市場調(diào)查：第九講 預(yù)測方法（3）-灰色系統(tǒng)預(yù)測模型

1、第九講：預(yù)測方法（3）-灰色系統(tǒng)預(yù)測模型灰色序列生成按概率統(tǒng)計的要求,統(tǒng)計推斷模型需要較多的原始樣本數(shù)據(jù)。但實際情況常常是,在許多系統(tǒng)中難以獲得大樣本數(shù)據(jù)資料, 因此很難用概率統(tǒng)計方法處理。灰色系統(tǒng)理論的形成和發(fā)展彌補了這一不足,從而解決了概率統(tǒng)計所無法解決的問題。序列算子定義定義：設(shè)設(shè) nXXXX)0()0()0()0(,2,1 為為系統(tǒng)系統(tǒng)的的真真實實行為行為序列序列。 觀察觀察序列序列： 0)0(2)0(1)0(,2,1,2,1XnXXXnXXXXn 其中其中n,21為為沖沖擊擊擾擾動動項項。 定義定義：設(shè)設(shè)系統(tǒng)系統(tǒng)行為行為數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)序列序列為為 nXXXX,2,1，若若 （1 1）nk,

2、 3 , 2， 01 kxkx，則則稱稱 X X 為為單調(diào)單調(diào)增增長長序列序列。 （2 2）（1 1）中中不不等等號號反反過來過來成立成立，則則稱稱 X X 為為單調(diào)單調(diào)衰衰減減序列序列。 （3 3）存在存在nkk, 3 , 2,，有有 01 kxkx， 01 kxkx 則則稱稱 X X 為為隨隨機機振振蕩蕩序列序列。設(shè)設(shè) nkkxM, 3 , 2 , 1max， nkkxm, 3 , 2 , 1min 則則稱稱 M M- -m m 為為序列序列 X X 的的振振幅幅。 定義定義：設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為 nXXXX,2,1，D D 為為于于 X X 作用作用的的算算子子，X

3、X 經(jīng)過經(jīng)過算算子子 D D 作用作用后后所所得得序列序列記記為為 dnXdXdXXD,2,1 則則稱稱 D D 為為序列序列算算子子，稱稱 XDXD 為為一一階階算算子子作用作用序列序列。 序列序列算算子子可可作作用用多多次次，作用作用兩兩次次稱稱為為二二階階算算子子，三三次次為為三三階階算算子子，以以此此類類推推。 公理（不動點公理） ：設(shè)公理（不動點公理） ：設(shè) X 為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D D 為序列為序列算子，則算子，則 D D 滿足滿足 nxdnx 公理（信息充分利用公理） ：系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為公理（信息充分利用公理） ：系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X中的每中的每一個數(shù)據(jù)一個

4、數(shù)據(jù) kx，nk, 3 , 2 , 1都應(yīng)充分地參與算子作用的全都應(yīng)充分地參與算子作用的全過程。過程。 公理公理（解解析析化化規(guī)范規(guī)范公公理理）：任意任意的的 nkdkx, 3 , 2 , 1，皆皆可可由由一一個個統(tǒng)統(tǒng)一一的的 nXXX,2,1的的初初等等解解析析式式表達表達。 滿足上述三公理的算子稱為緩沖算子。滿足上述三公理的算子稱為緩沖算子。定義定義：設(shè)設(shè) X 為為原始原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)序列序列，D 為為緩緩沖沖算算子子，當(dāng)當(dāng) X 分別分別為為增增長長序列序列，衰衰減減序列序列或或振振蕩蕩序列序列時時： （1）若若緩緩沖沖序列序列 XD 比比原始原始序列序列 X 的的增長增長速度速度（或或衰衰減

5、減速速度度）減減緩緩或或振振蕩蕩減少減少，稱稱緩緩沖沖算算子子 D 為為弱弱化化算算子子。 （2）若若緩緩沖沖序列序列 XD 比比原始原始序列序列 X 的的增長增長速度速度（或或衰衰減減速速度度）加加快快或或振振蕩蕩增增大大，稱稱緩緩沖沖算算子子 D 為為強強化化算算子子。 實用緩沖算子實用緩沖算子定理定理：設(shè)設(shè)原始原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)序列序列 nXXXX,2,1 令令 dnXdXdXXD,2,1 其中其中 kniikxkndkx011，nk, 3 , 2 , 1 則則當(dāng)當(dāng) X X 為為單調(diào)單調(diào)增增長長序列序列、單調(diào)單調(diào)衰衰減減序列序列或或振振蕩蕩序列序列時時，D D 皆皆為為弱弱化化算算子子。 定理

6、：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列定理：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 nxxxX,2,1 令令 dnxdxdxXD,2,1 其中其中 kxkkixkdkxki1211211，1, 3 , 2 , 1nk nxdnx 則當(dāng)則當(dāng) X X 為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D D 皆皆為強化算子。為強化算子。 定理：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列定理：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 nxxxX,2,1 令令 iiiidnxdxdxXD,2,1 其中其中 2)1kxkxdkxi，1, 3 , 2 , 1nk，2 , 1i nxdnxi，2 , 1i 1 , 0,111xdx 1 , 0,1112xdx 則則1D對對

7、單調(diào)增長序列單調(diào)增長序列為強化算子為強化算子，2D對對單調(diào)衰減序列單調(diào)衰減序列為強化為強化算子。算子。 序列的光滑性序列的光滑性定定 義義 ： 設(shè)設(shè) tX是是 定定 義義 在在,ba上上 的的 連連 續(xù)續(xù) 函函 數(shù)數(shù) ， 在在,ba中中 插插 入入分分點點btttan121得得到到,ba的的一一個個劃劃分分; 1,kkkttt，nk,3 ,2, 1。 同同 時時 用用kt表表 示示1,kktt的的 長長 度度 ，kkkttt1，nk,3 ,2, 1。在在1,kktt中中 任任 取取 一一 點點 得得 kx，從從 而而 有有 序序 列列 nxxxX,2,1 記記 ntxtxtxX,210 為為

