概率論何書元編著答案習(xí)題一解答

1、習(xí)題一解答習(xí)題一解答, 2 , 1 jAj, 2 , 1 jBj1.1.設(shè)設(shè)是事件列，求互不相容事件是事件列，求互不相容事件，使得，使得 11jjjjBA，且，且.jjAB ,0 A,10 jijjjAAB 11jjjjBA解解 令令即有即有, 2 , 1, jABjj且且2 .1002 .100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3 3件次品，從中任取兩件，件次品，從中任取兩件， A“至少有一件次品至少有一件次品”， A“兩件都是合格品兩件都是合格品”求至少有一件次品的概率。求至少有一件次品的概率。解解 令令0594. 01)(1)(2100297 CCAPAP42522)(35231314 CCCAP42

2、516913)(352334 CCBP解解 令令 A“3“3張牌同花色張牌同花色” ” B“3“3張牌相互不同花色張牌相互不同花色”3.3.從一副撲克牌的從一副撲克牌的5252張中無放回地任取張中無放回地任取3 3張，張，求這求這3 3張牌同花色的概率和相互不同花色的概率。張牌同花色的概率和相互不同花色的概率。解解 令令 A“3“3張牌互不同號(hào)張牌互不同號(hào)” ” B“3“3張牌同號(hào)張牌同號(hào)”4.4.從一副撲克牌的從一副撲克牌的5252張中有放回地任取張中有放回地任取3 3張，張，求這求這3 3張牌互不同號(hào)的概率和同號(hào)的概率。張牌互不同號(hào)的概率和同號(hào)的概率。16913252)(318521452

3、152 CCCAP169152)(31414152 CCCBP現(xiàn)在無放回地試開房門，計(jì)算現(xiàn)在無放回地試開房門，計(jì)算5.5.鑰匙串上的鑰匙串上的5 5把鑰匙中只有一把可以開房門，把鑰匙中只有一把可以開房門，（1 1）第三次打開房門的概率。）第三次打開房門的概率。（2 2）三次內(nèi)打開房門的概率。）三次內(nèi)打開房門的概率。（3 3）如果）如果5 5把中有把中有2 2把可以打開房門，求三次內(nèi)把可以打開房門，求三次內(nèi)打開房門的概率。打開房門的概率。解解 （1 1） 51345134 p iAi, 3 , 2 , 1 i51)( iAP（2 2）令）令“第第次打開房門次打開房門”， 則則，且，且 321,A

4、AA互斥，則互斥，則53515151 p（3 3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?,52)(1 AP,1034523)(2 AP,51102345223)(3 AP1095110352 p6. 6. 有有1515名新研究生隨機(jī)選擇名新研究生隨機(jī)選擇3 3個(gè)專業(yè)，每個(gè)專業(yè)個(gè)專業(yè)，每個(gè)專業(yè)5 5人，人，計(jì)算如果這計(jì)算如果這1515名學(xué)生中有名學(xué)生中有3 3名女生，名女生，（1 1）每個(gè)專業(yè)各得一名女生的概率）每個(gè)專業(yè)各得一名女生的概率 （2 2）3 3名女生分在同一專業(yè)的概率名女生分在同一專業(yè)的概率 解解 (1)(1) 9125! 5 ! 5 ! 5!15/! 4 ! 4 ! 4!12 p(2)(2) 916! 5

5、! 5 ! 5!15/! 5 ! 5 ! 2!12 p7.7.直徑為直徑為1 1的硬幣隨機(jī)地落在打有方格的平面上，的硬幣隨機(jī)地落在打有方格的平面上， 問方格的邊長為多少才能使硬幣和網(wǎng)格不相交的問方格的邊長為多少才能使硬幣和網(wǎng)格不相交的概率小于概率小于0.01.0.01. 解解 假設(shè)方格的邊長為假設(shè)方格的邊長為, x硬幣的圓心落在方格內(nèi)硬幣的圓心落在方格內(nèi)是等可能的，則圓心落在如圖小方格是等可能的，則圓心落在如圖小方格 A中時(shí)，硬幣中時(shí)，硬幣 不與網(wǎng)格相交不與網(wǎng)格相交,01. 0)1()(22 xxAP,101xx 910 x1 , 0,ZYX,ZYX8.8.在在中任取三點(diǎn)中任取三點(diǎn)求線段求線段

