工程力學(xué)—第七章桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算

1、課件制作：李炎課件制作：李炎第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算力學(xué)性能力學(xué)性能: 材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方 面的特征。需由實驗測定。常溫靜載試驗常溫靜載試驗 進(jìn)行拉伸實驗，首先需要將被試驗的材料按國家標(biāo)準(zhǔn)制進(jìn)行拉伸實驗，首先需要將被試驗的材料按國家標(biāo)準(zhǔn)制成成標(biāo)準(zhǔn)試樣標(biāo)準(zhǔn)試樣(standard specimen); ;然后將試樣安裝在試驗機(jī)上，然后將試樣安裝在試驗機(jī)上，使試樣承受軸向拉伸載荷。通過緩慢的加載過程，試驗機(jī)自使試樣承受軸向拉伸載荷。通過緩慢的加載過程，試驗機(jī)自動記錄下試樣所受的載荷和變形，得到應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲動記錄下試樣所受的載荷和變形，得到應(yīng)力與

2、應(yīng)變的關(guān)系曲線，稱為線，稱為應(yīng)力應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線(stress-strain curve)。 長試件 短試件圓截面：矩形截面： 為了得到應(yīng)力為了得到應(yīng)力-應(yīng)變曲線，需要將給定的材料做成應(yīng)變曲線，需要將給定的材料做成標(biāo)準(zhǔn)試樣（標(biāo)準(zhǔn)試樣（specimen）,在材料試驗機(jī)上，進(jìn)行拉伸或在材料試驗機(jī)上，進(jìn)行拉伸或壓縮實驗（壓縮實驗（tensile test, compression test）。）。 試驗時，試樣通過卡具或夾具安裝在試驗機(jī)上。試驗試驗時，試樣通過卡具或夾具安裝在試驗機(jī)上。試驗機(jī)通過上下夾頭的相對移動將軸向載荷加在試樣上。機(jī)通過上下夾頭的相對移動將軸向載荷加在試樣上。 常溫靜載拉伸

3、試驗常溫靜載拉伸試驗第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算變形傳感器變形傳感器o e p s b上屈服極限下屈服極限彈彈性性階階段段 屈屈服服階階段段強(qiáng)強(qiáng)化化階階段段頸頸縮縮階階段段第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算、彈性階段彈性階段: :oAoA為直線段；為直線段；AA為微彎曲線段為微彎曲線段。E比例極限；比例極限；彈性極限。彈性極限。pe、屈服階段屈服階段: :BC。屈服極限屈服極限屈服段內(nèi)最低的應(yīng)力值。屈服段內(nèi)最低的應(yīng)力值。s低碳鋼軸向拉伸時的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼軸向拉伸時的力學(xué)性質(zhì) ( (四個階段四個階段) )屈服現(xiàn)象：屈服現(xiàn)象：應(yīng)力應(yīng)變曲線上的鋸齒線應(yīng)力

4、應(yīng)變曲線上的鋸齒線試件表面的滑移線試件表面的滑移線材料暫時失去抵抗變形的能力材料暫時失去抵抗變形的能力、強(qiáng)化階段：強(qiáng)化階段：CDb b 強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限（拉伸過程中最高的應(yīng)力值）（拉伸過程中最高的應(yīng)力值）、局部變形階段局部變形階段（頸縮階段）：（頸縮階段）：DEDE。在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生明顯的變形，至到試件斷裂。明顯的變形，至到試件斷裂?？s頸縮頸斷裂斷裂1100%lll1100%AAA第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算卸載定律及冷作硬化卸載定律及冷作硬化 p塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變 e彈性極限彈性極限 e 彈性應(yīng)變彈性應(yīng)變預(yù)加塑性變形預(yù)加塑性

