清華大學(xué)彈性力學(xué)FXQ-Chapter-10能量原理-A復(fù)習(xí)課程課件

1、12007.12.192能量原理Chapter 10 泛函的極值與變分 能量方法的一些基本概念 可能功原理和功的互等定理 虛功原理和余虛功原理 最小勢能原理和最小余能原理 彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程 彈性力學(xué)變分問題的直接解法3變分與變分法Appendix Bp 泛函極值問題p 函數(shù)的微分與變分p 復(fù)合函數(shù)的變分p 泛函的變分p 變分法 泛函的極值與變分泛函的極值與變分4Appendix B.1泛函極值問題 求條件極值的拉格朗日乘子法求條件極值的拉格朗日乘子法12(,)nff x xx條件極值問題：求函數(shù) 在滿足條件 下的極值。12(,)0ngx xx引入函數(shù)：引入函數(shù)： 111(, )(,)

2、(,)nnnF xxf xxgxx駐值條件：駐值條件： 0, 0iiiFfgFgxxx5Appendix B.1泛函極值問題如果變量如果變量 J 依賴于在一定約束條件下函數(shù)關(guān)系可以任依賴于在一定約束條件下函數(shù)關(guān)系可以任意變化的函數(shù)意變化的函數(shù) y(x)，此，此y(x)稱為稱為自變函數(shù)自變函數(shù)，而依賴于，而依賴于自變函數(shù)的變量稱為自變函數(shù)的變量稱為泛函泛函。() )(yJxJ 泛函泛函( )yy x泛函：泛函：函數(shù)：函數(shù)：6Appendix B.1泛函極值問題例例1 1 最短連線問題 連接連接 A，B 兩點(diǎn)的曲線兩點(diǎn)的曲線長度長度 L 是隨曲線形狀，是隨曲線形狀，即曲線方程即曲線方程 y = y

3、(x) 而而變的，它是自變函數(shù)變的，它是自變函數(shù) y(x) 的泛函：的泛函：10222( ( )ddd1( )dBBxAAxL y xsxyyxx7Appendix B.1泛函極值問題 現(xiàn)在要找函數(shù)現(xiàn)在要找函數(shù)L（曲線長（曲線長度）取極小值的自變函數(shù)度）取極小值的自變函數(shù)（曲線形狀），利用后面的（曲線形狀），利用后面的知識，可以自己證明它就是知識，可以自己證明它就是連接連接A，B兩點(diǎn)的直線。兩點(diǎn)的直線。 在本例中容許參加比較長度的任何曲線都必須通過在本例中容許參加比較長度的任何曲線都必須通過A，B兩兩點(diǎn)，這就是具體問題對自變函數(shù)點(diǎn)，這就是具體問題對自變函數(shù)y(x)提出的提出的約束條件約束條件。

4、能滿足這。能滿足這約束條件的函數(shù)有無窮多個(gè)，其中每個(gè)都稱為約束條件的函數(shù)有無窮多個(gè)，其中每個(gè)都稱為容許函數(shù)容許函數(shù)。所以，。所以，所謂所謂“自變函數(shù)自變函數(shù)y(x)”并不表示某種固定的函數(shù)關(guān)系，它可以在并不表示某種固定的函數(shù)關(guān)系，它可以在容許的函數(shù)簇中任意選擇和變化。容許的函數(shù)簇中任意選擇和變化。8Appendix B.1泛函極值問題例例2 懸臂梁問題懸臂梁問題 懸臂梁懸臂梁-砝碼系統(tǒng)的總勢能砝碼系統(tǒng)的總勢能是懸臂梁撓度曲線是懸臂梁撓度曲線 y(x) 的泛函。的泛函。 201( ) d( )2lEIyxPy l 可以證明，使總勢能可以證明，使總勢能 取極小值的撓度曲線就取極小值的撓度曲線就是懸

5、臂梁處于平衡狀態(tài)時(shí)的實(shí)際撓度曲線。是懸臂梁處于平衡狀態(tài)時(shí)的實(shí)際撓度曲線。( ( )y x9Appendix B.1泛函極值問題左端受到左端受到約束邊界條件約束邊界條件：右端是右端是自由邊界條件。自由邊界條件。在泛函在泛函 中容許出現(xiàn)與自變函數(shù)在無約中容許出現(xiàn)與自變函數(shù)在無約 束端處的束端處的邊界值邊界值y(l)有關(guān)的項(xiàng)，稱為有關(guān)的項(xiàng)，稱為邊界項(xiàng)邊界項(xiàng)。 000; 0 xxyy10Appendix B.1泛函極值問題當(dāng)自變函數(shù)當(dāng)自變函數(shù) y(x) 改變時(shí)，泛函的值也將隨之改變。改變時(shí)，泛函的值也將隨之改變。定義定義：若泛函：若泛函 在在 狀態(tài)下的值，比狀態(tài)下的值，比在在 的鄰域的鄰域 內(nèi)任意狀態(tài)

6、內(nèi)任意狀態(tài) y(x) 下的值下的值都?。ɑ蚨即螅?，都小（或都大）， 即即 則稱泛函則稱泛函 在狀態(tài)在狀態(tài) 下取下取極小值極小值（或（或極大極大值值），統(tǒng)稱?。?，統(tǒng)稱取極值極值。( )( )y xy x( )y x( )( )y xy x( ( )J y x( ( )( ( ) 0J y xJ y x( ( )( ( ) 0J y xJ y x或( ( )J y x( )y x11Appendix B.2函數(shù)的微分和變分 微分：微分：d( )dyy xx 函數(shù)的微分和變分函數(shù)的微分和變分 變分：變分：( )( )( )y xy xx ( )( )( )( )y xy xy xx12 函數(shù)的變分：

