高二數(shù)學(xué)課件：二項(xiàng)式定理

1、二二 項(xiàng)項(xiàng) 式式 定定 理理(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么將那么將(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展開后，它們展開后，它們的各項(xiàng)是什么呢？的各項(xiàng)是什么呢？引入引入C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3(a+b)2 (a+b) (a+b) 展開后其項(xiàng)的形式為：展開后其項(xiàng)的形式為：a2 ， ab ， b2這三項(xiàng)的系數(shù)為各項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]這三項(xiàng)的系數(shù)為各項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b恰有恰有1個取個取b的情況有的情況有C21種，則種，則ab前的系

2、數(shù)為前的系數(shù)為C21恰有恰有2個取個取b的情況有的情況有C22 種，則種，則b2前的系數(shù)為前的系數(shù)為C22每個都不取每個都不取b的情況有的情況有1種，即種，即C20 ,則則a2前的系前的系數(shù)為數(shù)為C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3對對(a+b)(a+b)2 2展開式的分析展開式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？問題：問題：1)(a+b)4展開后各項(xiàng)形式分別是什么？展開后各項(xiàng)形式分別是什么？2)

3、各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？3)你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4 a3b a2b2 ab3 b4各項(xiàng)前的系數(shù)各項(xiàng)前的系數(shù) 代表著這些項(xiàng)在展開式代表著這些項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)每個都不取每個都不取b的情況有的情況有1種，即種，即C40 ,則則a4前的前的系數(shù)為系數(shù)為C40恰有恰有1個取個取b的情況有的情況有C41種，則種，則a3b前的系數(shù)為前的系數(shù)為C41恰有恰有2個取個取b的情況有的情況有C42 種，則種，則a2b2前的系數(shù)為前的系數(shù)為C42恰有恰有3個取個取b的情況有的情況有C43 種，則種，則ab3前的系數(shù)為前的系數(shù)為C43恰有恰

4、有4個取個取b的情況有的情況有C44種，則種，則b4前的系數(shù)為前的系數(shù)為C44則則 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？a4 a3b a2b2 ab3 b4二項(xiàng)展開式定理二項(xiàng)展開式定理右邊的多項(xiàng)式叫做右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的的二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式注注1）二項(xiàng)展開式共有）二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng)項(xiàng)2）各項(xiàng)中）各項(xiàng)中a的指數(shù)從的指數(shù)從n起依次減小起依次減小1，到，到0為此為此各項(xiàng)中各項(xiàng)中b的指數(shù)從的指數(shù)從0起依次增加起依次增加1，到，到n為此為此Cnr an-rbr：二項(xiàng)展開式的：

5、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)通項(xiàng)，記作，記作Tr+1Cnr ： 二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)一般地，對于一般地，對于n N*有有如如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2 Cnr xr + xn011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 應(yīng)應(yīng) 用用4111)x例例 ： 展展 開開 （ 注：注：1）注意對二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用）注意對二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用3）求二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)的一種方法是將）求二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)的一種方法是將二項(xiàng)式展開二項(xiàng)式展開2）注意區(qū)別）注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)與與項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的概念的概念二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)為為 ；項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系

6、數(shù)為：為：二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積rnC解解:41223344411111)1()()()CCCxxxx （ 44423414641()1.Cxxxxx 應(yīng)應(yīng) 用用項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)二二項(xiàng)項(xiàng)式式系系數(shù)數(shù)和和第第項(xiàng)項(xiàng)的的，并并求求第第：展展開開例例63)12(26xx 解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為2615C 第六項(xiàng)的系數(shù)為第六項(xiàng)的系數(shù)為5562( 1)12C

7、 例例3、求（、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)項(xiàng)74)x例例 、( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展開開式式的的第第4 4項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)831)xxx ( (2 2) )求求（的的展展開開式式中中 的的系系數(shù)數(shù)和和中中間間項(xiàng)項(xiàng)解解:12()13,xa的展開式有項(xiàng) 倒數(shù)第4項(xiàng)是它的第10項(xiàng).912 99399 112220.TC xax a解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四項(xiàng)系數(shù)為第四項(xiàng)系數(shù)為280.89 21891(2)()( 1).rrrrrrrTC xC xx 339923,84.rxC 3由得r=3.故 的系數(shù)為(-1)48 444 1815,()70.TC xx中間一項(xiàng)是第 項(xiàng)練習(xí)：練習(xí)：1 1、求、求 的展開式常數(shù)項(xiàng)的展開式常數(shù)項(xiàng) 93()3xx1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解解:練習(xí)：練習(xí)：2 2、求、求 的展開式的中間兩項(xiàng)的展開式的中間兩項(xiàng) 93()3xx解解:展開式共有展開式共有10項(xiàng)項(xiàng),中間兩項(xiàng)是第中間兩項(xiàng)是第5、6項(xiàng)。項(xiàng)。49 44354 193( )()423xTTCxx359 55265 193( )()423xTTCxx 小小 結(jié)結(jié)1）注意二項(xiàng)式定理）