自動(dòng)控制魯棒控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與仿真

1、第第6章章 魯棒控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)魯棒控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與仿真輔助設(shè)計(jì)與仿真 6.1 魯棒控制工具箱介紹魯棒控制工具箱介紹6.2 魯棒控制系統(tǒng)概述魯棒控制系統(tǒng)概述6.3 魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法6.4 魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例6.1 魯棒控制工具箱介紹魯棒控制工具箱介紹 6.1.1 魯棒控制工具箱簡(jiǎn)介 魯棒控制理論是近年來現(xiàn)代控制理論研究的熱點(diǎn)和前沿課題。 我們知道, 在對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)前一般首先需要對(duì)被研究的對(duì)象進(jìn)行建模, 系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)一般是在理想模型的情況下完成的。 MATLAB提供的魯棒控制系統(tǒng)工具箱（Robost Control To

2、olbox）提供了多變量線性魯棒控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的函數(shù)和工具。 研究對(duì)象包括存在建模誤差、 系統(tǒng)參數(shù)不確定或動(dòng)態(tài)特性不能完全確定的系統(tǒng)。 工具箱提供的功能強(qiáng)大的算法函數(shù)可以幫助用戶快速完成魯棒控制系統(tǒng)（主要是線性系統(tǒng)）的復(fù)雜計(jì)算和設(shè)計(jì)工作。 借助魯棒控制系統(tǒng)工具箱, 我們可以完成的工作包括： 1) 魯棒多變量控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 魯棒控制系統(tǒng)工具箱（Robost Control Toolbox）是建立在控制系統(tǒng)工具箱（Control System Toolbox）的基礎(chǔ)上的, 為用戶提供了更為先進(jìn)的控制算法。 它在現(xiàn)代控制理論與實(shí)際控制工程之間建立了一座橋梁。 該工具箱包括一系列有關(guān)魯棒多變量控制設(shè)

3、計(jì)方法的實(shí)現(xiàn)算法, 其研究的重點(diǎn)為多變量頻率響應(yīng)的奇異值和多變量Bode圖的分析和繪制。 2) 魯棒性分析 系統(tǒng)的不確定性因素具體有外界噪聲/干擾信號(hào)、 傳遞函數(shù)的建模誤差以及未建模的非線性動(dòng)態(tài)特性。 魯棒控制系統(tǒng)工具箱可以讓用戶找到系統(tǒng)在這些不確定性條件下的多變量穩(wěn)定裕度的度量。 使用的方法包括： 最優(yōu)對(duì)角縮放、 Perron特征向量對(duì)角縮放和奇異值方法等。 3) 魯棒性系統(tǒng)綜合 經(jīng)典或現(xiàn)代魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)人員通常采用回路設(shè)計(jì)（LoopShaping）的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法來滿足系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。 多變量系統(tǒng)的回路設(shè)計(jì)方法是通過奇異值Bode圖實(shí)現(xiàn)的。 魯棒控制系統(tǒng)工具箱提供了各種SISO或MIMO

4、回路設(shè)計(jì)的方法, 諸如LQR、 LQG、 LQG/LTR、 H2和H等等。 4) 魯棒模型簡(jiǎn)化 有時(shí)根據(jù)魯棒控制理論設(shè)計(jì)出來的魯棒控制器的階數(shù)很高以至于難于實(shí)現(xiàn), 這時(shí)通常需要進(jìn)行控制器的簡(jiǎn)化。 其它模型簡(jiǎn)化的場(chǎng)合還包括系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化以及大規(guī)模系統(tǒng)仿真等等。 一個(gè)良好的模型簡(jiǎn)化算法應(yīng)該同時(shí)具有數(shù)值魯棒性和保持閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性的能力。 魯棒控制系統(tǒng)工具箱提供的模型簡(jiǎn)化算法可以滿足這些要求。 6.1.2 系統(tǒng)的分層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示 在MATLAB的魯棒控制工具箱中使用了一種特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 即分層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（Hierarchical Data Structure）， 來表示所描述的系統(tǒng)對(duì)象。 這使得用戶可以

5、用一個(gè)簡(jiǎn)單的變量來代表所要研究的系統(tǒng)并進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算, 從而很大程度上方便了用戶訪問魯棒控制工具箱中函數(shù)的過程。 這個(gè)變量稱為tree類型的變量。 下面的M文件函數(shù)可以用來創(chuàng)建系統(tǒng)的tree變量： 1） mksys 該函數(shù)可以將代表系統(tǒng)對(duì)象的矩陣封裝到單個(gè)MATLAB變量中。 例如ssg = mksys(ag, bg, cg, dg); TSS = mksys(A, B1, B2, C1, C2, D11, D12, D21, D22, tss); 第一行程序?qū)⒋硐到y(tǒng)狀態(tài)方程的4個(gè)矩陣ag、 bg、 cg和dg統(tǒng)一用ssg來描述； 第二行將二輸入輸出系統(tǒng)（A, B1, B2）的狀態(tài)方程封裝到