8、下下 邊邊 界界 點點 序序 列列 。 令令nkttk1 ,max， 設(shè)設(shè) d 為為 n 維維 空空間間 中中 的的 距距 離離 函函 數(shù)數(shù) ，*X為為 指指 定定 可可 導(dǎo)導(dǎo) 函函 數(shù)數(shù) 的的 代代 表表 序序 列列 。 若若 當(dāng)當(dāng)t趨趨于于 零零 時時 ，無無 論論 時時 區(qū)區(qū),ba上上 如如 何何 劃劃 分分 ，小小 時時 段段 上上 的的 內(nèi)內(nèi) 點點 如如 何何 選選取取 ， 都都 有有 （ 1） 對對 任任 意意 的的 內(nèi)內(nèi) 點點 序序 列列iX和和jX，jiXXdXXd,*。 （ 2）0*,XXdXXd。 則則 稱稱 tX為為 光光 滑滑 連連 續(xù)續(xù) 函函 數(shù)數(shù) 。 定義：設(shè)序列定

9、義：設(shè)序列 1,2,1nxnxxxX，Z Z 是是 X X的均值生成序的均值生成序列，即列，即 nzzzZ,2,1 其中其中 ) 15 . 05 . 0kxkxkz，nk, 3 , 2 , 1 *X是某一可導(dǎo)函數(shù)的代表序列是某一可導(dǎo)函數(shù)的代表序列; d為為n維空間中的距離函數(shù)，維空間中的距離函數(shù)，將將 X 刪去刪去1nx后所得的序列仍記為后所得的序列仍記為 X，若，若 X 滿足：滿足： （1）當(dāng)）當(dāng) k 充分大時，充分大時， 11kiixkx （2） kzkzkxkxnknk*1*1maxmax 則稱則稱 X 為光滑序列， （為光滑序列， （1）和（）和（2）稱為序列光）稱為序列光滑條件。滑條

10、件。 定義定義 設(shè)設(shè) X 為為光滑光滑序列序列，Z 為為 X 的的均均值值生成生成序列序列，*X是某一是某一可導(dǎo)函數(shù)的代表序列可導(dǎo)函數(shù)的代表序列，d 為為 n 維空間中的距離函數(shù)。維空間中的距離函數(shù)。若若存在存在 1 , 0 使使得得 ZXdXXd,* 則則稱稱序列序列 X 的的光滑光滑度度大大于于1，稱稱 1*,ZXdXXd 為為序列序列 X 的的光滑光滑度度，記記為為 dS，當(dāng)當(dāng) 0,*ZXdXXd 即即 dS 則則稱稱 X 為為無限無限光滑光滑序列序列。 級比與光滑比定義：設(shè)序列定義：設(shè)序列 1,2,1nxnxxxX，稱，稱 1kxkxk，nk, 3 , 2 為序列為序列 X X 的級比

11、。稱的級比。稱 11kiixkxk，nk, 3 , 2 為序列為序列 X X 的光滑比。的光滑比。 定義：若序列定義：若序列 X X 滿足滿足 （1 1） 11kk，nk, 3 , 2 （2 2） , 0k，nk, 3 , 2 （3 3）5 . 0 稱稱 X X 為為準(zhǔn)準(zhǔn)光滑光滑序列序列。 累加（累減）生成算子累加（累減）生成算子定義：設(shè)定義：設(shè)原始序列原始序列 nXXXX)0()0()0()0(,2,1，D D 為為序列算子序列算子 dnXdXdXDX)0()0()0()0(,2,1 其中其中 kiixdkx000，nk, 3 , 2 , 1 則稱則稱 D 為為)0(X的一次累加算子，記為的

12、一次累加算子，記為 1 1- -AGOAGO，稱，稱 r r 階算子階算子rD為為)0(X的的 r r 次次累累加加生生成成算算子子，記記為為 r r- -AGOAGO。 定義：設(shè)定義：設(shè)原始序列原始序列 nXXXX)0()0()0()0(,2,1，D D 為為序列算子序列算子 dnXdXdXDX)0()0()0()0(,2,1 其中其中 1000kxkxdkx，nk, 3 , 2 , 1 則稱則稱 D 為為)0(X的一次累的一次累減生成減生成算子， 稱算子， 稱 r r 階算子階算子rD為為)0(X的的r r 次累次累減減生成算子。生成算子。 命題：設(shè)命題：設(shè))0(X為非負序列為非負序列 n

13、xxxX)0()0()0()0(,2,1， 若若 nxxxXrrrr)()()()(,2,1 為為)0(X的的r r 次累加生成序列， 則當(dāng)次累加生成序列， 則當(dāng) r r 充分大時， 對任意充分大時， 對任意0，存在存在 N N，使任意，使任意 k k，nkN，有下式成立，有下式成立 11kirrixkx 即，對于有界非負序列，經(jīng)過多次累加生成后，所得序列充即，對于有界非負序列，經(jīng)過多次累加生成后，所得序列充分光滑，且光滑比分光滑，且光滑比 0 kk 命題：設(shè)命題：設(shè))0(X為非負序列為非負序列 nxxxX)0()0()0()0(,2,1， 若若 nxxxX)1()1()1()1(,2,1 為

14、為)0(X的的 r r 次累加生成序列次累加生成序列 序列序列 nzzzZ)1()1()1()1(,2,1 為為)1(X的的緊緊鄰鄰均均值值生成序列生成序列，則則對任意對任意0，存在，存在 N N，使任，使任意意 k k，nkN，有下式成立，有下式成立 110010kiixkxkkzkx 累加生成的灰指數(shù)規(guī)律累加生成的灰指數(shù)規(guī)律 一般的非負準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過累加生成后，都會減少隨機性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)規(guī)律。例：某地區(qū)平均降雨量數(shù)據(jù)例：某地區(qū)平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：毫米）序列為（單位：毫米）序列為 )5 .318, 6 .581, 0 .576, 8 .313, 2 .406, 0 .540, 0 .