7、當(dāng)函數(shù)的變分：當(dāng)y(x)是某個(gè)泛函的自變函數(shù)時(shí)，函數(shù)本身可以是某個(gè)泛函的自變函數(shù)時(shí)，函數(shù)本身可以直接變成與它相鄰的容許函數(shù)直接變成與它相鄰的容許函數(shù) ：其中其中和和x是無關(guān)的無窮小量，函數(shù)是無關(guān)的無窮小量，函數(shù)(x)應(yīng)在一定范圍內(nèi)選擇，首應(yīng)在一定范圍內(nèi)選擇，首先它應(yīng)是先它應(yīng)是y(x)的同類函數(shù)以保證當(dāng)?shù)耐惡瘮?shù)以保證當(dāng) 時(shí)，不僅函數(shù)時(shí)，不僅函數(shù) 和和y(x)本身，而且它們的各階導(dǎo)數(shù)都無限接近。此外，它們還應(yīng)滿足具本身，而且它們的各階導(dǎo)數(shù)都無限接近。此外，它們還應(yīng)滿足具體問題提出的約束條件，以保證體問題提出的約束條件，以保證 是容許函數(shù)。是容許函數(shù)。( )y x0( )y x( )y xAppe

8、ndix B.2函數(shù)的微分和變分( )( )( )y xy xx13Appendix B.2函數(shù)的微分和變分這種因函數(shù)關(guān)系的直接變化引起的自變函數(shù)的增量這種因函數(shù)關(guān)系的直接變化引起的自變函數(shù)的增量稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的一階變分一階變分，簡稱，簡稱變分變分，記為，記為y。在變分過程中，函。在變分過程中，函數(shù)數(shù)y(x)的自變量的自變量x保持不變，如圖所示，保持不變，如圖所示，y是同一自變量是同一自變量 處處相鄰兩條曲線的函數(shù)值之差。相鄰兩條曲線的函數(shù)值之差。 ( )( )( )( )y xy xy xxx14Appendix B.2函數(shù)的微分和變分函數(shù)函數(shù) y(x) 的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 仍是自變量

9、仍是自變量 x 的函數(shù)。于的函數(shù)。于是是 的變分為的變分為( )y x( )y x ( )( )yy xy x ( )( )( )( )y xy xy xx( )( )( ) yy xy xxy nnyyyy=LL15Appendix B.2函數(shù)的微分和變分 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的變分復(fù)合函數(shù)的變分 微分：微分：( )1( , ,)nF x y yy ( )( )dddd dnnFFFFFxyyyxyyy16Appendix B.3復(fù)合函數(shù)的變分 設(shè)復(fù)合函數(shù)與自變函數(shù)設(shè)復(fù)合函數(shù)與自變函數(shù)y(x)及其各階導(dǎo)數(shù)與及其各階導(dǎo)數(shù)與y(x)的自變量的自變量x有關(guān)，有關(guān)，由自變函數(shù)的變分由自變函數(shù)的

10、變分y所引起的函數(shù)增量所引起的函數(shù)增量F的線性主部稱為的線性主部稱為復(fù)合復(fù)合函數(shù)的一階變分函數(shù)的一階變分，記為，記為F。 若先把若先把 看作是函數(shù)看作是函數(shù)F的的n2個(gè)個(gè)“獨(dú)立變量獨(dú)立變量”，則，則根據(jù)多元函數(shù)全微分公式，由這些變量的增量根據(jù)多元函數(shù)全微分公式，由這些變量的增量 所引起的所引起的F的增量主部為：的增量主部為：( ), , ,nx y yy( )d ,d ,d ,dnxyyy( )( )dddd dnnFFFFFxyyyxyyy17Appendix B.2函數(shù)的微分和變分 復(fù)合函數(shù)的變分復(fù)合函數(shù)的變分 微分：微分：( )( )dddd dnnFFFFFxyyyxyyy( )( )

11、d0;d ;d ;dnnxxyyyyyy( )( ) nnFFFFyyyyyy 變分：變分：18Appendix B.3復(fù)合函數(shù)的變分2( -1)( );()kkFFFF( )( ) kknnFyyyFyyy( )( ) nnFFFFyyyyyy又 高階變分：高階變分：19Appendix B.3復(fù)合函數(shù)的變分由于變分由于變分y可以獨(dú)立選擇，與自變量可以獨(dú)立選擇，與自變量y及其各階導(dǎo)數(shù)無及其各階導(dǎo)數(shù)無關(guān)，所以變分關(guān)，所以變分y（及其各階導(dǎo)數(shù)）對自變量（及其各階導(dǎo)數(shù)）對自變量y（及其各（及其各階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即()()( )( )()( )0 ( ,0,1,2,

