數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念解析學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)的基本概念解析的基本概念解析第一頁，共68頁。 前面五章我們講述了概率論的基本內(nèi)容 ，隨后的四章將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)分支，它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機(jī)現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括：如何收集、整理數(shù)據(jù)資料；如何對所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研究，從而對所研究的對象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出推斷后者就是(jish)我們所說的統(tǒng)計(jì)推斷問題。本書只講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容。本章我們介紹總體、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量等基本概念，并著重介紹幾個常用統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布第1頁/共68頁第二頁，共68

2、頁。 我們知道，雖然從理論(lln)上講，對隨機(jī)變量進(jìn)行大量的觀測，被研究的隨機(jī)變量的概率特征一定能顯現(xiàn)出來，可是實(shí)際進(jìn)行的觀測次數(shù)只能是有限的，有的甚至是少量的 因此，我們關(guān)心的問題就是怎樣有效地利用收集到的有限的資料，盡可能地對被研究的隨機(jī)變量的概率特征作出精確而可靠的結(jié)論第2頁/共68頁第三頁，共68頁。 例如，我們考察某廠生產(chǎn)(shngchn)的電視機(jī)顯像管的質(zhì)量，在正常生產(chǎn)(shngchn)情況下，顯像管的質(zhì)量主要表現(xiàn)為它們的平均壽命是穩(wěn)定的 然而，由于生產(chǎn)(shngchn)中各種隨機(jī)因素的影響，各個顯像管的壽命是不完全相同的 因?yàn)槭艿饺肆?、物力等的限制，特別是測定顯像管壽命這類的試

3、驗(yàn)具有破壞性，所以我們不可能對生產(chǎn)(shngchn)的全部顯像管一一進(jìn)行測試，一般只是從整批顯像管中取出一些顯像管來測試，然后根據(jù)得到的這些顯像管壽命的數(shù)據(jù)來推斷整批顯像管的平均壽命 第3頁/共68頁第四頁，共68頁。第4頁/共68頁第五頁，共68頁。第5頁/共68頁第六頁，共68頁。這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本第6頁/共68頁第七頁，共68頁。 例如，從總體中進(jìn)行放回抽樣，顯然是簡單隨機(jī)抽樣，得到的樣本就是簡單隨機(jī)樣本 從有限總體（即其中只含有有限多個個體的總體）中，進(jìn)行不放回抽樣，雖然不是簡單隨機(jī)抽樣，但是正如在前面我們已知的，若總體容量 很大

4、而樣本容量 較小( )，則可以 近似地看作是放回抽樣，因而也就可以近似地看作是簡單隨機(jī)抽樣，得到的樣本可以近似地看作是簡單隨機(jī)樣本nN%10Nn 第7頁/共68頁第八頁，共68頁。1X2XnX,1x,2xnx,第8頁/共68頁第九頁，共68頁。1X2XnXnXXX,21X)(xpxXPnXXX,21 nnxpxpxpxxxp2121*, xfnXXX,21 nnxfxfxfxxxf2121*,(2)當(dāng)總體 是連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin),若記其概率密度為 ,則樣本 的聯(lián)合概率密度為：X第9頁/共68頁第十頁，共68頁。10,10,1ppqqxPpxP1.設(shè) 是來自兩點(diǎn)分布總體 的

5、樣本， 的分布為:nXXX,21XX次取到正品當(dāng)?shù)?，次取到次品?dāng)?shù)趇iXi0, 1求樣本分布律。2.設(shè)有 個產(chǎn)品，其中有 個次品， 個正品，進(jìn)行放回抽樣，定義 如下：NMMN iX),(21nXXX求樣本 的分布律。習(xí)題(xt)6-1第10頁/共68頁第十一頁，共68頁。XnXXX,21nXXX,21cU, 0第11頁/共68頁第十二頁，共68頁。一、樣本分布函數(shù)(hnsh) xXPxF第12頁/共68頁第十三頁，共68頁。觀測值 總計(jì) 頻 數(shù) 頻 率 1 1x1n1f 2x2n2f lxlnlfn lxxx21nl nnfiili, 2 , 1liinn1liif11其中第13頁/共68頁第