15、632, 0 .300, 0 .561, 0 .310, 0 .553, 4 .542, 8 .380, 2 .559, 0 .320, 0 .412, 6 .39017,2,1xxxX其中其中 17,2,1xxx分別為分別為1987,1972,1971年的數(shù)據(jù)，年的數(shù)據(jù)，取取320毫米為下限異常值（旱災(zāi)），試作旱災(zāi)預(yù)測。毫米為下限異常值（旱災(zāi)），試作旱災(zāi)預(yù)測。 定義：設(shè)定義：設(shè)原始序列原始序列 nxxxX)0()0()0()0(,2,1 序列序列 nxxxX)0(1)0(1)0(1)0(1,2,1 為為)0(X的一次累減生成序列，若的一次累減生成序列，若 （1 1） 有有 k k， 使， 使

16、 010001kxkxkx， 則稱序列， 則稱序列)0(X在第在第 k k 步是增長的，反之，稱步是增長的，反之，稱)0(X在第在第 k k 步是衰減的。步是衰減的。 （2 2）對于對于nk, 3 , 2 , 1，恒有，恒有 001kx，則，則稱序列稱序列)0(X為非波動增長序列（或稱步步增長序列）。為非波動增長序列（或稱步步增長序列）。 （3 3）對于對于nk, 3 , 2 , 1，恒有，恒有 001kx，則稱序列，則稱序列)0(X為非波動衰減序列。為非波動衰減序列。 （4 4）存在存在1k，2k，使，使 0101kx， 0201kx，則稱則稱序列序列)0(X為隨機為隨機序列。序列。 定義定

17、義：設(shè)設(shè)連續(xù)連續(xù)函函數(shù)數(shù)為為 bcetXat，0,ac 則則當(dāng)當(dāng) （1 1）0b時時，稱稱 tX為為齊齊次次指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)。 （2 2）0b時時，稱稱 tX為為非非齊齊次次指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)。 定義定義：設(shè)設(shè)序列序列 nxxxX,2,1，若若對于對于 （1 1）nk, 3 , 2 , 1， akcekx，0,ac，則則稱稱 X X 為為齊齊次次指指數(shù)數(shù)序列序列。 （2 2）nk, 3 , 2 , 1， bcekxak，0,bac，則則稱稱 X X為為非非齊齊次次指指數(shù)數(shù)序列序列。 定義：定義：若若)0(X為非波動序列，而為非波動序列，而 kx01為隨機序列，則稱為隨機序列，則稱)0(X為一階弱

18、隨機序列。為一階弱隨機序列。 （1 1）對于對于1, 3 , 2 , 1ri， kxi0皆為皆為隨機序列，則稱隨機序列，則稱)0(X為為 r r 階弱隨機序列。階弱隨機序列。 （2 2）對于對于任意任意 r r，r， kxr0為為非非波動波動序列序列，則稱則稱序列序列)0(X為非為非隨機序列。隨機序列。 定理定理：設(shè)設(shè))0(X為為正正序列序列，即即 nxxxX)0()0()0()0(,2,1 而而)(rX為為)0(X的的 r r 次次累累加加生成生成序列序列， 則則)(rX必必為為 r r 階階弱弱隨隨機機序列序列。 定理定理：X X 為為齊齊次次指指數(shù)數(shù)序列序列的的充分充分必要必要條件條件是

19、是：對對于于nk, 3 , 2，恒恒有有 常數(shù)k成立成立。 證明證明：必要必要性性：設(shè)設(shè)對對任意任意 k k， akcekx，0,ac，則則 akaakececekxkxk11 充分充分性性：設(shè)設(shè)對對任意任意 k k， aek ，則則 12121kaaaexkxekxekx 定義定義：設(shè)設(shè)序列序列 nxxxX,2,1，若若 （1 1）k， 1 , 0k，則則稱稱序列序列 X 具有具有負負的的灰灰指指數(shù)數(shù)規(guī)律規(guī)律。 （2 2）k， bk, 0， 則則稱稱序列序列 X 具有具有正正的的灰灰指指數(shù)數(shù)規(guī)律規(guī)律。 （3）k， bak,，ab，則則稱稱序列序列 X 具有具有絕對絕對灰灰度度為為的的灰灰指指

20、數(shù)數(shù)規(guī)律規(guī)律。 （4）5 . 0時時，稱稱 X 具有具有準(zhǔn)準(zhǔn)指數(shù)指數(shù)規(guī)律規(guī)律。 定理定理：設(shè)設(shè))0(X為為非非負負準(zhǔn)準(zhǔn)光滑光滑序列序列，則則)0(X的的一一次次累累加加生成生成序序列列)1(X具有具有準(zhǔn)準(zhǔn)指數(shù)指數(shù)規(guī)律規(guī)律。 證明證明： kkxkxkxkxkxk1111110111 按照按照準(zhǔn)準(zhǔn)光滑光滑度度的的定義定義，對對每每個個 k，有有 5 . 0k，所以所以 5 . 1 , 11k，5 . 0 即即)1(X具有具有準(zhǔn)準(zhǔn)指數(shù)指數(shù)規(guī)律規(guī)律。 定理定理：設(shè)設(shè))0(X為為非非負負序列序列，若若)(rX具有具有指指數(shù)數(shù)規(guī)律規(guī)律，且且)(rX的的級級比比 kr，則則有有 （1） 1111kkrk （

21、2）當(dāng)當(dāng)1 , 0時時， 1lim1krk，且且對對每每一一個個 k 有有 1 , 11kr （3 3）當(dāng)當(dāng)1時時， krk1lim，對對每每一一個個 k 有有 1 ,1kr 證證明明：（1 1）由由)(rX具具有有指指數(shù)數(shù)規(guī)規(guī)律律，且且對對每每一一個個 k k 有有 1kxkxkrrr 則則對對每每一一個個 k 有有 12112rkrrrxkxkxkx 1,1,11rnrrrxxxX 11,11,111rnrrrxxxX 11221211111111111111kkkkrkrkrrrxxkxkxk （2 2）當(dāng)當(dāng)10時，時， kr 1隨著隨著 k 的增大而遞減。的增大而遞減。 當(dāng)當(dāng)2k時時

