卡方檢驗與方差分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第十三章 檢驗與方差分析我們前面已經(jīng)比較系統(tǒng)地討論了雙樣本的參數(shù)和非參數(shù)檢驗的問題?，F(xiàn)在，我們希望利用一般的方法來檢驗三個以上樣本的差異，檢驗法和方差分析法就是解決這方面問題的。檢驗法可以對擬合優(yōu)度和獨立性等進行檢驗，方差分析法則可以對多個總體均值是否相等進行檢驗。后者由于通過各組樣本資料之間的方差和組內(nèi)方差的比較來建立服從F分布的檢驗統(tǒng)計量，所以又稱F檢驗。 第一節(jié) 擬合優(yōu)度檢驗 1問題的導出 第十一章最后一節(jié)，我們將累計頻數(shù)檢驗用于經(jīng)驗分布與理論分布的比較，實際已經(jīng)提供了擬合優(yōu)度檢驗的一種方法。擬合優(yōu)度檢驗與累計頻數(shù)擬合優(yōu)度檢驗相對應，在評估從經(jīng)驗上得到的頻數(shù)和

2、在一組特定的理論假設下期望得到的頻數(shù)之間是否存在顯著差異時，是一種更普遍的檢驗方法。 2擬合優(yōu)度檢驗(比率擬合檢驗)據(jù)經(jīng)驗分布來檢驗總體分布等于理論分布的零假設，檢驗統(tǒng)計量是 理論證明，當n足夠大時，該統(tǒng)計量服從分布。因此對給定的顯著性水平，將臨界值與比較，可以就Ho作出檢驗結(jié)論。對于擬合優(yōu)度檢驗，在試驗規(guī)模小時，否定零假設的意義大，接受零假設的意義不大；若試驗規(guī)模大時，則接受零假設的意義大，否定零假設的意義不大。 3正態(tài)擬合檢驗第二節(jié) 無關聯(lián)性檢驗 檢驗的另一個重要應用是對交互分類資料的獨立性檢驗，即列聯(lián)表檢驗。由于列聯(lián)表一般是按品質(zhì)標志把兩個變量的頻數(shù)進行交互分類的，所以，檢驗法用于對交互

3、分類資料的獨立性檢驗，有其它方法無法比擬的優(yōu)點；如何求得列聯(lián)表中的理論頻數(shù)就成了獨立性檢驗的關鍵。 1獨立性、理論頻數(shù)及自由度檢驗統(tǒng)計量 進一步上式可變?yōu)?n 在使用檢驗法進行列聯(lián)表檢驗之前，還必須確定與這個檢驗統(tǒng)計量相聯(lián)系的自由度，即 (r×c-1)-(r-1)-(c-1)(c-1)(r-1)。 2關于頻數(shù)比較和連續(xù)性修正用卡方作為列聯(lián)表的統(tǒng)計量，有兩點我們應該特別注意。首先，列聯(lián)表檢驗是通過頻數(shù)而不是通過相對頻數(shù)的比較進行的。其次，使用卡方對列聯(lián)表進行檢驗每一格理論頻數(shù)必須保持在一定數(shù)目之上。 3列聯(lián)表的卡方分解 若一個復雜的列聯(lián)表具有顯著性，有時需要檢查子表以確定表格的那一部分

4、卡方影響最大。一種可行的簡便方法就是考察每一格的殘差，其公式為 根據(jù)計算結(jié)果可以知道哪一個殘差對卡方影響大。另一種方法是利用卡方分布的可加性，把r×c表的總體卡方分解為若干獨立部分。 4關系強度的量度 到目前為止，本節(jié)一直在討論列聯(lián)表變量間是否存在關系。其方法是建立變量間無關系的零假設，然后再試圖否定它。然而，對變量間是否存在關系的討論，必然引出對變量間關系強弱的討論。在樣本小的時候，獲得顯著性即表明變量間有強關系。對大樣本來說，更重要的問題是：“如果變量間存在關系，其強度有多大?”現(xiàn)在由于PRE準則，許多不同測量層次的變量已經(jīng)可以統(tǒng)一起來進行關聯(lián)強度的討論了。第三節(jié) 方差分析方差分

