不等式恒成立問題的大全

1、不等式恒成立問題“含參不等式包成立問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等容有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程、“化歸與轉(zhuǎn)化、“數(shù)形結(jié)合、”分類討論等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問題的一股求解策略。一、判別式法假設(shè)所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，那么可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地,對(duì)于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0,xR),有1f(x)0對(duì)xR包成立2f(x)例1.函數(shù)y0對(duì)xR包成立lgx2(a1)xa2的定義域?yàn)镽,解：由題

2、設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式x2(a1)x數(shù)a的取值圍。a20對(duì)xR包成立，即有(a1)24a20解得a1或a131所以實(shí)數(shù)a的取值圍為(，。)假設(shè)二次不等式中x的取值圍有限制，那么可利用根的分布解決問題例2.設(shè)f(x)x22mx2,當(dāng)x1,圍。)時(shí)，f(x)m恒成立，數(shù)m的取值解：設(shè)F(x)x2當(dāng)4(m1)(m當(dāng)0時(shí)，如圖,0F(1)0解得2m12F(x)0包成立的充要條件為:3m2。>x1f(x)a包成立af(x)min0包成立2mx2m,那么當(dāng)x1,)時(shí)，F(xiàn)(x)2)0即2m1時(shí)，F(xiàn)(x)0顯然成立；綜上可得實(shí)數(shù)m的取值圍為3,1)、最值法將不等式包成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理

3、方法，其一般類型有：2x35x24x,其中k為實(shí)數(shù).2f(x)a恒成立af(x)max1.兩個(gè)函數(shù)f(x)8x216xk,g(x).word.zl.假設(shè)對(duì)任意的X3,3,都有f(x)g(x)成立，求k的取值圍;(2)假設(shè)對(duì)任意的xpx23,3,都有f(x，g(x2),求k的取值圍.(3)假設(shè)對(duì)于任意x13,3，總存在xo3,3使得g(x0)f(%)成立，求k的取值圍.【分析及解】(1)令F(x)g(x)f(x)2x28.g(3)21,g(3)111,g(1)1,g(-),27:g(x)min21.那么120k21,解得k141.(3)假設(shè)對(duì)于任意xi3,3，總存在x03,3使得g(x0)f(x

4、1)成立，等價(jià)于fx的值域是gx的值域的子集，由(2)可知，f(x)8x216xk在3,3的值域?yàn)閗8,k120,g(x)2x35x24x在3,3的值域?yàn)?1,111,.word.zl.3x212xk,問題轉(zhuǎn)化為F(x)0在x3,3上恒成立，即F(x)min0即可_'_2_2_vF(x)6x26x126(x2x2),由F'(x)0,得x2或x1.vF(3)k45,F(3)k9,F(1)k7,F(2)k20,F(x)mink45,由k450,解得k45.(2)由題意可知當(dāng)x3,3時(shí)，都有f(x)maxg(x)min.由f(x)16x160得x1.vf(3)24k,f(1)8k,f

5、(3)120k,f(x)maxk120.t，、一一，、2由g(x)6x10x40得x1或x-,3一k821一.一于是，k8,k12021,111,即潴足,解得9k13k120111.23,22.f(x)7x28xa,g(x)2x4x40x,當(dāng)x3,3時(shí)，f(x)g(x)包成立，數(shù)a的取值圍。解：設(shè)F(x)f(x)g(x)2x33x2,2,f(x)min12xc,那么由題可知F(x)0對(duì)任意x3,3恒成立令F'(x)6x26x120,得x1或x2而F(1)7a,F(2)20a,F(3)45a,F(3)9a,F(x)max45a0a45即實(shí)數(shù)a的取值圍為45,)。x22xa3 .函數(shù)f(x

6、),x1,)，假設(shè)對(duì)任意x1,),f(x)0包成立，x數(shù)a的取值圍。解：假設(shè)對(duì)任意x1,),f(x)0包成立，即對(duì)x1,),f(x)x一空一a0包成立，x考慮到不等式的分母x1,)，只需x22xa0在x1,)時(shí)恒成立而得而拋物線g(x)x22xa在x1,)的最小值gmin(x)g(1)3a0得a3注：此題還可將f(x)變形為f(x)x-2,討論其單調(diào)性從而求出f(x)最小x4 .f(x)x2ax3a,假設(shè)x2,2,f(x)2恒成立，求a的取值圍.解析此題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題，只要對(duì)于任意x2,2,f(x)min2假設(shè)x2,2,f(x)2恒成f(x)minf(X)minf