22、1122111rrrxx 當(dāng)當(dāng)k時時 11111kkrk 故對每一個故對每一個 k 有有 1 ,1kr （3）當(dāng)）當(dāng)1時，時， kr 1隨著隨著 k 的增大而遞減。的增大而遞減。 當(dāng)當(dāng)2k時時 121r 當(dāng)當(dāng)k時時 1111kkrk 所以，對每一個所以，對每一個 k 有有 1 ,1kr 灰色系統(tǒng)模型GM（1，1）模型）模型 定義定義：設(shè)設(shè) nxxxX)0()0()0()0(,2,1 nxxxX)1()1()1()1(,2,1 稱稱 bkaxkx10 為為 GM(1,1)GM(1,1)模型模型的的原始原始。 定義定義：設(shè)設(shè) nxxxX)0()0()0()0(,2,1 nxxxX)1()1()1(

23、)1(,2,1 序列序列 nzzzZ)1()1()1()1(,2,1 其中其中 ) 15 . 05 . 0111kxkxkz，nk, 3 , 2 , 1 稱稱 bkaxkx10 為為 GM(1,1)GM(1,1)模型模型的的基本基本形式形式。 定理定理：設(shè)設(shè))0(X為非負序列為非負序列 nxxxX)0()0()0()0(,2,1 )1(X為為)0(X的的 1 1- -AGOAGO 序列序列，即即 nxxxX)1()1()1()1(,2,1 )1(Z為為)1(X的的緊鄰均值生成序列緊鄰均值生成序列，即即 nzzzZ)1()1()1()1(,2,1 若若Tbaa, 為為參參數(shù)數(shù)列列，且且 nxxx

24、Y00032， 11312111nzzzB 則則灰灰色色微微分分方方程程 bkaxkx10的的最最小小二二乘乘估計估計參參數(shù)數(shù)列列滿足滿足 YBBBaTT1 參數(shù)a稱為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。定義：設(shè)定義：設(shè))0(X為非負序列，為非負序列，)1(X為為)0(X的的 1 1- -AGOAGO 序列，序列，)1(Z為為)1(X的緊鄰均值生成序列，的緊鄰均值生成序列，YBBBbaTTT1,，則稱，則稱 baxdtdx11 為為白化方程白化方程 bkazkx10 的的灰色微分方程灰色微分方程，也叫影子方程。，也叫影子方程。 定理：設(shè)定理：設(shè) B B，Y Y，a 如上所述，如上所述，YBBBbaaTT

25、T1,，則，則 （1 1）白化方程白化方程 baxdtdx11的解（也的解（也稱時間響應(yīng)函數(shù)），稱時間響應(yīng)函數(shù)），即即 abeabxtxat111 （2 2） GM(1,1)GM(1,1) 灰色微分方程灰色微分方程 bkaxkx10的時間序的時間序列為列為 abeabxkxak1101，nk, 3 , 2 , 1 （3 3）還原值還原值 kxkxkxkx11110111 定理定理：GM(1,1)GM(1,1)模型模型 bkazkx10 可可轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為 bkaxkx110 其中其中 ab5 . 01，aa5 . 01 證明證明（略略） 定定理理：設(shè)設(shè)ab5 .01，aa5 .01，且且 nxx

26、xX)1()1()1()1(,2,1 為為 G GM M( (1 1, ,1 1) )模模型型時時間間響響應(yīng)應(yīng)序序列列，其其中中 abeabxkxka1011，nk, 3 , 2 , 1 則則 2001kaexkx 殘差殘差GM(1,1)模型模型定義定義： 設(shè)設(shè))0(X為為原始原始序列序列，)1(X為為)0(X的的 1 1- -AGOAGO 序列序列， GM(1,1)GM(1,1)模型模型時間時間響響應(yīng)應(yīng)式式為為 abeabxkxak1101 則則稱稱 akeabxakxd1101 為為導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)還還原原值值。 定義：設(shè)定義：設(shè) n)0()0()0()0(,2,1 其中其中 kxkxk110為為

27、)1(X的殘差序列。若存在的殘差序列。若存在0k，滿足滿足 （1 1）0kk ， k0符號一致。符號一致。 （2 2）40 kn，則稱，則稱 nkk)0(0)0(0)0(,1, 為可建模殘差尾段，仍記為為可建模殘差尾段，仍記為 nkk)0(0)0(0)0(,1, 命題：設(shè)命題：設(shè) n)0()0()0()0(,2,1 為可建模殘差尾段，其為可建模殘差尾段，其 1 1- -AGOAGO 序列序列 nkk)1(0)1(0)1()1(,1, 的的 GM(1,1)GM(1,1)模型時間響應(yīng)式為模型時間響應(yīng)式為 abkkaabkk0001exp1，0kk 則殘差尾段則殘差尾段 0的模擬序列的模擬序列 nk

28、k)0(0)0(0)0()0(,1, 其中其中 0000exp1kkaabkak。0kk 定義：若用定義：若用 0修正修正)1(X，則稱修正后的時間響應(yīng)式，則稱修正后的時間響應(yīng)式 0000001,1,11kkabkaabeabxkkabeabxkxakak 為殘差修正為殘差修正 GM(1,1)GM(1,1)模型，簡稱殘差模型，簡稱殘差 GM(1,1)GM(1,1)。其中殘差正。其中殘差正值值 0000exp1kkaabkak 的的符號符號應(yīng)應(yīng)與與殘殘差差尾尾段段 0的的符號符號保持保持一一致致。 定義定義：若若 10110111kaaeabxekxkxkx 則則相相應(yīng)應(yīng)的的殘差修正殘差修正時間

29、響應(yīng)式時間響應(yīng)式 0000000,11,1110kkeabkaeabxekkeabxekxkkaakaaka稱稱為為累累減減還還原原式式的的殘殘差差修修正正模型模型。 定義定義：若若 akeabxakx1100 則則相相應(yīng)應(yīng)的的殘差修正殘差修正時間響應(yīng)式時間響應(yīng)式 0000000,1,110kkeabkaeabxakkeabxakxkkaakak稱稱為為導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)還還原原式式的的殘殘差差修修正正模型模型。 GM(1,1)模型群模型群 在實際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模。在原始數(shù)據(jù)序列中取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個模型。一般說來，取不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的