6、變量TSS中。 也可以在mksys的最后參數(shù)中指定所要描述系統(tǒng)的類型。 2） branch 該函數(shù)的基本功能是獲取封裝在系統(tǒng)或tree變量中的矩陣信息。 如 D11, C2 = branch(TSS, d11, c2); 從系統(tǒng)TSS中得到矩陣 D11和C2； ag = branch(ssg, a); 從系統(tǒng)狀態(tài)方程ssg中獲取矩陣 ag。 如果想一次得到ssg中所有的矩陣, 可以輸入 ag, bg, cg, dg = branch(ssg); 表 6.1 mksys命令的常見參數(shù) 3） tree 為用戶提供了一個(gè)創(chuàng)建分層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)包括矩陣、 字符串甚至其它tree類型的一般工具。 例如, 如果

7、希望同時(shí)保存二輸入輸出系統(tǒng)(A, B1, B2, )、 控制器(af, bf, cf, df)、頻率響應(yīng)w; sv 以及這個(gè)系統(tǒng)的名稱Aircraft Design Data, 就可以輸入 fr = tree(w, sv, w, sv); DesignData = tree(plant, controller, freq, name, TSS, ssf, fr, Aircraft. Design Data); 圖6.1顯示了tree變量DesignData的層次結(jié)構(gòu)。 圖 6.1 Design Data的層次結(jié)構(gòu) 為了得到tree變量DesignData第一層中的name的變量值, 可以輸入

8、name = branch(DesignData, name) ans = Aircraft Design Data 在Robust Control Toolbox的函數(shù)中, 如果輸入?yún)?shù)包含一個(gè)tree變量, 該函數(shù)能夠自動(dòng)檢查該變量是否代表某個(gè)系統(tǒng)。 如果是, 那么該函數(shù)將自動(dòng)將該輸入變量展開, 用它代表的實(shí)際系統(tǒng)矩陣來替代原來的系統(tǒng)變量作為函數(shù)的輸入?yún)?shù)。 例如, 下面的兩行程序?qū)嶋H上完成相同的計(jì)算功能： hinf(TSS); hinf(A, B1, B2, C1, C2, D11, D12, D21, D22); 6.2 魯棒控制系統(tǒng)概述魯棒控制系統(tǒng)概述 6.2.1 奇異值、 H2和H

9、范數(shù) 假設(shè)矩陣ACmn的秩為r, 將A*A的非負(fù)方根i稱為矩陣A的特征值, 其排列次序?yàn)?2p, p=min(m, n)。 如果rp, 則矩陣A具有p-r個(gè)零奇異值, 即120rrp對(duì)于任何矩陣A, 有*000rAUVUV(6.1) 其中， r=diag(1, 2, , r)。 式（6.1）稱為矩陣A的奇異值分解（SVD）, 其中A的最大奇異值定義為1( )A 如果矩陣A是nn的方陣, 則它的第n個(gè)奇異值, 也就是最小的奇異值， 定義為( )nA奇異值通常具有以下的性質(zhì) (1) ( )max(2) ( )min(3) ( )( )( )x Cx CiAxAxAxAxAAA 這里的i代表矩陣A的

10、第i個(gè)特征值。 11111(4),( ).()1(5),( ).()AAAAAA如果 如果 存在 存在 (6.2) (6.3) 其中屬性1在魯棒控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中很重要。 因?yàn)樵搶傩苑从沉司仃嘇的最大特征值與輸入向量x在所有可能方向上的矩陣增益的最大值之間的關(guān)系。 對(duì)于穩(wěn)定的Laplace變換矩陣G(s)Cmn, p=min(m,n)。 定義G(j)的與頻率相關(guān)的H2和H范數(shù)如下： H2范數(shù)2*1(6) ()( )(7) ()( )( )(8)()niiAAABABTrace A A 1222( ()iGG jd(6.4) H范數(shù) sup( ()GG j(6.5) 6.2.2 標(biāo)準(zhǔn)的魯棒控

11、制問題 魯棒多變量反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題可以簡(jiǎn)單地描述為： 為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制規(guī)律使得系統(tǒng)在環(huán)境或系統(tǒng)本身的不確定性影響下仍然具有指定容許誤差范圍內(nèi)的系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)誤差。 這里的不確定性包括很多方面, 但其中最重要的是指系統(tǒng)的外界干擾（噪聲）信號(hào)和系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建模誤差。 魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)將采用H范數(shù)作為這類不確定性因素的度量。 魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題的一般描述如下： 假定一個(gè)多變量系統(tǒng)P(s), 尋找某個(gè)穩(wěn)定的控制器F(s), 使得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 滿足下面的關(guān)系： i iy uT111()()inf ( )|det() )0(,)i ii ii iMy uMy uy unKTjKTITdia

12、g (6.6) 這個(gè)過程可以用圖6.2來說明。 式（6.6）稱為魯棒條件。 KM稱為最小不確定性的大小, 由每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的奇異值來度量。 函數(shù)KM又稱為對(duì)角擾動(dòng)的多變量穩(wěn)定裕度（MSM）, 它的倒數(shù)用表示, 即1MK(6.7) 圖 6.2 標(biāo)準(zhǔn)魯棒控制問題的方框圖 如果n不存在, 該問題又被稱為魯棒鎮(zhèn)定問題（Robust stability problem）。 上述問題的求解涉及到的非凸優(yōu)化問題, 它不能通過標(biāo)準(zhǔn)的非線性梯度下降方法計(jì)算得到, 因?yàn)榇藭r(shí)的算法收斂性無(wú)法保證。 然而由于存在上界, 可以通過下式計(jì)算KM： 111()inf()i ii ii ii iy uy upy upMy uT

