第四章線性代數(shù)4ppt課件

1、第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 習(xí)習(xí) 題題 課課4.1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合4.2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 4.3 向量組的秩向量組的秩4.4 向量空間向量空間4.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)4.1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合 定義定義1: n 個(gè)有次序的數(shù)個(gè)有次序的數(shù)a1, a2, , an所組成的數(shù)所組成的數(shù)組稱為組稱為n維向量維向量, 這這n個(gè)數(shù)稱為該向量的個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量個(gè)分量, 第第 i 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)ai 稱為第稱為第 i 個(gè)分量個(gè)分量. 分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量, 分量為復(fù)數(shù)

2、的分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量向量稱為復(fù)向量.例如例如: (1, 2, , n)為為 n 維實(shí)向量維實(shí)向量.(1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )為為 n 維復(fù)向量維復(fù)向量.第第2個(gè)分量個(gè)分量第第n個(gè)分量個(gè)分量第第1個(gè)分量個(gè)分量).,(21nTaaa . 21 naaa 寫成一行的寫成一行的 n 維向量維向量, 稱為行向量稱為行向量, 也就是行矩陣也就是行矩陣,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示, 如如: 寫成一列的寫成一列的 n 維向量維向量, 稱為列向量稱為列向量, 也就是列矩陣也就是列矩陣,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:留意留意: 1. 行向

3、量和列向量總被看作是不同的向量行向量和列向量總被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩陣運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算行向量和列向量都按照矩陣運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算; 3. 當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí), 都當(dāng)都當(dāng)作列向量作列向量. 向量向量 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象幾何形象:可隨意平可隨意平行移動(dòng)的有向線段行移動(dòng)的有向線段代數(shù)形象代數(shù)形象:向量向量的坐標(biāo)表示式的坐標(biāo)表示式當(dāng)當(dāng) n 3 時(shí)時(shí),Tzyxr),( 空間空間 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)點(diǎn)空間點(diǎn)空間:

4、點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合向量空間向量空間:向量的集合向量的集合代數(shù)形象代數(shù)形象:向量向量空間中的平面空間中的平面),(dczbyaxrzyxT 幾何形象幾何形象:空間空間曲線、空間曲面曲線、空間曲面),(dczbyaxzyx ),(zyxPTzyxr),( 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)(x, y, z)的集合的集合平面平面向量向量(x, y, z)T的集合的集合 當(dāng)當(dāng) n 3 時(shí)時(shí), 向量不再有向量不再有“幾何意義幾何意義, 仍沿用幾仍沿用幾何空間的名詞何空間的名詞. 但其意義更為廣泛但其意義更為廣泛. 例如例如: 在描述一空間運(yùn)動(dòng)物體時(shí)在描述一空間運(yùn)動(dòng)物體時(shí), 不僅與所處的空不僅與所處的空間位置間位置(x,

5、 y, z)有關(guān)有關(guān), 還與時(shí)間還與時(shí)間 t 有關(guān)有關(guān), 這就是四維時(shí)空這就是四維時(shí)空空間空間, 用向量表示為用向量表示為(x, y, z, t ).叫做叫做n 維向量空間維向量空間.|),(221121bxaxaxaxxxxnnTn ,|),(2121RxxxxxxxRnTnn 叫做叫做n維向量空間維向量空間Rn中的中的n1維超平面維超平面.機(jī)身的仰角機(jī)身的仰角 );22( 機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角 (0 2);機(jī)翼的轉(zhuǎn)角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角 (-);確定飛機(jī)的狀態(tài)確定飛機(jī)的狀態(tài), 需要以下需要以下6個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù): 若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組.例如例如: 矩陣矩

6、陣A=(aij)mn有有n個(gè)個(gè)m維列向量維列向量: aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量組向量組a1, a2, an稱為矩陣稱為矩陣A的列向量組的列向量組. 飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù) P(x, y, z).所以確定飛機(jī)的狀態(tài)需用所以確定飛機(jī)的狀態(tài)需用6維向量維向量(x, y, z, , , )表示表示.在日常工作在日常工作, 學(xué)習(xí)和生活中學(xué)習(xí)和生活中, 有許多問題都需要用有許多問題都需要用向量來進(jìn)行描述向量來進(jìn)行描述. aaaaaaaaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti T

7、m 向量組向量組1T, 2T, mT 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組. 反之反之, 由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣個(gè)矩陣. n個(gè)個(gè)m維列向量所組成的向量組維列向量所組成的向量組a1, a2, an構(gòu)成一構(gòu)成一個(gè)個(gè)mn矩陣矩陣),( 21naaaA 類似地類似地, 矩陣矩陣A=(aij)mn有有m個(gè)個(gè)n 維行向量維行向量: TmTTA 21線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng). mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212

8、111212111bxaxaxann 2211 m個(gè)個(gè)n維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組1T, 2T, mT 構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)mn矩陣矩陣 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m, 對(duì)于任何對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)一組實(shí)數(shù)k1, k2, ,km, 向量向量k11 + k22 + + kmm稱為向量組稱為向量組A: 1, 2, m的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合, k1, k2, , km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù). 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m和向量和向量b, 如果存如果存在一組數(shù)在一組數(shù)1, 2, ,m, 使使b = 11 + 22 + +