6、十四頁，共68頁。 liixxinxxxxxfxxxFi, 1, 0111, 2 , 1li定義定義 設(shè)函數(shù) xxix ixif xFn xFn(2) 是非減函數(shù) xFn 10 xFn (1)第14頁/共68頁第十五頁，共68頁。1, 0nnFF(3)(4) 在每個觀測值 處是右連續(xù)的,點(diǎn) 是 的跳躍間斷點(diǎn)， 在該點(diǎn)的躍度就等于頻率 xFn ixif ix xFn xFn樣本分布函數(shù) 的圖形如圖6-1所示 xFn圖6-1第15頁/共68頁第十六頁，共68頁。 對于任意的實(shí)數(shù) 總體分布函數(shù) 是事件 的概率；樣本分布函數(shù) 是事件 發(fā)生的頻率根據(jù)伯努利大數(shù)定理可知, 當(dāng) 時，對于任意的正數(shù) ，有x

7、xFxX xFnxX n lim1nnP F xF xn xFn xF第16頁/共68頁第十七頁，共68頁。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究連續(xù)隨機(jī)變量 的樣本分布時，通常需要作出樣本的頻率直方圖（簡稱直方圖），作直方圖的步驟如下：Xnxxx,21*1x*nx,min21*1nxxxxnnxxxx,max21*1xa*nxbbtttttall1210ba,lbttttttalii,11211i1iiitttli, 2 , 1第17頁/共68頁第十八頁，共68頁。此外，為了方便起見，分點(diǎn) 應(yīng)比樣本觀測值 多取一位小數(shù)。itixlabti各子區(qū)間的長度可以相等，也可以不等；若使各子區(qū)間的長度相等，則有子區(qū)間(q

8、jin)的個數(shù)一般取為8至15個，太多則由于頻率的隨機(jī)擺動而使分布顯得雜亂，太少則難于顯示分布的特征。3.把所有樣本觀測值逐個分到各子區(qū)間內(nèi)，并計(jì)算樣本觀測值落在各子區(qū)間內(nèi)的頻數(shù) 及頻率innnfii., 2, 1li第18頁/共68頁第十九頁，共68頁。iiiiiiifttfttS11., 2 , 1liOx4.在 軸上截取各子區(qū)間，并以各子區(qū)間為底，1iiittfiS以 為高作小矩形，各個小矩形的面積就等于樣本觀測值落在該子區(qū)間內(nèi)的頻率，即所有小矩形的面積的和. 111liiliifS這樣作出的所有(suyu)小矩形就構(gòu)成了直方圖。 因?yàn)闃颖救萘?充分大時，隨機(jī)變量 的取值落在各個子區(qū)間

9、內(nèi)的頻率近似等于其概率 即 所以直方圖大致地描述了總體 的概率分布。nXiitt,1iiitXtPf1li, 2 , 1X第19頁/共68頁第二十頁，共68頁。第20頁/共68頁第二十一頁，共68頁。解因?yàn)?yn wi)樣本觀測中最小值為237，最大值為265，所以我們把數(shù)據(jù)(shj)的分布區(qū)間確定為（236.5，266.5）并把這個(zh ge)區(qū)間等分為10個子區(qū)間(236.5,239.5), ( 239.5，242.5), ( 263.5,266.5)由此得到零件質(zhì)量的頻率分布表： 零件質(zhì)量/ 頻數(shù) 頻率 236.5239.5 1 0.01 239.5242.5 5 0.05 242.5

10、245.5 9 0.09 245.5248.5 19 0.19 248.5251.5 24 0.24 251.5254.5 22 0.22 254.5257.5 11 0.11 257.5260.5 6 0.06 260.5263.5 1 0.01 263.5266.5 2 0.02 總計(jì) 100 1.00ginif第21頁/共68頁第二十二頁，共68頁。圖62第22頁/共68頁第二十三頁，共68頁。1.某射手進(jìn)行20次獨(dú)立、重復(fù)的射擊，擊中靶子的環(huán)數(shù)如下表： 環(huán)數(shù) 4 5 6 7 8 9 10 頻數(shù) 2 0 4 9 0 3 2 求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) ，并作圖。 xF20第23頁/共68頁第二十四頁