12、)mmllyyl mnyy()0 (2,0,1,2, )kmykmn作為自變函數(shù)的增量，作為自變函數(shù)的增量，y（及其各階導(dǎo)數(shù)）的高階變（及其各階導(dǎo)數(shù)）的高階變分均為零，即分均為零，即20Appendix B.4泛函的變分( )( , , ,)dbnaJF x y yyx泛函和復(fù)合函數(shù)的泛函和復(fù)合函數(shù)的區(qū)別區(qū)別是：復(fù)合函數(shù)依賴于自變量是：復(fù)合函數(shù)依賴于自變量x，而泛函則依賴于自變函數(shù)而泛函則依賴于自變函數(shù) y(x)。當(dāng)。當(dāng)x 給定后，立即能給定后，立即能算出復(fù)合函數(shù)算出復(fù)合函數(shù)F的一個(gè)相應(yīng)值，但算不出泛函的一個(gè)相應(yīng)值，但算不出泛函 J 的值的值來，因?yàn)閬?，因?yàn)镴 和定義域內(nèi)的所有（而不是一個(gè)）和

13、定義域內(nèi)的所有（而不是一個(gè)）x處的處的函數(shù)值函數(shù)值 F 有關(guān)。有關(guān)。 泛函的變分泛函的變分( )( , , ,)nFF x y yy21Appendix B.4泛函的變分泛函泛函J的各階變分：的各階變分：由變分由變分y引起的泛函引起的泛函 J 的增量為：的增量為：( )( , , ,)dbnaJF x y yyxdbkkaJF x211 d2!bkaJF xJJJk22Appendix B.5變分法變分法的基本問題變分法的基本問題：在滿足約束條件的容許函數(shù)中，：在滿足約束條件的容許函數(shù)中，求能使泛函求能使泛函 J(y(x) 取極值的自變函數(shù)取極值的自變函數(shù) ，若，若 其中其中 ； y(x) 為

14、為 鄰域內(nèi)的任意鄰域內(nèi)的任意容許函數(shù)容許函數(shù)。 xy0 0 JJ 為極小值為極大值 ( )J J y xJxy= xy23Appendix B.5變分法泛函極值的必要條件（泛函極值的必要條件（駐值條件駐值條件）為泛函的一階變）為泛函的一階變分為零，即分為零，即0J 泛函的極值的充分條件還需考慮二階變分，即泛函的極值的充分條件還需考慮二階變分，即若若 ，則還需看高階變分的性質(zhì)。，則還需看高階變分的性質(zhì)。220 00 JJJ為極小值為極大值20J24Appendix B.5變分法p 變分法的基本預(yù)備定理變分法的基本預(yù)備定理 設(shè)設(shè) (x) 是閉區(qū)間是閉區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，y 是該區(qū)是該

15、區(qū)間上自變函數(shù)間上自變函數(shù) y(x) 的變分，如果的變分，如果 y 在滿足約束條件在滿足約束條件的前提下任意變化時(shí)，下式始終成立的前提下任意變化時(shí)，下式始終成立 則被積函數(shù)則被積函數(shù)(x)在區(qū)間在區(qū)間 上處處為零，即上處處為零，即( )0 xaxbaxb( ) d0bax y x25 一元自變函數(shù)的泛函駐值問題在域內(nèi)在域內(nèi)y(x)應(yīng)具有直到應(yīng)具有直到四階四階的的連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)導(dǎo)數(shù)。在在 x=a 處為約束邊界，指定：處為約束邊界，指定：在在 x=b 處為自由邊界。處為自由邊界。Appendix B.6歐拉方程和自然邊界條件( ( )( , , , )d( )baJ y xF x y y yxQy

16、b( ); ( )aay ayy ay26Appendix B.6歐拉方程和自然邊界條件根據(jù)兩端的邊界條件，變分根據(jù)兩端的邊界條件，變分y的邊界值應(yīng)滿足：的邊界值應(yīng)滿足：泛函泛函的駐值條件為：的駐值條件為： ( )0; ( )0y ay a ( )0; ( )0y by b( ( )( , , , )d( )baJ y xF x y y yxQy b0J ( , ,)d ( ) d ( )babyyyaJF x y y yxQ y bF yFyFyxQ y b27Appendix B.6歐拉方程和自然邊界條件22 ( )d dd+ddd ( ) ( )d ( ) ( )0ddyyybbabyy

17、ayyayyJy xxy by bFFy aFy axFFFxxFFQFx自然邊界條件自然邊界條件22dd+=0ddyyyFFFxx( )( )( )d0d0y bybybFFQxF歐拉微分方程歐拉微分方程28Appendix B.6歐拉方程和自然邊界條件若令若令則化為懸臂梁問題的泛函問題。相應(yīng)的歐拉方程為則化為懸臂梁問題的泛函問題。相應(yīng)的歐拉方程為即為材料力學(xué)中梁的即為材料力學(xué)中梁的撓度微分方程撓度微分方程。( ( )( , , , )d( )baJ y xF x y y yxQy b21( ) ;0,2 FEI yQP abl 4( )0EIyl22d0dyFx即29Appendix B.

18、6歐拉方程和自然邊界條件自然邊界條件成：自然邊界條件成：這就是自由端處這就是自由端處剪力和彎矩的力邊界條件剪力和彎矩的力邊界條件。此外，基本邊界條。此外，基本邊界條件就是固支端的位移邊界條件：件就是固支端的位移邊界條件：這時(shí)歐拉方程的解就是圖中所示的懸臂梁的實(shí)際撓度曲線。這時(shí)歐拉方程的解就是圖中所示的懸臂梁的實(shí)際撓度曲線。d0dyFPx( )0EIylP( )0yFl ( )0EIyl( )0y a ( )0y a 30能量原理Chapter 10 泛函的極值與變分 變分提法的基本概念和術(shù)語 可能功原理，功的互等定理 虛功原理和余虛功原理 最小勢能原理和最小余能原理 彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程

