隨機(jī)信號(hào)分析第一章概率論2

1、定義：設(shè)E為一試驗(yàn)，若其樣本空間S滿足 （1）只有有限個(gè)基本事件；（2）每個(gè)基本事件是等可能發(fā)生的， 則稱E為古典概型。在古典概型隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A的概率為：P(A)=A所含的基本事件個(gè)數(shù)/S所包含的基本事件總數(shù) =#(A)/#(S)例：由10，11，99中任取一個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)數(shù)能被2或被3整除的概率。P(C)解：設(shè)A、B分別表示此數(shù)“被2整除”、“被3整除”4 5 / 9 0 ;3 0 / 9 0 ;1 5 / 9 01 / 21 / 31 / 62 / 3PCPABPAPBPA BPAPBPA BPC而2.2.概率的定義概率的定義(1) 概率的古典定義概率的古典定義 (2) 定義：定義：

2、向一區(qū)域S（如一維區(qū)間、二維區(qū)間）擲一質(zhì)點(diǎn)，若M必落在S內(nèi)，且落在S的任何子區(qū)域A內(nèi)的可能性只與A的度量（如長(zhǎng)度、面積，）成正比，而與A的位置與形狀無關(guān)，則稱這個(gè)E為幾何概型E，并定義M落在A中概率為： P(A)=L(A)/L(S) 其中L(S),L(A)分別表示S，A的度量。例4（約會(huì)問題）二人約定于0至T時(shí)刻內(nèi)在某地會(huì)面，先到者等 時(shí)后離去，求二人能會(huì)面A的概率。解：設(shè)x，y分別表示甲、乙兩人到達(dá)某地時(shí)間。甲、乙兩人會(huì)面（A發(fā)生）)(Ttt0 t T xy-x=-tTtstyxTyTxyxStxytxyyx0 ,0|,| )|(且tyxyxA|,TyTxyxS0 ,0|, 222211Tt

3、TtTTAP (3) 定義定義： 在一組固定條件下，重復(fù)進(jìn)行n次E，若當(dāng)n很大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)圍繞某個(gè)常數(shù)p擺去；且一般來說隨著n的增大，這種擺動(dòng)的幅度愈來愈小，則稱常數(shù)p事件A的統(tǒng)計(jì)概率。記P(A)=p，當(dāng)n充分大時(shí)，fn(A)呈現(xiàn)出規(guī)律性，有一個(gè)近似計(jì)算公式：fn(A)=m/nP(A) (4)概率的公理化定義 公理公理1 設(shè)S為樣本空間，A為事件，那么對(duì)每個(gè)事件A都有一個(gè)滿足不等式，P(A)0的實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，稱之為事件A的概率。 公理公理2 P(S)=1 公理公理3 若A1，A2，,是互不相容事件，那么P(A1+An+)=P(A1)+P(A2) + P(An)+概率論

4、全部理論都是建立在上面三條公理上的。推論推論1 P()=0推論推論2 設(shè)A1，A2 ， ，An互不相容事件，則P(A1+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)推論推論3 0P(A)1習(xí)題： 1隨機(jī)地取兩個(gè)小于1正數(shù)x,y，這兩個(gè)數(shù)的每一個(gè)都不超過1，試求x與y之和不超過1，積不小于0.09的概率。0 .90.10.10.90XY解：滿足條件事件為AS=(x,y)| 0 x,y1)A=(x,y)| 0 x+y1，xy0.09P(A)=L(A)/L(S) = =0.400.09ln9=0. 209 . 01 . 01/)09. 01 ()()(dxxxSLAL2把長(zhǎng)度為a的棒任意折成三段，求它

5、們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。 解：設(shè)三段長(zhǎng)度分別為x,y，a(x+y)，此三段能構(gòu)成一個(gè)三角形事件為A。S=(x,y)| 0 x+yx, y0 A發(fā)生Yaa/20a/2 a x2/2/2)()()(axayayxxyxayyyxaxyxayx2/,2/,2/| ),(ayxyaxayxA4121212121)(/ )()(2aaaSLALAP3設(shè)A、B、C是隨機(jī)E的三個(gè)事件，試用A、B、C及對(duì)立事件表示下列事件：（1）僅B發(fā)生；（2） A、B、C中至少有2個(gè)發(fā)生；（3）A、B、C中恰有兩個(gè)發(fā)生；（4）A、B、C中不多于兩個(gè)發(fā)生；（5） A、B、C中至多有一個(gè)發(fā)生。CBACBACBACBACBC

6、ABACABCBABCACBACBACBACBACBAABCBCACBACABABCBCACBACABBCACABCBA)5()4()3()2() 1 (4設(shè)事件A1，A2，A3同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，證明：P(A)P(A1)+P(A2)+P(A3)2證明：由題意AAAA321AAAiiii3131WAPAPAAAPAAPAAPAAPAPAPAPAPiiiiii313213231213131311即即于是)0,0)()(,(0223132321213212132132312131321321323121AAPAAPAAAPAAPAAAAAAAAPAAPAAPAAPWAPWAPAPAPAPAA