9、 mm則向量則向量b是向量組是向量組A的線性組合的線性組合, 這時(shí)稱向量這時(shí)稱向量b能由向能由向量組量組A線性表示線性表示. 即線性方程組即線性方程組11 + 22 + + mm = b有解有解. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線線性表示的充分必要條件是矩陣性表示的充分必要條件是矩陣A=(1, 2, , m)與矩陣與矩陣B=(1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等. 定義定義: 設(shè)有兩向量組設(shè)有兩向量組A: 1, 2, , m 與與 B: 1, 2, , s .若若B組中的每一個(gè)向量都能由組中的每一個(gè)向量都能由A組線性表示組線性表示, 則稱向量則稱向量

10、組組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示; 若向量組若向量組B與向量組與向量組A可可以相互線性表示以相互線性表示, 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)則稱這兩個(gè)向量組等價(jià). 若記若記A=(1, 2, , m)和和B=(1, 2, , s), 向量組向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 即對(duì)每一個(gè)向量即對(duì)每一個(gè)向量j ( j =1, 2, s ), 存在數(shù)存在數(shù)k1j, k2j, , kmj , 使使j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 mjjjmjkkk （即即 ),(21s 從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （矩陣矩陣

11、K=(kij)ms稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣. 若若Cmn=AmsBsn , 則矩陣則矩陣C的列向量組能的列向量組能由矩陣由矩陣A的列向量組線性表示的列向量組線性表示, B為這一表示的系數(shù)矩為這一表示的系數(shù)矩陣陣: snssnnsnkkbbbbbbbaaaccc2122221112112121),(),( 同時(shí)同時(shí), C的行向量組能由的行向量組能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示, A為這一表示的系數(shù)矩陣為這一表示的系數(shù)矩陣: TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換變成經(jīng)初等行變換變成B, 則

12、則B的每個(gè)行向量的每個(gè)行向量都是都是A的行向量組的線性組合的行向量組的線性組合, 即即B的行向量組能由的行向量組能由A的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 由初等變換可逆性可知由初等變換可逆性可知: A的行的行向量組也能由向量組也能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 于是于是, A的行向的行向量組與量組與B的行向量組等價(jià)的行向量組等價(jià). 類似地類似地, 若矩陣若矩陣A經(jīng)初等列變換變成經(jīng)初等列變換變成B, 則則A的列向的列向量組與量組與B的列向量組等價(jià)的列向量組等價(jià). 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 即存在矩陣即存

13、在矩陣K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K也就是說矩陣方程也就是說矩陣方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解. 則由上一章的結(jié)論可得則由上一章的結(jié)論可得: 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, m線性表示的充分必要條件是矩陣線性表示的充分必要條件是矩陣A=(1, 2, , m)的秩與矩陣的秩與矩陣(A|B)=(1, 2, , m, 1, , s)的秩相等的秩相等, 即即R(A)=R(A|B). 推論推論: 向量組向量組A: 1, 2, m與向量組與向量組B: 1, 2, , s等價(jià)的充分必要條件是等價(jià)

14、的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A|B),其中其中A和和B是由向量組是由向量組A和和B所構(gòu)成的矩陣所構(gòu)成的矩陣.R(A)=R(A|B)事實(shí)上事實(shí)上,=R(B|A)=R(B) 定理定理3: 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 則則R(1, 2, , s)R(1, 2, , m),即即R(B)R(A). 以上所討論的內(nèi)容建立在有限個(gè)向量的向量組與以上所討論的內(nèi)容建立在有限個(gè)向量的向量組與矩陣之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系矩陣之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系, 從而以上結(jié)論之間有如下結(jié)果從而以上結(jié)論之間有如下結(jié)果: 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能

15、由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示 有矩陣有矩陣K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K 矩陣方程矩陣方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解.一般地一般地, R(B)R(A|B), R(A)R(A|B), 則有則有 1. 對(duì)方程組對(duì)方程組A的各個(gè)方程作線性運(yùn)算所得到的一的各個(gè)方程作線性運(yùn)算所得到的一個(gè)方程稱為方程組個(gè)方程稱為方程組A的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合; 2. 若方程組若方程組B的每一個(gè)方程都是方程組的每一個(gè)方程都是方程組A的線性的線性組合組合, 則稱方程組則稱方程組B能由方程組能由方程組A線性表示線性表示, 此時(shí)方程此時(shí)

16、方程組組A的解一定是方程組的解一定是方程組B的解的解; 3. 若方程組若方程組A與方程組與方程組B能相互線性表示能相互線性表示, 則稱方則稱方程組程組A與方程組與方程組B等價(jià)等價(jià), 等價(jià)方程組是同解的等價(jià)方程組是同解的. 向量組的線性組合向量組的線性組合, 線性表示線性表示, 等價(jià)等概念的一個(gè)等價(jià)等概念的一個(gè)重要應(yīng)用是用來描述線性方程組重要應(yīng)用是用來描述線性方程組:例例1: 設(shè)設(shè)證明向量證明向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 baaa 證明證明: 要證向量要證向量b能由向量組能由向量組a1, a

17、2, a3線性表示線性表示, 需要證明需要證明: 矩陣矩陣A=(a1, a2, a3)與與B=(a1, a2, a3, b)的秩的秩相等相等. B = 1032341201211111 0000000012102301行變換行變換可知可知, R(A)=R(B),因此因此, 向量向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示.由由B的行最簡(jiǎn)形可得方程組的行最簡(jiǎn)形可得方程組Ax=b通解為通解為: ccccx1223012123故表示式為故表示式為: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c為任意常數(shù)為任意常數(shù). b=2a1a2.為此將為此