13、DTDD TDKT 其中, DpD為Perron最優(yōu)增益矩陣。 D=diag|(d1I, , dnI)|dj0, 顯然 也是1/KM的上界。 如果這些上界都滿足魯棒條件約束, 那么可以充分保證和KM也滿足魯棒條件約束。 i iy uT 6.2.3 結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)不確定性 實(shí)際上每一個(gè)i(i=1, , n)自身都是矩陣并且代表不同種類的物理不確定性因素。 在魯棒控制中, 這些不確定因素分為結(jié)構(gòu)不確定性和非結(jié)構(gòu)不確定性。非結(jié)構(gòu)不確定性代表與系統(tǒng)頻率無(wú)關(guān)的項(xiàng)。 例如, 驅(qū)動(dòng)器的飽和特性、高頻段的非建模誤差或者低頻段的系統(tǒng)擾動(dòng)等等。 它們與正常系統(tǒng)模型的關(guān)系可以表示為()AMGGGIG (6.8) (6

14、.9) 或者寫成相乘的形式 圖 6.3 非結(jié)構(gòu)不確定性的加法與乘法表示 結(jié)構(gòu)不確定性代表系統(tǒng)模型中的參數(shù)變化, 例如系統(tǒng)傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)位置的變化， 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣中系統(tǒng)矩陣的變化， 以及指定回路增益的變化等等。 MATLAB的魯棒控制系統(tǒng)工具箱允許用戶對(duì)結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)不確定性進(jìn)行建模, 并將它們考慮進(jìn)控制器的設(shè)計(jì)過程中。 提供的各種函數(shù)和工具可以完成系統(tǒng)的魯棒分析和魯棒控制器的設(shè)計(jì)。 6.2.4 魯棒控制分析 魯棒分析的目的是通過某種適當(dāng)?shù)姆潜Ｊ胤治鏊惴▉怼坝^察”MSM矩陣。 換句話說, 我們將找出系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)下不確定性的上界。 其基本步驟包括： (1) 定義不確定性模型。 (2) 將不確定

15、輸入（包括結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)不確定性因素）寫成圖6.4所示的M-形式。 圖 6.4 例 6.1 對(duì)非結(jié)構(gòu)不確定性進(jìn)行建模。 下面的傳遞函數(shù)代表某架飛機(jī)的動(dòng)態(tài)特性。 221( )(2)G sss 如果正常的模型為 , 則 2( )1/G ss212221121( )()(2)1()( )()2AMsGGM sF IFGsssGG GM sGF IGFs 圖 6.5 加法和乘法表示的不確定性的Bode圖 例 6.2 結(jié)構(gòu)不確定性的建模。 下面將討論如何從狀態(tài)空間的A和B矩陣中提取系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定。 假定飛機(jī)的狀態(tài)空間模型表示為： 其中, (p, r, , a, r)的初始導(dǎo)數(shù)定義為22()()xxxxx

16、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxII ILLNII IIII INNLII II系統(tǒng)狀態(tài)矩陣包括111.99530.75130.02990.09060.02981.00930.15180.00600.00240.020439.8500331.900.16730.02040.2284000.17110056.89276.7840000ABCD 圖 6.6 對(duì)參數(shù)不確定性的表示 由模塊框圖得到的狀態(tài)方程為 1 122111 12221xAxBuB yyC xDuyC xD u 從而得到干擾情況下的狀態(tài)方程為 221221()()xABCxBBD u222101010101001010

17、10101000000000011000000000011000000000011000000000011000000000011BCD 整個(gè)系統(tǒng)模型可以寫成121122( )00ABBP sCDCD 使用線性分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換函數(shù)lftf, 可以獲得系統(tǒng)u1到y(tǒng)1的閉環(huán)控制反饋回路F(s)。 從系統(tǒng)u2到y(tǒng)2的傳遞函數(shù)是M(s)。 6.2.5 系統(tǒng)魯棒分析 基于SandbergZames的小增益定理可以推出下面的標(biāo)準(zhǔn)奇異值穩(wěn)定魯棒性定理： 對(duì)于一個(gè)M-表示的系統(tǒng), 如果對(duì)于任意的穩(wěn)定(s)滿足1( ()()jM j(6.10) 其中, 為滿足R, 或者 的任意數(shù), 則可以斷定該M-系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 1(

18、)M j 下面來介紹多變量穩(wěn)定裕度（Multivariable Stability Margin， 簡(jiǎn)稱MSM）的概念： 1()inf ( )|det()00()MKMIMM其中, =diag(1, , n)。 KM與具有以下的性質(zhì)： (1) KM是使得系統(tǒng) 不穩(wěn)定的最小 (2) 如果不存在滿足det(I-M)=0, 則KM=。(3) KM是M和結(jié)構(gòu)的函數(shù)。(4) 對(duì)于任意的標(biāo)量, 有(M)=|(M)。(5) 設(shè)為譜半徑, 則(M)(M) (M)。(6) 如果=I, C, 則(M)= (M)。 1()IM( ) (7) 如果 為滿秩矩陣則 。 (8) 推廣的小增益定理： 如果M(s)是穩(wěn)定的,