7、APAAPAAPAAPWii并且5. 若事件A.B.C滿足ABC=，能否斷定A，B，C互不相容？為什么？解：不能斷定。 反例：在古典概型E中， S=1,2,3,4,5,6 A=1,2，B=2,3，C=4,5 ABC=但BC=，AB，于是 不能斷定A、B、C互不相容。6一袋中裝有N1只黑球及1只白球，每次從袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，問第k 次摸球時(shí)摸到黑球的概率是多少？解：設(shè)A表示第k次摸到黑球事件，則 表示第k次摸到白球。 因?yàn)榇兄挥幸恢话浊?，而每次摸到白球總是換入黑球，故為了在第k次摸到白球，則前面的k1次一定不能摸到白球，故 表示第k次摸到白球。 因?yàn)榇兄挥幸恢?/p>

8、白球，而每次摸到白球總是換入黑球，故為了在第k次摸到白球，則前面的k1次摸球時(shí)都摸出黑球而第k次摸出白球，于是有：ANNNNAPkkk1)11 (/ 1) 1()(11NNAPAPk1)11 (1)(1)(17袋中裝有1，2，,N號(hào)的球各一只，采用（1）有放回，（2）不放回方式摸球，求在第k次摸球時(shí)首次摸到1號(hào)球的概率。解:(1)設(shè)第k次首次摸到1號(hào)球事件為ANNNNAPkkk111/11)(11(2)A為第k次首次摸到1號(hào)球事件。NPPAPkNkN1/1)(118設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求6個(gè)人的生日都集中在一星期中的某兩天但不是都在同一天的概率。解：設(shè)6個(gè)人的生日都集中在一星期中

9、某兩天但不在同一天事件為A。627276277/ )2()(#)(#)(CCCSAAP6276277/ )22(CC1.1.2 條件概率: 引子：直到現(xiàn)在，我們計(jì)算事件的概率是在樣本空間已知的情況下進(jìn)行的，即除了樣本空間（一組固有條件）外得不到其它試驗(yàn)信息。但是，有時(shí)知道一個(gè)事件H發(fā)生了。當(dāng)陳述與之有關(guān)另一事件A的結(jié)果時(shí)，怎樣使用這個(gè)信息呢？ 定義: 設(shè)A、B為任意兩個(gè)事件，且P(B)0，則稱比值P(AB)/P(B)為事件A在事件B發(fā)生的條件下的條件概率，記為P(A|B) 例1 考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假設(shè)男女出生率一樣，則兩孩子性別（依大小排列）S=(B,B),(B,G),(G,B),(G,G

10、)且每一個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的。若任選一家庭至少有一個(gè)女孩子事件H發(fā)生了。求此家庭有一男一女事件A的概率。 解：P(A)=2/4， P(H)=3/4 P(A|H) =42)(,AHP42)()()(32APHPAHP 注：如果事件B發(fā)生，那么為了A發(fā)生，實(shí)際出現(xiàn)的結(jié)果必須是一個(gè)即在A中又在B中的結(jié)果，也就是必須在AB中的結(jié)果?，F(xiàn)在，因?yàn)槲覀円阎狟已經(jīng)發(fā)生，進(jìn)而B就成為新的樣本空間，因此AB發(fā)生的概率就等于AB相對(duì)于B的概率。 即： P(A|B)=P(AB)/P(B) 定理1，條件概率P(A|B)=P(AB)/P(B) (P(B)0)滿足公理13 。 (1) 1P(A|B)= (2) P(S|

11、B)=P(SB)/P(B)=1 (3) 設(shè)A1，A2， 互不相容，則A1B，A2B，AnB，也互不相容，因此 P(A1+A2+An+)|B =P(A1+An+)B/P(B) =P(A1B+A2B+AnB+)/P(B)=P(A1|B)+P(A2|B)+0)()(BPABPNote：條件概率如同（古典、幾何）概率一樣滿足：(4)(5) P(6) 若A1 A2則P(A1|B)P(A2|B)P(A2A1)|B)= P(A2|B) P(A1|B)(7) P(A1A2|B) = P(A1|B) + P(A2|B)P(A1A2|B)當(dāng)B=S時(shí) P(A|S)=P(A)下面觀察公式：P(A|B)= (P(B)0

12、)P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0)P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) *具有重要理論與實(shí)際意義)|(1)|(BAPBAP0)|(B)()(BPABP定理2（乘法原理）若A，B為兩個(gè)事件，P(A)0, P(B)0則： P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0)定理3 設(shè)A1，A2，,An為n 個(gè)事件， P(A1 An-1)0, 則有：P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1An-1)證由于P(A1)P(A1A2) P(A1A2An-1)0因此右邊=121211. nAA