18、將B化為行最簡(jiǎn)形化為行最簡(jiǎn)形:特別地特別地, 取取c =0, 得表示式為得表示式為:例例2: 設(shè)設(shè)證明向量組證明向量組a1, a2與向量組與向量組b1, b2, b3等價(jià)等價(jià).,0213,2011,1102,3113,111132121 bbbaa證明證明: 記記A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3). 論論, 只需證只需證R(A)=R(B)=R(A|B).將將(A|B)化為行階梯形化為行階梯形:根據(jù)定理根據(jù)定理2的推的推行變換行變換(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A|B)=2.又容易看出又容易

19、看出B中有中有2階非零子式階非零子式,那么那么 2R(B)R(A)=R(B)=R(A|B).因此因此故故 R(B)=2. R(A|B)=2. 例例3: n 階單位矩陣階單位矩陣E=(e1, e2, , en)的列向量稱為的列向量稱為n維單位坐標(biāo)向量維單位坐標(biāo)向量. 證明證明: n維單位坐標(biāo)向量組維單位坐標(biāo)向量組E: e1, e2, , en能由能由nm矩陣矩陣A=(a1, a2, , am)的列向量組的列向量組A: a1, a2, , am線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=n. 證明證明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2, 向量組向量組E: e1, e2, , en能由向能由向量組

20、量組A線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=R(A|E).因此因此R(A)=R(A|E)=n.故故R(A|E) n,而而 R(A|E)R(E)=n,又因矩陣又因矩陣(A|E)僅有僅有n行行,本例的結(jié)論用矩陣方程的方式可描述為本例的結(jié)論用矩陣方程的方式可描述為:矩陣方程矩陣方程AnmX=E有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是R(A)=n. 1. n維向量的概念維向量的概念, 實(shí)向量實(shí)向量, 復(fù)向量復(fù)向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量與列向量行向量與列向量; 3. 向量向量, 向量組及線性組合與線性表示的概念向量組及線性組合與線性表示的概念, 由矩陣的秩給

21、出判定的結(jié)論由矩陣的秩給出判定的結(jié)論; 4. 有限個(gè)向量的向量組與矩陣和線性方程組之有限個(gè)向量的向量組與矩陣和線性方程組之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.用矩陣的方式可描述為用矩陣的方式可描述為: 對(duì)矩陣對(duì)矩陣Amn, 存在存在Qnm使使AQ=Em的充分必要條件是的充分必要條件是R(A)=m.存在存在Pnm使使PA=En的充分必要條件是的充分必要條件是R(A)=n. 當(dāng)當(dāng)A為為n階方陣時(shí)階方陣時(shí), P, Q就是就是A的逆矩陣的逆矩陣. 因此因此, 上上述結(jié)論可以看作逆矩陣概念的推廣述結(jié)論可以看作逆矩陣概念的推廣. 證明證明: 任意一個(gè)任意一個(gè)n維列向量維列向量a 都能由都能由 n 維單位坐標(biāo)維單位坐標(biāo)向量組

22、向量組E: e1, e2, , en線性表示線性表示.設(shè)設(shè)n維列向量維列向量a 為為,21 n 而而,100,010,00121 neee則顯然有則顯然有:a = 1e1 + 2e2 + + nen. 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m , 如果存在如果存在不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) k1, k2, ,km , 使使k11 + k22 + + kmm = O則稱向量組則稱向量組A是線性相關(guān)的是線性相關(guān)的, 否則稱它是線性無關(guān)否則稱它是線性無關(guān). 注意注意1: 對(duì)于任一向量組而言對(duì)于任一向量組而言, 不是線性無關(guān)的就不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的是線性相關(guān)的. 注意注意2: 假

23、設(shè)假設(shè)1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān), 則只有當(dāng)則只有當(dāng)1=2 = =m=0時(shí)時(shí), 才有才有11 +22 + +mm = O成立成立. 注意注意3: 向量組只包含一個(gè)向量向量組只包含一個(gè)向量 時(shí)時(shí),假設(shè)假設(shè)=O則則說說線性相關(guān)線性相關(guān); 假設(shè)假設(shè)O, 則說則說 線性無關(guān)線性無關(guān). 注意注意4: 包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.4.2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4.2 證明證明: 充分性充分性. 設(shè)設(shè)1, 2, , m中有一個(gè)向量中有一個(gè)向量(比如比如m )能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示, 注意注意5: 對(duì)于含有兩個(gè)向量的向量組對(duì)于含

24、有兩個(gè)向量的向量組, 它線性相關(guān)它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例的充要條件是兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例, 幾何意義是幾何意義是兩向量共線兩向量共線; 三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面共面. 結(jié)論結(jié)論: 向量組向量組 1, 2, , m (當(dāng)當(dāng) m2 時(shí)時(shí))線性線性相關(guān)的充分必要條件是相關(guān)的充分必要條件是1, 2, , m中至少有一中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量可由其余 m1個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示.即有即有也就是也就是 m = 1 1 + 2 2 + + m1 m1 1 1 + 2 2 + + m1 m1 + (-1) m =O因因1, 2,

25、 , m1, (-1)這這m個(gè)數(shù)不全為個(gè)數(shù)不全為0,故故1, 2, , m線性相關(guān)線性相關(guān).必要性必要性. 設(shè)設(shè)1, 2, , m線性相關(guān)線性相關(guān).則有不全為則有不全為0的的數(shù)數(shù)k1, k2, ,km, 使使k11 + k22 + + kmm =O.)()()(13132121mmkkkkkk 不妨設(shè)不妨設(shè)k10,即即1能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用 若方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合時(shí)若方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合時(shí),這個(gè)方程就是多余的這個(gè)方程就是多余的, 這時(shí)稱方程組這時(shí)稱方程組(各個(gè)方程各個(gè)方程)是線

