(完整版)離散型隨機(jī)變量的分布列專項(xiàng)測(cè)試題-學(xué)生版

1、離散型隨機(jī)變量的分布列專項(xiàng)測(cè)試題1 . (2015常熟二模)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P3315而W則X的數(shù)學(xué)期望E(X) = ()A.' B. 2C.2 D. 3思路分析：利用公式E(X) XiPi X2 P2XnPn求解即可。小結(jié)：E(X) XiPi X2P2XnPn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2 .同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，隨機(jī)變量E= 1表示結(jié)果中有正面向上， E= 0表示結(jié)果中沒有正面向上，則E(9 = ()1 1c3A.B. 2C.4 D- 1思路分析：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣會(huì)出現(xiàn)四種等可能的結(jié)果：正正，正反，反正，

2、反反，其中沒有正面向上的有一種結(jié)果所以概率為 ：，則有正面向上的概率為 3,寫出分布列利用公式求期望。44小結(jié)：正確理解隨機(jī)變量表示的意義，搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各種情形并 求概率，熟練掌握期望公式。3.(2015浙江聯(lián)考)甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門數(shù)為E,則EE為()A. 1B, 1.5 C. 2D, 2.5思路分析：E可取0,1,2,3。需注意0表示所選課程都不相同，為平均分組然后排序的問題。另外E= 2所包含的情況較多，可以用間接法。小結(jié)：平均分組問題是排列組合的難點(diǎn)，經(jīng)常與分布列綜合考察，需要認(rèn)真分析是否有

3、順序。利用分布列的性質(zhì)nPi=1可利用間接法求某一個(gè)概率。i 14 .已知隨機(jī)變量 葉8,若士B(10,0.6),則E(, D(力分別是()A. 6 和 2.4B. 2 和 2.4C. 2 和 5.6D. 6 和 5.6思路分析：利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)， 若 B(n, p),則EFnp,D e=np(1-p),由 8-可得E(力=E(8 %D(=D(8 一機(jī) 利用公式 E(aX+b)=aE(X)+b(a, b 為常數(shù)).D(aX+ b)=a2D(X)(a, b 為常數(shù)).小結(jié)：已知隨機(jī)變量 七的均值、方差，求 七的線性函數(shù) 4=a己+ b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用 七的均值、 方差的性質(zhì)求解；

4、常用 公式E(aX+b)=aE(X)+b(a, b為常數(shù)).D(aX+ b)= a2D(X)(a, b為常數(shù))需熟記.第3頁共8 頁5 .已知拋物線 y=ax2+bx+c（aw。）的對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè)，其中 a, b, cC 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,在這 些拋物線中，記隨機(jī)變量X為“|ab|的取值”，則X的數(shù)學(xué)期望£（不為（）8 A.9思路分析:1對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)即a與b同號(hào)正負(fù)都有3種選擇，正確確定X的可能取值0, 1, 2,并準(zhǔn)確求其概小結(jié)：利用拋物線的特點(diǎn)求出所有可能的情況，搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各 種情形并求概率，利用公式

5、求期望。填空題：6 .設(shè)隨機(jī)變量 X的概率分布列如下表所示:X012Pa1316F（x）=P（XWx）,則當(dāng)x的取值范圍是1,2）時(shí)，F(xiàn)（x）=思路分析：分布列中各項(xiàng)I率值和為1,從而求a.x的取值范圍是1,2）需求。和1對(duì)應(yīng)的概率之和。小結(jié)：本題的解題關(guān)鍵是離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)。7 .（改編題）有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取 3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則 DX1思路分析：由題意可知本題符合二項(xiàng)分布XB（3, 4）,利用公式即可。小結(jié)：明確二項(xiàng)分布的概念抓住三個(gè)特性：（1）每次試驗(yàn)只有兩類對(duì)應(yīng)的結(jié)果；（2） n次相同事件相互獨(dú)立（獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）；（3）每次試驗(yàn)的某

6、一結(jié)果的概率是恒定的。c8 .改改編題）設(shè)隨機(jī)變量 七的分布列為P（E=k）=E, k= 1,2,3 ,則E（E） =思路分析：分布列中各項(xiàng)I率值和為1求c的值，從而列出分布列用公式求期望。小結(jié)：熟記離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及期望方差的公式。9 .兩封信隨機(jī)投入 A, B, C三個(gè)空郵箱，則 A郵箱的信件數(shù)X的期望為 .思路分析：總投法種數(shù)是32,A中沒有信只能選擇B和C郵箱；A中僅有一封信：從兩封信選一封投入 A,剩下的一封有兩種選擇；A中有兩封只有一種。/、結(jié)：正確理解隨機(jī)變量表示的意義，搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各種情形并求概率。解答題：10 .公園有甲、