19、 并且對(duì)于所有穩(wěn)定的i滿足i1, 則受擾系統(tǒng) (I-M)-1穩(wěn)定的充分必要條件為對(duì)于任意的R, 滿足KM(M(j)1。 m nC ()()MM 1981年, Safonov提出一種對(duì)角縮放的方法來計(jì)算MSM的上界, 如圖6.7所示。 其基本思想是： 如果 和D是對(duì)角矩陣, =D-1 D, 而 DMD-1可能比M小得多, 那么可以得到下面表示的KM的上界111()infpppDDMMDMDD MDK(6.11) 圖 6.7 對(duì)角縮放的概念 其中的DpD代表Perron最優(yōu)縮放矩陣, D=diag(d1I, , dnI)|dj0。 很明顯, 無(wú)縮放的奇異值穩(wěn)定魯棒性定理使用KM最保守的上界來預(yù)測(cè)M

20、SM, 而經(jīng)過縮放的奇異值可能比前者準(zhǔn)確得多。 魯棒控制工具箱為用戶提供了許多函數(shù)， 以用于計(jì)算多變量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值（SSV）1/KM( )的各種上界值： (1) 奇異值： sigma和dsigma。 (2) Perron對(duì)角縮放： psv和ssv。1iy uT (3) Osborne對(duì)角縮放： osborne和ssv。 (4) 乘法縮放： muopt和ssv。 (5) 特征增益曲線： cgloci和dcgloci。 下面通過具體的例子來說明, 當(dāng)我們知道更多關(guān)于 的信息后, 仍然采用奇異值進(jìn)行魯棒性分析可能會(huì)過于保守。 例 6.3 假定某個(gè)系統(tǒng)具有下面的傳遞函數(shù)2243201( )1264

21、8321232sG ssssss 在其輸入端具有相乘形式描述的不確定性 , 試確定傳遞函數(shù) G(I+G)-1的SSV。 解： 具體的計(jì)算程序?yàn)椋?num = 0 4 32; 12 64 0; 0 0 0; 0 8 32; den = 1 12 32; m = 2; n = 2;tfm = mksys(num, den, m, n, tfm); % 用分層的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示該系統(tǒng)ssg = tfm2ss(tfm); % 轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式w = logspace(-3, 3); perron = 20*log10(ssv(ssg, w); % 使用Perron特征值方法計(jì)算SSVsvmax=10*l

22、og10(max(sigma(ssg, w); % 直接計(jì)算最大的奇異值semilogx(w, svmax, k:, w, perron, k-) % 繪制二者的比較曲線ylabel(DB); xlabel(Rad/Sec);legend(Singular Value, Perron, 3) 最后得到如圖6.8所示的計(jì)算結(jié)果。 圖 6.8 Perron上界與奇異值的比較 6.3 魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法 6.3.1 概述 目前發(fā)展起來的H理論、 頻率加權(quán)LQG方法、 LQG回路傳遞恢復(fù)（LQG/LTR）和綜合理論可以用來進(jìn)行魯棒控制器設(shè)計(jì)。 其中, H理論為魯棒控制器提供了

23、直觀、 可靠的設(shè)計(jì)過程, 它能最優(yōu)地滿足奇異值回路的要求； 頻率加權(quán)LQG最優(yōu)綜合理論（又稱為H2理論或WienerHopf理論）和LQG/LTR的設(shè)計(jì)方法雖然不是很直觀, 但提供了一種迭代方法來調(diào)整奇異值Bode圖曲線以滿足奇異值回路的整定要求； 而綜合理論在整定函數(shù)（或KM）時(shí)同時(shí)考慮魯棒分析和魯棒綜合問題, 作為魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具為用戶提供了最大的靈活性。 表6.2列舉了以上所列方法各自的優(yōu)缺點(diǎn)。 Robust Control Toolbox中包含了多種設(shè)計(jì)魯棒穩(wěn)定反饋控制規(guī)律的方法, 使系統(tǒng)滿足魯棒約束的要求 ： (1) LQG回路傳遞恢復(fù)（相關(guān)命令lqr、 ltru和ltry）。

24、(2) H2最優(yōu)控制綜合（相關(guān)命令h2lqg）。 (3) H最優(yōu)控制綜合（相關(guān)命令hinf、 hinfopt和linf）。 圖6.9是滿足 求解過程的示意圖, 該問題也被稱為小增益問題。 1i iy uT1i iy uT圖6.9 小增益問題 表 6.2 各種魯棒控制設(shè)計(jì)方法的比較 6.3.2 H2和H設(shè)計(jì)方法 H2和H綜合方法是專門用于滿足奇異值設(shè)計(jì)要求的魯棒多變量反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的強(qiáng)有力的工具。 MATLAB的魯棒控制工具箱函數(shù)h2lqg、 hinf和hinfopt用來計(jì)算連續(xù)系統(tǒng)H2和H控制規(guī)律, 對(duì)于離散系統(tǒng)情況則可以使用dh2lqg、 dhinf和dhinfopt函數(shù)。 H2或H設(shè)計(jì)問

