經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)第六節(jié)多元函數(shù)的極值配套課件

1、1第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值 條件極值條件極值 乘數(shù)法乘數(shù)法 2學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件及充分條件；掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件及充分條件； 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念；了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念； 掌握多元函數(shù)極值的求法。掌握多元函數(shù)極值的求法。 3一、多元函數(shù)的極值的概念一、多元函數(shù)的極值的概念 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)的點(diǎn)(x,y)，如果都適合，如果都適合f(x,y)f(x

2、0,y0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處有處有極小值極小值。極大值、極小值統(tǒng)稱為。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值。使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)。4二元函數(shù)的極值圖例二元函數(shù)的極值圖例 2234zxy有極小值有極小值 (0,0)0z22zxy 有極大值有極大值 (0,0)0z5zxy在原點(diǎn)沒有極值在原點(diǎn)沒有極值 6極值存在的必要條件極值存在的必要條件 極值存在的必要條件極值存在的必要條件P217定理定理1即即可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)（即駐點(diǎn)（即使各偏導(dǎo)數(shù)均為零的點(diǎn)使各偏導(dǎo)數(shù)均為零的點(diǎn)）。00000000001,0,0,xyzf x

3、 yP xyP xyfxyfxy定理 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在處取得極值，則 證明證明 000,zf x yP xy不妨設(shè)函數(shù)在處取得極小值0000,P xyPP x y則在的某鄰域內(nèi)任何異于點(diǎn) 的其他點(diǎn)00,f x yf xy均有 000,f x yf xy特別有 00,0 xfxy所以有 00,yf x yxx可見一元函數(shù) 在 處取得極小值00,0yfxy同理可證 7極值存在的充分條件極值存在的充分條件 二元函數(shù)極值存在的充分條件二元函數(shù)極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),zfx y在點(diǎn)在點(diǎn)00,xy的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到二階的有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，又00,xy

4、是駐點(diǎn)，記是駐點(diǎn)，記000000,xxxyyyAfxyBfxyCfxy則：（則：（1）當(dāng)）當(dāng)AC-B2 0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)取到極值取到極值，且當(dāng)，且當(dāng)A 0 時(shí)取時(shí)取極小值，當(dāng)極小值，當(dāng)A 0 時(shí)取極大值。時(shí)取極大值。（2）當(dāng)）當(dāng)AC-B2 0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)取不到極值取不到極值。（3）當(dāng)）當(dāng)AC-B2 = 0 時(shí)，函數(shù)可能時(shí)，函數(shù)可能取到取到也可能也可能取不到取不到極值。極值。求極值的一般步驟求極值的一般步驟見見P217最后兩行起。最后兩行起。 8例例1 求函數(shù)求函數(shù)3322339zxyxyx的極值。的極值。解解 解方程組解方程組223690360 xyzxxzyy 得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)：1,

5、0 ,1,2 ,3,0 ,3,2求出二階偏導(dǎo)：求出二階偏導(dǎo)：66,0,66xxxyyyAzxBzCzy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處，處，1,020, 0ACBA且且所以所以1,05z 是極小值。是極小值。在點(diǎn)在點(diǎn) 處，處，1,220ACB所以函數(shù)在該點(diǎn)沒有極值。所以函數(shù)在該點(diǎn)沒有極值。在點(diǎn)在點(diǎn) 處，處，3,020ACB所以函數(shù)在該點(diǎn)沒有極值。所以函數(shù)在該點(diǎn)沒有極值。在點(diǎn)在點(diǎn) 處，處，3,220,0ACBA且且所以所以3,231z 是極大值。是極大值。9222224100,2xyzxyzzf x y求由方程所確定的函數(shù)例的極值。1x解法 將方程兩邊同時(shí)對(duì) 求偏導(dǎo)，得22240zzxzxxy將方程兩邊同時(shí)對(duì) 求

6、偏導(dǎo)，得22240zzyzyy12zxxz12zyyz 00zzxy令， 1,1xy 解得 222232212122xzx zzxzxzz又22311122yzxyzxx yzz 10 222232212122yzyzzyzyzz 1, 1所以在點(diǎn)處有2222211,0,22zzzABCxzx yyz 1,12,6xyzz 而當(dāng)時(shí)，由方程解得 或 20,1, 1ACB點(diǎn)是極值點(diǎn)。120,1, 124zAzf 當(dāng)時(shí)，所以為極小值；160,1, 164zAzf 當(dāng)時(shí)，所以為極大值.11222224100,2xyzxyzzf x y求由方程所確定的函數(shù)例的極值。2解法 將方程變形，得22211216