5、變形, 可使可使 e 或或 p 提高提高卸載定律卸載定律： 當(dāng)拉伸超過屈服階段后，當(dāng)拉伸超過屈服階段后，如果逐漸卸載，在卸載過程如果逐漸卸載，在卸載過程中，應(yīng)力中，應(yīng)力應(yīng)變將按直線應(yīng)變將按直線規(guī)律變化。規(guī)律變化。冷作硬化：冷作硬化：在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載后短在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載后短期內(nèi)又繼續(xù)加載，材料的比例極限提高而塑性變形降低的期內(nèi)又繼續(xù)加載，材料的比例極限提高而塑性變形降低的現(xiàn)象。現(xiàn)象。o o 殘余變形殘余變形 0.2 對于沒有明顯屈服階段的韌對于沒有明顯屈服階段的韌性材料，工程上規(guī)定性材料，工程上規(guī)定產(chǎn)生產(chǎn)生0.20.2塑性應(yīng)變時的應(yīng)力值為其屈服應(yīng)塑性應(yīng)變時

6、的應(yīng)力值為其屈服應(yīng)力力，稱為材料的名義屈服極限，稱為材料的名義屈服極限(offset yield stress)，用，用0.20.2表示。表示。1、其他塑性材料：、其他塑性材料：第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算o 1、脆性材料：、脆性材料： 變形小，無屈服和頸縮階段，延伸率很小變形小，無屈服和頸縮階段，延伸率很小強(qiáng)度極限：強(qiáng)度極限： 拉斷時的最大應(yīng)力 b割線彈性模量：割線彈性模量： 強(qiáng)度極限70-80%的位置畫割線b第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算低碳鋼低碳鋼鑄鐵鑄鐵第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算試件：短柱試件：短柱l=(1.

7、03.0)d(1)(1)彈性階段與拉伸時相同，彈性階段與拉伸時相同，楊氏模量、比例極限相同；楊氏模量、比例極限相同；(2)(2)屈服階段，拉伸和壓縮屈服階段，拉伸和壓縮時的屈服極限相同時的屈服極限相同, ,即即ss(3)(3)屈服階段后，試樣越壓屈服階段后，試樣越壓越扁，無頸縮現(xiàn)象，測不越扁，無頸縮現(xiàn)象，測不出強(qiáng)度極限出強(qiáng)度極限 。b幾種材料壓縮時的力學(xué)性能幾種材料壓縮時的力學(xué)性能鑄鐵鑄鐵壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線脆性材料脆性材料bb壓縮：壓縮： ，適于做抗壓構(gòu)件，破壞時破裂面適于做抗壓構(gòu)件，破壞時破裂面與軸線成與軸線成4545- 55- 55bb)0 .50 .4(衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)：衡量

8、材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)：強(qiáng)度指標(biāo)強(qiáng)度指標(biāo)剛度指標(biāo)剛度指標(biāo)塑性指標(biāo)塑性指標(biāo)彈性模量彈性模量 E比例極限（彈性極限）比例極限（彈性極限） 屈服極限屈服極限 強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限 延伸率延伸率 斷面伸縮率斷面伸縮率 第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算軸向拉壓桿軸向拉壓桿 應(yīng)力和強(qiáng)度計算應(yīng)力和強(qiáng)度計算一、橫截面上的應(yīng)力一、橫截面上的應(yīng)力 求應(yīng)力，先要找到應(yīng)力在橫截面上的分布情況。求應(yīng)力，先要找到應(yīng)力在橫截面上的分布情況。應(yīng)力是內(nèi)力的集應(yīng)力是內(nèi)力的集度度，而內(nèi)力與變形有關(guān)，所以可以由觀察桿件變形來確定應(yīng)力在截面，而內(nèi)力與變形有關(guān)，所以可以由觀察桿件變形來確定應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律。上的分