11、，共68頁。2. 測得20個毛坯重量（單位：g），列成簡單表如下: 毛坯重量 185 187 192 195 200 202 205 206 頻數(shù) 1 1 1 1 1 2 1 1 毛坯重量 207 208 210 214 215 216 218 227 頻數(shù) 2 1 1 1 2 1 2 1將其按區(qū)間(183.5,192.5),(219.5，228.5)為5組，列出毛坯重量的頻率分布表，并作直方圖。第24頁/共68頁第二十五頁，共68頁。 為了通過對樣本觀測值的整理、分析、研究，對總體 的某些概率特征作出推斷，往往需要考慮各種適用的樣本函數(shù) 因?yàn)橐唤M樣本 可以看作是一個 維隨機(jī)變量 所以任何樣本

12、函數(shù) 都是 維隨機(jī)變量的函數(shù),XnXXXg,21nXXX,21nnXXX,21nXXXg,21nnXXX,21nxxx,21nxxxg,21nXXXg,21第25頁/共68頁第二十六頁，共68頁。1.樣本均值 (1)niiXnX11觀測值記為 (2)niixnx112.樣本方差 (3) niiniiXnXnXXnS1222121111觀測值記為 (4)niiniixnxnxxns1222121111數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用(chn yn)的統(tǒng)計(jì)量及其觀測值有：第26頁/共68頁第二十七頁，共68頁。3. 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (5)它的觀測值記為 (6)4. 樣本k 階原點(diǎn)矩 (7) 它的觀測值記為 (8)顯然

13、，樣本的一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。niiXXnSS12211niixxnss12211, 2 , 1,11kXnAnikik, 2 , 1,11kxnanikik第27頁/共68頁第二十八頁，共68頁。, 2 , 1,11kXXnBkniik, 2 , 1,11kxxnbkniiknix第28頁/共68頁第二十九頁，共68頁。 觀測值 總計(jì) 頻數(shù) 其中 . 于是樣本均值 ，樣本方差樣本二階中心矩 可以分別按下列公式計(jì)算：liinn1x2s 1x 2x lx1n2nlnn2b liiixnnx11(11) liiixxnns12211(12) liiixxnnb1221(13)第29頁/共68頁第

14、三十頁，共68頁。若總體 的 階矩 存在XkkkxE獨(dú)立且與 同分布。故有knkkXXX,21kXkknkkXEXEXE21與樣本二階中心矩n2s2b顯然，當(dāng)樣本容量 充分大時，樣本方差是近似相等的nkPkA, 2 , 1k則當(dāng) 時獨(dú)立且與X同分布 ，所以nXXX,21因?yàn)榈?0頁/共68頁第三十一頁，共68頁。進(jìn)而由第五章中關(guān)于依概率收斂的序列(xli)的性質(zhì)知道kPnikikXnA11, 2 , 1kkPkgAAAg,2121其中 為連續(xù)函數(shù)，這就是下一章所要介紹的矩估計(jì)法的理論根據(jù)。g從而由第五章的大數(shù)(d sh)定理知第31頁/共68頁第三十二頁，共68頁。第32頁/共68頁第三十三頁

15、，共68頁。3設(shè)抽樣得到100個樣本觀測值如下： 觀測值 1 2 3 4 5 6 頻數(shù) 15 21 25 20 12 7計(jì)算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩。4設(shè) ， 為 的樣本均值與樣本方差.作數(shù)據(jù)變換：x2xsnxxx,21nicaxyii, 2 , 1ixin設(shè) ， 為 的樣本均值與樣本方差，證明（1） （2）y2ysnyyy,21ycax222yxscs 第33頁/共68頁第三十四頁，共68頁。5. 從總體中抽取兩組樣本，其容量分別為 及 ，設(shè)兩組的樣本均值分別為 及 樣本方差分別為 及 ,把這兩組樣本合并為一組容量為 的聯(lián)合樣本，證明： （1）聯(lián)合樣本的樣本均值 （2）聯(lián)合樣本的樣

16、本方差 1n2n1X2X21S22S21nn 212211nnXnXnX2122121212222112111nnXXnnnnSnSnS第34頁/共68頁第三十五頁，共68頁。第35頁/共68頁第三十六頁，共68頁。為了討論正態(tài)總體下的抽樣分布，先引入由正態(tài)分布導(dǎo)出的統(tǒng)計(jì)量中的三個重要分布，即 分布，分布，分布。 1. 分布設(shè) 是來自總體 的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量 （1）服從自由度為 的 分布，記為2tF2nXXX,211 , 0N222212nXXXn2 n22第36頁/共68頁第三十七頁，共68頁。 n2 12221e,0,220,nynyynfy其他 yf此處，自由度是指（1）式右端包含獨(dú)立(

