平面向量的內積

1、課題：平面向量的內積教學目的：要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式能用所學知識解決有關綜合問題教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用教學過程：一、復習引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則AB（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|cosq叫與的數(shù)量積，記作×，即有× = |cosq，（）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為03向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積×等于的長度與在方向上投影|cosq的乘積4兩個向量的數(shù)

2、量積的性質：設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量1°× = × =|cosq；2°Û× = 03°當與同向時，× = |；當與反向時，× = -| 特別的× = |2或4°cosq = ；5°|×| |5平面向量數(shù)量積的運算律交換律：× = ×數(shù)乘結合律：()× =(×) = ×()分配律：( + )× = × + ×二、講解新課：平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，試用和的坐

3、標表示設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和即2.平面內兩點間的距離公式（1）設，則或（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式)3.向量垂直的判定設，則4.兩向量夾角的余弦（） cosq =三、講解范例：例1 設 = (5, -7)， = (-6, -4)，求×解： = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，求證：ABC是直角三角形證明：=(2-1, 3-2) = (1

4、, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)×=1×(-3) + 1×3 = 0 ABC是直角三角形例3 已知 = (3, -1)，= (1, 2)，求滿足×= 9與× = -4的向量解：設= (t, s)，由= (2, -3)例4 已知（，），（，），則與的夾角是多少?分析：為求與夾角，需先求及·，再結合夾角的范圍確定其值.解：由（，），（，）有·（），記與的夾角為，則cos又，評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定.例5 如圖，以原點和A (5, 2)為頂點作等腰直角ABC，使Ð =

5、90°，求點和向量的坐標。解：設點坐標(x, y)，則= (x, y)，= (x-5, y-2)x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2-5x- 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由點坐標或；=或例6 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個內角為直角，求k值解：當 = 90°時，×= 0，2×1 +3×k = 0 k =當 = 90°時，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2×(-1

6、) +3×(k-3) = 0 k =當C= 90°時，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =四、課堂練習：1.若=(-4,3),=(5,6),則3|（ ）A.23 B.57 C.63 D.832.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，則為（ ） A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形3.已知=(4,3),向量是垂直的單位向量，則等于（ ）A.或 B.或C.或 D.或4.=(2,3),=(-2,4),則(+)·(-)=.5.已知(3，2)，(-1，-1)，若點P(x,-)在線段的中垂線上，則x=.6.已知(1，0)，

7、(3，1)，(2，0)，且=,=,則與的夾角為.參考答案：1.D 2.A 3.D 4. 7 5. 6.45°五、小結 兩向量數(shù)量積的坐標表示長度、夾角、垂直的坐標表示六、課后作業(yè)：1.已知=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影為（ ）A. B. C. D.2.已知=(，)，=(-3,5)且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ） A. B.C.D.3.給定兩個向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),則x等于（ ） A.23 B.C.D.4.已知|=,=(1,2)且,則的坐標為.5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若，則.6.已知=(3,0),=(k,5)且與的夾角

8、為，則k的值為.7.已知=(3,-1),=(1,2),求滿足條件x·=9與x·=-4的向量x.8.已知點A (1，2)和B (4，-1)，問能否在y軸上找到一點C，使ABC90°，若不能，說明理由；若能，求C點坐標.9.四邊形ABCD中=(6,1),=(x,y)，=(-2,-3),(1)若，求x與y間的關系式；(2)滿足(1)問的同時又有,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.參考答案：1.C 2.A 3.C4.（，）或（-，） 5.() 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)9.(1)x+2y=0 (2)S四邊形ABCD=16七、板書設計（略）八、課后記及備用資料：已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1.分析：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想.解：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)又（x