9、布規(guī)律。平面假設(shè)：平面假設(shè)： 變形前為平面的橫截變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，面，變形后仍保持為平面，且垂直于桿軸線。且垂直于桿軸線。 設(shè)想桿件由無數(shù)根平行于軸線的縱向設(shè)想桿件由無數(shù)根平行于軸線的縱向纖維組成，在軸向拉伸（或壓縮）時，所纖維組成，在軸向拉伸（或壓縮）時，所有纖維有相同的伸長（或壓縮）量。有纖維有相同的伸長（或壓縮）量。觀察到如下現(xiàn)象：觀察到如下現(xiàn)象：1 1）橫向線縮短，但仍保持為直線，橫向線縮短，但仍保持為直線，且仍互相平行并垂直于桿軸線。且仍互相平行并垂直于桿軸線。2 2）縱向線仍保持與桿軸線平行?？v向線仍保持與桿軸線平行。 平面假設(shè)平面假設(shè)各纖維伸長相同各纖維伸

10、長相同各點內(nèi)力相等各點內(nèi)力相等應(yīng)力在橫截面應(yīng)力在橫截面上均勻分布上均勻分布AdAdAdFFAAANN作用在桿橫截面上的內(nèi)力為：作用在桿橫截面上的內(nèi)力為：正應(yīng)力的計算公式為：正應(yīng)力的計算公式為： AFN正應(yīng)力的正負(fù)號與軸力正應(yīng)力的正負(fù)號與軸力FN相同，拉為正，壓為負(fù)相同，拉為正，壓為負(fù)。式中：式中：FN -軸力；軸力；A-桿件的橫截面面積桿件的橫截面面積PPk pkPkkPkk p AP 則則，則則 cos/AA，而PF AFp AP cosAP cos cosp 2cos sinp cossin 22sin)cos( 212 F拉應(yīng)力為正拉應(yīng)力為正繞研究對象體內(nèi)繞研究對象體內(nèi)任一點有順時針任一

11、點有順時針轉(zhuǎn)動趨勢為正，轉(zhuǎn)動趨勢為正，反之為負(fù)反之為負(fù)Pkk 2sin2)2cos1 (20When1 、達(dá)達(dá)到到最最大大 maxo45When2 、達(dá)達(dá)到到最最大大 2 maxo90When3 、0 。即縱截面上無任何應(yīng)力o90When41、)90(2sin2012sin2在兩個互相垂直的界面上，切應(yīng)力必成對在兩個互相垂直的界面上，切應(yīng)力必成對出現(xiàn)，數(shù)值相等，方向為共同指向或背離兩垂直面的交線。出現(xiàn)，數(shù)值相等，方向為共同指向或背離兩垂直面的交線。 拉壓桿橫截面的應(yīng)力并不完全是均勻分布的，當(dāng)橫截面拉壓桿橫截面的應(yīng)力并不完全是均勻分布的，當(dāng)橫截面上有孔或槽時，在截面尺寸突變處的應(yīng)力要比其它處的應(yīng)

12、力上有孔或槽時，在截面尺寸突變處的應(yīng)力要比其它處的應(yīng)力大得多，這種現(xiàn)象稱為大得多，這種現(xiàn)象稱為。理論應(yīng)力集中因素理論應(yīng)力集中因素mtKmax第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算0.2/sb un1n maxub 表示構(gòu)件表示構(gòu)件安全儲備的一個系數(shù)安全儲備的一個系數(shù)等直桿：變截面桿：maxmaxNFAmaxmaxminNFA第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算 max100%5% max maxNFA NFA查型鋼表查型鋼表脆性材料：脆性材料：抗壓能力抗壓能力 抗拉能力抗拉能力maxmaxttcc第七章第七章 桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計算例例 圖所

13、示為一民用建筑磚柱圖所示為一民用建筑磚柱，上段截面尺寸為上段截面尺寸為240 240mm ，承受荷載承受荷載FP150kN；下段下段370 370mm，承受荷載承受荷載FP2100kN。試求各段軸力和應(yīng)力試求各段軸力和應(yīng)力。解：解：1) 1) 求軸力求軸力kNFFPN5011kNFFFppN1502122) 2) 求應(yīng)力求應(yīng)力MPaAFN87. 024024010503111MPaAFN1 . 13703701015032221 1、實驗：、實驗：關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)一、一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力 薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)0101rt