30、GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)的值也不一樣。這種變化正是不同情況、不同條件對系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。定義：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列定義：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 nxxxX)0()0()0()0(,2,1 （1 1）用用 nxxxX)0()0()0()0(,2,1建立的建立的 GM(1,1)GM(1,1)模型模型稱為全數(shù)據(jù)稱為全數(shù)據(jù) GM(1,1)GM(1,1)模型。模型。 （2 2） 用用 nxkxkxX)0(0)0(0)0()0(,1,建立的建立的 GM(1,1)GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù) GM(1,1)GM(1,1)模型。模型。 （3 3）設(shè)設(shè) 10nx為最新信息，將為最

31、新信息，將 10nx置入置入)0(X，稱用，稱用 1,2,1)0()0()0()0()0(nxnxxxX建立的建立的 GM(1,1)GM(1,1)模模型稱為新信息型稱為新信息 GM(1,1)GM(1,1)模型。模型。 （4 4）置入最新信息置入最新信息 10nx，去掉最老信息，去掉最老信息 10 x，稱用，稱用 1,2)0()0()0()0(nxnxxX建立的建立的GM(1,1)GM(1,1)模型稱為模型稱為新陳代謝新陳代謝 GM(1,1)GM(1,1)模型。模型。 灰色系統(tǒng)預(yù)測定義：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列定義：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 nxxxX)0()0()0()0(,2,1 相應(yīng)的預(yù)測模型模擬序列相應(yīng)的預(yù)

32、測模型模擬序列 nxxxX)0()0()0()0(,2,1 殘差序列殘差序列 ,22,11,2,1000000)0(nxnxxxxxn 相對誤差序列相對誤差序列 nknxnxx1000,22,11 （1 1）稱稱 kxkk0為為 k k 點的相對誤差，稱點的相對誤差，稱nkkn11為為平均相對誤差。平均相對誤差。 （2 2）稱稱1為平均相對精度，為平均相對精度，k1為為 k k 點的模擬精度。點的模擬精度。 （3 3）給定，當(dāng)給定，當(dāng)且且n成立時，稱模型為殘差合成立時，稱模型為殘差合格模型。格模型。 定義：定義：設(shè)設(shè))0(X為為原始數(shù)據(jù)序列原始數(shù)據(jù)序列，)0(X為為相相應(yīng)應(yīng)的的模擬模擬序列序列

33、，為為)0(X與與)0(X的的絕對絕對關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)度度，若若對對給給定定的的00，有有0，則則稱稱模型模型為為關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)度度合合格格模型模型。 定義： 設(shè)定義： 設(shè))0(X為原始數(shù)據(jù)序列，為原始數(shù)據(jù)序列，)0(X為相應(yīng)的模擬序列，為相應(yīng)的模擬序列， 0為殘差序列，則為殘差序列，則 nkkxnx101， nkxkxnS120211 分別為分別為)0(X的均值和方差的均值和方差; ; nkkn11， nkknS12221 分別為殘差的均值和方差。分別為殘差的均值和方差。 （1 1）12SSC 稱為均方差比值，對于給定的稱為均方差比值，對于給定的00C，當(dāng)，當(dāng)0CC 時，稱模型為均方差比合格模型。時，稱模

34、型為均方差比合格模型。 （2 2） 16745. 0SkPp稱為小誤差概率。對于給稱為小誤差概率。對于給定的定的00p，當(dāng)，當(dāng)0pp 時，稱模型為小誤差概率合格模型。時，稱模型為小誤差概率合格模型。 2005 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(CUMCM) A 題 長江水質(zhì)的評價和預(yù)測解答長江水質(zhì)的評價和預(yù)測解答 表表1 過去過去10 年長江中廢水排放總量年長江中廢水排放總量/ 億噸億噸285270256220.5234207189183179174排污總量排污總量2004200320022001200019991998199719961995年份年份285270256220.523420718918

35、3179174排污總量排污總量2004200320022001200019991998199719961995年份年份長江水質(zhì)的污染程度日趨嚴(yán)重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。附件 3 給出了長江沿線長江沿線 17 個觀測站個觀測站（地區(qū)）近兩年多（地區(qū)）近兩年多主要水質(zhì)指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上個觀測站近一年多干流上個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)（站點距離、水流量和水流速） 。通常認為一個觀測站（地區(qū)）的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學(xué)降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈

36、化能力的指標(biāo)稱為降解系數(shù)。事實上，長江干流的自然自然凈化能力可以認為是近似均勻的凈化能力可以認為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)通常介于0.10.5 之間， 比如可以考慮取 0.2 (單位：1/天)。附件 4 是“19952004 年長江流域水質(zhì)報告”給出的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)。下面的附表是國標(biāo)(GB3838-2002) 給出的地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)中 4 個主要項目標(biāo)準(zhǔn)限值，其中、類為可飲用水。 請你們研究下列問題：請你們研究下列問題： （1）對長江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評價，并分析各）對長江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評價，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。地

37、區(qū)水質(zhì)的污染狀況。 （2） 研究、 分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨） 研究、 分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)氮的污染源主要在哪些地區(qū)? （3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去）假如不采取更有效的治理措施，依照過去 10 年的主要統(tǒng)計數(shù)年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析，比如研究未來據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析，比如研究未來10年的情況。年的情況。 （4）根據(jù)你的根據(jù)你的預(yù)測分析預(yù)測分析，如果未來如果未來 10 年內(nèi)每年都要求長江干流的年內(nèi)每年都要求長江干流的類和類類和類水的比例控制在水的比例控制

38、在 20%以內(nèi)，且沒有以內(nèi)，且沒有劣類水劣類水, ,那么那么每年需每年需要處理多少污水？要處理多少污水？ （5）你對解決長江水質(zhì)污染問題有什么切實可行的建議和意見。）你對解決長江水質(zhì)污染問題有什么切實可行的建議和意見。 要回答（要回答（3 3）至（）至（5 5）的問題需要預(yù)測未來污染情況）的問題需要預(yù)測未來污染情況問題分析問題分析 問題是如何依照過去10 年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù),對長江未來10 年水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析。若采用統(tǒng)計預(yù)測方法需要足夠多的數(shù)據(jù)，但本題數(shù)據(jù)量偏少。因此，考慮采用灰色模型預(yù)測方法。 由于影響長江污染物增長的因素既有社會經(jīng)濟的、也有自然環(huán)境的、還有科學(xué)技術(shù)方面等，這些眾