7、xyz2221611zxy22016114xy顯然26z所以26所以函數(shù)有極小值，極大值 .12最最 值值 問問 題題 若函數(shù)在某區(qū)域若函數(shù)在某區(qū)域 D 上有最值，那么最值一定是在極值點(diǎn)上有最值，那么最值一定是在極值點(diǎn)或邊界上取得。即在函數(shù)的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)中去尋或邊界上取得。即在函數(shù)的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)中去尋找最值點(diǎn)。找最值點(diǎn)。 在實(shí)際應(yīng)用中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)域在實(shí)際應(yīng)用中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)域 D 的內(nèi)部取得最值，而函數(shù)在的內(nèi)部取得最值，而函數(shù)在 D 內(nèi)又只有內(nèi)又只有唯一的駐點(diǎn)唯一的駐點(diǎn)，則，則可判定函數(shù)在該駐點(diǎn)即取得最值。可判定函數(shù)在該駐點(diǎn)即取得最值。13

8、2222,2143,yf x yxyDx y x求函數(shù)在橢圓域上的最大值和例最小值。解 解方程組,20,20 xyfx yxfx yy ，0 0得駐點(diǎn)， 0,02f而22221144yyxx 在橢圓域的邊界上，有，即 2225 ,123,2244yyf x yyg yy 此時(shí)函數(shù)且 502gyy 令0y 03,22,22ggg 而32.所以函數(shù)在邊界上的最大值為 ，最小值為32.從而函數(shù)在橢圓域上的最大值為 ，最小值為14例例4 要做一個(gè)容積等于要做一個(gè)容積等于 K 的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇 水池的尺寸，方可使它的表面積最小？水池的尺寸，方可使它的表面積最小？x

9、yz22Sxyxzyz解解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x,y,zxyzk22kkxyyx220 xkSyx220ykSxy解方程組：解方程組：得：得：32xyk從而從而3122zk由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)表面積獲得最小值：由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)表面積獲得最小值：323 4Sk則則 xyz=K 15以上問題可以看成是表面積以上問題可以看成是表面積22Sxyxzyz在條件在條件xyzk下的極值（最值）問題下的極值（最值）問題條件極值。條件極值。求求條件極值條件極值的的拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法：例如：求函數(shù)例如：求函數(shù), ,uf x y z滿足條件滿足條件 的極值。的極值。

10、, ,0 x y z作函數(shù)：作函數(shù)：, , , , ,F x y zf x y zx y z其中其中 是常數(shù)，稱為是常數(shù)，稱為拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù)。（拉格朗日函數(shù)）（拉格朗日函數(shù)）解方程組：解方程組：, ,0 xFx y z , ,0yFx y z , ,0zFx y z , ,0Fx y z所得點(diǎn)所得點(diǎn), ,x y z是是可能的極值點(diǎn)?？赡艿臉O值點(diǎn)。16例例4 要做一個(gè)容積等于要做一個(gè)容積等于 K 的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇 水池的尺寸，方可使它的表面積最小？水池的尺寸，方可使它的表面積最小？xyz22Sxyxzyz解解 表面積表面積得：得：32 ,xyk3

11、122zk由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)表面積獲得最小值：由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)表面積獲得最小值：323 4Skxyzk約束條件：約束條件：令：令：, , ,22F x y zxyxzyzxyzk解方程組：解方程組：, ,20 xFx y zyzyz, ,20yFx y zxzxz, ,220zFx y zxyxyxyzk17例例5 拋物面拋物面 被平面被平面 截成一橢圓，求截成一橢圓，求 原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)、最短距離。原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)、最短距離。22zxy1xyz解解 設(shè)所求的點(diǎn)為設(shè)所求的點(diǎn)為 , ,x y z222dxyz則所求的距離為，2222 dxyz即22222, , 1 f x y zxyzzxyxyz問題即為求函數(shù) 滿足條件和的最大值和最小值22222 , , , ,1L x y zxyzzxyxyz 令2222022020010 xyzLxxLyyLzLzxyLxyz 解方程組181313,222323xyxyzz 解得或22 95 3,95 3dd對(duì)應(yīng)地有或由實(shí)際問題可知，最大、最小距離一定存在95 395 3所以原點(diǎn)到橢圓的最大距離為，最小距離為19Brie