26、是線性相關(guān)的性相關(guān)的; 當(dāng)方程組中沒有多余方程當(dāng)方程組中沒有多余方程, 就稱該方程組就稱該方程組(各個(gè)方程各個(gè)方程)線性無關(guān)或線性獨(dú)立的線性無關(guān)或線性獨(dú)立的.證畢證畢 則有則有 結(jié)論結(jié)論: 向量組向量組A線性相關(guān)等價(jià)于齊次線性方程組線性相關(guān)等價(jià)于齊次線性方程組x11 + x22 + + xmm=O即即Ax=O有非零解有非零解, 其中其中A=(1, 2, , m). 定理定理4: 向量組向量組1, 2, , m線性相關(guān)的充分線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=(1, 2, , m)的的秩小于向量個(gè)數(shù)秩小于向量個(gè)數(shù)m; 向量組線性無關(guān)的充分必要條件向量組線性無關(guān)的充分

27、必要條件是是R(A)=m.由此可得由此可得:下面舉例說明定理下面舉例說明定理4的應(yīng)用的應(yīng)用.例例1: 討論討論n維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性.解解: n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為n階單位矩階單位矩由由| E |=10 知知, R(E)=n.陣陣.故由定理故由定理4知知: n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的.即即R(E)等于組中向量個(gè)數(shù)等于組中向量個(gè)數(shù).,742,520,111321 例例2: 知知 試討論向量組試討論向量組1, 2, 3及及1, 2的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性. 解解: 分析分析 對(duì)矩陣對(duì)矩陣(1,

28、2, 3)作初等行變換變作初等行變換變成行階梯形矩陣成行階梯形矩陣, 可同時(shí)看出矩陣可同時(shí)看出矩陣(1, 2, 3)及及(1, 2)的秩的秩, 利用定理利用定理4即可得出結(jié)論即可得出結(jié)論. 751421201),(321 2253rr ， 0002202011312rrrr 550220201可見可見, R(1, 2, 3)=2, 故向量組故向量組1, 2, 3線性線性相關(guān)相關(guān), 而而R(1, 2)=2, 故向量組故向量組1, 2線性無關(guān)線性無關(guān). 000322131xxxxxx 例例3: 已知向量組已知向量組a1, a2, a3線性無關(guān)線性無關(guān), 試證向量組試證向量組b1=a1+a2, b2

29、=a2+a3, b3=a3+a1線性無關(guān)線性無關(guān).證一證一: 設(shè)有設(shè)有x1, x2, x3, 使使x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =O即即 x1(a1+a2) + x2(a2+a3) + x3(a3+a1) = O,亦即亦即 (x1+x3)a1 + (x1+x2)a2 + (x2+x3)a3 = O,因向量組因向量組a1, a2, a3線性無關(guān)線性無關(guān), , 02110011101 由于此方程組的系數(shù)行列式由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解故方程組只有零解, 即只有即只有x1=x2=x3=0, 因此由定義得因此由定義得, 向量組向量組b1, b2, b3線性無關(guān)線性無關(guān).所以所

30、以證二證二: 將將b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1表示為矩陣表示為矩陣等式等式(b1, b2, b3) = (a1,a2, a3),110011101 記為記為B=AK, 并代入并代入3元齊次線性方程組元齊次線性方程組Bx=0, 得得(AK)x=0, 即即A(Kx)=0,由于由于a1,a2, a3線性無關(guān)線性無關(guān), 即即R(A)=3, 從而從而Kx=0,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閨 K |= 2 0知知, 齊次方程組齊次方程組Kx=0只有零解只有零解.因此因此, 齊次方程組齊次方程組Bx=0只有零解只有零解. 故故R(B)=3.因此由定理因此由定理4得得, 向量組向量組b1, b2,

31、 b3線性無關(guān)線性無關(guān).證三證三: 由證二得由證二得B=AK, 由于由于| K |= 2 0知知K可逆可逆,由矩陣秩的性質(zhì)由矩陣秩的性質(zhì)4得得: R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理因此由定理4得得, 向量組向量組b1, b2, b3線性無關(guān)線性無關(guān). 本例給出的三種證明方法都是證明向量組線性無本例給出的三種證明方法都是證明向量組線性無關(guān)性的常用方法關(guān)性的常用方法. 證一是依據(jù)定義的證明方法證一是依據(jù)定義的證明方法, 即向量組的線性組即向量組的線性組合為零的組合系數(shù)只能都為零合為零的組合系數(shù)只能都為零; 證二是利用定理證二是利用定理4, 證明向量組構(gòu)成的矩陣的秩等證明向量組構(gòu)成的矩陣的

32、秩等于向量組向量的個(gè)數(shù)于向量組向量的個(gè)數(shù), 借用齊次線性方程組只有零解借用齊次線性方程組只有零解的結(jié)果證明其系數(shù)矩陣的秩的結(jié)果證明其系數(shù)矩陣的秩; 證三仍是利用定理證三仍是利用定理4, 但過程利用了矩陣秩的性質(zhì)但過程利用了矩陣秩的性質(zhì).線性相關(guān)性是向量組的重要性質(zhì)線性相關(guān)性是向量組的重要性質(zhì), 給出如下結(jié)論給出如下結(jié)論: 定理定理5: (1)若向量組若向量組A:1, 2, , m線性相關(guān)線性相關(guān), 則向量組則向量組B: 1, 2, , m, m+1也線性相關(guān)也線性相關(guān); 反反言之言之, 若向量組若向量組B線性無關(guān)線性無關(guān), 則向量組則向量組A也線性無關(guān)也線性無關(guān). (2) m個(gè)個(gè)n維向量組成的

