直線與橢圓的位置關(guān)系講解(全面)分析課件

1、直線與橢圓的位置關(guān)系講解(全面)分析直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系種類: 相離(沒(méi)有交點(diǎn))相切(一個(gè)交點(diǎn))相交(二個(gè)交點(diǎn))相離(沒(méi)有交點(diǎn))相切(一個(gè)交點(diǎn))相交(二個(gè)交點(diǎn)) 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定代數(shù)方法代數(shù)方法222201AxByCxyab由方程組20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程組有兩解兩個(gè)交點(diǎn)相交方程組有一解一個(gè)交點(diǎn)相切方程組無(wú)解無(wú)交點(diǎn)相離1.位置關(guān)系：相交、相切、相離位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與橢圓的方程聯(lián)立直線與橢圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個(gè)公共

2、點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)k-3366-k0因?yàn)橐驗(yàn)樗?，方程（）有兩個(gè)根，所以，方程（）有兩個(gè)根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)是多少？是多少？則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：221|1|1|ABABABkxxyyk

3、知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2：弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式可推廣到任意二次曲線例例1：已知斜率為：已知斜率為1的直線的直線L過(guò)橢圓過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn)，的右焦點(diǎn)，交橢圓于交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB之長(zhǎng)之長(zhǎng)題型二：弦長(zhǎng)公式題型二：弦長(zhǎng)公式222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點(diǎn):3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例 2 2: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)12FF、分別是橢圓分別是橢圓22121xy的左、右的左、右 題型二：弦長(zhǎng)公式題型二：弦

4、長(zhǎng)公式例例 2 2: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)12FF、分別是橢圓分別是橢圓22121xy的左、右的左、右 例例3 ：已知橢圓：已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題例例 3 已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點(diǎn)差法：

5、利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問(wèn)題：中點(diǎn)弦問(wèn)題點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy設(shè)中點(diǎn)，0120122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在橢圓上，2222221211()

6、()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求的思想方法 例例3已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過(guò)而過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)

7、”這這一一 條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題例例4、如圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點(diǎn)22121 21()4

8、ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 練習(xí)練習(xí)：1、如果橢圓被、如果橢圓被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么這弦所在直線方程為（么這弦所在直線方程為（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點(diǎn)，則恰有公共點(diǎn)，則m的范圍的范圍（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，25 ） C、 1，25）（25，+ ） D、（、（1，+ ） 3、過(guò)橢圓、過(guò)橢圓 x2+2y2=4 的左焦點(diǎn)作傾斜角為的左焦點(diǎn)作傾斜角為300的直線，的直線， 則弦長(zhǎng)則弦長(zhǎng) |

9、AB|= _ , DC193622yx1652212 5xym 練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為F，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).(2)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)A(1,1)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以A為中點(diǎn)為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(1)195xy解橢圓(2,0)F2lyx直線 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦長(zhǎng)練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，

10、橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為F，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).(2)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)A(1,1)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以A為中點(diǎn)為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在橢圓內(nèi)。1122( ,),(,)AMNM x yN x y設(shè)以 為中點(diǎn)的弦為且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy兩式相減得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 為中點(diǎn)的弦為方程為:591

11、40 xy；，求求若若直直線線的的斜斜率率為為兩兩點(diǎn)點(diǎn)，、于于交交橢橢圓圓的的直直線線若若過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)AOB221(1)BA 141612P2 Syxl),(.P.xyOABABAOBh|AB|S 21法一：法一：兩點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)的坐標(biāo)、法二：求出法二：求出BACOBAOCAOBSSS |21|21BAyOCyOC C法三：法三：. ABABP(2)BA 141612P222直直線線的的方方程程所所在在的的中中點(diǎn)點(diǎn)，求求弦弦為為弦弦若若點(diǎn)點(diǎn)兩兩點(diǎn)點(diǎn)，、于于交交橢橢圓圓的的直直線線若若過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) yxl),(.P.xyOABAB的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為弦弦點(diǎn)點(diǎn)ABPP.xyOAB聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)

12、坐標(biāo)的方程的方程直線直線l兩個(gè)頂點(diǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)過(guò)橢圓的過(guò)橢圓的直線直線 l形形形形數(shù)數(shù)數(shù)數(shù):回顧解題過(guò)程回顧解題過(guò)程:(1):1lyk xlx若若斜斜率率存存在在，設(shè)設(shè)，若若斜斜率率不不存存在在，222222(1)(21)422022yk xkxk xkxy (1)(1)112212(,),(,),A xyB xyxx設(shè)設(shè)則則是是方方程程（1 1）的的解解OAOB OABAB到到中中點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離等等于于的的一一半半OAB在在以以為為直直徑徑的的圓圓上上該條件的代數(shù)化：該條件的代數(shù)化：方法方法1 1：兩點(diǎn)距離公式直譯：兩點(diǎn)距離公式直譯xyOAMN22221122(1)(1)0 xyxy12121

13、212()()(2)()0 xxxxyyyy12121212()()()()2()()0 xxxxkxmkxmkxmkxm12121212()() ()22 ()0 xxxxk xxmk xx1212() ()220 xxk k xxm方法方法2 2：如圖，先轉(zhuǎn)化為：如圖，先轉(zhuǎn)化為AQM N再代數(shù)化為斜率積等于再代數(shù)化為斜率積等于1 1xyOAMNQxyOAMNQ12121212yykxx 1212()(2)0 xxyyk12m 12:( 2,0),(2,0)FF解 橢圓的焦點(diǎn)為200(2,0)60(,)FxyF xy設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求橢圓方程為：xy122yxbyxm 分析：存在直線與橢圓交與兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上。12AByxb 則兩點(diǎn)的直線可設(shè)為：:2,yxmA B解 假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)121213()222yyxxbb 3,)224bbAByxm中點(diǎn)(在直線上3242bbm4bm 242m 1122m2212143yxbxy 由2