7、乙兩個(gè)相鄰景點(diǎn)，原擬定甲景點(diǎn)內(nèi)有2 個(gè) A 班的同學(xué)和2 個(gè) B 班的同學(xué)；乙景點(diǎn)內(nèi)有2 個(gè) A 班的同學(xué)和3個(gè)B班的同學(xué)，后來由于某種原因，甲、乙兩景點(diǎn)各有一同學(xué)交換景點(diǎn)參觀.求甲景點(diǎn)A班同學(xué)數(shù)E的分布列及期望思路分析：甲景點(diǎn)A班同學(xué)數(shù)E的值 土 1表示甲景點(diǎn)A班的同學(xué)與乙景點(diǎn) B班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀；2表示甲景點(diǎn)A班的同學(xué)與乙景點(diǎn) A班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀或表示甲景點(diǎn)B班的同學(xué)與乙景點(diǎn)B班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀；E=3表示甲景點(diǎn)B班的同學(xué)與乙景點(diǎn) A班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀。小結(jié)： 求離散型隨機(jī)變量X 的期望的步驟為(1)理解 X 的意義，寫出 X 可能取的全部值；(2)搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨

8、機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各種情形并求概率；(3)寫出 X 的分布列；(4)利用公式 E(X)=Xipi+X2P2+ Xnpn求出期望.第3頁共8 頁11. （2015衡中考前模擬）某校為了解15屆高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，對(duì)他們的體重進(jìn)行了測(cè)量，將所得的數(shù)據(jù)整理后， 畫出了頻率分布直方圖 其中第二小組的頻數(shù)為 11.（如圖），已知圖中從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為 1:2:4,第11頁共8 頁（1）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；（2）若以該學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選3人，設(shè)X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù)，求 X的期望與方差。思

9、路分析：先求出后兩組的頻率，利用前 3個(gè)小組的頻率之比為 1:2:4,可以求出第二組的頻率，因?yàn)榈诙〗M的頻數(shù)為11,可以求出總?cè)藬?shù)。第二問體重超過60kg的概率由于“人數(shù)很多”可以用頻率代替，顯然這是二項(xiàng)分布的問題。小結(jié)：第一問屬于統(tǒng)計(jì)問題利用頻率和頻數(shù)求總數(shù)，第二問要正確理解二項(xiàng)分布的概念關(guān)注是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn), 每次試驗(yàn)只有兩類對(duì)應(yīng)的結(jié)果超過60kg和不超過60kg ,每次試驗(yàn)的某一結(jié)果的概率是恒定的。，I，112.某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率是-3設(shè) 為他射擊6次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列；若他連續(xù)射擊6次，設(shè) 為他第一次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求的分布列；若他只有6顆子彈，若他擊中目

10、標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)的分布列。1思路分析：射擊6次擊中目標(biāo)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B 6,1 ;3連續(xù)射擊 6次，第一次擊中目標(biāo)的次數(shù)， k表示前k次未擊中目標(biāo)，而第 k 1次擊中目標(biāo)，的取值為0,123,4,5;若他只有6顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完分兩種情況：k,表示前k 1次未擊中，而第k次擊中，k 1,2,3,4,5；6表示前5次未擊中，第6次可以擊中，也可以未擊中。n小結(jié)：離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個(gè)本質(zhì)特征：Pi>0 (i=1, 2,，n)與 pi=1是驗(yàn)證分布列中數(shù)值是否正確的依據(jù)，此題還需注意書寫的規(guī)范。衛(wèi)的概率分布如下，且 ee= 6