33、向量組維向量組成的向量組, 當(dāng)當(dāng)nm時(shí)一定線時(shí)一定線性相關(guān)性相關(guān).), 2 , 1(, 12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj (4)設(shè)設(shè)即即j 添上一個(gè)分量后得向量添上一個(gè)分量后得向量j. 若向量組若向量組A: 1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān), 則向量組則向量組B: 1, 2, , m也線性無關(guān)也線性無關(guān); 反言之反言之, 若向量組若向量組B線性相關(guān)線性相關(guān), 則向量組則向量組A也線性相關(guān)也線性相關(guān). (3) 設(shè)向量組設(shè)向量組A: 1, 2, , m線性無關(guān)線性無關(guān), 而向而向量組量組B: 1, 2, , m, 線性相關(guān)線性相關(guān), 則向量則向量 必能由向必能由向量組量組A線

34、性表示線性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的.(1) 記記A=(1, 2, , m), B= (1, 2, , m, m+1),則有則有: R(B) R(A)+1.若向量組若向量組A線性相關(guān)線性相關(guān), 則由定理則由定理4知知R(A)m,從而從而R(B) R(A)+1m+1.因此因此, 根據(jù)定理根據(jù)定理4得得, 向量組向量組B線性相關(guān)線性相關(guān). 結(jié)論結(jié)論(1)可推廣為可推廣為: 一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組分組, 則該向量組必線性相關(guān)則該向量組必線性相關(guān). 特別地含有零向量的向特別地含有零向量的向量組必線性相關(guān)量組必線性相關(guān); 反之反之, 若一個(gè)向量組線性無關(guān)若

35、一個(gè)向量組線性無關(guān), 則它則它的任何部分組都線性無關(guān)的任何部分組都線性無關(guān).證明證明: 本定理的本定理的4個(gè)結(jié)論均由定理個(gè)結(jié)論均由定理4證明證明. (2) m個(gè)個(gè)n維向量維向量1, 2, , m構(gòu)成的矩陣構(gòu)成的矩陣A=(1, 2, , m)nm, 有有R(A) n, 因此因此, 當(dāng)向量維數(shù)當(dāng)向量維數(shù)n小于向量組向量個(gè)數(shù)小于向量組向量個(gè)數(shù)m時(shí)時(shí), 由定由定理理4知知, 該向量組一定線性相關(guān)該向量組一定線性相關(guān).若若nm, 則則R(A)m.根據(jù)定理根據(jù)定理4, 由向量組由向量組A線性無關(guān)得線性無關(guān)得(4) 記記A=(1, 2, , m)rm, B=(1, 2, , m)(r+1)m,則有則有R(A

36、) R(B).從而有從而有R(B)m,R(A)=m,但但R(B) m (因因B只有只有m列列),故故R(B)=m.因此因此, 根據(jù)定理根據(jù)定理4得得, 向量組向量組B線性無關(guān)線性無關(guān). 結(jié)論結(jié)論(4)是對(duì)增加一個(gè)分量是對(duì)增加一個(gè)分量(即維數(shù)增加即維數(shù)增加1維維)而言而言的的, 增加多個(gè)分量時(shí)增加多個(gè)分量時(shí), 結(jié)論也成立結(jié)論也成立.(3) 記記A=(1, 2, , m), B= (1, 2, , m, ),則有則有R(A) R(B).根據(jù)定理根據(jù)定理4, 由向量組由向量組A線性無關(guān)得線性無關(guān)得R(A)=m, 由向量組由向量組B線性相關(guān)得線性相關(guān)得, R(B)m+1,故故 m R(B)m+1, 即

37、有即有R(B)=m.再由再由R(A)=R(B)=m知知, 方程組方程組Ax= 有唯一解有唯一解,即向量即向量 能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 且表示式唯一且表示式唯一. 例例3: 設(shè)向量組設(shè)向量組a1, a2, a3線性相關(guān)線性相關(guān), 向量組向量組a2, a3, a4線性無關(guān)線性無關(guān). 證明證明(1) a1能由能由a2, a3線性表示線性表示;(2) a4不能由不能由a1, a2, a3線性表示線性表示. 證明證明(1): 由于向量組由于向量組a2, a3, a4線性無關(guān)線性無關(guān), 則由定則由定理理5之結(jié)論之結(jié)論(1)知向量組知向量組a2, a3線性無關(guān)線性無關(guān). 又由于向量組又由于

38、向量組a1, a2, a3線性相關(guān)線性相關(guān), 則由定理則由定理5之結(jié)之結(jié)論論(3)知知, 向量向量a1能由能由a2, a3線性表示線性表示, 且表示式唯一且表示式唯一.證明證明(2): 用反證法用反證法. 若若a4能由能由a1, a2, a3線性表示線性表示.而而a1能由能由a2, a3線性表示線性表示, 那么那么 a4能由能由a2, a3線性表示線性表示.但這與但這與a2, a3, a4線性無關(guān)矛盾線性無關(guān)矛盾,所以所以, a4不能由不能由a1, a2, a3線性表示線性表示.試證明試證明:(1) 一個(gè)向量一個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是線性相關(guān)的充要條件是=O;(2) 一個(gè)向量一個(gè)向量線性無關(guān)