19、 彈性力學(xué)變分問題的直接解法31基本概念和術(shù)語Chapter 10.1變分方法（能量法）變分方法（能量法）：u考慮整個(gè)系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立考慮整個(gè)系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立泛函變分方程泛函變分方程u在給定約束條件下，求在給定約束條件下，求泛函極值泛函極值的變分問題的變分問題 彈性力學(xué)的微分提法和變分提法彈性力學(xué)的微分提法和變分提法微分方法微分方法：u從微元入手，建立基本微分方程從微元入手，建立基本微分方程u在給定邊界條件下求解微分方程的邊值問題在給定邊界條件下求解微分方程的邊值問題32基本概念和術(shù)語Chapter 10.1p 變分問題的兩種解法 歐拉法歐拉法：將變分方程轉(zhuǎn)化為微分方程：將變分方程轉(zhuǎn)化

20、為微分方程（稱為歐拉方程）進(jìn)行求解。（稱為歐拉方程）進(jìn)行求解。 直接法直接法：直接求解變分方程。：直接求解變分方程。33基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 真實(shí)狀態(tài)與可能狀態(tài) 彈性力學(xué)的三類基本關(guān)系彈性力學(xué)的三類基本關(guān)系 變形關(guān)系變形關(guān)系：幾何方程和位移邊界條件：幾何方程和位移邊界條件 靜力關(guān)系靜力關(guān)系：包括平衡方程和力邊界條件。在靜：包括平衡方程和力邊界條件。在靜力關(guān)系中只出現(xiàn)力學(xué)量，而與幾何量無關(guān)。力關(guān)系中只出現(xiàn)力學(xué)量，而與幾何量無關(guān)。 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系：把力學(xué)量和幾何量聯(lián)系起來。：把力學(xué)量和幾何量聯(lián)系起來。34基本概念和術(shù)語Chapter 10.1以前各章都致力于直接尋找同時(shí)滿足彈性

21、力學(xué)全部基以前各章都致力于直接尋找同時(shí)滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系的本關(guān)系的真實(shí)狀態(tài)真實(shí)狀態(tài)。本章則分兩步來處理：首先尋找滿足部分基本關(guān)系的本章則分兩步來處理：首先尋找滿足部分基本關(guān)系的可能狀態(tài)可能狀態(tài)，然后再從可能狀態(tài)中尋找滿足全部基本，然后再從可能狀態(tài)中尋找滿足全部基本關(guān)系的真實(shí)狀態(tài)。關(guān)系的真實(shí)狀態(tài)。35基本概念和術(shù)語Chapter 10.1能量原理中的可能狀態(tài)：能量原理中的可能狀態(tài)： 變形可能狀態(tài)或運(yùn)動(dòng)可能狀態(tài)變形可能狀態(tài)或運(yùn)動(dòng)可能狀態(tài)：滿足變形關(guān)系，而：滿足變形關(guān)系，而不管它是否滿足靜力關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系的任何變形狀不管它是否滿足靜力關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系的任何變形狀態(tài)。用右上角加態(tài)。用右上角加 (k

22、) 來表示。來表示。 描述變形可能狀態(tài)的基本量是變形可能位移描述變形可能狀態(tài)的基本量是變形可能位移 和變形可能應(yīng)變和變形可能應(yīng)變 。 kiu kij36基本概念和術(shù)語Chapter 10.1經(jīng)典能量原理中的可能狀態(tài)有兩類：經(jīng)典能量原理中的可能狀態(tài)有兩類： n 可能位移：應(yīng)連續(xù)，且滿足給定的可能位移：應(yīng)連續(xù)，且滿足給定的位移邊界條件位移邊界條件；n 可能應(yīng)變：和可能位移應(yīng)滿足可能應(yīng)變：和可能位移應(yīng)滿足幾何方程幾何方程。n 變形可能狀態(tài)有無窮多個(gè)，其中只有一個(gè)能同時(shí)滿變形可能狀態(tài)有無窮多個(gè)，其中只有一個(gè)能同時(shí)滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系，它就是足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系，它就是真實(shí)變形狀態(tài)真實(shí)變形狀態(tài)。n

23、 真實(shí)變形狀態(tài)是由物體所受載荷引起的，變形可能真實(shí)變形狀態(tài)是由物體所受載荷引起的，變形可能狀態(tài)則與給定載荷沒有必然的因果關(guān)系。狀態(tài)則與給定載荷沒有必然的因果關(guān)系。37基本概念和術(shù)語Chapter 10.1虛位移：虛位移：從某一可能位移到相鄰的另一可能位移的從某一可能位移到相鄰的另一可能位移的微小位移變化微小位移變化 ，記作，記作 kiu38基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 靜力可能狀態(tài)：靜力可能狀態(tài)：滿足靜力關(guān)系（滿足靜力關(guān)系（平衡方程和給定的平衡方程和給定的力邊界條件力邊界條件），而不管它是否滿足變形關(guān)系和本構(gòu)），而不管它是否滿足變形關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系的任何平衡狀態(tài)。關(guān)系的任何平衡狀態(tài)。n

24、 用右上角加用右上角加(s)的符號表示，如的符號表示，如n 靜力可能狀態(tài)也有無窮多個(gè)，其中只有一個(gè)能同時(shí)靜力可能狀態(tài)也有無窮多個(gè)，其中只有一個(gè)能同時(shí)滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系，它就是滿足彈性力學(xué)全部基本關(guān)系，它就是真實(shí)狀態(tài)真實(shí)狀態(tài)。n 虛應(yīng)力虛應(yīng)力：可能應(yīng)力場的變分：可能應(yīng)力場的變分 sij sij39基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 kiu kiu kij40基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 sij sif sip41基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 變形功、可能功與虛功 diiAFu42基本概念和術(shù)語Chapter 10.111d22iiiiiiAK uuKuuFuiiAF