14、, r0：為平均半徑平均半徑）(壁厚壁厚2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。結(jié)論：結(jié)論：, 0000橫截面上橫截面上可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑方向。根據(jù)對稱性可知切應(yīng)力沿圓周均勻分布根據(jù)對稱性可知切應(yīng)力沿圓周均勻分布；,Dt Dt3 3、切應(yīng)力的計算公式：、切應(yīng)力的計算公式：2.2020200trtdrrdAT

15、AtrT202d薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力計算式薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力計算式二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l為扭轉(zhuǎn)角為扭轉(zhuǎn)角lr即lr做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗可得TtrT202lr剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。與切應(yīng)變成正比關(guān)系。從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM自動滿足自動滿足0 xFyzxxzydddddd存在存在得得2 2、切應(yīng)力互等定

16、理切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 單元體在其兩對互相單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)力垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純純剪切應(yīng)力狀態(tài)剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的兩個面上，切在相互垂直的兩個面上，切應(yīng)力總是成對出現(xiàn)，并且大小應(yīng)力總是成對出現(xiàn)，并且大小相相等，等，方向同時指向或同時背離兩方向同時指向或同時背離兩個面的交線。個面的交線。一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力一）、幾何關(guān)系一）、幾何關(guān)系：由實驗找出變形規(guī)律由實驗找出變形規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律1 1、實驗：、實驗：觀察變形規(guī)

17、律：觀察變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動 了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀 、大小、大小 以及間距不變，半徑仍為直線。以及間距不變，半徑仍為直線。定性分析橫截面上的應(yīng)力定性分析橫截面上的應(yīng)力00（1）00（2）因為同一圓周上剪應(yīng)變相同，所以同因為同一圓周上剪應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向一圓周上切應(yīng)力

18、大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。剪應(yīng)變的變化規(guī)律剪應(yīng)變的變化規(guī)律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為為研究對象研究對象微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)變形變形 d Ddxd二）物理關(guān)系二）物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律由應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)三）靜力關(guān)系：三）靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計算公式應(yīng)力的計算公式ATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式

19、得：得：xGdd pIT圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的剪應(yīng)力計算式。圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的剪應(yīng)力計算式。pGITx dd AxGAddd2扭轉(zhuǎn)變形計算式扭轉(zhuǎn)變形計算式橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整個圓軸上整個圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。I Ip p截面的極慣性矩截面的極慣性矩，單位：，單位：二、圓軸中二、圓軸中max的確定的確定44, mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PW四、圓截面的極慣性矩四、圓截面

20、的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實心圓截面：實心圓截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：對于空心圓截面注意：對于空心圓截面33p16dDW44p32dDIDdOd1 1、強(qiáng)度條件、強(qiáng)度條件：2 2、強(qiáng)度條件應(yīng)用、強(qiáng)度條件應(yīng)用：1 1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度: : .)1 (16,16433空心空心實心實心DDWP扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計算PWTmaxmax PWm

21、axT2 2）設(shè)計截面尺寸）設(shè)計截面尺寸: :3 3）確定外荷載）確定外荷載: :maxTPWm一、一、 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計實心圓軸與 = 0.9 的空心圓軸。解：解：1. 確定確定實心圓軸直徑實心圓軸直徑 316DT 316 TD mm 54 D取?。簃 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxDT 2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑確定空心圓軸內(nèi)、外徑 )1(1643DT mm

22、3 .76)1 (1634TDmm7 .68Dd mm 68 mm 76 dD，取：?。?. 重量比較重量比較%5 .394)(4222ddD空心軸遠(yuǎn)比實心軸輕空心軸遠(yuǎn)比實心軸輕43p116DW例例 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。解解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1

23、p1max, 1WT2 2、計算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度、計算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即該軸滿足強(qiáng)度條件。即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kNm）純（橫力）彎曲時純（橫力）彎曲時梁的正應(yīng)力與強(qiáng)度條梁的正應(yīng)力與強(qiáng)度條件件. .純彎曲純彎曲 梁的橫截面上只有彎矩而無梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力的彎曲）力而無剪應(yīng)力的彎曲）。剪力剪力“Fs”切應(yīng)力切應(yīng)力“”；彎矩彎矩“M”正應(yīng)力正應(yīng)力“”2.2.橫力彎曲（剪切彎曲）橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaF

24、F 梁的橫截面上既有彎矩又有梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（剪力的彎曲（橫截面上既有正橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲）應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲）。一、純彎曲和橫力彎曲的概念一、純彎曲和橫力彎曲的概念梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件二二 、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：（一）變形幾何關(guān)系：由純彎曲的變形規(guī)律縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。1 1、觀察實驗：、觀察實驗：abcdabcdMM2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：、橫向線、橫向線：仍為直線，：仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。且仍與

25、縱向線正交。、縱向線、縱向線：由直線變?yōu)椋河芍本€變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維曲線，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸縮短，靠近下部的纖維伸長。長。3 3、假設(shè)：、假設(shè)：（1 1）彎曲平面假設(shè)：）彎曲平面假設(shè)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸某軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動了一個角度。動了一個角度。凹入凹入一側(cè)纖維一側(cè)纖維縮短縮短突出突出一側(cè)纖維一側(cè)纖維伸長伸長 根據(jù)變形的連續(xù)性可根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入一知，梁彎曲時從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸側(cè)的縱向線縮短

26、區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度中間必有一層縱向無長度改變的過渡層改變的過渡層-稱稱為為中性層中性層 。中性層與橫截面中性層與橫截面的交線的交線中性軸中性軸（2 2）縱向纖維假設(shè)：）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維 之間無擠壓。之間無擠壓。 梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。Aabcdyxd A4 4、線應(yīng)變的變化規(guī)律：、線應(yīng)變的變化規(guī)律：(1) ydxy

27、 oo1在彈性范圍內(nèi)，在彈性范圍內(nèi)，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：由縱向線應(yīng)變的變化由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律規(guī)律正應(yīng)力的分布規(guī)律。正應(yīng)力的分布規(guī)律。(2) . EyEabcdy- -任意纖維到中性層的距離任意纖維到中性層的距離 - -中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑 EyE應(yīng)力的分布圖：應(yīng)力的分布圖：MZymaxmax中性軸的位置？中性軸的位置？中中性性層層的的曲曲率率 1為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率1yxMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性軸（中性軸Z軸為形心軸）軸為形心軸）AyzdAM) 2(00y

28、zyzAAIIEyzdAEzdAyE（y軸為對稱軸，自然滿足軸為對稱軸，自然滿足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2彎曲變形計算的基本公式彎曲變形計算的基本公式Z1EIM（三）、靜力方面：（三）、靜力方面： 由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系的關(guān)系正應(yīng)力的計算公式。正應(yīng)力的計算公式。zIMy彎曲正應(yīng)力計算公式。彎曲正應(yīng)力計算公式。 彎矩可代入絕對值，應(yīng)力的符號由變形來判斷。彎矩可代入絕對值，應(yīng)力的符號由變形來判斷。 當(dāng)當(dāng)M 0時，下拉上壓；時，下拉上壓； 當(dāng)當(dāng)M 5 （細(xì)長梁細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立

29、。力彎曲近似成立。彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力公式ZIMy可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁1m2mBA截面關(guān)于中性軸對稱截面關(guān)于中性軸對稱zctWMmaxmaxmax截面關(guān)于中性軸不對稱截面關(guān)于中性軸不對稱( (最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力可能發(fā)生在不同的截面內(nèi)最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力可能發(fā)生在不同的截面內(nèi)) )ZmaxmaxmaxIyM橫力彎曲梁上的最大正應(yīng)力橫力彎曲梁上的最大正應(yīng)力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K點正應(yīng)力2.C 截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑 FSx90kN90k

30、NmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2. C 截面上截面上K點正應(yīng)力點正應(yīng)力例例BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正應(yīng)力截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606