11、.3,則a的值為()4a9P0.50.1b1.已知某一隨機(jī)變量A.5 B. 6C. 7 D. 8n思路分析：利用分布列性質(zhì)pi=1先求b,再利用EE= 6.3求a。i 1小結(jié)：高考要求靈活應(yīng)用分布列的性質(zhì)，期望方差公式解決問題。2. (2015黃山二模)已知隨機(jī)變量X123P0.20.40.4X的分布列為則 E(6X + 8)=()A. 13.2B. 21.2 C. 20.2 D, 22.2思路分析：先求E(X)然后利用公式 E(ax+b)= aE(x)+b(a, b為常數(shù)).小結(jié)：熟記期望方差公式并靈活應(yīng)用。(2015黃山二模)已知隨機(jī)變量 X的分布列為則 E(6X + 8)=()X123P

12、0.20.40.4A. 13.2B. 21.2 C. 20.2 D, 22.2思路分析：先求E(X)然后利用公式 E(ax+b)= aE(x)+b(a, b為常數(shù)).解析：由題意知，E(X) = 1 X 0.2+2X 0.4+ 3X 0.4=2.2,E(6X + 8)= 6E(X) +8=6X2.2+8=21.2.小結(jié)：熟記期望方差公式并靈活應(yīng)用。3.(2015常熟二模)隨機(jī)變量X的分布列為Xxix2x3PP1p2p3若Pi, p2, p3成等差數(shù)列，則公差 d的取值范圍是 思路分析：考察離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足0W pi w 1且p1 + p2+ p3=1。+ pn = 1。小結(jié)：

13、熟記并靈活應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足0W pw 1且p1 + p2+ p3 +4 .若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量 X的概率分布如下表，則 E(X)的最大值為 , D(X)的最大值為 X012P1 2-pp12思路分析：考察離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足OWpiWl且pi + p2+p3+ pn=1 ,先求出p的范圍再代入 E(X)和 D(X)。小結(jié)：熟記并靈活應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足0W pW 1且pi + p2+ p3+ pn = 1。5 .改改編題)一次數(shù)學(xué)摸底考試，某班 60名同學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.若得分90分以上為及格.從該班任取一位同學(xué)，其分?jǐn)?shù)是

14、否及格記為E ,則E的數(shù)學(xué)期望為 .思路分析：本題屬于兩點(diǎn)分布，利用公式求期望。小結(jié)：熟悉不同類型的概率特點(diǎn)并靈活應(yīng)用公式。6 .袋中裝著標(biāo)有數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5的小球各2個(gè).從袋中任取 3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的 9倍計(jì)分,每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量X的分布列；(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率.思路分析：隨機(jī)變量X所有可能的取值為 2, 3, 4, 5;計(jì)分介于20分到40分之間則最大數(shù)字是 3或4.小結(jié)：離散型隨機(jī)變量的分布列問題關(guān)鍵是正確確定隨機(jī)變量的取值并求出相

15、應(yīng)的概率，注意分類討論思想的應(yīng)用。7 .編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào) 1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X.(1)求隨機(jī)變量X的概率分布；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差.思路分析：本題需注意隨機(jī)變量 X的取值X= 0, 1, 3。小結(jié)：求離散型隨機(jī)變量 X的方差的步驟：(1)寫出X的所有取值；(2)計(jì)算RX= Xi);(3)寫出分布列，并求出期望 E(X); (4)由方差的定義求出 D(X) .8 .(2015威海一模)設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有兩個(gè)次品，每次任取一個(gè)，共取 3次，并且每次取出后不再放回.若 以X表示取出次品的個(gè)數(shù)，試求X的均值E

16、(X)和方差D(X).思路分析：“每次取出后不再放回”顯然符合超幾何分布，利用超幾何分布的公式即可。小結(jié)：本題要注意區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布的概念，不能將它們混為一淡.二項(xiàng)分布的背景是“n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”，而超幾何分布的背景為“在含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件”，他們是“重復(fù)”與“不重復(fù)”的區(qū)別.注意題目中“并且每次取出后不再放回”所以，本題中X服從的是超幾何分布.9 在學(xué)校組織的足球比賽中，某班要與其他4 個(gè)班級(jí)各賽一場(chǎng)，在這4 場(chǎng)比賽的任意一場(chǎng)中，此班級(jí)每次勝、負(fù)、平的概率相等已知當(dāng)這 4 場(chǎng)比賽結(jié)束后，該班勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)(1)求該班級(jí)勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)的所有可能的個(gè)數(shù)和；(2)若勝場(chǎng)次數(shù)為X ，求 X 的分布列思路分析： 該班級(jí)勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)的所有可能有四種可能：勝一場(chǎng)，勝兩場(chǎng)，勝三場(chǎng)，勝