25、uiiAF u43w基本概念和術(shù)語Chapter 10.112APwAPwwpA44基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 彈性應(yīng)變能和彈性應(yīng)變余能U 和和 Uc 分別是物體應(yīng)變場和應(yīng)力場的分別是物體應(yīng)變場和應(yīng)力場的單值泛函單值泛函，與，與變形歷史無關(guān)。變形歷史無關(guān)。00()d , ()d()d , ()dijijijkijijijVccijkcijijijVUWxVWUWxVW 45基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 真實(shí)狀態(tài)的真實(shí)狀態(tài)的 W 和和 Wc 滿足如下互余關(guān)系滿足如下互余關(guān)系 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系： 線彈性體：線彈性體：cijijWW ; cijijijijWW12ij

26、ijijcijWW 46總勢能定義為：彈性體的總勢能定義為：彈性體的應(yīng)變能和載荷系統(tǒng)的外力應(yīng)變能和載荷系統(tǒng)的外力勢之和勢之和 ，即，即 基本概念和術(shù)語Chapter 10.1UV 彈性系統(tǒng)的勢能彈性系統(tǒng)的勢能47基本概念和術(shù)語Chapter 10.1為了保證功與路徑無關(guān)，式中的被積函數(shù)應(yīng)為全微分為了保證功與路徑無關(guān)，式中的被積函數(shù)應(yīng)為全微分 ddiiiFuV u 00ddiiuV uiiiAFuVV u 所以所以V(ui)也是一個(gè)與路徑無關(guān)的、單值連續(xù)的狀態(tài)函數(shù)，稱為也是一個(gè)與路徑無關(guān)的、單值連續(xù)的狀態(tài)函數(shù)，稱為力系力系Fi的勢能，簡稱為勢。勢能勢力系所具有的作功能力。的勢能，簡稱為勢。勢能勢

27、力系所具有的作功能力。 48基本概念和術(shù)語Chapter 10.1ddiiiFuV u 利用全微分公式，將右式寫成：利用全微分公式，將右式寫成：ddiiiiVFuuu iiVFu 這說明保守力系的三個(gè)分類這說明保守力系的三個(gè)分類Fi都是由同一個(gè)勢函數(shù)都是由同一個(gè)勢函數(shù)V派生出來的，派生出來的，因而保守力系又稱為因而保守力系又稱為有勢力系有勢力系。 進(jìn)一步考察進(jìn)一步考察V的二階偏導(dǎo)數(shù)得：的二階偏導(dǎo)數(shù)得： 若已知某力系的三個(gè)分量，可用此式來檢驗(yàn)它是否是保守力系。若已知某力系的三個(gè)分量，可用此式來檢驗(yàn)它是否是保守力系。2jijiijFFVuuu u 49基本概念和術(shù)語Chapter 10.1 00d

28、d d iiuV uiiiiiiiAFuVV uAFuFu iiVAFu 不變力系勢能的公式 50基本概念和術(shù)語Chapter 10.1ddiiiiVsVf uVpuS (dd)dijVisViiifWUVuVpuVS應(yīng)變能 體力勢 面力勢 外力勢51總余勢能定義為：彈性體總余勢能定義為：彈性體的應(yīng)變余能和支承系統(tǒng)的的應(yīng)變余能和支承系統(tǒng)的余能之和余能之和 ，即，即 基本概念和術(shù)語Chapter 10.1cccUV 彈性系統(tǒng)的余能彈性系統(tǒng)的余能dduciiSVWVpuS52彈性系統(tǒng)總余能彈性系統(tǒng)總余能c的定義為應(yīng)變余能的定義為應(yīng)變余能Uc和支撐系統(tǒng)的余勢和支撐系統(tǒng)的余勢Vc之之和，即和，即當(dāng)彈性

29、系統(tǒng)的支撐邊界允許有位移時(shí)，被支撐系統(tǒng)所吸收或通當(dāng)彈性系統(tǒng)的支撐邊界允許有位移時(shí)，被支撐系統(tǒng)所吸收或通過支撐系統(tǒng)傳遞給其他物體的那部分多余能量稱為支撐系統(tǒng)的過支撐系統(tǒng)傳遞給其他物體的那部分多余能量稱為支撐系統(tǒng)的余勢，記為余勢，記為Vc，它等于邊界給定位移，它等于邊界給定位移 在反力在反力Ri上所做功上所做功(稱為稱為余功余功)的負(fù)值。注意到的負(fù)值。注意到Ri是靜力可能的反力，與邊界給定位移無是靜力可能的反力，與邊界給定位移無關(guān)，則關(guān)，則iu基本概念和術(shù)語Chapter 10.1cccUVciiVRu 53基本概念和術(shù)語Chapter 10.1設(shè)圖中位移邊界設(shè)圖中位移邊界Su上的反力為上的反力為

30、pi，則支撐系統(tǒng)的余勢為，則支撐系統(tǒng)的余勢為duciiSVpuS dducciiSVWVpuS系統(tǒng)總余能 54能量原理Chapter 10 泛函的極值和變分 基本概念和術(shù)語 可能功原理，功的互等定理 虛功原理和余虛功原理 最小勢能原理和最小余能原理 彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程 彈性力學(xué)變分問題的直接解法55 可能功原理可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 ,0ssij jif ssijjip 第一狀態(tài)(s)第二狀態(tài)(k) ,12kkkiji jj iuu56可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2這里的體力這里的體力 和面力和面力 不一定和物體所受的