7、(2)73a2a22f(x)minf(2)7a2a的取值圍為5,22.2.值。三、別離變量法假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元?jiǎng)e離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值,但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：.word.zl.1f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a)f(x)max2f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a)f(x)max實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：x22xa0在x1,)時(shí)恒成立，只要ax22x在x1,)時(shí)包成立。而易求得二次函數(shù)h(x)x22x在1,)上的最大值為3,所以a3。1、函數(shù)fxlgxa2,假設(shè)對(duì)任意

8、x2,恒有fx0,試確定a的x取值圍。解：根據(jù)題意得：xa21在x2,上包成立，x即：ax23x在x2,上包成立，23 9設(shè)fxx3x,那么fxx-一4 4當(dāng)x2時(shí)，fxmax2所以a22、x,1時(shí)，不等式12xaa24x0何成立，求a的取值圍。解：令2xt,-x,1t0,2所以原不等式可化為：a2a要使上式在t0,2上包成立，只須求出ft0,2上的最小值即可22t211111.11ttt24t2min3.函數(shù)f(x)axV4xx2,x(0,4時(shí)f(x)0恒成立，數(shù)a的取值圍。4xx2i解：將問題轉(zhuǎn)化為a%x對(duì)*(0,4恒成立。x.4xx2令g(x),那么ag(x)minx由g(x)*4xx4

9、-1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故xxg(x)ming(4)0.a0即a的取值圍為(，0)。注：別離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例4函數(shù)f(x)lx24x5|,假設(shè)在區(qū)間1,5上，ykx3k的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求.word.zl.解析此題等價(jià)于一個(gè)不等式包成立問題，即對(duì)于x1,5,kx3kx24x5包成立，式子中有兩個(gè)變量，可以通過變量別離化歸為求函數(shù)的最值問題.對(duì)于x響他3kx24x5恒成立k2對(duì)于x24x5x1,5恒成立，令y5,x1,5，設(shè)x3t,t2,8,那么x316y(t)10,t2,8,當(dāng)t4,即x=1時(shí)ymax2,k的取值圍是k>2.變式

10、假設(shè)此題中將ykx3k改為yk(x3)2,其余條件不變，那么也可以用變量別離法解.由題意得，對(duì)于x1,5,k(x3)2x24x5恒成立k/4x25對(duì)于(x3)一、人x24x5x1,5恒成立，令y經(jīng)r,x1,5，設(shè)x3t,t2,8,那么(x3)1610彳/45、29y亍一1(-),t2,8t2tt416當(dāng)45,即x1時(shí)，ymax,k的取值圍是k>.t4516164.f(x)是定義在-1,1比的奇函數(shù)，且f(1)=1，假設(shè)m,n1,1,mn0時(shí)f(m)f(n)0,mn假設(shè)f(x)t22at1對(duì)于所有的x1,1,a1,1恒成立,數(shù)t的取值圍.解析此題不等式中有三個(gè)變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策

11、略，先消去一個(gè)變量，容易證明f(x)是定義在-1,1比的增函數(shù)，故f(x)在卜1,1比的最大值為f(1)=1,那么f(x)t22at1對(duì)于所有的x1,1,a1,1恒成立1t22at1對(duì)于所有的a1,1恒成立，即2tat20對(duì)于所有的a1,1恒成立，令g(a)2tat2,只環(huán)g(1)0要，t2或t2或t0.g(1)0四、變換主元法處理含參不等式包成立的某些問題時(shí)，假設(shè)能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變.word.zl.量進(jìn)展“換位思考，往往會(huì)使問題降次、簡化例1對(duì)于任意的aC-1,1,函數(shù)f(x)=a*+(2&4)x+3-a>0恒成立，求x的取值隹.解析此題按常規(guī)思路是分40時(shí)f(x)是一

12、次函數(shù)，aw0時(shí)是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a4x+3在aC-1,1時(shí),g(a)>0恒成立,那么g；)"。0，得3斤x3炳2的所有m都成立，求x的取值圍2的m,fm0包成立，在“曰171,3解得：x2242a0恒成立，求x的取值圍例2、假設(shè)不等式2x1mx21對(duì)滿足|m解：設(shè)fmmx212x1,對(duì)滿足m2f202x12x10f202x212x10例3.對(duì)任意a1,1,不等式x2(a4)x分析：

