 C解析正確；中，ab,bwc,ac可以同時成立，如a=1,b=2,c=3,故正確的判斷有 2 個.12.（2018長春模擬）設2,b,c都是正數(shù)，則 a+1,b+-,c+1 三個數(shù)（）bcaA.都大于 2B,都小于 2C.至少有一個不大于 2D.至少有一個

7、不小于 2答案 D解析假設a+b+-,c+，都小于2,則有a+；+b+1+c+16.bcabca因為a,b,c都是正數(shù)，1.11所以a+-+b+-+c+-bca=5+3k：）這與a+b+c+b0,m=#,n=ab,則mn的大小關系是答案nm解析解法一(取特殊值法)：取 a=2,b=1,則m/？a0,顯然成立.第2步/精做大題能力練一、高考大題1.(2018北京高考)設n為正整數(shù)，集合 A=a|a=(11,12,tn),tkC0,1,k=1,2,，n.對于集合A中的任意元素a=(X1,X2,，Xn)和3=(Yby2,，yn),1.,記Ma,3)=2KX1+y1-|X1-y1|)+(X2+y2|X

8、2y2|)+(Xn+yn|Xn-yn|).(1)當 n=3 時，若a=(1,1,0),3=(0,1,1),求Ma,a)和Ma,3)的值；(2)當n=4 時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素a,3,當a,3相同時，M”,3)是奇數(shù)；當a,3不同時，M”,3)是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值；(3)給定不小于 2 的 n,設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素a,3,Ma,3)=0.寫出一個集合 B,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.解(1)因為 a=(1,1,0),3=(0,1,1),1所以M，a)=2(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2,.1M”

9、，3)=萬(1+0110|)+(1+1111|)+(0+1101|)=1.(2)設a=(X1,X2,X3,X4)B,則Ma,a)=X1+X2+X3+X4.由題意知X1,X2,X3,X4C0,1,且Ma,a)為奇數(shù)，所以X1,X2,X3,X4中 1 的個數(shù)為 1 或 3.所以B?(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0).將上述集合中的元素分成如下四組：(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,

10、0,1),(0,1,1,1).經(jīng)驗證，對于每組中兩個元素 a,3 均有M,3)=1.所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素.所以集合B中元素的個數(shù)不超過 4.又集合(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)滿足條件，所以集合B中元素個數(shù)的最大值為 4.(3)設&=(X1,X2,，Xn)|(X1,X2,，Xn)CA,Xk=1,X1=X2=Xk-1=0(k=1,2,n),S+1=(X1,X2,，Xn)|X1=X2=3=Xn=0,所以 A=SUS2U-USn+1.對于&(k=1,2,，n1)中的不同元素 a,3,經(jīng)驗證，Ma,3)1.所以&a

11、mp;(k=1,2,，n1)中的兩個元素不可能同時是集合B的元素.所以B中元素的個數(shù)不超過 n+1.取ek=(X1,X2,，Xn)CSk且Xk+1=Xn=0(k=1,2,，門一 1).令 B=e1,62,，en1USnUSn+1,則集合B的元素個數(shù)為 n+1,且滿足條件.故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合.2.(2018江蘇高考)記 f(X),g(X)分別為函數(shù)f(X),g(X)的導函數(shù)，若存在X。CR,滿足f(X0)=g(X0)且f(X0)=g(X0),則稱X0為函數(shù)(*)與(*)的一個“S點”.(1)證明：函數(shù)f(X)=X 與g(x)=X2+2X-2 不存在S點”；(2)若函數(shù)f(X)

12、=ax21 與g(x)=InX存在“S點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)f(X)=-x2+a,g(X)=b6-,對任意a0,判斷是否存在b0,使函數(shù)f(X)X與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.解(1)證明：函數(shù)f(X)=X,g(X)=X2+2X-2,則f(X)=1,g(X)=2X+2,由f(x)=g(x)且f(x)=g(X),X=X2+2X-2,得D=2X+2,因此，f(x)=xg(x)=x2+2x-2 不存在“S點”.(2)函數(shù)f(X)=ax21,g(x)=InX,此方程組無解.1則f(x)=2ax,g(x)=,x24.axo1=Inxo,-12axo=一,xo_2ax

13、o1=Inxo,22axo=1,*J77.2e-2當 a=2 時，xo=e2 滿足方程組(*),e即xo為f(x)與g(x)的S點，因此，a的值為f(x)=2x,g(x)=be(jj1)xwo,xf(xo)=g(xo)?bexo=一xC(。，1),a。，設m(x)=-x3+3x4+ax則m(0)=-a0?n(0)-m(1)o,mx)在(o,1)上有零點，則h(x)在(Q,1)上有零點.因此，對任意aQ,存在bo,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(o,+)內(nèi)存在“S點”.二、模擬大題f(x1什f(x2x1+x22f2證明要證明”四uf當即證明 3刈2X；3X22X24三_?竺丁,3x1+3x2x1

14、+x2因此只要證明 2(xi+x2)3一 2 一一(xi+x2),3x1+3x2x1+x2 即證明-一3-,223x1+3x2因此只要證明一 273x13x2,由于x1,x2CR 時，3x10,3x20,3x13x2由基本不等式知2-，3x13x2(當且僅當 x1=x2時，等號成立)顯然成立，故原結論成立.4.(2018山東臨沂三校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為S,且滿足an+S=2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.解(1)當 n=1 時，a1+S=2a1=2,則a=1.又 an+&=2,所以 an+1+&+1=2,一 1，11兩式相減得an+1=2an,所以an