31、實(shí)際載荷相同，它不一定和物體所受的實(shí)際載荷相同，它們是由任選的某個(gè)可能應(yīng)力場們是由任選的某個(gè)可能應(yīng)力場 按上述兩式算出來的可能外力，按上述兩式算出來的可能外力，所以是一種別上節(jié)中定義的靜力可能狀態(tài)更為廣泛的所以是一種別上節(jié)中定義的靜力可能狀態(tài)更為廣泛的廣義靜力可廣義靜力可能狀態(tài)能狀態(tài)，簡稱狀態(tài)，簡稱狀態(tài)( (s) )。在此狀態(tài)中，不考慮物體的材料性能，在此狀態(tài)中，不考慮物體的材料性能，也不管是否存在協(xié)調(diào)的應(yīng)變場和連續(xù)的位移場也不管是否存在協(xié)調(diào)的應(yīng)變場和連續(xù)的位移場。 第二狀態(tài)完全用幾何量第二狀態(tài)完全用幾何量( (應(yīng)變應(yīng)變 和位移和位移 ) )來描述，見圖。來描述，見圖。它在域內(nèi)滿足幾何方程：它

32、在域內(nèi)滿足幾何方程： sij sif sip kij kiu ,12kkkiji jj iuu57可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2并且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場在邊界處的值，而沒并且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場在邊界處的值，而沒有力邊界。這里的邊界位移可以和物體所受的實(shí)際約束無關(guān)，所有力邊界。這里的邊界位移可以和物體所受的實(shí)際約束無關(guān)，所以是一種以是一種廣義變形可能狀態(tài)廣義變形可能狀態(tài)，簡稱狀態(tài)，簡稱狀態(tài)( (k) )。在此狀態(tài)中，不考在此狀態(tài)中，不考慮物體的材料性能，也不管是否存在平衡的應(yīng)力場慮物體的材料性能，也不管是否存在平衡的應(yīng)力場。 應(yīng)該指出，

33、狀態(tài)應(yīng)該指出，狀態(tài)( (s) )和狀態(tài)和狀態(tài)( (k) )是相互獨(dú)立的，可以根據(jù)方便是相互獨(dú)立的，可以根據(jù)方便的原則自由選擇。的原則自由選擇。 ,12kkkiji jj iuu58可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2考慮狀態(tài)考慮狀態(tài)( (s) )中的體力、面力和可能應(yīng)力在狀態(tài)中的體力、面力和可能應(yīng)力在狀態(tài)( (k) )的的相應(yīng)可能位移和可能應(yīng)變上所做的功，分別為：相應(yīng)可能位移和可能應(yīng)變上所做的功，分別為：利用邊界條件和高斯積分定理，把面力功利用邊界條件和高斯積分定理，把面力功 Ap 改寫成改寫成 d ; ddskskfiipiiVSskijijVAfuVAp uSAV

34、,dddddskskskpiiijijijiSSVjskskij jiiji jVVAp uSuSuVuVuV59可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 ,dd dd skskpij jiiji jVVskskiiijijVVfAuVuVfuVVAA 可能功原理fpAAA即： skskskiiiiijijVSVfudVp udsdV60可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2fpAAA即 skskskiiiiijijVSVfudVp udsdV即可能外力即可能外力( (體力和面力體力和面力) )在可能位移上所做的功等于可能應(yīng)力在可能位移上所做的功等于可

35、能應(yīng)力在相應(yīng)可能應(yīng)變上所做的功，這稱為在相應(yīng)可能應(yīng)變上所做的功，這稱為可能功原理可能功原理。61可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2ijjiijuu,210ipfAAAAAi62可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 功的互等定理（功的互等定理（Betti 互等互等定理）定理）第二狀態(tài)(2) 1if 1ip 1ij 1ij 1iu第一狀態(tài)(1) 2if 2ip 2ij 2ij 2iu63可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 功的互等定理（功的互等定理（Betti 互等互等定理）定理） 1if 1ip 1ij 1ij 1iu

36、2if 2ip 2ij 2ij 2iuijijklklC64可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 121212iiiiijijVSVfudVp udsdV 212121iiiiijijVSVfu dVpu dsdV65可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 12122121ijijijklklijklijijklijijCC 12122121iiiiiiiiVSVSfudVp udsfu dVp u ds66可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.267可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2ppbpA例4 p

37、Eb bE214pbbE 68能量原理Chapter 10 基本概念和術(shù)語 可能功原理，功的互等定理 虛功原理和余虛功原理 最小勢能原理和最小余能原理 彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程 彈性力學(xué)變分問題的直接解法69虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3 skskskiiiiijijVSVfu dVpu dsdV 虛功原理（虛位移原理）iiiiijijVSVfu dVpu dsdV 或,12iji jj iuu其中:70虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3iiiiijijVSVfu dVpu dsdV 71虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3假設(shè)可能位移場假設(shè)可能位移場 ，它包