39、的充要條件是線性無關(guān)的充要條件是O; (3) 兩個(gè)向量?jī)蓚€(gè)向量, 線性相關(guān)的充要條件是存在線性相關(guān)的充要條件是存在k1使使 =k1 或者存在或者存在k2使使 =k2, 但兩式不一定但兩式不一定同時(shí)成立同時(shí)成立. 1. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念; 線性相關(guān)性在線線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用性方程組中的應(yīng)用(重點(diǎn)重點(diǎn)); 2. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法: 定義定義, 5個(gè)定個(gè)定理理(難點(diǎn)難點(diǎn)).證明證明: (1), (2)略略. (3): 必要性必要性. 設(shè)向量設(shè)向量, 線性相關(guān)線性相關(guān), 則存在不全則存在不全為零的數(shù)為零的數(shù)x, y, 使

40、使 x + y = 0. , xy 充分性充分性: 不妨設(shè)不妨設(shè)=k ,不妨設(shè)不妨設(shè), x0, 那么那么xyk 即可即可.令令則則1 +(-k) = 0,則由定義知?jiǎng)t由定義知, 向量向量, 線性相關(guān)線性相關(guān).4.3 向量組的秩向量組的秩 定義定義1: 設(shè)有向量組設(shè)有向量組A, 如果在如果在A中能選出中能選出r個(gè)向量個(gè)向量A0: 1, 2, r, 滿足滿足 (1)向量組向量組A0: 1, 2, r 線性無關(guān)線性無關(guān); (2)向量組向量組A中任意中任意r+1個(gè)向量個(gè)向量(如果存在的話如果存在的話)都線都線性相關(guān)性相關(guān). 則稱向量組則稱向量組A0是向量組是向量組A的一個(gè)最大線性無的一個(gè)最大線性無關(guān)向

41、量組關(guān)向量組(簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組). 最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r 稱為向量組的秩稱為向量組的秩, 記作記作RA. 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組, 規(guī)定它的規(guī)定它的秩為秩為0.4.3闡明闡明(2): 向量組與它的最大無關(guān)組是等價(jià)的向量組與它的最大無關(guān)組是等價(jià)的.,742,520,111321 例如例如:知知R(1, 2, 3)=2, 即即1, 2, 3線性相關(guān)線性相關(guān), 而而 1, 2 和和 2, 3都線性無關(guān)都線性無關(guān), 所以所以1, 2 和和2, 3都是都是1, 2, 3的最的最 大無關(guān)組大無關(guān)組.設(shè)設(shè)A0: 1, 2,

42、, n是向量組是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組. 則顯然則顯然A0可由可由A線性表示線性表示. A0中得到向量組中得到向量組1, 2, , n, 是線性相關(guān)的是線性相關(guān)的,對(duì)對(duì)A中任意向量中任意向量將其加入將其加入 節(jié)定理節(jié)定理5的結(jié)論的結(jié)論(3)知知, 可可A0由線性表示由線性表示,則由上則由上可由它的最大無關(guān)組可由它的最大無關(guān)組A0線性表示線性表示.從而向量組從而向量組A所以所以, 向量組與它的最大無關(guān)組是等價(jià)的向量組與它的最大無關(guān)組是等價(jià)的.闡明闡明(1): 最大無關(guān)組不唯一最大無關(guān)組不唯一. 定理定理6: 矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩, 也等于也等

43、于它的行向量組的秩它的行向量組的秩.證明證明: 設(shè)設(shè)A=(1, 2, , m), R(A)=r, 并設(shè)其并設(shè)其r 階子式階子式 Dr0.線性無關(guān)線性無關(guān), 根據(jù)上節(jié)的定理根據(jù)上節(jié)的定理4, 由由Dr0知知, Dr所在的列向量組所在的列向量組又由于又由于A中所有中所有r+1階子式均為零知階子式均為零知, A中任中任類似可證類似可證A的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于R(A).意意r+1個(gè)列向量都線性相關(guān)個(gè)列向量都線性相關(guān).因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列的列向量組向量組1, 2, , m的秩也記作的秩也記作R(1, 2, , m). 結(jié)論結(jié)論: 若若Dr是矩陣是矩陣A的一個(gè)最高階非

44、零子式的一個(gè)最高階非零子式, 則則Dr所在的所在的r 列即是列即是A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組, Dr所所在的在的r 行即是行即是A的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組.所以所以A的列向量組的秩等于的列向量組的秩等于r.向量的一個(gè)最大無關(guān)組向量的一個(gè)最大無關(guān)組, 例例1: 全體全體n維實(shí)向量構(gòu)成的向量組記作維實(shí)向量構(gòu)成的向量組記作Rn, 求求Rn的一個(gè)最大無關(guān)組及的一個(gè)最大無關(guān)組及Rn的秩的秩.解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)閚 n維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的向量組維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的向量組 E: e1, e2, , enE: e1, e2, , en是線性無關(guān)的是線性無

45、關(guān)的. . 又根據(jù)上節(jié)定理又根據(jù)上節(jié)定理5的結(jié)論的結(jié)論(3)知知, Rn中的任意中的任意n+1個(gè)個(gè)向量都是線性相關(guān)的向量都是線性相關(guān)的, 因此向量組因此向量組E是是Rn的一個(gè)最大的一個(gè)最大無關(guān)組無關(guān)組, 且且Rn的秩等于的秩等于n. 推論推論(最大無關(guān)組的等價(jià)定義最大無關(guān)組的等價(jià)定義): 設(shè)有向量組設(shè)有向量組A0: 1, 2, r 是向量組是向量組A的一個(gè)部分組的一個(gè)部分組, 且滿足且滿足: (1)向量組向量組A0: 1, 2, r 線性無關(guān)線性無關(guān); (2)向量組向量組A的任意向量都能由向量組的任意向量都能由向量組A0線性表示線性表示;則向量組則向量組A0是向量組是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組的

