等價無窮小量的比較與應用ppt課件

1、微積分微積分I I老師：陳新宏老師：陳新宏單位：數(shù)學與計算科學學院單位：數(shù)學與計算科學學院1 1、無窮小量、無窮小量2 2、無窮大量、無窮大量3 3、無窮小量的比較、無窮小量的比較4 4、等價無窮小量的替換、等價無窮小量的替換2 2、5 5 無窮小的比較與應用無窮小的比較與應用復習：兩個重要極限復習：兩個重要極限公式公式1 1、. 1sinlim 0 xxx變形變形. 11sinlim xxx類似：類似：. 0sinlim xxx及及. 01sinlim 0 xxx特點特點 sin.2001上下一致上下一致類型類型證明：用夾逼定理或無窮小的性質(zhì)證明：用夾逼定理或無窮小的性質(zhì)注意注意要看清楚是要

2、看清楚是sin0sinorexlimxx 11e)x(limxx 1012.內(nèi)外倒數(shù)內(nèi)外倒數(shù)特點特點形式1.1變形公式公式2 2、類似：類似：011lim0 xxx及及0)1 (lim1xxx注意注意要看清楚是要看清楚是01or一、無窮小量一、無窮小量1 1、定義、定義1 1例如例如:(1) :(1) ) 1(lim1xx, 0所以所以1x為為1x時的無窮小量時的無窮小量. .nn1lim).2(, 0所以所以n1為為n時的無窮小量時的無窮小量. .（1 1無窮小量是一個變量無窮小量是一個變量. . 不要與很小的數(shù)混淆不要與很小的數(shù)混淆. .注意注意極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小。極限

3、為零的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小。（2 2無窮小量必須要指明相應的極限過程。無窮小量必須要指明相應的極限過程。2 2、無窮小的性質(zhì)、無窮小的性質(zhì)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小. . 無窮小量與有界變量的乘積是無窮小無窮小量與有界變量的乘積是無窮小. .例如,xxx2sinlim).1 (xxx1coslim).2(02arctanlim).3(xxxxxx2sin1lim. 0. 0 xxxarctan1lim2. 0有限個無窮小的乘積仍為無窮小有限個無窮小的乘積仍為無窮小. .性質(zhì)性質(zhì)1.1.性質(zhì)性質(zhì)2.2.性質(zhì)性質(zhì)3.3.xxxxxsin3214324lim

4、12例解解014324lim2xxxx5sin32x且0sin3214324lim2xxxxx練習一下練習一下xxxxxxxsin3cos214352lim253例定理定理 1A)x(flim)x(xx 000 )x(xxlim,A)x(f Aylim 0 lim,Ay 無窮小與無窮小與 極限的關系極限的關系二、無窮大量二、無窮大量定義定義2 2記作記作: : ylim （1 1無窮大量是一個變量無窮大量是一個變量, ,不要與很大的數(shù)混淆不要與很大的數(shù)混淆. .注意注意例如例如. . xlimx10 （2 2無窮大量必須指明極限過程。無窮大量必須指明極限過程。 （3 3無窮大量與無窮小量的關系

5、。無窮大量與無窮小量的關系。極限為極限為 的變量稱為無窮大量，簡稱無窮大。的變量稱為無窮大量，簡稱無窮大。所以所以x1為為0 x時的無窮大量時的無窮大量. .思考題：思考題：無窮大量有沒有與無窮小量類似的性質(zhì)？無窮大量有沒有與無窮小量類似的性質(zhì)？三、無窮小量階的比較三、無窮小量階的比較20 xxsinlimxxxsinlimx0.,0 的的無無窮窮小小是是在在同同一一個個極極限限過過程程中中、設設xsin,x,x,x230 x當當時，時，都是無窮小都是無窮小. .xxx3lim 20而而0 1 定義定義3 3,lim0 1)1)假設假設則稱則稱是比是比高階的無窮小高階的無窮小, , ;o 記作

6、記作,lim 2)2)假設假設則稱則稱是比是比低階的無窮小低階的無窮小; ;,clim0 3)3)假設假設則稱則稱與與是同階無窮小是同階無窮小; ;,lim1 4)4)假設假設則稱則稱與與是等價無窮小是等價無窮小, ,. 記作記作xxlimx3031 ,11lim22nnn , 034lim1230 xxx解解: :2334xox 所以所以0 x時時, ,.11,2低階的無窮小是比時當nnn , 8416lim324xxx所以所以4x時時, ,162x與與4x是同階無窮小是同階無窮小 , 1111lim40nnx.111nnn例例3 3、判斷下列無窮小的階、判斷下列無窮小的階: :)0(3 ,

7、4) 1 (23xxx)(1,1)2(2nnn)4(4,16)3(2xxx.11,1)4(nnn 注意：等價與注意：等價與相等不一樣相等不一樣xx sin,0時當 xxx tan22cos1xxxx 1lnxex1記住記住xx arctanxx arcsin常見的等價無窮小量有常見的等價無窮小量有四、等價無窮小量的替換四、等價無窮小量的替換則有且時的無窮小量均為若，ax，1111axlim11limax注意注意1111limaxaxlim11limax證明：證明：例例4 4求求xxx3tan5sinlim0解解xxxx33tan55sin3535lim0 xxx原式例例5 5 求求30sint

8、anlimxxxx解解xxxxsintan0lim30 xxxx原式錯誤錯誤正確做法：正確做法：30sintanlimxxxxxxxxxcoscos1sinlim30 xx sin22cos1xx21coslim3202xxxxx原式21cosxaxba0 x求常數(shù)求常數(shù)ba,例例6 6、已知當、已知當 時，時，解解知由0coslim0 xbax0baab即201coslimxaxbax又201cos1limxaxax222101limxaxax112aa知知2a從而從而2b練習一下練習一下例例7 7 求求xxxxarctan31sincoslim0提高題目提高題目例例8 8 知知1132xxxy那么，那么， 為無窮小為無窮小量量x那么，那么， 為無窮大為無窮大量量x要要 求求(1)(1)知道無窮小量與無窮大量知道無窮小量與無窮大量(2)(2)熟記簡單的等價無窮小量熟記簡單的等價無窮小量兩條經(jīng)驗兩條經(jīng)驗(1).(1).一條性質(zhì)：無窮小量乘以有界變量還是無窮小量一條性質(zhì)：無窮小量乘以有界變量還是無窮小量(2).(2).無窮小量的替換只能用在乘除不能用在加減無窮小量的替換只能用在乘除不能用在加減求極限的方法總結(jié)求極限的方法總結(jié)x102xx4 4、