39、多的因素,不是用幾個指標(biāo)所能表達清楚的，這些因素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系難以準(zhǔn)確描述,更無法精確計算，多數(shù)因素都在動態(tài)變化之中,其運行機制和變化規(guī)律難以完全明白。 灰色系統(tǒng)分析有個重要原則就是現(xiàn)實信息優(yōu)先的原則,即在處理歷史信息和現(xiàn)實信息的關(guān)系時重視現(xiàn)實信息。這是因為在信息不完全系統(tǒng)中,表征或反映它的狀態(tài)特征和行為的主要是現(xiàn)實信息，直接影響系統(tǒng)未來發(fā)展趨勢，起著主導(dǎo)作用的也是現(xiàn)實信息。所以灰色預(yù)測不追求大量歷史數(shù)據(jù),也不強求它的典型分布,而是對己掌握的部分信息進行合理的技術(shù)處理,通過建立模型在更高的層次上對系統(tǒng)動態(tài)過程進行科學(xué)的描述。GM (1 ,1) 模型的建立和計算模型的建立和計算 原始序列 nXX

40、XX)0()0()0()0(,2,1=(174 ,179 ,183 ,189 ,207 ,234 ,221 ,256 ,270) 對)0(X作 1 - AGO 得累加生成數(shù)列 kX) 1( 其中, kiiXkX10)1(, k = 1 ,2 , , n;得 kX)1( = (174 ,353 ,536 ,725 ,932 ,1 166 ,1 387 ,1 643 ,1 913) 對)0(X進行準(zhǔn)光滑性檢驗 由 100kXkXk 2 后滿足準(zhǔn)光滑條件。 準(zhǔn)光滑性檢驗 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.03 0.52 0.35 0.29 0.25 0.19 0.18 0.16 0.15

41、檢驗)1(X是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律 由 111kXkXk1 ,1.5) 可以建立GM(1 ,1) 模型。本題k 2 時滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。 準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.03 1.52 1.35 1.29 1.25 1.19 1.18 1.16 1.15 確定數(shù)據(jù)矩陣確定數(shù)據(jù)矩陣B , Y 對)1(X 作緊鄰均值生成 12111)1 (kXkXkZ 得 ) 1(Z= (263.5 ,444.5 ,630.5 ,828.5 ,1 049 ,1 276.5 ,1 515 ,1 778) , 11312111nZZZB， nXXXY00032 對參數(shù)列Tuaa, 進行最小二乘估

42、計 YBBBuaaTTT1,此處,有Ta6808.156,0624. 0。 確定微分方程模型確定微分方程模型GM(1 ,1) uaXdtdX)1 (1，即 6808.1560624. 0)1 (1XdtdX 求微分方程的解,得到時間響應(yīng)式: aueauXkXak110,即 2511268510624. 0kekX , ( k = 0 ,1 ,2 ,) 。 求)1(X的模擬值 kX)1(,并累減還原求出)0(X的模擬值 kX)0(，由 kXkXkX) 1()1()0(1 計算結(jié)果： 模擬值 kX)0(的計算結(jié)果 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 kX)0( 174 173 184 1

43、96 208 222 236 251 267 285 k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 kX)0( 303 322.5 343 365 388.9 413.9 440.5 468.9 499.1 531.2 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 上述模型是否可信,誤差是否很大,必須進行精度檢驗.檢驗誤差有四種方法,分別為相對誤差,關(guān)聯(lián)度,均方差比值,小誤差概率。 四種檢驗的精度標(biāo)準(zhǔn) 精度等級 相對誤差 關(guān)聯(lián)度 均方差比值 C 小誤差概率 P 好(一級) 0.90 0.95 良好(二級) 0.80 0.80 合格(三級) 0.70 0.70 勉強(四級) 0.60 0.60 不合格 0

44、.20 0.60 0.80 0.60 (1) (1) 相對誤差檢驗相對誤差檢驗. . 依據(jù)時間檢驗函數(shù)依據(jù)時間檢驗函數(shù), ,對原始數(shù)列對原始數(shù)列 kX)0( , ,求出模求出模擬和預(yù)測值擬和預(yù)測值 kX)0(。 作殘差數(shù)列作殘差數(shù)列: : 000XX 0= (0,6,= (0,6,- -1,1,- -7,7,- -1,12 ,1,12 ,- -15,515,5,3) ;,3) ; 相對誤差相對誤差: : = = 00X= =(0 ,0.034 3 ,0.005 4 ,0.036 1 ,0.006 9 ,0.005 19 ,0.068 4 ,0.018 3 ,0.009 3) ; 平均誤差為平均

45、誤差為: : 05. 002563. 0101101kk, ,精度為二級精度為二級。 (2) 檢驗 kX)0(與 kX)0(灰色絕對關(guān)聯(lián)度. 2991921182XXXkXsk， 16.2991921182XXXkXsk。 故| s - s | = 0.16 ,灰色絕對關(guān)聯(lián)度=1 +| s | +| s | 1 +| s | +| s | +| s + s |= 0.999730.90 ,精度為一級。 (3) 均方差檢驗. 原始數(shù)據(jù)均值: 212110nkkXnX; 原始數(shù)據(jù)方差: 38.1037112021nkXkXn,21.321; 數(shù)列殘差均值: 12. 0110nkkn; 殘差方差:

46、65.54112022nkkn,39. 72; 均方差比值:35. 0229. 021.3239. 712C, 精度為一級。 (4) 小誤差概率. 由0.67451= 21.72 , ( | k0| ) = (0.12 ,6.01 ,1.11 ,6.95 ,1.55 ,12.03 ,15.24 ,4.56 , 2.39) , P = P(| ( k) - | 0.95 , 故精度為一級。 建立建立GM(1. 1) 模型群模型群依依據(jù)據(jù)G GM M( (1 1 , ,1 1) ) 單單個個模模型型的的建建模模原原理理, ,一一般般要要求求建建模模采采用用的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)系系列列 kx0中中的的數(shù)數(shù)目