46、一個(gè)最大無關(guān)組.求求A矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組, 并把不屬于并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.,97963422644121121112 例例2: 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A = 實(shí)際上實(shí)際上, 依定義只需證明向量組依定義只需證明向量組A中的任意中的任意r +1個(gè)個(gè)向量都線性相關(guān)即可向量都線性相關(guān)即可.設(shè)設(shè)b1, b2, , br+1為向量組為向量組A中的任意中的任意r +1個(gè)向量個(gè)向量,由條件由條件(2)知知, 這這r +1個(gè)向量可以由向量組個(gè)向量可以由向量組A0線性表示線性表示,則由定理則由定理4可知可知:R(b

47、1, b2, , br+1)R(1, 2, r )=r,再由定理再由定理4可得可得: 向量組向量組b1, b2, , br+1線性相關(guān)線性相關(guān),則由定義知?jiǎng)t由定義知: 向量組向量組A0是向量組是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組.,00000310000111041211 A 得得R(A)=3.故列向量組的最大無關(guān)組含故列向量組的最大無關(guān)組含3個(gè)向量個(gè)向量.個(gè)非零行的非零首元所在的個(gè)非零行的非零首元所在的1, 2, 4三列三列.列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組.而三而三故故1, 2, 4為為事實(shí)上事實(shí)上 763264111112 000100110111初等行變換初等行變

48、換 ( 1, 2, 4) =知知R(1, 2, 4)=3, 故故1, 2, 4線性無關(guān)線性無關(guān). 要把要把3, 5用用1, 2, 4線性表示必須將線性表示必須將A再再變成行最簡(jiǎn)形矩陣變成行最簡(jiǎn)形矩陣.解解: : 對(duì)對(duì)A A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣: :.00000310003011040101 BA 初初等等行行變變換換.334 4215213 即得即得此式成立的理論依據(jù)此式成立的理論依據(jù):由于齊次線性方程組由于齊次線性方程組Ax=0與與Bx=0同解同解,( 1, 2, 3, 4, 5)x=0與與( 1, 2, 3, 4, 5)x=0同解同解,即即設(shè)設(shè)B的列

49、向量組為的列向量組為: 1, 2, 3, 4, 5.設(shè)其解為設(shè)其解為: x1, x2, x3, x4, x5, x11+x22+x33+x44+x55=0與與x11 +x22 +x33 +x44 +x55=0同時(shí)成立同時(shí)成立.則有則有(2)(3)(1)和和 x1=1, x2=1, x3=1, x4=0, x5=0.取其兩個(gè)解取其兩個(gè)解: x1=4, x2=3, x3=0, x4=3, x5=1; 這兩個(gè)解由這兩個(gè)解由(3)式也就是式也就是Bx=0求出求出, (3)式成立等價(jià)式成立等價(jià)于于(2)式成立式成立, 從而從而(1)式成立式成立. 以上討論表明以上討論表明: 如果矩陣如果矩陣Amn與與B

50、ln的行向的行向量組等價(jià)量組等價(jià), 則方程組則方程組Ax=0與與Bx=0同解同解, 因此因此A的列向的列向量組各向量之間與量組各向量之間與B的列向量組各向量之間有相同的的列向量組各向量之間有相同的線性關(guān)系線性關(guān)系. 如果如果B是行最簡(jiǎn)形矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣, 則容易看出則容易看出B的列向量組的列向量組各向量之間所具有的線性關(guān)系各向量之間所具有的線性關(guān)系, 從而也就得到從而也就得到A的列的列向量組各向量之間的線性關(guān)系向量組各向量之間的線性關(guān)系. 1+ 2+ 3=041+32345=0得得.334 4215213 即即 向量組向量組1, 2, r 的秩為的秩為R(1, 2, r ), 同時(shí)這個(gè)符號(hào)又

51、可表示矩陣同時(shí)這個(gè)符號(hào)又可表示矩陣A=(1, 2, r )的秩的秩. 因此前兩節(jié)用矩陣的秩的方式敘述的向量組的因此前兩節(jié)用矩陣的秩的方式敘述的向量組的有關(guān)結(jié)論都可以用向量組的秩的方式敘述有關(guān)結(jié)論都可以用向量組的秩的方式敘述. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組1, 2, , m線性線性表示的充分必要條件是表示的充分必要條件是R=(1, 2, , m)=R(1, 2, , m, b). 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, m線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(1, 2, , m)=R(1, 2, , m, 1, , s

52、). 推論推論: 向量組向量組A: 1, 2, m與向量組與向量組B: 1, 2, , s等價(jià)的充分必要條件是等價(jià)的充分必要條件是R(1,2,m)=R(1,2,s)=R(1,2,m,1,2,s). 定理定理3: 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 則則R(1, 2, , s)R(1, 2, , m). 定理定理4: 向量組向量組1, 2, , m線性相關(guān)的充分線性相關(guān)的充分必要條件是必要條件是R(1, 2, , m)m; 向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是R(1, 2, , m)=m. 例例3: 設(shè)向

