空間向量的正交分解及坐標表示學習教案

1、空間向量的正交分解及坐標空間向量的正交分解及坐標(zubio)表表示示第一頁，共42頁。學習學習(xux)目標目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及坐標表示掌握空間向量的正交分解及坐標表示2.過程與方法：類比平面向量的有關知識，得出空間過程與方法：類比平面向量的有關知識，得出空間向量基本定理及坐標表示。向量基本定理及坐標表示。3.情感態(tài)度與價值觀：用發(fā)展的聯(lián)系的眼光看問題，情感態(tài)度與價值觀：用發(fā)展的聯(lián)系的眼光看問題，認識到事物都是在不斷認識到事物都是在不斷(bdun)的發(fā)展變化的。的發(fā)展變化的。學習學習(xux)

2、重點重點 空間向量基本定理空間向量基本定理學習難點學習難點 探究空間向量基本定理的過程及定理的應用探究空間向量基本定理的過程及定理的應用第1頁/共42頁第二頁，共42頁。1211122122e eae eaee 如如果果 ，是是同同一一平平面面內內的的兩兩個個向向量量，那那么么對對于于這這一一平平面面內內的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一對對實實數數 ，使使。（ 、叫叫做做表表示示這這一一平平面面內內所所有有向向量量的的一一組組不不共共線線基基底底。）1、平面向量(xingling)基本定理：一、預備一、預備(ybi)知識知識第2頁/共42頁第三頁，共42頁。apbyaxp 一、預備

3、知識一、預備知識2、下圖中，如何用兩個不共線向量、下圖中，如何用兩個不共線向量 來表來表示示 ？ba,paxbybOP第3頁/共42頁第四頁，共42頁。yx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與、在平面直角坐標系中，取與X軸軸Y軸方向軸方向相同的兩個單位向量相同的兩個單位向量 、作為基底，在圖中、作為基底，在圖中作出作出 = ，并寫出，并寫出 的坐標。的坐標。 ijpji23 ppp=（3，2） i3j2O第4頁/共42頁第五頁，共42頁。pxyzoijkijk二、探究與發(fā)現二、探究與發(fā)現 探究一探究一設設 、 、 為由公共起點為由公共起點O的三個兩兩互相垂直的向的三個兩兩互相垂直的向量，

4、那么對于空間任意一個向量量，那么對于空間任意一個向量 ，如何用，如何用 、 、 來表示？來表示？ijkpQkzjyi xpP第5頁/共42頁第六頁，共42頁。abpccba,cbyaxpzOPQ第6頁/共42頁第七頁，共42頁。如果三個向量如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任不共面，那么對空間任一向量一向量p，存在有序實數組，存在有序實數組x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三個向量把不共面的三個向量a、b、c叫做空間的一個叫做空間的一個基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量第7頁/共42頁第八頁，共42頁。注意注意對于基底對于基底a,b,c需要明確以下幾點：需要明確

5、以下幾點：1.向量向量a,b,c不共面；不共面；2.空間任意三個不共面向量都可以做空間向量的空間任意三個不共面向量都可以做空間向量的一個基底；一個基底；3.由于由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是含著它們都不是0.4.一個基底指一個向量組，一個基向量是指基底一個基底指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量中的某一個向量.第8頁/共42頁第九頁，共42頁。 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為的

6、三個基向量互相垂直，且長都為1，則這，則這個基底叫做個基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表表示示 空間直角坐標系：空間直角坐標系：在空間選定一點在空間選定一點O和一和一個單位正交基底個單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點以點O為原點，分別為原點，分別以以e1,e2,e3的正方向建立三條數軸：的正方向建立三條數軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標軸軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個這樣就建立了一個空間直角坐標系空間直角坐標系O-xyz 點點O叫做原點，向量叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐標向量坐標向量.通過每兩個坐通過每兩個坐標軸的平面

7、叫做標軸的平面叫做坐標平面坐標平面。xyzOe1e2e3（2）空間）空間(kngjin)向量的坐向量的坐標表示標表示第9頁/共42頁第十頁，共42頁。 給定一個空間坐標系和向給定一個空間坐標系和向量量 ,且設且設e1,e2,e3為坐標向量，為坐標向量，由空間向量基本定理由空間向量基本定理(dngl)，存在唯一的有序實數組存在唯一的有序實數組(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序數組有序數組( x, y, z)叫做叫做p在空間直在空間直角坐標系角坐標系O-xyz中的坐標，記中的坐標，記作作.P=(x,y,z)p（2）空間向量的坐標）空間向量的坐標(zubio)表示表示xyzO

8、e3e1e2P第10頁/共42頁第十一頁，共42頁。三、空間向量的正交分解及其坐標(zubio)表示xyzOijkP記作 =(x,y,z)pNoImage由空間向量基本定理，對由空間向量基本定理，對于空間任一于空間任一向量向量 存在唯存在唯一的有序實數組一的有序實數組(x,y, z)使使 pkzj yi xpPP第11頁/共42頁第十二頁，共42頁。ijkijkijk第12頁/共42頁第十三頁，共42頁。三、定理應用三、定理應用例例1如圖，M、N分別是四面體OABC的邊OA、BC的中點，P,Q是MN的三等分點。用向量 、 、 表示 和 。 OAOBOCOPOQ解：= 第13頁/共42頁第十四頁

9、，共42頁。MNOAMQOMOQ3121)(3121OMONOA)21(3121OAONOA)(213131OCOBOA )(3221OMONOA)21(3221OAONOA)(213261OCOBOAOCOBOA313161MNOAMPOMOP3221解：第14頁/共42頁第十五頁，共42頁。練習練習(linx)(linx) . .空間四邊形空間四邊形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c點點M M在在OAOA上上, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N為為BCBC的中點的中點, ,則則MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 12