31、533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .19410601083

32、2. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql M例：例：求圖示懸臂梁的最大、壓應(yīng)力。已知：,/6,1mkNqml10槽鋼槽鋼q解：解：1）畫彎矩圖）畫彎矩圖kNmqlM35 . 0|2max2）查型鋼表：）查型鋼表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423）求應(yīng)力）求應(yīng)力：1maxyIMzt6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzc6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM四、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件四、

33、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件材料的許用彎曲正應(yīng)力材料的許用彎曲正應(yīng)力 max zWMmax中性軸為橫截面對稱軸的等直梁中性軸為橫截面對稱軸的等直梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁tmaxtcmaxcOzyytmaxycmaxttmaxmaxtmaxzIyMccmaxmaxcmaxzIyMctcmaxtmaxyy為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計為為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計為彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 max zWMmaxmax 1 1、強(qiáng)度校核、強(qiáng)度校核 2 2、設(shè)計截面尺寸、設(shè)計截面尺寸 3 3、確定外荷載、確定外荷載 max； max

34、 MWz ; max zWM tmaxmaxmax zttIyMcmaxmaxmax zccIyM例例 圖示為機(jī)車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知圖示為機(jī)車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力.MPa60mm1601dFaFb（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：解：B B截面截面：MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBBMPa4 .46Pa10

35、4 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面截面：（5 5）結(jié)論）結(jié)論: :輪軸安全輪軸安全解：1)求約束反力求約束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上壓壓kNmMC （上上拉拉、下下壓壓）kNmMB4 例、例、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的 t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C點，點，y1=52mm， y2=88mm，I z =763cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。，試校核此梁的強(qiáng)度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k

36、N m2 2）畫彎矩圖）畫彎矩圖AyFByFxkNF91kNF423 3）求應(yīng)力）求應(yīng)力B截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）MC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）zCCtIyM2maxC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxMPa04.174 ) 4 ) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核A1A2A3A42.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtMPa

37、IyMzBBc2 .461076310884462max最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上46.2MPa27.2MPa28.2MPa17.04MPaA1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論結(jié)論對對Z軸對稱截面的彎曲梁，只計算軸對稱截面的彎曲梁，只計算一個截面一個截面：對對Z軸不對稱截面的彎曲梁，必須計算軸不對稱截面的彎曲梁，必須計算兩個截面兩個截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM梁的正應(yīng)力計算公式梁的正應(yīng)力計算公式 ZIMy 式中式中 M截面的彎矩截面的彎矩； Iz截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣

38、性矩； y欲求應(yīng)力的點到中性軸的距離欲求應(yīng)力的點到中性軸的距離。 正應(yīng)力與正應(yīng)力與M和和y成正比，成正比，與與 Iz成反比。成反比。正應(yīng)力沿截面高度呈直線分布，如圖所示正應(yīng)力沿截面高度呈直線分布，如圖所示，距中性軸愈遠(yuǎn)就愈大，在中性軸上正應(yīng)，距中性軸愈遠(yuǎn)就愈大，在中性軸上正應(yīng)力等于零。力等于零。1)1)對于梁的對于梁的某一橫截面某一橫截面來說，最大正應(yīng)力發(fā)生在來說，最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最距中性軸最遠(yuǎn)遠(yuǎn)的地方，其值為：的地方，其值為： ZIMymaxmax 2)2)對于對于等截面梁等截面梁，最大正應(yīng)力發(fā)生在，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面彎矩最大的截面上，其上，其值為：值為： zZWMIyM

39、maxmaxmaxmax Wz抗彎截面系數(shù)，抗彎截面系數(shù)， maxyIWZzWz與梁的截面形狀有關(guān)，與梁的截面形狀有關(guān)，Wz愈大愈大，梁中的正應(yīng)力愈小。梁中的正應(yīng)力愈小。 矩形截面：矩形截面： 62maxbhyIWZZ 圓形截面：圓形截面： 323maxDyIWZ 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 ZWMmaxmax 1 1）當(dāng)梁材料的抗拉和抗壓的能力相同時，其正應(yīng)力強(qiáng)度條件：當(dāng)梁材料的抗拉和抗壓的能力相同時，其正應(yīng)力強(qiáng)度條件： 2 2）當(dāng)梁材料的抗拉抗壓能力不同時，應(yīng)分別對拉應(yīng)力和壓應(yīng)當(dāng)梁材料的抗拉抗壓能力不同時，應(yīng)分別對拉應(yīng)力和壓應(yīng)力建立強(qiáng)度條件：力建立強(qiáng)度條件： LzLLIyMmaxmaxYzYYIyM

