5-3 方陣的相似變換

1、第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系15.3 方陣的相似變換v相似矩陣與相似變換 設(shè)A Bn階矩陣 若有可逆矩陣P 使P1APB則稱B是A的相似矩陣 或說矩陣A與B. 對A進(jìn)行運(yùn)算P1AP稱為對A進(jìn)行相似變換 可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣. 2v定理3 若n階矩陣A與B相似 則A與B的特征多項(xiàng)式相同 從而A與B的特征值也相同. 因此 |BE|P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P1|AE|P| |AE|. 即A與B有相同的特征多項(xiàng)式. 證明 因?yàn)锳與B相似 所以有可逆矩陣P 使P1APB.3v定理1 若n階矩陣A

2、與B相似 則A與B的特征多項(xiàng)式相同 從而A與B的特征值也相同. v推論 若n階矩陣A與對角矩陣diag(1 2 n)相似 則1 2 n即是A的n個特征值. 因?yàn)? 2 n是的n個特征值 由定理1知1 2 n也是A的n個特征值. 證明 4v相似矩陣的作用 若APBP1 則AkPBkP1. A的多項(xiàng)式(A)P(B)P1. 特別 或有可逆矩陣P使P1AP為對角陣 則AkPkP1 (A)P()P1.其中 kdiag(1k 2k nk) ()diag(1) (2) (n). v定理1 若n階矩陣A與B相似 則A與B的特征多項(xiàng)式相同 從而A與B的特征值也相同. v推論 若n階矩陣A與對角矩陣diag(1

3、2 n)相似 則1 2 n即是A的n個特征值. 5v矩陣的對角化 一個n階矩陣A能否對角化？如何尋求相似變換矩陣P 使P1AP為對角陣？ 設(shè)P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2 n)則APP 即 A(p1 p2 pn)(p1 p2 pn)diag(1 2 n) (1p1 2p2 n pn) 于是有 Apii pi (i1 2 n). 可見i是A的特征值 而P的列向量pi就是A的對應(yīng)于特征值i的特征向量. 反之 由上節(jié)知A恰好有n個特征值 并可對應(yīng)地求得n個特向量 這n個特征向量即可構(gòu)成矩陣P 使APP. 6v定理4 n階矩陣A與對角陣相似(即A能對角化)的充分必要條件是A有n

4、個線性無關(guān)的特征向量. v推論 如果n階矩陣A的n個特征值互不相等 則A與對角陣相似. v矩陣的對角化 一個n階矩陣A能否對角化？如何尋求相似變換矩陣P 使P1AP為對角陣？ （考試重點(diǎn)）7相似對角化的條件定理定理階矩陣階矩陣能與對角矩陣能與對角矩陣相似相似有階線性無關(guān)的特征向量有階線性無關(guān)的特征向量推論推論如果階矩陣如果階矩陣有個不同的特征值，則矩陣有個不同的特征值，則矩陣可相似對角化可相似對角化推論推論若階矩陣若階矩陣可相似對角化可相似對角化的任重的任重特征值特征值對應(yīng)個線性無關(guān)的特征對應(yīng)個線性無關(guān)的特征向量向量iti it8注意注意中的列向量中的列向量12,nppp的排列順序要與的排列順

5、序要與12,n 的順序一致的順序一致（1 1）（2 2）是是ip()0AE x 的基礎(chǔ)解系中的解向量，的基礎(chǔ)解系中的解向量，因因ip的取法不是唯一的，的取法不是唯一的，故故因此因此也是不唯一的也是不唯一的（3 3）所以如果不計所以如果不計的排列順序，的排列順序，0AE 的根只有個（重根按重數(shù)計算）的根只有個（重根按重數(shù)計算）又又 是唯一的是唯一的則則i 1 1、對角形的主對角線元素就是、對角形的主對角線元素就是 A A 的所有特征值的所有特征值2 2、矩陣、矩陣P P是由矩陣是由矩陣 A A 的所有特征向量構(gòu)成的可逆矩陣的所有特征向量構(gòu)成的可逆矩陣9 例1 設(shè) 問x為何值時 矩陣A能對角化？0

6、0111100 xA 解 ) 1() 1(011110|2xEA 得11 231. 矩陣A可對角化的充分必要條件是對應(yīng)重根231 有2個線性無關(guān)的特征向量 即方程(AE)x0有2個線性無關(guān)的解 亦即系數(shù)矩陣AE的秩R(AE)1. 00010010110101101xxEAr 所以當(dāng)x1時 R(AE)1 此時矩陣A能對角化. 因?yàn)?10 練習(xí)練習(xí) 1 判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似似 112202213A解解 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 11222213EA|110222131 )( 1102221321)( 因此因此 A 的特征值為的特征值為.,10321 變換矩陣和對角矩陣變換矩陣和對角矩陣11 由由時時，解解方方程程組組當(dāng)當(dāng). 0 xE0A01 112202213A 000110011,111p1 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12,時時當(dāng)當(dāng)132 解方程組解方程組(A - E)x = 0.由由 212212212EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 0000001211/ 101p0121p32,/13令令 1010111211P/則可逆矩陣則可