38、含，它包含n個(gè)待定參數(shù)。個(gè)待定參數(shù)。由幾何方程和本構(gòu)方程得到由由幾何方程和本構(gòu)方程得到由 對應(yīng)的應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力 把把 求變分，得到虛位移求變分，得到虛位移 和虛應(yīng)變和虛應(yīng)變 。由虛功原理解出各待定參數(shù)。由虛功原理解出各待定參數(shù)。 kiu kiu kij kiu kiu kij72虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3p2lxy0M2l1sinnnlxnaw2sin,sin2mlmxm xwalmwa73虛功原理和余虛功原理Chapter 10.302cos,sinmxmmmm xmwawalllmm xwall 21sinnnnn xMEIwEIall 0lijijVdVdwxM74虛功

39、原理和余虛功原理Chapter 10.30002dlxlxM wxMwP w 30442sin2nlnnapMEInl304412sinsin2nlnnn xwpMEInll75虛功原理和余虛功原理Chapter 10.33320.020833348lxplplwEIEI00M時(shí)精確解：時(shí)精確解：0.07%0.020818230.23%0.020785421.45%0.02053191nEIplwlx32%100ww76虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3 余虛功原理余虛功原理dduiiijijSVupSV 77虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3p dduiiijijSVup

40、SV 78虛功原理和余虛功原理Chapter 10.32AcRRRpl222RpxMplx79虛功原理和余虛功原理Chapter 10.32xMR 2122MRpxplxEIEI80虛功原理和余虛功原理Chapter 10.30ABCuuu302d54024LLMxplRREI54RpL81虛功原理和余虛功原理Chapter 10.3假設(shè)一個(gè)滿足靜力平衡條件和力邊界條件的可能應(yīng)力場假設(shè)一個(gè)滿足靜力平衡條件和力邊界條件的可能應(yīng)力場 ，它，它包含包含n個(gè)待定參數(shù)。個(gè)待定參數(shù)。由本構(gòu)方程得到由由本構(gòu)方程得到由 導(dǎo)出的靜力可能應(yīng)變導(dǎo)出的靜力可能應(yīng)變 。把把 對各待定參數(shù)求變分，得到虛應(yīng)力對各待定參數(shù)求

41、變分，得到虛應(yīng)力 。（一般給定位。（一般給定位移為零，不用求虛力，否則移為零，不用求虛力，否則“靜力可能位移靜力可能位移”很難求。）很難求。）由余虛功原理解出各待定參數(shù)。由余虛功原理解出各待定參數(shù)。注：注：如果假設(shè)的如果假設(shè)的 包含了真實(shí)解，則由余虛功原理得到的解就是精包含了真實(shí)解，則由余虛功原理得到的解就是精確的，而且確的，而且n和結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)相等；如果和結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)相等；如果n小于小于結(jié)構(gòu)的超靜結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，則得到的一定是近似解；此方法其實(shí)是一種應(yīng)力解法。定次數(shù)，則得到的一定是近似解；此方法其實(shí)是一種應(yīng)力解法。 sij sij sij sij sij sij82能量原理Chap

42、ter 10 基本概念和術(shù)語 可能功原理，功的互等定理 虛功原理和余虛功原理 最小勢能原理和最小余能原理 彈性力學(xué)變分問題的歐拉方程 彈性力學(xué)變分問題的直接解法83最小勢(余)能原理Chapter 10.4,1;20 on on iji jj iij jiijijiiuuufpSuuS ijijijW84最小勢(余)能原理Chapter 10.4dddijiiiiVVSWVf uVpuS kiu kij ,1, 2kkkkiji jj iiiuuuu dddiikkkkkijiiVVSWVf uVpuS85最小勢(余)能原理Chapter 10.4 dddiikkkijijVkSkiiiiVW

43、WVfuuVpuuS ddddiikkiiiiVkkijijijijijijVSVfuuVpuuSWVV 86最小勢(余)能原理Chapter 10.4 dkkkkijijijijijVWWWV只要應(yīng)變能函數(shù)只要應(yīng)變能函數(shù) W 是凸函數(shù)，則有：是凸函數(shù)，則有： 0k最小勢能原理最小勢能原理：在一切變形可能的狀態(tài)：在一切變形可能的狀態(tài) 中，真實(shí)狀態(tài)的總勢能最小。中，真實(shí)狀態(tài)的總勢能最小。87最小勢(余)能原理Chapter 10.4 可以是有限量，并沒有引進(jìn)無限可以是有限量，并沒有引進(jìn)無限小位移變分小位移變分u的概念，所以最小勢能原理是一個(gè)的概念，所以最小勢能原理是一個(gè)大范圍極值原理大范圍極值原

44、理。 kiiiuuu 88最小勢(余)能原理Chapter 10.4dddiiiiVVSUVWVfuVp uSddiiiiVSUVfuVp uS 這也是虛功原理在彈性保守系統(tǒng)中的特殊形式。這也是虛功原理在彈性保守系統(tǒng)中的特殊形式。 0 最小勢能原理的變分形式： dddijiiiiVVSUVWVf uVpuS89最小勢(余)能原理Chapter 10.4u 使用最小勢能原理的解題方法：使用最小勢能原理的解題方法： 直接法直接法：假設(shè)容許位移函數(shù)，用最小勢能原理求其中的：假設(shè)容許位移函數(shù)，用最小勢能原理求其中的 待求參數(shù)。如果假設(shè)的位移函數(shù)不完備，則解是近似的，待求參數(shù)。如果假設(shè)的位移函數(shù)不完備，