13、題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但假設(shè)把a(bǔ)看成主元，那么問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上包成立的問題。解：令f(a)(x2)ax24x4,那么原問題轉(zhuǎn)化為f(a)0包成立a1,1。當(dāng)x2時(shí)，可得f(a)0,不合題意。當(dāng)x2時(shí)，應(yīng)有f(1)0解之得x1或x3。f(1)0故x的取值圍為(,1)(3,)。注：一般地，一次函數(shù)f(x)kxb(k0)在,上恒有f(x)0的充要條件為“)°。f()0四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式包成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道,函數(shù)圖象和不等式有著

14、密切的聯(lián)系：1f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方；2f(x)g(x)函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。.word.zl.例1、假設(shè)不等式3x2logax0在x0,1包成立，數(shù)a的取值圍。3解：由題意知：3x2logax在x0，3包成立,在同一坐標(biāo)系，分別作出函數(shù)y3x2和ylogax1一觀祭兩函數(shù)圖象，當(dāng)x0,-時(shí)，3假設(shè)a1函數(shù)ylogax的圖象顯然在函數(shù)y3x2圖象的下方，所以不成立；當(dāng)0a1時(shí)，由圖可知，ylogax的圖象必須過點(diǎn)-02-a27綜上彳為13,3或在這個(gè)點(diǎn)的上方，那么，臉33112727例2.設(shè)f(x)2-4x4x,g(x)-x1a,假設(shè)恒有

15、3g(x)成立，數(shù)a的取值圍.分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出如下圖，f(x)的圖象是半圓(xf(x)及g(x)的圖象2)2g(x)的圖象是平行的直線系4x3y要使f(x)那么圓心(滿足dg(x)恒成立,2,0)到直線4x3y833a3af(x)-20的距離Oy24(y0)3a0。解得a5或a55舍去)例3.設(shè)函數(shù)f(x)a.x24x,g(x)axa,假設(shè)恒有f(x)g(x)成立，試數(shù)a的取值圍.f(x)g(x)x24xax2a，令y1xx24x，y2ax2a(2可化為(x2)2y24(0x4*0),它表示以(2,0歷圓心，2為半徑的上半圓;表示經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0),以a為斜率的直線，要使f(x)

16、g(x)包成立，只需所表.word.zl.示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如下圖).當(dāng)直線與半圓相切時(shí)就有巴上2,即a1a2可知，要使f(x)g(x)恒成立，實(shí)數(shù)a,3a一3的取值圍是V，由圖五分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊,那么可利用分類討論的思想來解決例1、假設(shè)x解：設(shè)fx負(fù)。2,2時(shí),2xax3ox2ax3a恒成立，求a的取值圍。a,那么問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)2,2時(shí),fx的最小值非(D2即：a4時(shí)，fxmin3a不存在;(2)xmin(3)xmin綜上所得:1.解關(guān)于x的不等式Vx24mx4m2解：原不等式等價(jià)于|x2m|m當(dāng)m30即m3時(shí)，x2m2

17、m(m3).word.zl.當(dāng)m30即m3時(shí)，|x6|0.x6當(dāng)m30即m3時(shí)，xR2 .設(shè)aR,函數(shù)f(x)xax2a2.假設(shè)f(x)0的解集為A,Bx|1x3,AHB，數(shù)a的取值圍。點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)與二次不等式和集合知識(shí)有很多聯(lián)系，不等式的解集、函數(shù)的值域成為集合運(yùn)算的載體，對(duì)于含參數(shù)問題要確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。3 .a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a,如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值圍.解析：由函數(shù)f(x)的解析式的形式，對(duì)其在定區(qū)間上零點(diǎn)問題的解決需要考慮它是一次函數(shù)，還是二次函數(shù)，因而需就a0和a0兩類情況進(jìn)展討論。答案：函數(shù)yf(x)在區(qū)間-1,1上有零點(diǎn)，即方程f(x)2ax22x3a=0在-1,1上有解,a=0時(shí)，不符合題意，所以aw0方程f(x)=0在-1,1上有解<=>f(1)f(1)0af(1)0、af°)03737或48a(3a)01a5或a2或a5a-2-或a>1.11.1 a.word.zl.所以實(shí)數(shù)a的取值圍是a3/或a11.2點(diǎn)評(píng)：此題主要考察二次函數(shù)及其性質(zhì)、一元二次方程、函數(shù)應(yīng)用、解不等式等根底知識(shí)，考察了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力。4 .f(x)3x2a(6a)xb1解關(guān)于a的