40、maxmax根據(jù)強(qiáng)度條件根據(jù)強(qiáng)度條件，可解決下列工程中常見的，可解決下列工程中常見的三類問題：三類問題： 已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度；已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度； 已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計梁的截面尺寸；已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計梁的截面尺寸； 已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。zybh梁橫截面的切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面的切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件一、一、 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1 1、假設(shè)：、假設(shè)： 橫截面上各點的切應(yīng)力方向與剪力的方向相同。橫截面上各點的切應(yīng)

41、力方向與剪力的方向相同。 切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各點切應(yīng)力大小相等）。點切應(yīng)力大小相等）。2 2、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo)xd x圖圖ayFs0)(11dxbFFFNNxzzAzANIMSydAIMdAFzzNISdMMF)(1zzszzbISFbISdxdM1A Zyy由剪應(yīng)力互等定理可知由剪應(yīng)力互等定理可知bISFzzssFMhdMM ssdFF dx注意：注意：Fs為橫截面的剪力；為橫截面的剪力；Iz 為整個橫截為整個橫截面對面對 z 軸的慣性矩；軸的慣性矩；b為所求點對應(yīng)位置為所求點對應(yīng)位置截面的寬度；截面的寬度； 為所求點對應(yīng)

42、位置以外為所求點對應(yīng)位置以外的面積對的面積對Z軸的靜矩。軸的靜矩。*zS5 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩3 3、矩形截面剪應(yīng)力的分布：、矩形截面剪應(yīng)力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz bISFzzs zyhbBsF)2(*yhbA*cymaxsF11 沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2) 同一橫截面上的最大切應(yīng)力同一橫截面上的最大切應(yīng)力 max在中性軸處在中性軸處( y=0 )；(3)上下邊緣處上下邊緣處（y=h/2)，切應(yīng)力為零切應(yīng)力為零。二、非矩形截面梁二、非矩形截面梁圓截面梁圓截面梁切應(yīng)力的分布特征：切應(yīng)力的分

43、布特征： 邊緣各點切應(yīng)力的方向與圓周相切；邊緣各點切應(yīng)力的方向與圓周相切；切切應(yīng)力分布與應(yīng)力分布與 y 軸對稱；與軸對稱；與 y軸相交各點處軸相交各點處的切應(yīng)力其方向與的切應(yīng)力其方向與y軸一致。軸一致。)(*SybISFzzy關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：1 1、離中性軸為任意距離、離中性軸為任意距離y的水平直線段上各的水平直線段上各點處的切應(yīng)力匯交于一點點處的切應(yīng)力匯交于一點 ；2 2、這些切應(yīng)力沿、這些切應(yīng)力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿寬度相沿寬度相等。等。zyOmaxkkOd最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 max 在中性軸處在中性軸處dISFzz*SmaxAFdF34434S2SddddF643242142SzyOmaxkkOdyzOC2d /3三、薄壁環(huán)形截面梁三、薄壁環(huán)形截面梁 薄壁環(huán)形截面梁彎曲切應(yīng)力的分布特薄壁環(huán)形截面梁彎曲切應(yīng)力的分布特征：征：(1) (1) d h 時，時， max max四、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件四、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 一般一般 maxmax發(fā)生在發(fā)生在FSmax所在截面的中性軸處。不計擠壓，所在截面的中性軸處。不計擠壓，則則 maxmax所在點處于所在點處于純剪切應(yīng)力純剪切應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 max bISFzz*maxmaxS材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力材料在橫力彎曲時的