17、dl)變量個數(shù)分布(fnb)的概率密度為的圖形(txng)如圖63所示。（2）第37頁/共68頁第三十八頁，共68頁。圖6-3第38頁/共68頁第三十九頁，共68頁。2122221nn 此結(jié)論可推廣：設(shè) 且相互獨(dú)立 iinX2ki, 2 , 1niikiinX1212分布的可加性分布的可加性 1221n2222,n2221,設(shè),并且 獨(dú)立，則（證明(zhngmng)略）則第39頁/共68頁第四十頁，共68頁。若 ，則有 n222,EnnD222分布的數(shù)學(xué)期望和方差1 , 0 NXi因12iiXDXE34iXEni, 2 , 1故nXEXEEniinii12122因此2132242iiiXEXE

18、XD又所以 也相互獨(dú)立由于 相互獨(dú)立nXXX,2122221,nXXXnXDXDDniinii212122于是第40頁/共68頁第四十一頁，共68頁。則稱點(diǎn) 為 的上 分位點(diǎn)x xF2分布的分位點(diǎn) xF10定義 設(shè)有分布函數(shù) ,若對給定的 xXP有(6) xxfxXPxd nyyfnP2d22 xF xf當(dāng) 有密度函數(shù) 時，式（6）可寫成(7) n2由上述定義得 分布的上 分位點(diǎn)為(8)第41頁/共68頁第四十二頁，共68頁。 如圖6-4所示，對于不同的 上 分位點(diǎn)的值已制成表格，可以查用（參見附表4）。,n第42頁/共68頁第四十三頁，共68頁。9,05. 0n 919.169205. 04

19、5nn ,122122nunu45n n2例如由（9）式可得 （由更詳細(xì)的表得 ）221.6799645. 121502205. 0505.6750205. 0第43頁/共68頁第四十四頁，共68頁。2. 2. 分布分布t設(shè) ， ，且 獨(dú)立1 , 0 NX nY2YX,服從自由度為 的 分布ntnYXt 則稱隨機(jī)變量（10） ntt 記為t分布又稱為學(xué)生氏（student）分布 nt分布的概率密度函數(shù)為 ,1221212nntnnntht(11 )第44頁/共68頁第四十五頁，共68頁。 圖6-5中畫出了 的圖形 的圖形關(guān)于 對稱，當(dāng) 充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形。事實(shí)上，

20、利用 函數(shù)的性質(zhì)可得 故當(dāng) 足夠大時， 分布近似于 分布。 但對于較小的 ， 分布與 分布相差較大（見附表3 與附表2） th th0tn 221lime2tnh tnt1 , 0Nnt1 , 0N（12）第45頁/共68頁第四十六頁，共68頁。圖6-5第46頁/共68頁第四十七頁，共68頁。的點(diǎn) 為 分布的上 分位點(diǎn).(見圖6-6) nt ntt分布的分位點(diǎn)10對于給定的 ， ，稱滿足條件 dtnP ttnh tt（13）第47頁/共68頁第四十八頁，共68頁。由 分布上 分位點(diǎn)的定義及 圖形的對稱性知t th ntnt1在 時，對于常用的 的值，就用正態(tài)近似45n unt（14）t分布的上

21、 分位點(diǎn)可自附表查得.（15）第48頁/共68頁第四十九頁，共68頁。 其他,00,12222212112221212111ynynnnynnnnynnnn F3. 3. 分布分布(fnb)(fnb) ,12nU,22nVVU,設(shè)且 獨(dú)立，21nVnUF 21,nnF則稱隨機(jī)變量服從自由度為 的 分布.,21nnFF記為（16）21,nnF的概率密度為（17）第49頁/共68頁第五十頁，共68頁。 y 圖6-7中畫出了 的圖形.,21nnFF12,1nnFF由定義可知，若 則 （ 18）圖6-7第50頁/共68頁第五十一頁，共68頁。 1212,dFn nP FFn nyyF分布的分位點(diǎn),10