5、析，是一種很重要的分析方法，它可以檢驗兩個以上樣本均值之差。方差分析是均值差檢驗的推廣，一般用于處理自變量是一個（或多個）定類變量和因變量是一個定距變量之間的關系。方差分析所包含的假定與均值差檢驗所包含的假定差不多，例如正態(tài)分布、獨立隨機樣本、等方差性等，但檢驗本身卻很不相同。方差分析直接涉及的是方差而不是均值和標準差。同時，比較也不取兩種估計量之差，而是取兩種估計量的比率。在兩種估計量彼此獨立的前提下，兩種估計量之比率F具有已知的抽樣分布，因而可進行很簡單的檢驗。 1總變差及其分解第十二章已經(jīng)引入了變差的概念。但在方差分析中，由于自變量都是定類變量，我們不能像回歸分析那樣找出自變量和因變量的

6、線性或非線性關系，即不能確定自變量X取不同值時因變量Y的擬合值Yc，而只能研究自變量X取不同類別時，因變量Y的均值是否有所不同。但是在三種變差的討論中，和Yc的地位是一樣的。所以，有了上一章的知識，方差分析的方法是不難掌握的。 首先我們看總變差?？傋儾钸@個概念不同于方差，在方差分析中記作SST，它表示對于總均值的偏差之平方和，即 SST 為什么會形成總變差這個散布度呢？顯然有兩個原因：一是三個樣本可能不同，這使全部數(shù)據(jù)有三個“中心”；二是隨機抽樣誤差的影響，使數(shù)據(jù)在每個中心附近有散布。這樣，將總變差分解成兩部分。第一部分是各觀測值對其所屬類別均值的偏差的平方和，稱為組內(nèi)變差，記作SSW。組內(nèi)變

7、差反映了數(shù)據(jù)圍繞各“中心”的散布程度，即反映了因隨機波動所產(chǎn)生的變異，與自變量因素無關。換言之，SSW是自變量因素所沒有解釋的的變異。因此，又稱之為殘差。第二部分是組間平方和，記作SSB ，它涉及到諸類別均值對總均值的偏差，反映數(shù)據(jù)在c個“中心” 附近的散布程度。2關于自由度 弄清了組間變差和組內(nèi)變差，檢驗零假設(H0：12c)的思路也就梳理出來了：關鍵是比較兩種變差是否有顯著差異。但在統(tǒng)計學上，方差分析不取兩者之差而取兩者之比來進行這種比較。而且，方差分析不是直接用SSB/SSW作為檢驗統(tǒng)計量，而是用（可以解釋的方差）/（不能解釋的方差）作為檢驗統(tǒng)計量，即 在統(tǒng)計學上，變差除以自由度即可“規(guī)

8、格化”成方差?？傋杂啥冉M內(nèi)自由度 + 組間自由度，即nl （nc）+（c1）。這樣一來，在零假設(H0：12c)之下，檢驗統(tǒng)計量Fo的計算公式就找到了 Fo 3關于檢驗統(tǒng)計量Fo的計算 總平方和（SST） 組間平方和（SSB） 組內(nèi)平方和（SSW）總平方和（SST）組間平方和（SSB） 注意，由于總變差等于另兩個變差之和，所以三個變差中僅需求出兩個變差。求出組內(nèi)平方和比求另兩個平方和繁瑣得多，故通常我們都是從總平方和減去組間平方和來求組內(nèi)平方和的。 檢驗統(tǒng)計量 Fo 4相關比率 當方差分析的檢驗呈顯著性后，進一步討論兩變量間的相關程度是很自然的。方差分析中相關程度的測定仍采用PRE法。 PRE

9、 正是因為上式，我們把SSB稱為已解釋的變差。顯然，已解釋的變差越大，預測Y所減少的誤差就越多，X與Y之間的關系就越密切。據(jù)此，方差分析中把已解釋的變差對總變差的比值稱為相關比率，用符號表示 1 可用于一個定類變量與一個定距變量的相關程度的測定，當然也可以用于定序定距變量或定距定距變量的相關程度的測定。 相關比率研究的是定類定距變量之間的相關程度。由于定類變量不具有數(shù)量大小的問題，不存在關系是否線性的問題。因此，當被用于研究定距定距變量之間的關系時，不僅可以作為線性相關的量度，也可以作為非線性相關的量度。這意味著，對線性相關，相關比率與r2(積差系數(shù)之平方)有相同的PRE性質(zhì)；但如果對非線性相