13、AAAA121211211nnAAAPAAAPAPAAPAPnAAAP21例4 包裝了的玻璃器皿第一次扔下了被打破概率為0.4，若第一次扔下未打破，第二次扔下被打破概率為0.6，若第二次扔下未打破，第三次扔下被打破概率為0.9，今將這種包裝了的器皿連續(xù)扔三次，求器皿被打破A的概率。解：設(shè)Ai表示第i次扔下器皿被打破事件（i=1，2，3）(1) P(A)=1P( )=1 = 0.976(2) A=A1+ A2+ A3P(A)= P(A1)+P( ) P(A2| )+P ( ) )P(A3| )=0.4+(10.4)0.6+(10.4) (10.6) 0.9 =0.976321,AAA 21312

14、1AAAPAAPAP1A1A1AP(2A|1A1A2A1A1A2A全概率公式 概率論的重要研究課題之一是希望從已知的簡(jiǎn)單事件的概率算出未知的復(fù)雜事件的概率。于是一個(gè)復(fù)雜事件常常分解為若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件的和，再利用概率的可加性可計(jì)算復(fù)雜事件的概率。全概率公式作用重要性。定理4（全概率公式）設(shè)A1, , An , 為互不相容事件且P(Ai)0,則有： P(B)=證明：SBSAii,11)|()(iiiABPAP 1111121|,iiiiinniinAAPAPAAPAPAAAAAAAAASAAAASA故也是互不相容事件是互不相容事件 事件的獨(dú)立性 定義：設(shè)A、B為S中兩個(gè)事件，若P(AB)=

15、P(A)P(B)，則稱A，B兩個(gè)事件相互獨(dú)立。 Note:（1）事件A、B中有一個(gè)概率為0or1，則A，B相互獨(dú)立； （2）A、B中有一個(gè)為S or，則A、B獨(dú)立。 定理1 若P(A)0且A、B獨(dú)立，則 P(B|A)=P(B) 定理2 若A、B相互獨(dú)立，則A與 ， 與B， 與 亦獨(dú)立。 證明:BAABBABABPAPBPAPBPAPAPABPAPABAPBAPBAP與獨(dú)立，同理與)()()(1)()()()()()()()()(獨(dú)立與BAAPBPAPBPAPBPBPABPBPBABPABPBAP)()()(1)()()()()()()()()( 例1 設(shè)E為幾何概型E，令 M1=“M落在矩形A

16、GID內(nèi)”， M2=“M落在矩形ABHF內(nèi)”，M3=“M落在ABD內(nèi)”，其中ABCD為正方形，而F,G,H,I為正方形四邊的中點(diǎn)，問M1 ,M2, M3事件是否兩兩獨(dú)立？AGBHCIDFO 21213214121MPMPMMPMPMPMP解 M1,M2獨(dú)立， M1,M3不獨(dú)立, M2,M3不獨(dú)立,但M1與M2獨(dú)立，但M1與M3，M2與M3均不獨(dú)立。 4183418332323131MPMPMMPMPMPMMP例2 設(shè)甲、乙二人獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)概率分別為0.9和0.8，今各射擊一次，求目標(biāo)被擊中的概率。解：設(shè)A、B表示甲、乙兩人分別擊中目標(biāo)事件，C表示目標(biāo)被擊中事件：（ A、B獨(dú)

17、立，P(AB)=P(A)P(B)(2)P(C)=1P( )=1P( )P( )=0.98Note：判定事件獨(dú)立性的實(shí)際原則。例：打靶的問題，可靠性問題，破譯密碼的問題，測(cè)量問題等。 (1)BACP(C)=P(A)+P(B)P(AB)=0.98CAB 多個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性定義2 設(shè)Ai,A2,An是n個(gè)事件，若對(duì)P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Aik)則稱：A1,An相互獨(dú)立的。)1 (nkk與niik11滿足： 推論：若n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們中的任何m(2mn)個(gè)事件亦相互獨(dú)立。補(bǔ)充定理：設(shè)A1,An這n個(gè)事件相互獨(dú)立，若把其中m(1mn)個(gè)事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的對(duì)立事件

18、，則新的n個(gè)事件亦相互獨(dú)立。（數(shù)學(xué)歸納法） 例3有m3塊外形相同的木板，其中 上分別寫有 ，一塊上寫有A0B0C0，其余 不寫，今從m3塊上隨機(jī)地抽取一塊，設(shè)抽取一塊寫有A0、B0、C0事件分別為A，B，C，問A，B，C是否相互獨(dú)立？111222mmm000CBA解：mCPBPAP1)()()(231)()(1)()()(mBPApmBCPACPABP)()()(1)(3CPBPAPmABCP但所以，A，B，C是不相互獨(dú)立的。（為證明三個(gè)事件獨(dú)立性，必須證明四個(gè)等式都成立。）例例4. 下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件都是電路中的元件. 它們下方的數(shù)是它們各自正常工它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率作的概率. 求電路正常工作的概率求電路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0解：解： 將電路正常工作記為將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立工作，有，由于各元件獨(dú)立工作，有P(W)=P(A)P(B)P(CDE)P(FG)P(H)973. 0)()