25、題可以簡(jiǎn)單地描述為： 給定系統(tǒng)對(duì)象P(s)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) 121111222122( )ABBP sCDDCDD 尋找一個(gè)穩(wěn)定的反饋控制規(guī)律 u2(s)=F(s)y2(s)使得閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的范數(shù)最小1 1111122221( )( )( )( )( )( )y uTPsPsIF s PsF s Ps上述三個(gè)問題在Robust Control Toolbox中體現(xiàn)為(1) H2最優(yōu)控制： 。(2) H最優(yōu)控制： 。(3) 標(biāo)準(zhǔn)的H控制： 。 2mini iy uTmini iy uT2min(1)i iy uT 其中, 標(biāo)準(zhǔn)的H控制問題也被稱為H小增益問題。 在實(shí)際運(yùn)用中, H2和H綜合方法

26、常常是結(jié)合起來使用的。 首先使用H2綜合理論進(jìn)行系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì), 然后根據(jù)初步設(shè)計(jì)得出的結(jié)果選擇合適的H準(zhǔn)則, 最后運(yùn)用H綜合理論完成最后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)。 整個(gè)過程可以通過所謂的單參數(shù)迭代方法來具體實(shí)現(xiàn)。 H控制器具有以下重要的特性： (1) H最優(yōu)控制中的代價(jià)函數(shù) 滿足 。 (2) 由hinf計(jì)算得到的H次最優(yōu)控制器與增廣系統(tǒng)（n個(gè)狀態(tài)）具有相同數(shù)目的狀態(tài)變量。 而由諸如hinfopt命令產(chǎn)生的H最優(yōu)控制器最多只有n-1個(gè)狀態(tài)。 1 1y uT1 1()1,y uTR 6.3.3 奇異值回路設(shè)計(jì)： 混合靈敏方法 下面我們考慮圖6.10所示的多變量反饋系統(tǒng)。 為了度量該系統(tǒng)的多變量穩(wěn)定裕度和系統(tǒng)動(dòng)

27、態(tài)屬性, 可以使用從r分別到系統(tǒng)三個(gè)輸出e、 u和y的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的奇異值, 即 111( )( )( )( )( )( )( )( )( )defdefdefS sIL sR sF s IL sT sL s IL sIS s(6.12)(6.13) (6.14) 其中, L(s)=G(s)F(s)。 圖 6.10 多變量反饋控制系統(tǒng)示意圖 其中的矩陣S(s)和T(s)分別稱為靈敏函數(shù)和輔助靈敏函數(shù)。上述三個(gè)傳遞函數(shù)矩陣R(s)、 S(s)和T(s)在魯棒多變量控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中具有重要的作用。 回路傳遞函數(shù)矩陣L(s)的奇異值也很重要, 因?yàn)樗鼪Q定了矩陣S(s)和T(s)。 實(shí)際上S(s)是

28、從干擾d到系統(tǒng)輸出y的閉環(huán)傳遞函數(shù)（參考圖6.10）, 因此S(j)的奇異值決定了擾動(dòng)的衰減動(dòng)態(tài)特性11( ()()S jWj(6.15) 其中, |W-11(j)|是期望的擾動(dòng)衰減因子。 將擾動(dòng)衰減因子定義為頻率的函數(shù), 是希望在系統(tǒng)不同頻段定義不同的擾動(dòng)衰減因子。 在分別存在可加性系統(tǒng)擾動(dòng)A和可乘性擾動(dòng)M的情況下, R(s)和T(s)的奇異值Bode圖可以用來度量多變量反饋設(shè)計(jì)中的穩(wěn)定裕度, 如圖6.11所示。 圖 6.11 可加性和可乘性不確定性干擾 魯棒定理1： 假定如圖6.11所示的系統(tǒng)是穩(wěn)定的, 不確定性A和M的初始狀態(tài)為零, 定義A=0, 則系統(tǒng)失去穩(wěn)定前最小穩(wěn)定M(s)的大小為

29、1()( ()MjT j(6.16) 我們可以對(duì)可加性不確定性A作同樣的分析, 并且得到A(s)與R(s)的類似結(jié)果。 魯棒定理2： 假定如圖6.11所示的系統(tǒng)是穩(wěn)定的, 不確定性A和M的初始狀態(tài)為零, 定義M=0, 則系統(tǒng)失去穩(wěn)定前最小穩(wěn)定A(s)的大小為1()( ()AjR j(6.17) 下面可以通過如下的奇異值不等式定義穩(wěn)定裕度： 1213( ()()( ()()R jWjT jWj 其中, |W2(j)|和|W3(j)|分別是系統(tǒng)最大可加性和可乘性擾動(dòng)的預(yù)期大小。 通常我們將系統(tǒng)所有不確定性因素的影響都寫成系統(tǒng)虛擬的可乘性擾動(dòng)M的形式。 這樣, 魯棒控制器的設(shè)計(jì)要求可以寫成（如圖6.

