東北大學(xué) 高等數(shù)學(xué)習(xí)題7

1、三三、設(shè)設(shè)曲曲線線上上點點),(yxP處處的的法法線線與與x軸軸的的交交點點為為Q, ,且且線線段段PQ被被y軸軸平平分分, ,試試寫寫出出該該曲曲線線所所滿滿足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空題填空題: : 1 1、022 yxyyx是是_階微分方程；階微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_階微分方程；階微分方程；3 3、 2sin dd是是_階微分方程；階微分方程；4 4、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有_個任意常數(shù)個任意常數(shù) . .二、確定函數(shù)關(guān)系式二、確定函數(shù)關(guān)系式)sin(21CxCy 所含的參數(shù)所含的參數(shù), ,使使 其滿足初始條

2、件其滿足初始條件1 xy, ,0 xy. .第一節(jié)第一節(jié) 練練 習(xí)習(xí) 題題五、是非題五、是非題1、函數(shù)、函數(shù) 是微分方程是微分方程 的解的解2、函數(shù)、函數(shù) 是微分方程是微分方程 的解的解3、函數(shù)、函數(shù) 是微分方程是微分方程 的解的解3yx30dyxydx3yCx30dyxydxxye0yy六、選擇題：微分方程的通解是（六、選擇題：微分方程的通解是（ ）arcsin222222arctan221.2.arctanln.lnarctan.yxyxAxyCeyBxyCxyCxyCxDxyCe七、填空題七、填空題1、微分方程、微分方程 的自變量為的自變量為 未知函數(shù)為未知函數(shù)為 方程的階數(shù)為方程的階數(shù)

3、為444d sssdt2、微分方程、微分方程 的自變量為的自變量為 未知函數(shù)為未知函數(shù)為 方程的階數(shù)為方程的階數(shù)為220 x yy練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 CC三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .五、五、1、對；、對； 2、對；、對； 3、錯、錯.六、六、B.七、七、1、t為自變量，為自變量，s為函數(shù)，方程為為函數(shù)，方程為4階階 2、 為自變量，為自變量，y為函數(shù)，方程為為函數(shù)，方程為1階階x一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22

4、 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .第二節(jié)第二節(jié) 練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點受外力作用作直線運動的質(zhì)點受外力作用作直線運動, ,這外力這外力和時間成正比和時間成正比, ,和質(zhì)點運動的速度成反比和質(zhì)點運動的速度成反比. .在在10 t秒時秒時, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘

5、米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘米厘米克克 , ,問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點點 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .五、是非題五、是非題 微分方程微分方程 不是可不是可分離變量的微分方程分離變量

6、的微分方程六、選擇題六、選擇題 微分方程微分方程 的解是（的解是（ ）dyyydxx1021yy2222.1.1.1.1A yxB yxC xyD xy七、填空題七、填空題1、微分方程、微分方程 的通解是的通解是2、微分方程、微分方程 滿足滿足 的解為的解為10dyydxx0dxdyyx 34y3、微分方程、微分方程 的通解為的通解為 ，滿足滿足 的特解為的特解為4、微分方程、微分方程滿足滿足 的特解為的特解為20dyxdx00 xylnln0yxdxxydy1212x eye八、解答題八、解答題1、求微分方程、求微分方程 的通解的通解2、求微分方程、求微分方程 的通解，并求滿足的通解，并求滿

7、足初始條件初始條件 的特解的特解3、求微分方程、求微分方程 的通解的通解2211ydxxdy dyxdxy 24yyxdye dx4、求微分方程、求微分方程 的的通解，并求滿足初始條件通解，并求滿足初始條件 的特解的特解5、求微分方程、求微分方程的通解的通解sincoscos sinxydxxydy 04y0 x yxx yyeedxeedy練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四

8、、取四、取 0 0 為原點為原點, ,河岸朝順?biāo)较驗楹影冻標(biāo)较驗檩S軸x, ,軸軸y指向?qū)χ赶驅(qū)?岸岸, ,則所求航線為則所求航線為)312(32yyhakx . .五、對五、對.六、六、D.七、七、1、 ； 2、 3、所求通解為、所求通解為 ；特解為；特解為 4、特解為、特解為2225xyyCx2yxC2yx221lnln2xy八、八、1、 2、通解為、通解為 ，特解為，特解為 3、通解為、通解為4、通解為、通解為 特解為特解為5、通解為、通解為arctanarctanyCx222xyC2220 xylnyxeC coscosxCycos2cosxy11xyeeC第三節(jié)第三節(jié) 練習(xí)題練習(xí)

9、題一、是非題一、是非題 微分方程微分方程 是一階是一階線性微分方程線性微分方程二、選擇題二、選擇題1、下列微分方程中為一階線性方程的是（、下列微分方程中為一階線性方程的是（ ）sindyyxdx22.sin.0A xyyxB yxyxC yyxD yxy2、微分方程、微分方程 的通解的通解是（是（ ）211yyxx x1.arctan.arctan1.arctan.arctanAxCBxCxCCxCDxxx三、解答題三、解答題1、求微分方程、求微分方程 的通解的通解2、求微分方程、求微分方程 的通解的通解3、求微分方程、求微分方程 的通解的通解4、求微分方程、求微分方程 的通解的通解232xy

10、yxxyyxx22xdyxyxedx122xxx yyx e5、求微分方程、求微分方程 的通解的通解6、求微分方程、求微分方程 的通解的通解7、求微分方程、求微分方程 滿足初始滿足初始條件條件 的解的解222121xyxyx2xyyysintan0 xy dyydx 16y練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、錯一、錯.二、二、1、B; 2、B.三、三、1、 2、 3、213232Cyxxx313xyCx22212xxyx eCe4、5、6、7、11xxxyeCe21yxCx2xyCy232 sinsin4xyy一一、求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2

11、、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二二、 求求下下列列微微分分方方程程滿滿足足所所給給初初始始條條件件的的特特解解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy第四節(jié)第四節(jié) 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案第七節(jié)第七節(jié) 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、 驗證驗證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解:

12、:1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數(shù)是任意常數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .第八節(jié)第八節(jié) 練練 習(xí)習(xí) 題題 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy；

13、 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突 然放開向下壓后突 然放開, ,浮筒 在水中上 下振動的浮筒 在水中上 下振動的s2周周期期為為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .第九節(jié)第九節(jié) 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2c

14、os(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :為為兩兩個個xe, 1線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解) )四、四、195 Mkg.kg.一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 一階線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQey

15、dxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齊次方程；齊次方程； (B) (B)一階線性方程；一階線性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分離變量方程可分離變量方程 . .第七章第七章 測測 驗驗 題題3 3、2)1(,022 yxdxydy的的特特解解是是( ( ) ). . ( (A A) )222 yx； ( (B B) )933 yx； ( (C C) )133 yx； ( (D D) )13333 yx. .4 4、方方程程xysin 的的通通解解是是( ( ) ). .

16、 ( (A A) )322121cosCxCxCxy ； ( (B B) )322121sinCxCxCxy ； ( (C C) )1cosCxy ； ( (D D) )xy2sin2 . .5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy . .6 6、若、若1y和和2y是二階齊次線性方程是二階齊次線性方程 0)()( yxQyxPy的兩個特解的兩個特解, ,則則 2211yCyCy ( (其中其中21,CC為任意常數(shù)為任意常數(shù))( )( )(A)(A)是該方程的通解；是該方程的通解； (B) (B)是該方程的解；是該方程的解； (C) (C)是該方程的特解；是該方程的特解； (D) (D)不一定是