53、量組設(shè)向量組B是向量組是向量組A的部分組的部分組, 若向量組若向量組B線性無關(guān)線性無關(guān), 且向量組且向量組A能由向量組能由向量組B線性表示線性表示, 則向量則向量組組B是向量組是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組.證證: 設(shè)向量組設(shè)向量組B含含r個(gè)向量個(gè)向量, 則它的秩為則它的秩為r . 因因A組能由組能由B組線性表示組線性表示, 故故A組的秩組的秩 r . 從而從而A組中任意組中任意r +1個(gè)向量線性相關(guān)個(gè)向量線性相關(guān),所以所以, 向量組向量組B滿足最大無關(guān)組定義所規(guī)定的條件滿足最大無關(guān)組定義所規(guī)定的條件.,59354645),(,13112032),( 2121 bbaa例例4: 知

54、知證明向量組證明向量組a1, a2與與b1, b2等價(jià)等價(jià).證明一證明一: 要證存在要證存在2階方陣階方陣X, Y, 使使(b1, b2)=(a1, a2)X, (a1, a2)=(b1, b2)Y.先求先求X.X.用求矩陣方程的方法對(duì)用求矩陣方程的方法對(duì)(a1, a2, b1, b2)施行施行 5913351146204532(a1, a2, b1, b2) = 591345324620351131rr 初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣: 462010155046203511143rr 132rr 4620231023103511)2(2 r53 r 0000000023

55、103511242rr 23rr .0000000023101201 )1(1 r21rr 0000000023101201),(2121初初等等行行變變換換bbaa即即 2312即得即得X =因因| X | = 1 0 知知, X可逆可逆. 取取Y = X-1, 即為所求即為所求.因此向量組因此向量組a1, a2與與b1, b2等價(jià)等價(jià).驗(yàn)證驗(yàn)證: 13112032 59354645 2312(a1, a2)X = (b1, b2)即向量組即向量組b1, b2可以由可以由a1, a2線性表示線性表示. 證明二證明二: 用初等列變換將矩陣用初等列變換將矩陣(a1, a2)和和(b1, b2)都

56、都化為列最簡(jiǎn)形化為列最簡(jiǎn)形. 13112032 59354645(a1, a2)= (b1, b2)=21 c)2(3212 ccc212rr 42 r,4/112/34/52/10001 21cc 1214)1(ccc 114524201,4/112/34/52/10001 證明三證明三: 顯然向量組顯然向量組a1, a2和和b1, b2都線性無關(guān)都線性無關(guān).由證明一知由證明一知: 向量組向量組a1, a2, b1, b2線性相關(guān)線性相關(guān), 并且秩并且秩為為2,所以所以, 向量組向量組a1, a2和和b1, b2都是都是a1, a2, b1, b2的最大的最大無關(guān)組無關(guān)組, 因此因此, a1

57、, a2和和b1, b2等價(jià)等價(jià). 矩陣矩陣(a1, a2)和和(b1, b2)有相同的列最簡(jiǎn)形有相同的列最簡(jiǎn)形. 故兩矩故兩矩陣的列向量組等價(jià)陣的列向量組等價(jià), 即即a1, a2與與b1, b2等價(jià)等價(jià).1. 最大線性無關(guān)向量組的概念最大線性無關(guān)向量組的概念: 最大性最大性, 線性無關(guān)性線性無關(guān)性. 2. 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系:矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩3. 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論: 六個(gè)定理六個(gè)定理. 4. 求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法: 將向量組

58、中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣, 然然后進(jìn)行初等行變換后進(jìn)行初等行變換. 比較本節(jié)中例比較本節(jié)中例4的證法一的證法一, 二二, 三三, 并總結(jié)這類命題并總結(jié)這類命題的證法的證法.證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義, 尋找兩向量組相尋找兩向量組相互線性表示的系數(shù)矩陣互線性表示的系數(shù)矩陣; 證法二利用證法二利用“經(jīng)初等列變換經(jīng)初等列變換, 矩陣的列向量組等矩陣的列向量組等價(jià)價(jià),經(jīng)初等行變換經(jīng)初等行變換, 矩陣的行向量組等價(jià)這一特性矩陣的行向量組等價(jià)這一特性, 驗(yàn)證是否有相同的行驗(yàn)證是否有相同的行(列列)最簡(jiǎn)形矩陣最簡(jiǎn)形矩陣; 證法三直接計(jì)算向

59、量組的秩證法三直接計(jì)算向量組的秩, 利用了向量組的最利用了向量組的最大線性無關(guān)組等價(jià)這一結(jié)論大線性無關(guān)組等價(jià)這一結(jié)論.4.4 向量空間向量空間 定義定義: 設(shè)設(shè)V為為n維向量的集合維向量的集合, 如果集合如果集合V非空非空, 且且集合集合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉, 那么就稱集合那么就稱集合V為向量空間為向量空間. 說明說明2. 所有所有n維實(shí)向量的集合是一個(gè)向量空間維實(shí)向量的集合是一個(gè)向量空間, 記記作作Rn.說明說明1. 集合集合V對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉是指對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉是指: 假設(shè)假設(shè), V, 那么那么 + V; 假設(shè)假設(shè) V, R, 那么那么

60、 V.4.4由于由于, 對(duì)對(duì) =(1, a2, a3, , an)TV2, 2R, 解解: V1是向量空間是向量空間.因?yàn)閷?duì)于因?yàn)閷?duì)于V1V1的任意兩個(gè)元素的任意兩個(gè)元素例例2: 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間,解解: V1不是向量空間不是向量空間.則有則有 2=(2, 2a2, 2a3, , 2an)T例例1: 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間,2V2 = x = (1, x2, x3, , xn)T | x2, x3, , xn R . V1 = x = (0, x2, x3, , xn)T | x2, x3, , xn R . =(0, a2,