30、12所示） 1131() ,( ()()( ()iiWjT jWjS j 有趣的現(xiàn)象是圖6.12的上半部分（0 dB線以上）滿足1( ()( ()( ()( ()L jT jL jT j而圖下半部分（0 dB線以下）滿足 這是因?yàn)?11( )( )( ) ,( ( )1( )( )( )( ),( ( )1defdefS sIL sL sL sT sL s IL sL sL s 圖6.12顯示可以將i(L(j)的約束邊界所代表的擾動(dòng)衰減和可乘性穩(wěn)定裕度作為奇異值回路的設(shè)計(jì)要求。 在選擇權(quán)重W1和W2時(shí)需注意, 0 dB線與W1的Bode圖頻率的交叉點(diǎn)必須位于0 dB線與W2的Bode圖頻率的交

31、叉點(diǎn)以下。 也就是說, 必須滿足1113()()1WjWj圖 6.12 S和T的奇異值 魯棒控制系統(tǒng)的混合靈敏設(shè)計(jì)方法是一種進(jìn)行多變量回路設(shè)計(jì)的直接有效的方法, 盡管它只是標(biāo)準(zhǔn)魯棒控制問題中的一種特殊情況。 在混合靈敏問題中, 擾動(dòng)衰減的期望特性和穩(wěn)定裕度期望值可以寫成下面的統(tǒng)一形式： 1 11 1131y udefy uTWSTWT(6.18) (6.19) 混合靈敏的代價(jià)函數(shù)還具有其它特殊的性質(zhì)。 就魯棒靈敏問題（參考圖6.14）而言, 混合靈敏的代價(jià)函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的魯棒控制問題提供了簡(jiǎn)化得多并且?guī)缀跬耆韧拿枋龇椒ā?可以證明, 如果式（6.18）的條件稍微加強(qiáng)一點(diǎn), 即1 112y uT

32、圖 6.13 混合靈敏設(shè)計(jì)問題 準(zhǔn)魯棒控制問題中的 可以簡(jiǎn)化為下面的形式1 1y uT1 113y uWSTIIWT對(duì)于任意的S(s)和T(s), 可以有1113332WSWSWSuIIWTWTWT圖 6.14 魯棒靈敏性問題 6.3.4 綜合問題 系統(tǒng)綜合問題的目標(biāo)是尋找穩(wěn)定的控制器F(s)和對(duì)角矩陣D(s), 使得1 111y uDTD(6.20) 一個(gè)系統(tǒng)綜合問題可以描述為如圖6.15所示的迭代過程。 （1） 假設(shè)D(s)=I, 使用H控制設(shè)計(jì)方法（hinf.m）將找到一個(gè)使代價(jià)函數(shù) 最小的F(s)。 1 11y uDTD圖 6.15 綜合問題的D-K迭代過程 （2） 固定F(s)不變,

33、 使用ssv命令尋找使代價(jià)函數(shù)最小的對(duì)角矩陣D(s)。 （3） 使用曲線擬合方法（fitd.m）找到第(2)步得到的最優(yōu)矩陣D(s)的低階有理近似描述。 （4） 如果代價(jià)函數(shù)小于1, 則迭代過程停止, 否則回到第(1)步重新執(zhí)行。 綜合問題從本質(zhì)上可以分解為兩個(gè)不同的優(yōu)化問題。 對(duì)于固定的D矩陣, 該問題變成標(biāo)準(zhǔn)的H設(shè)計(jì)問題（通過hinfopt函數(shù)計(jì)算）。 而對(duì)于固定F(s)的情況,該問題就變成尋找一個(gè)穩(wěn)定的D(s)來滿足代價(jià)函數(shù)在每一頻率處的最小性要求（相關(guān)的函數(shù)包括ssv、 psv、 perron和muopt等）。 下面的一段程序?qū)?duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)采用綜合方法進(jìn)行魯棒控制器的設(shè)計(jì)。 % 被

34、研究對(duì)象的系統(tǒng)參數(shù)a=2; b1=.1, -1; b2=-1;c1=1;.01; d11=.1, .2;.01, .01; d12=1; 0;c2=1; d21=0, 1; d22=3;tss=mksys(a, b1, b2, c1, c2, d11, d12, d21, d22, tss);w=logspace(-2, 1);% 進(jìn)行H最優(yōu)設(shè)計(jì)gam0, sscp0, sscl0=hinfopt(tss);mu0, logd0=ssv(sscl0, w);% 綜合的第一次迭代計(jì)算（D為常值矩陣）ssd1, logd1=fitd(logd0, w);gam1, sscp1, sscl1=hin

35、fopt(augd(tss, ssd1);mu1, deltalogd=ssv(sscl1, w);% 綜合的第一次迭代計(jì)算（D為一階矩陣）ssd2, logd2=fitd(logd1+deltalogd, w, 1);gam2, sscp2, sscl2=hinfopt(augd(tss, ssd2); % 顯示計(jì)算的結(jié)果loglog(w, max(sigma(sscl2, w)/gam2, w, ssv(sscl2, w)/gam2); 6.3.5 雙線性變換與魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 在進(jìn)行系統(tǒng)魯棒控制器設(shè)計(jì)的過程中, 雙線性變換bilin.M有時(shí)會(huì)很有用。 使用該命令, 可以消除某些增廣系統(tǒng)中