45、則解是近似的， 相當(dāng)于多加了位移約束，結(jié)構(gòu)偏剛硬，近似解小于真實(shí)相當(dāng)于多加了位移約束，結(jié)構(gòu)偏剛硬，近似解小于真實(shí) 位移。位移。 歐拉法歐拉法：用最小勢能原理推導(dǎo)出等效的平衡方程和力邊界：用最小勢能原理推導(dǎo)出等效的平衡方程和力邊界 條件，求解微分方程的邊值問題。條件，求解微分方程的邊值問題。90 最小余能原理真實(shí)狀態(tài)真實(shí)狀態(tài) ui，ij，ij 滿足彈性力學(xué)基本關(guān)系和用余滿足彈性力學(xué)基本關(guān)系和用余能表示的逆彈性關(guān)系能表示的逆彈性關(guān)系它的總余能為它的總余能為 最小勢(余)能原理Chapter 10.4cijijijWdduccijiiVSWVpuS91最小勢(余)能原理Chapter 10.4靜力可

46、能狀態(tài)靜力可能狀態(tài)僅滿足靜力關(guān)系僅滿足靜力關(guān)系它的總余能為：它的總余能為： ,0sij jissiijjsiifppp在V 內(nèi)在Su 內(nèi)在S 內(nèi) ddccijiussssiVSWVp uS92最小勢(余)能原理Chapter 10.4兩種狀態(tài)的總余能之差為：兩種狀態(tài)的總余能之差為： dddccijiisssccijVssiiiiVSWWVffuVpp uS 利用可能功原理，則有：利用可能功原理，則有： dddd iisssiiiiijijijVVscijijiSjVffuVpp uSVWV93最小勢(余)能原理Chapter 10.4只要應(yīng)變余能函數(shù)只要應(yīng)變余能函數(shù)Wc是凸函數(shù)，必有是凸函數(shù)，

47、必有 d ccijsssscccijijijijVWWWV 0csc 最小余能原理最小余能原理：在一切靜力可能狀態(tài)中，：在一切靜力可能狀態(tài)中，真實(shí)狀態(tài)的總余能最小。真實(shí)狀態(tài)的總余能最小。94最小勢(余)能原理Chapter 10.4以上證明適用于小變形彈性力學(xué)范圍內(nèi)的任何靜以上證明適用于小變形彈性力學(xué)范圍內(nèi)的任何靜力可能狀態(tài)，真實(shí)的是大范圍內(nèi)的極小值。力可能狀態(tài)，真實(shí)的是大范圍內(nèi)的極小值。 這也是虛余功原理在彈性保守系統(tǒng)中的特殊形式。這也是虛余功原理在彈性保守系統(tǒng)中的特殊形式。 0c 最小余能原理的變分形式： dducccciiVSUVWVupSdduccciiVSUWVVupS 95 兩個(gè)原

48、理的關(guān)系對于真實(shí)狀態(tài)有：對于真實(shí)狀態(tài)有：最小勢(余)能原理Chapter 10.4dddducciiiiiiVVSSWWVf uVpuSpuS skskskiiiiijijVSVfudVp udsdV由可得0cdddijijiiiiVVSVf uVpuS 96最小勢(余)能原理Chapter 10.4于是有：于是有： skcc dddiiiieVSVf uVpuSWVAUdddiiiiVVSWVf uVpuS ecccAUUUUV97最小勢(余)能原理Chapter 10.4 凸函數(shù)的性質(zhì)凸函數(shù)即下凸函數(shù)。對于一維情況如圖所示。設(shè)自變量從凸函數(shù)即下凸函數(shù)。對于一維情況如圖所示。設(shè)自變量從x變到

49、變到x(k)，則函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的增量為的增量為A點(diǎn)處切線的增量為點(diǎn)處切線的增量為由于由于f(x)向下凸，函數(shù)曲線始終位于切線的上方，所以對一切向下凸，函數(shù)曲線始終位于切線的上方，所以對一切x(k)有有 2kkBBfxf x 12kB Bfxxx kkkfxf xfxxx凸函數(shù)的重要性質(zhì) 98最小勢(余)能原理Chapter 10.4下面來證明線彈性體的應(yīng)變能函數(shù)滿足凸函數(shù)的性質(zhì)：下面來證明線彈性體的應(yīng)變能函數(shù)滿足凸函數(shù)的性質(zhì)：1 2ijijW ijijklklijWC其中令 ; kkijijijijijij kijijijijklklC其中 0 1kkkijijijijijWWW代入

50、代入(1)式左端得到：式左端得到：99最小勢(余)能原理Chapter 10.4 1122112211 122kkkijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijij ijijijklklijklijklijklklijijCC 由于由于C張量的對稱性張量的對稱性可知可知(1)式右端第一項(xiàng)為零。又由于式右端第一項(xiàng)為零。又由于C對應(yīng)矩陣正定，于是：對應(yīng)矩陣正定，于是：11022ijijijklklijC100最小勢(余)能原理Chapter 10.4u 使用最小余能原理的解題方法：使用最小余能原理的解題方法： 直接法直接法：假設(shè)容許應(yīng)力函數(shù)，用最小余能原理求：假設(shè)容許應(yīng)力函數(shù)，用最小余能原理求其中的待求參數(shù)。如果假設(shè)的應(yīng)力函數(shù)不完備，則其中的待求參數(shù)。如果假設(shè)的應(yīng)力函數(shù)不完備，則解是近似的，相當(dāng)于減少了約束條件，結(jié)構(gòu)偏柔軟，解是近似的，相當(dāng)于減少了約束條件，結(jié)構(gòu)偏柔軟，近似解大于真實(shí)應(yīng)力。