10、關，用積差系數(shù)r來討論就不行了。對于定距定距變量，曲線相關既然要用R來測量，那么反過來，同一資料通過相關指數(shù)R與積差系數(shù)r計算的比較，可以判斷確定兩定距變量的關系是不是直線。如果同時求出r與R，r等于或略大于R，可說明兩變量關系是直線的，用r去測量是合適的；如果rR，則說明兩變量關系可能是曲線的。 5關于方差分析的幾點討論 鑒于方差分析的重要性，我們有必要對它進行某些深入討論：（1）MSB和MSW可以分別稱為組間方差和組內(nèi)方差，其中(在等方差的假設下)組內(nèi)方差總是2的無偏估計；而組間方差，只有當諸總體(即各樣本所代表的子總體)均值實際上相等時，它才是2的無偏估計。（2）方差分析的優(yōu)點在于，一個

11、檢驗可以代替多個檢驗。（3）方差分析中的自變量X如果是二分變量，也可以采用均值差t檢驗。（1）如果對因變量Y影響的自變量由一個變?yōu)閮蓚€以上，我們就將面對多元方差分析了。總變差分解的思想可以直接推廣至多因素顯著性檢驗。 第四節(jié) 回歸方程與相關系數(shù)的檢驗 1回歸系數(shù)的檢驗 檢驗兩個總體變量(定距定距變量)是否具有線性關系，主要是檢驗總體的回歸系數(shù)B是否等于零。在H0成立的條件下，檢驗回歸直線的統(tǒng)計量可構造為 Fo F（1，n2） 對選定顯著性水平，可查表得臨界值F。若出現(xiàn)FoF(1，n2)的情況，則拒絕H0，即認為回歸方程中X變量對Y的解釋力是顯著的；若出現(xiàn)FoF(1，n2)的情況，則不能拒絕H0

12、，即認為回歸方程中X變量對Y沒有的顯著的解釋力。 2積差系數(shù)的檢驗 在社會研究中，要想確切了解兩總體變量 (定距定距變量)間的積差系數(shù)是很困難的。所以，通常需要通過樣本積差系數(shù)的統(tǒng)計檢驗來認識總體的積差系數(shù) 。設有兩變量X和Y，它們的積差系數(shù)記為。當0時，表示X和Y不具有線性相關關系，當0時，表示X和Y具有線性相關關系。統(tǒng)計理論證明，樣本積差系數(shù)r是總體積差系數(shù)的一個無偏估計量，有=，=而且當0時，樣本容量越大，r（顯然為一隨機變量）的抽樣分布越接近于自由度為n2的t分布（見圖13.1）。因而有檢驗統(tǒng)計量 tor t（n2） 3回歸方程的區(qū)間估計對于定距定距變量計算積差系數(shù)r時，要求相關的兩個

13、變量均為隨機變量。回歸分析則不同，因為回歸方程旨在披露X和Y之間的因果聯(lián)系，所以自變量X是給定的，只有因變量Y才是隨機的。這樣一來，就回歸線來說，Y值在每個估計值Yc兩側(cè)都有個隨機分布。而且，Yc對Y的代表性越高，Y值在回歸線兩側(cè)分布得就越集中；Yc對Y的代表性越差，Y值在回歸線兩側(cè)分布得就越分散。根據(jù)第九章的知識，當知道Y和X有關系后，用Yc來估計Y固然可以消減不少估計誤差，這也不過是點估計。而如果我們能在擬合值Yc上下設置一個合適區(qū)間，那么Y被估計到的可能性便會大大增加。這樣一來，回歸方程區(qū)間估計的問題便提出來了。當然，在回歸線兩側(cè)設置一個估計區(qū)間總是容易做到的，但問題是我們需要對估計的信度和效度作通盤考慮。為此，我們必須了解Y在Yc兩側(cè)的分布特征以及Y在Yc兩側(cè)的分散程度。所幸的是，由于誤差為正態(tài)分布的原理(即中心極限定理)，當樣本容量n大于30時，我們可以作如下假定：(1) Y的實際觀測值在對應的每個估計值Yc周圍都是正態(tài)分布。越靠近Yc的地方，Y值出現(xiàn)的機會越多；反之出現(xiàn)的機會越少；(2)所有正態(tài)分布都具有相同的標準差，即所謂的同方差性。于是，除了重溫過去的知識，只有一個具體問題要解決：為了測定回歸線的代表性，有必要參照標準差的意