10、2312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D) a + b c 122323第15頁/共42頁第十六頁，共42頁。第16頁/共42頁第十七頁，共42頁。四、學后反思四、學后反思(fn s)1、知識點：2、問題探究過程(guchng)的思路剖析：課下探究 空間向量基本定理與課本(kbn)95頁“思考“欄目中的第二問題有什么聯(lián)系？你有何體會？五、作業(yè)：五、作業(yè)： P106 A組1. 2.第17頁/共42頁第十八頁，共42頁。練習練習(linx)2第18頁/共42頁第十九頁，共42頁。第19頁/共42頁第二十頁，共42頁。如果三個向量如果三個向量a、b、c

11、不共面，那么對空間任不共面，那么對空間任一向量一向量p，存在有序實數組，存在有序實數組x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三個向量把不共面的三個向量a、b、c叫做空間的一個叫做空間的一個基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量第20頁/共42頁第二十一頁，共42頁。則則 叫做叫做點點A 在此空間坐標系在此空間坐標系o-xyz的的坐標坐標； ),(zyxxyzOijkAa NoImage3. 坐標坐標(zubio)向量向量(xingling)的坐標的坐標給定一個空間直角坐標系和向量給定一個空間直角坐標系和向量 , 且且設設 為坐標向量，則存在唯一的為坐標向量，則存在唯一的有序有

12、序實數組實數組( a1, a2, a3)使使 a i,j,k 123a=a ia ja k 有序數組有序數組( a1, a2, a3)叫做叫做 在空間在空間直角坐標系直角坐標系O-xyz中的中的坐標坐標，記作記作.a a= (a1, a2, a3)點的坐標點的坐標(zubio)在空間直角坐標系在空間直角坐標系O-xyz中，對空間任一點中，對空間任一點A, 對應一個向量對應一個向量 于是存在唯一的有序實數組于是存在唯一的有序實數組x, y, z，使，使OA OA=xiy jzk ),(zyx記作記作Ax, y, z分別稱作點分別稱作點A的的橫坐標橫坐標, 縱坐標縱坐標, 豎坐標豎坐標.第21頁/

13、共42頁第二十二頁，共42頁。123123(,)( ,)aa aabb b b設，則則 ba ba a ba baba / 0baba二、空間二、空間(kngjin)(kngjin)向量的坐標向量的坐標運算運算. .);,(332211bababa );,(332211bababa );)(,(321Raaa ;332211bababa 332211,bababa 312123aaabbb(注：分母不為零注：分母不為零). 0332211 bababa第22頁/共42頁第二十三頁，共42頁。若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則則AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)

14、- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段向量的有向線段(xindun)(xindun)的終點的坐標減去起點的坐標的終點的坐標減去起點的坐標. .第23頁/共42頁第二十四頁，共42頁。1. 1.距離距離(jl)(jl)公式公式（1 1）向量的長度）向量的長度(chngd)(chngd)（模）公式（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。長度。第2

15、4頁/共42頁第二十五頁，共42頁。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標系中，已知、在空間直角坐標系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空間）空間(kngjin)兩點間的距離公式兩點間的距離公式第25頁/共42頁第二十六頁，共42頁。2.2.兩個向量兩個向量(xingling)(xingling)夾角公夾角公式式注意：注意：（1）當）當 時，同向；時，同向；（2）當）當 時，反向；時，反向；（3）當）當 時，。時，。cos,1 a b與 a

16、bcos,1 a b與 abcos,0 a bab第26頁/共42頁第二十七頁，共42頁。第27頁/共42頁第二十八頁，共42頁。(2, 3,5),( 3,1, 4),1), 2) 3)8 4),abababaa b 例1：已知求，第28頁/共42頁第二十九頁，共42頁。練習練習(linx)一：一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：求下列兩個向量的夾角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列兩點間的距離及中點坐標：求下列兩點間的距離及中點坐標：(1)(1,1, 0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3 ,1, 5) ,(0

17、 ,2 , 3) .CDOABM第29頁/共42頁第三十頁，共42頁。第30頁/共42頁第三十一頁，共42頁。yzxO解：設正方體的棱長為解：設正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標系，則立空間直角坐標系，則Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例1如圖如圖, 在正方體中，在正方體中，求與所成的角的余弦值，求與所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01

18、1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 第31頁/共42頁第三十二頁，共42頁。如圖長方體ABCD-ABCD,底面邊長均為1，棱AA=2，M、N分別是AC,AA的中點， （1）求CN的長;（2）求cos的值; （3）求證:ACDM .ADCBACDBNM例題第32頁/共42頁第三十三頁，共42頁。ADCBACDBNMxyz解：（1）如圖建立空間(kngjin)直角坐標系，則C(0,1,0),N(1,0,1)30)(11)(00)(1|CN|222第33頁/共42頁第三十四頁，共42頁。第3

19、4頁/共42頁第三十五頁，共42頁。（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)CA=(1,-1,2)，DC=(0,1,2)，1030|DC|CA|DCCADC,CAcos211CA02121MD22121M,0,0,2D，020121121CAMD（3）ACDM 第35頁/共42頁第三十六頁，共42頁。證明證明(zhngmng):設正方體的棱長為設正方體的棱長為1,1,.DAi DCj DDk 建立建立(jinl)如圖的空間直角坐標系如圖的空間直角坐標系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 則則11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另證證 可可以以用用三三垂垂線線定定理理證證D D得得證證第36頁/共42頁第三十