47、目應(yīng)應(yīng)不不少少于于4 4 個個。此此原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)系系列列 kx0 中中有有1 10 0 個個數(shù)數(shù), ,而而只只采采用用其其中中的的9 9個個數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)來來做做歷歷史史分分析析, ,第第十十個個作作為為比比較較。利利用用9 9個個原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)系系列列做做成成5 5個個灰灰色色預(yù)預(yù)測測模模型型, ,即即預(yù)預(yù)測測1 1取取 10 x 90 x為為原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)建建立立G GM M( (1 1 , ,1 1) )模模型型1 1 , ,預(yù)預(yù)測測2 2取取 20 x 90 x為為原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)建建立立G GM M( (1 1 , ,1 1) )模模型型2 2 , , ? ? ?, ,以以此此類類

48、推推, ,預(yù)預(yù)測測5 5取取 50 x 90 x為為原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)建建立立G GM M( (1 1 , ,1 1) ) 模模型型5 5. . 計計算算各各模模型型后后取取其其均均值值, ,結(jié)結(jié)果果見見表表6 6 , ,誤誤差差檢檢驗驗見見表表7 7所所列列。 從以上數(shù)據(jù)可以看出,利用5 個GM(1 ,1) 子模型組成的灰色預(yù)測模型群的平均值比每個單獨子模型的精度來得高,說明這種模型的改進使用是有效的. 用該方法進行預(yù)測時多次考慮了近期數(shù)據(jù)對未來的影響,而對時間序列靠前的數(shù)據(jù)信息使用頻率則相對減少.特別是長江水質(zhì)問題主要是近年來流域社會經(jīng)濟活動引起的,因此,近期長江污染數(shù)據(jù)對未來水質(zhì)變化趨勢的

49、影響也較以往更為重要. 所以這種處理方式是科學(xué)、合理的. 以灰色動態(tài)模型群統(tǒng)計均值作為預(yù)測結(jié)果,可以避免單一灰色模型容易受到不穩(wěn)定信息干擾的缺陷,進一步提高了預(yù)測精度和預(yù)測結(jié)果的可靠性.灰色災(zāi)變預(yù)測 灰色災(zāi)變預(yù)測是異常值預(yù)測，什么樣的值算作異常值，往往是人們憑經(jīng)驗主觀確定的?；疑珵?zāi)變預(yù)測的任務(wù)是給出下一個或幾個異常值出現(xiàn)的時刻，以便人們提前準(zhǔn)備，采取對策。定義：定義：設(shè)設(shè)原始原始序列序列 nxxxX,2,1，給給定定下下限限異異常常值值（災(zāi)災(zāi)變變值值），稱稱 X X 的的子子序列序列 liiqxiqxlqxqxqxX, 2 , 1;,2,1 為為下下災(zāi)災(zāi)變變序列序列。 定義：定義：設(shè)設(shè)原始原始

50、序列序列 nxxxX,2,1，給給定定上上限限異異常常值值（災(zāi)災(zāi)變變值值），稱稱 X X 的的子子序列序列 miiqxiqxmqxqxqxX, 2 , 1;,2,1 為為上上災(zāi)災(zāi)變變序列序列。 定義： 設(shè)定義： 設(shè) mqqqQ,2,10為災(zāi)變?nèi)掌谛蛄袨闉?zāi)變?nèi)掌谛蛄校?其其 1 1- -AGOAGO序列序列為為 mqqqQ1111,2,1 1Q的的緊緊鄰鄰均均值值生成生成序列序列為為 1Z，則則稱稱 bkazkq1為為災(zāi)災(zāi)變變 GM(1,1)GM(1,1)。 定義：設(shè)定義：設(shè) X X 為原始序列，為原始序列， XmqxqxqxX,2,1 為下災(zāi)變序列，則為下災(zāi)變序列，則 mqqqQ,2,10 為

51、災(zāi)變?nèi)掌谛蛄?。為?zāi)變?nèi)掌谛蛄小?命題： 設(shè)命題： 設(shè)Tbaa, 為災(zāi)變?yōu)闉?zāi)變 GM(1,1)GM(1,1)參參數(shù)序列的最小二乘估計，數(shù)序列的最小二乘估計，則災(zāi)變?nèi)掌谛蛄械膭t災(zāi)變?nèi)掌谛蛄械?GM(1,1)GM(1,1)序列響應(yīng)式為序列響應(yīng)式為 kqkqkqabeabqkqak1111111 即即 akakaakeabqeeabqeabqkq1111111 定義定義：設(shè)原始序列設(shè)原始序列 nxxxX,2,1，n n 為為現(xiàn)在現(xiàn)在給給定定異異常常值值，相相應(yīng)應(yīng)的的災(zāi)變?nèi)掌谛蛄袨?zāi)變?nèi)掌谛蛄?mqqqQ,2,10 其中其中 nmq為為最最近近一一次次災(zāi)災(zāi)變變發(fā)生發(fā)生的的日期日期，則則稱稱1mq為為下下一

52、一次次災(zāi)災(zāi)變變的的預(yù)測預(yù)測日期日期; ;對對任意任意0k， 稱稱1mq為為未來未來第第k k 次次災(zāi)災(zāi)變變的的預(yù)測預(yù)測日期日期。 例：某地區(qū)平均降雨量數(shù)據(jù)例：某地區(qū)平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：毫米）序列為（單位：毫米）序列為 )5 .318, 6 .581, 0 .576, 8 .313, 2 .406, 0 .540, 0 .632, 0 .300, 0 .561, 0 .310, 0 .553, 4 .542, 8 .380, 2 .559, 0 .320, 0 .412, 6 .39017,2,1xxxX其中其中 17,2,1xxx分別為分別為1987,1972,1971年的數(shù)據(jù)，年的數(shù)據(jù)，取

53、取320毫米為下限異常值（旱災(zāi)），試作旱災(zāi)預(yù)測。毫米為下限異常值（旱災(zāi)），試作旱災(zāi)預(yù)測。 解：令解：令320，得下限災(zāi)變序列，得下限災(zāi)變序列 )5 .318, 8 .313, 0 .300, 0 .310, 0 .32017,14,10,8,3xxxxxX 與之對應(yīng)的與之對應(yīng)的災(zāi)變?nèi)掌谛蛄袨?zāi)變?nèi)掌谛蛄?17,14,10, 8 , 35,4,3,2,10qqqqqQ 其其 1 1- -AGOAGO 序列序列 52,35,21,11, 31Q 緊鄰均值生成序列緊鄰均值生成序列 5 .43,28,16, 71Z 設(shè)設(shè) bkazkq1，由，由 15 .4312811617B，1714108Y 得得 2