36、內(nèi)在的病態(tài)性， 利用閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。 在H混合靈敏問題中, 如果增廣系統(tǒng)有虛軸上的極點(diǎn)或零點(diǎn), 如果可以設(shè)計(jì)有效的魯棒控制器, 則該控制器在相應(yīng)的虛軸位置具有臨界穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)。 對(duì)于更為一般的情形, 如果P12(s)和P21(s)具有虛軸零點(diǎn), 包括由于P(s)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的矩陣D12或D21不滿秩而導(dǎo)致的處的零點(diǎn), 也會(huì)發(fā)生類似的問題。 實(shí)際上, 上述問題將會(huì)導(dǎo)致決定H控制器的方程奇異點(diǎn)。 這時(shí),魯棒控制箱函數(shù)hinf和dhinf將會(huì)產(chǎn)生警告消息。 使用雙線性變換可以有效地解決以上問題。 虛軸上的零極點(diǎn)可以通過對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行雙線性變換加以消除, 待控制器設(shè)計(jì)完成后, 再通

37、過逆變換, 就可以得到原來系統(tǒng)的魯棒控制器。 當(dāng)然, 這時(shí)得到的H控制規(guī)律可能是次最優(yōu)解。 通過雙線性變換, H理論也可以用來控制系統(tǒng)的暫態(tài)行為, 如上升時(shí)間、 阻尼比和穩(wěn)定時(shí)間等等。 這點(diǎn)在了解雙線性變換的原理后自然可以明白。 雙線性變換通過下面的方程將s平面上的點(diǎn)映射到 平面： s112spssp(6.21) 其中, p1和p2分別是s左半平面圓周的直徑上的兩個(gè)端點(diǎn), 它被映射到 平面的虛軸。而相應(yīng)的逆變換為 s112spssp (6.22) 圖6.16顯示了雙線性變換條件下A、 B和C在兩個(gè)不同平面上的對(duì)應(yīng)區(qū)域。 從圖中可以看出, 雙線性變換具有如下的特點(diǎn)： (1) s平面上的圓周邊界映

38、射到 平面的虛軸上。 (2) s平面上的虛軸映射到 右半平面上的圓周上。 (3) A、 B和C區(qū)域的點(diǎn)映射到 平面所對(duì)應(yīng)的區(qū)域。 sss圖 6.16 虛軸極點(diǎn)的雙線性變換 雙線性多變量前向和逆變換是變換 的特殊情況, 它可以通過下面的狀態(tài)空間形式來實(shí)現(xiàn)zsz1111()()()()()()bbbbABAIIAIABCDCIADCAB(6.23) 現(xiàn)在如果系統(tǒng)在s平面具有虛軸極點(diǎn), 雙線性變換將這些點(diǎn)映射到 平面上以-(p1+p2)/2為中心的圓周上。 可以證明, 雙線性變換中的p1參數(shù)決定了在s平面上閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)的配置。 使用雙線性變換設(shè)計(jì)魯棒控制器的過程可以歸納如下： s （1） 從系

39、統(tǒng)模型框圖中獨(dú)立出系統(tǒng)的不確定性模塊, 建立H魯棒控制系統(tǒng)框圖。 （2） 通過雙線性變換將s平面上的系統(tǒng)映射到 平面上。 （3） 針對(duì)轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng) 設(shè)計(jì)H魯棒最優(yōu)控制器（即求解 。 （4） 通過雙線性逆變換將設(shè)計(jì)好的控制器 映射回s平面。 （5） 返回步驟(1)迭代計(jì)算雙線性變換的p1參數(shù), 直到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)屬性滿足設(shè)計(jì)要求。 ss( )min()1)F sT j( )F s6.4 魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例 6.4.1 二階系統(tǒng)的經(jīng)典回路設(shè)計(jì)與H綜合 設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)G(s)在20 rad/s處具有0.05的阻尼。 為該系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Bode圖如圖6.17所示。 在

40、50 rad/s以下, 我們希望補(bǔ)償器的回路傳遞函數(shù)奇異值位于實(shí)線以上, 以使系統(tǒng)具有良好的干擾收斂性。 在200 rad/s以下, 我們則希望補(bǔ)償器的回路傳遞函數(shù)奇異值位于實(shí)線以下, 以使系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)定裕度。 圖 6.17 系統(tǒng)的經(jīng)典控制設(shè)計(jì)可以分解成以下幾個(gè)步驟（如圖6.18所示）： (1) 加入速率反饋以提高系統(tǒng)阻尼比。 (2) 為滿足系統(tǒng)高頻特性設(shè)計(jì)控制器或調(diào)整控制器參數(shù)（頻率裕度等）。 (3) 為滿足系統(tǒng)低頻特性設(shè)計(jì)控制器或調(diào)整控制器參數(shù)（擾動(dòng)衰減、 DC增益等）。 經(jīng)典控制設(shè)計(jì)的結(jié)果如圖6.19所示。 圖 6.18 經(jīng)典回路設(shè)計(jì)框圖 圖 6.19 經(jīng)典回路設(shè)計(jì)結(jié)果的頻率響應(yīng)Bo