22、對于給定的 ,稱滿足條件（19）21,nnF21,nnF的點(diǎn) 為 分布的上 分位點(diǎn)(圖6-8)圖6-8第51頁/共68頁第五十二頁，共68頁。12211,1,nnFnnF容易證明等式：（20）利用(lyng)這個等式，查附錄表，可以計(jì)算當(dāng)995. 0,99. 0,975. 0,95. 0F時的 的值.211. 074. 415 ,10110, 505. 095. 0FF例如F分布(fnb)的上 分位點(diǎn)有表格可查（見附表 5）第52頁/共68頁第五十三頁，共68頁。 研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)的問題時，往往需要知道所討論的統(tǒng)計(jì)量 的分布一般說來，要確定某個統(tǒng)計(jì)量的分布是困難的，有的甚至是不可能的然而，對于總體

23、服從正態(tài)分布的情形已經(jīng)有了詳盡的研究. 下面我們討論服從正態(tài)分布的總體的統(tǒng)計(jì)量的分布.nXXXg,21niiXnX1121211niiXXnSnXXX,212,N2,N假設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本，即它們是獨(dú)立同分布的,皆服從 分布,樣本(yngbn)均值與樣本(yngbn)方差分別是第53頁/共68頁第五十四頁，共68頁。nNX2,1 , 0 NnXX2,N定理1 設(shè)總體 服從正態(tài)分布 ，（21）即則niiniiXnXnX11111 , 0 NnXnXXX,21X2,N 因?yàn)殡S機(jī)變量 相互獨(dú)立且與總體 服從相同的正態(tài)分布 證所以(suy)由正態(tài)分布的性質(zhì)(xngzh)可知，它們的線性組合服從

24、nN2,正態(tài)分布即第54頁/共68頁第五十五頁，共68頁。2221Sn1n2112222nSnX2,N定理2 設(shè)總體 服從正態(tài)分布 則X2S（1）樣本均值 與樣本方差 相互獨(dú)立；（2）統(tǒng)計(jì)量 服從自由度 的 分布即（22）第55頁/共68頁第五十六頁，共68頁。niiXXSn1221211222211niniiiXXXXSn雖然是 個隨機(jī)變量的平方和，但是這些隨機(jī)變量不是相互獨(dú)立的 。因?yàn)樗鼈兊暮秃愕扔诹悖簄0111niiniiXnXXX2S由樣本方差 的定義易知所以(suy)統(tǒng)計(jì)量由于受到一個(y )條件的約束，所以自由度為1n第56頁/共68頁第五十七頁，共68頁。第57頁/共68頁第五十

25、八頁，共68頁。nXXX,212,N1ntSnXT例1 設(shè) 是來自 的樣本，則統(tǒng)計(jì)量（23）1 , 0 NnXu由定理1知，統(tǒng)計(jì)量112222nSn又由定理2知，統(tǒng)計(jì)量因?yàn)?與 相互獨(dú)立X2SnXu2221Sn與 也相互獨(dú)立所以證11/11222ntSnXnSnnXnTt于是 ，由 分布的定義可知，統(tǒng)計(jì)量 第58頁/共68頁第五十九頁，共68頁。例2 設(shè) 來自 ， 是來自 的兩個獨(dú)立樣本，記1,21nXXX21,N2,21nYYY22,N111,1niiXnX212,1njjYnY11212111niiXXnS,11212222njjYYnS,211212222112nnSnSnSw2wwSS

26、則統(tǒng)計(jì)量211212121nntnnSYXTw（24）第59頁/共68頁第六十頁，共68頁。121,nNX222,nNY由定理1可知，統(tǒng)計(jì)量證XY且 與 相互獨(dú)立221221,nnNYX由正態(tài)分布的性質(zhì)(xngzh)知1 , 0112121NnnYXU即,11122211nSn11222222nSn又由定理(dngl)2知：第60頁/共68頁第六十一頁，共68頁。因?yàn)?與 相互獨(dú)立， 與 相互獨(dú)立X21SY22S所以統(tǒng)計(jì)量 與 也相互獨(dú)立UV211221212121nntnnSYXnnVUTw因?yàn)?與 相互獨(dú)立，所以由 分布的可加性可知21S22S22112122222211nnSnSnV統(tǒng)計(jì)量t于是，由 分布定義可知，統(tǒng)計(jì)量第61頁/共68頁第六十二頁，共68頁。由假設(shè)，