54、58339. 625361. 0,1YBBBbaaTTT 故災(zāi)變?nèi)掌谛蛄械墓蕿?zāi)變?nèi)掌谛蛄械?GM(1,1)GM(1,1)序列響應(yīng)式為序列響應(yīng)式為 667.24667.27125361. 01kekq kkkeeekqkqkq25361. 0125361. 025361. 0111998. 6667.27667.2711 由此可得到由此可得到 0Q的模擬序列的模擬序列 098.17,268.13,296.10,989. 7 ,1998. 65,4,3,2,10qqqqqQ 由由 5 , 4 , 3 , 2 , 1,kkqkqk 得殘差序列得殘差序列 098. 0,732. 0 ,296. 0,0

55、11. 0 , 05,4,3,2,10 再由再由 5 , 4 , 3 , , 2 , 1;kkqkk 得相對誤差序列得相對誤差序列 %6 . 0%,1 . 5%,96. 2%,1 . 0,5432 由此可計算出平均相對誤差由此可計算出平均相對誤差 %19. 24152kk 平 均 相 對 精 度 為平 均 相 對 精 度 為%81.971， 模 擬 精， 模 擬 精 度 為度 為%4 .9915，故可用，故可用 kekq25361. 01998. 61 進行預(yù)測進行預(yù)測 221998. 6615525361. 0eqq 5172256qq 即從最近一次旱災(zāi)發(fā)生的日期算起，即從最近一次旱災(zāi)發(fā)生的

56、日期算起，5 5 年之后，可能發(fā)生旱年之后，可能發(fā)生旱災(zāi)，為提高預(yù)測的可靠程度，可以取若干個不同的異常值，災(zāi)，為提高預(yù)測的可靠程度，可以取若干個不同的異常值，建立多個模型進行預(yù)測。建立多個模型進行預(yù)測。 灰色季節(jié)災(zāi)變預(yù)測灰色季節(jié)災(zāi)變預(yù)測定 義 ： 設(shè)定 義 ： 設(shè)ba,為 總 時 區(qū) ， 若為 總 時 區(qū) ， 若iiiba ,，si, 3 , 2 , 1，滿足滿足 （1 1）sii1 （2 2）ji，任意任意的的ji 則則稱稱i（si, 3 , 2 , 1）為為中中的的季節(jié)季節(jié)，也也稱稱時時段段或或分分時時區(qū)區(qū)。 定義定義：設(shè)設(shè)i為為一一個個季季節(jié)節(jié)，原始原始序列序列 iiibanxxxX,2

57、,1 對對給給定定的的異異常常值值，稱稱與與之之對對應(yīng)應(yīng)的的災(zāi)災(zāi)變變序列序列 mqxqxqxX,2,1 為為季季節(jié)節(jié)災(zāi)災(zāi)變變序列序列，相相應(yīng)應(yīng)地地稱稱 mqqqQ,2,10 為為季季節(jié)節(jié)災(zāi)災(zāi)變變?nèi)掌谌掌谛蛄行蛄?命命題題：設(shè)設(shè)iiiba ,，且且0ia，原始原始序列序列 iiibanxxxX,2,1 令令 iakxky; ;nk, 3 , 2 , 1 則序列則序列 nyyyY,2,1中的數(shù)據(jù)的分辨率高于原始中的數(shù)據(jù)的分辨率高于原始序列序列 X X 中的數(shù)據(jù)的分辨率。中的數(shù)據(jù)的分辨率。 證明證明： iiiakxakxakxkykyky11 kxkxkxakxkxkxi11 即即 Y Y 中中數(shù)據(jù)

58、數(shù)據(jù)間間的的相相對對差差大大于于 X X 中中數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)間間的的相相對對差差，分分辨辨率率得得到到提高提高。 例：河南省平輿縣東部地區(qū)小麥干熱風(fēng)預(yù)測。例：河南省平輿縣東部地區(qū)小麥干熱風(fēng)預(yù)測。 干干熱熱風(fēng)風(fēng)是是小小麥麥接近接近成熟成熟期期的的一一種種嚴(yán)重嚴(yán)重的的自然自然災(zāi)災(zāi)害害，可可引起引起小小麥麥過過早早枯枯死死，導(dǎo)導(dǎo)致致大大面積面積減產(chǎn)減產(chǎn) 2 24 4 成成。若若能能提前提前預(yù)測預(yù)測干干熱熱風(fēng)風(fēng)發(fā)生發(fā)生，就就可以可以采取采取一些一些補補救救措施措施，如如種種植植早早熟熟品品種種，或或提提前前噴噴施施抗抗風(fēng)風(fēng)、催催熟熟農(nóng)藥農(nóng)藥等等，以以減減少少損失損失。 平輿縣東部地區(qū)小麥干熱風(fēng)平輿縣東部地區(qū)

59、小麥干熱風(fēng)日期日期 年年 19751975 19761976 19771977 19781978 19791979 19801980 19811981 月月 6 6 5 5 6 6 6 6 5 5 5 5 6 6 日日 3 3 2525 7 7 1 1 2929 2626 5 5 年年 19821982 19831983 19841984 19851985 19861986 19871987 19881988 月月 5 5 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 日日 2727 4 4 2424 3131 2828 2525 2525 解：第一步，以每年解：第一步，以每年 1 1 月月

60、 1 1 日算起，得原始數(shù)據(jù)序列日算起，得原始數(shù)據(jù)序列 )176,176,179,182,175,186,178,187,177,180,183,189,176,185(14,2,1xxxX第二步，取第二步，取192,171，則，則192,171X 第三步，令第三步，令 171kxky; ;14, 3 , 2 , 1k，將，將 X X 化為化為 )5 , 5 , 8 ,11, 4 ,15, 7 ,16, 6 , 9 ,12,18, 5 ,14(14,2,1yyyY 第四步，取下限異常值第四步，取下限異常值9（5 5 月月 2020 日至日至 5 5 月月 2929 日），得日），得季節(jié)災(zāi)變序列