41、de圖 下面介紹使用H方法來為系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。 首先利用數(shù)值魯棒的描述符二階Riccati公式計(jì)算所謂H小增益問題。 在這個(gè)例子中, 系統(tǒng)的頻率設(shè)計(jì)要求可以用兩個(gè)權(quán)重描述： 21111322(0.21)40000100(0.0051)sWWss 圖6.20顯示了=1的情況, 而圖6.21顯示了其它不同值的結(jié)果。 很明顯, =3.16將達(dá)到最優(yōu)值。 W1的參數(shù)將是唯一需要迭代計(jì)算的參數(shù)。 我們可以利用魯棒控制工具箱中的hinfopt完成這一迭代計(jì)算的工作。 以下是具體的程序代碼： nug = 400; dng = 1 2 400; ag, bg, cg, dg = tf2ss(nug, dng)

42、; % 將系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式 ssg = mksys(ag, bg, cg, dg); % 建立系統(tǒng)的分層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)描述 w1 = 2.5e-5 1.e-2 1;0.01*4.e-2 4.e-1 1; w2 = ; w3 = 1 0 0;0 0 40000;TSS = augtf(ssg, w1, w2, w3); % 創(chuàng)建增廣系統(tǒng)ssf, sscl = hinf(TSS); % 設(shè)計(jì)H控制器 圖 6.20 二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)的H加權(quán)方法 圖 6.21 二階系統(tǒng)的H結(jié)果 下面顯示的是程序執(zhí)行后MATLAB命令窗口的輸出信息, 它對(duì)應(yīng)于=1時(shí)的H控制規(guī)律的計(jì)算。 Computing the

43、4-block Hinf optimal controller using the SLC loopshifting/descriptor formulaeSolving for the Hinf controller F(s) using U(s)=0 (default)Solving Riccati equations and performing Hinfinity existence tests: 1. Is D11 small enough? OK 2. Solving statefeedback (P) Riccati . a. No Hamiltonian jwaxis root

44、s? OK b. AB2*F stable (P=0)? OK 3. Solving outputinjection (S) Riccati . a. No Hamiltonian jwaxis roots? OK b. AG*C2 stable (S=0)? OK 4. max eig(P*S)1? OK- all tests passed computing Hinf controller . DONE! - 如果要設(shè)計(jì)最優(yōu)H控制規(guī)律, 則可以將上述程序的最后一行替換成 rhoopt, ssf, sscl = hinfopt(TSS, 1);下面顯示的是迭代的輸出結(jié)果： No Gamma

45、D11=0 S-Exist S=0 1am(PS)1 C.L. - 1 1. 0000e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 2 2. 0000e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 3 4. 0000e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 4 3. 0000e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 5 3. 5000e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 6 3. 2500e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 7 3. 1250e+000 OK OK OK OK OK OK

46、 STAB 8 3. 1875e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 9 3. 1563e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 6.4.2 雙積分系統(tǒng)的H魯棒設(shè)計(jì) 在實(shí)際工程中經(jīng)常會(huì)遇到包含雙積分器環(huán)節(jié)的系統(tǒng), 該系統(tǒng)可以通過魯棒混合靈敏控制器加以鎮(zhèn)定。 然而, 由于雙積分會(huì)給系統(tǒng)帶來虛軸極點(diǎn), 因此在設(shè)計(jì)過程中需要結(jié)合雙線性變換。 設(shè)計(jì)步驟如下： （1） 對(duì)雙積分器系統(tǒng)對(duì)象G(s)=(ag, bg, cg, dg)進(jìn)行式（6.11）的雙線性變換, 其中p2=, p10。 （2） 對(duì)轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的混合靈敏H控制器 。 （3） 通過雙線性逆變換將控

47、制器 映射回F(s)。 例如, 某個(gè)慣性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ( )F s( )F s21( )G sJs 其中, J=5700表示系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求是尋找一個(gè)具有10 rad/s帶寬的穩(wěn)定控制器F(s)。 該混合靈敏問題可以描述為111( )3()min1()F sW IGFW GF IGF(6.24) 虛軸極點(diǎn)的缺陷可以通過雙線性變換加以解決, 但在系統(tǒng)無(wú)窮遠(yuǎn)處仍然具有兩個(gè)零點(diǎn), 該零點(diǎn)也位于虛軸上。 我們可以通過巧妙設(shè)計(jì)權(quán)重以避免這個(gè)問題23( )100sW s 該雙微分器使得系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處仍然是滿秩的, 而且作為輔助靈敏加權(quán)函數(shù)將系統(tǒng)帶寬約束到10 rad/s處。 我們將如下

48、的二階W1的權(quán)重作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的調(diào)節(jié)參數(shù)： 2211222(2( )(2)ccccassW sss 相關(guān)的參數(shù)設(shè)置如下：=100： 過濾器的DC增益（控制擾動(dòng)的衰減過程）。=2/3： 高頻增益（控制系統(tǒng)的最大超調(diào)量）。c=3： 過濾器的穿越頻率。1, 2=0.7： 拐角頻率處的阻尼比。具體設(shè)計(jì)程序代碼如下： ag, bg, cg, dg = tf2ss(1/5700, 1 0 0);% 進(jìn)行雙線性變換ag0 = ag + 0.1*eye(size(ag);w2 = ; w3 = 1 0 0;0 0 100;beta = 100; alfa = 2/3; w1c = 3;zeta1=0.7; zeta2=0.7;w1 =beta*alfa 2*zeta1*w1c*sqrt(a