6、能構(gòu)成三角形的概率。能構(gòu)成三角形的概率。解法一（三維）解法一（三維） 兩邊和大于第三邊。兩邊和大于第三邊。構(gòu)成三角形的充要條件是：構(gòu)成三角形的充要條件是：1,0),( zyxzyx1)( m,),(xzyyzxzyxzyxA 如圖相當(dāng)于立方體如圖相當(dāng)于立方體 切去三個(gè)角，切去三個(gè)角， 每個(gè)角的體積為每個(gè)角的體積為 ,6112131 216131)( Am21)( AP解法二解法二 不妨假設(shè)不妨假設(shè) , 10 zyx則則 10),( zyxyx,),( ),(zyxyxyxA 212141)(22 zzAPzyx yx zz9. 9. 已知已知2424小時(shí)內(nèi)有兩條船相互獨(dú)立且隨機(jī)的到達(dá)小時(shí)內(nèi)有兩

7、條船相互獨(dú)立且隨機(jī)的到達(dá)碼頭，它們的?？繒r(shí)間分別是碼頭，它們的?？繒r(shí)間分別是3 3和和4 4小時(shí)，如果小時(shí)，如果碼頭碼頭只能容納一只船，求后到的船需要等待的概率。只能容納一只船，求后到的船需要等待的概率。解解 設(shè)設(shè) yx,分別是兩只船到達(dá)碼頭的時(shí)間，則分別是兩只船到達(dá)碼頭的時(shí)間，則24,0),( yxyx34),( xyyxyxA或或115231124)2021(2124)()(2222 mAmp 也是也是上事件域。上事件域。 F, F10. 10. 設(shè)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)設(shè)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)是是上事件域，證上事件域，證證明證明 令令 , FF 只需證只需證 F滿足事件域滿足事件域的三個(gè)性質(zhì)的三個(gè)性質(zhì)（1 1）

8、 F ,FF （2 2） FFA 對(duì)對(duì) FA , FA ,FFA （3 3） FFAj FAj , FAjj1 ,FFAjj 1所以所以 FF 也是也是 上事件域。上事件域。11.11.電梯中的兩個(gè)人等可能地要去電梯中的兩個(gè)人等可能地要去n, 3 , 2層層),(PF F#,# （1 1）寫出相應(yīng)的概率空間）寫出相應(yīng)的概率空間，給出，給出A)(AP（2 2）用）用表示這兩個(gè)人到達(dá)不同的樓層，計(jì)算表示這兩個(gè)人到達(dá)不同的樓層，計(jì)算解解 （1 1）用）用 ., 3 , 2,njibaji 2) 1(#nF 是是子集的全體，則子集的全體，則 jiba層第二人去層第二人去ij第一人去第一人去層，則層，則

9、2)1(2# nF,FB #)(BBP對(duì)對(duì)定義定義（2 2）表示兩個(gè)人到達(dá)不同樓層，表示兩個(gè)人到達(dá)不同樓層，A,11)1(1)(2 nnnAP12111)( nnnAPA表示兩個(gè)人到達(dá)相同樓層表示兩個(gè)人到達(dá)相同樓層 12. 12. 兩個(gè)人下棋，每局獲勝者得一分，累計(jì)多于兩個(gè)人下棋，每局獲勝者得一分，累計(jì)多于 對(duì)手兩分者獲勝，設(shè)甲每局獲勝的概率為對(duì)手兩分者獲勝，設(shè)甲每局獲勝的概率為 , p求甲求甲 最終獲勝的概率。最終獲勝的概率。解（解（1 1）乙勝）乙勝a2 a局，甲要?jiǎng)倬?，甲要?jiǎng)倬植潘阕罱K獲勝，局才算最終獲勝， 所以下棋的總盤數(shù)是所以下棋的總盤數(shù)是 , 22 a為偶數(shù)。為偶數(shù)。（2 2）甲要

10、最終獲勝，最后要兩局連勝）甲要最終獲勝，最后要兩局連勝設(shè)下棋的盤數(shù)設(shè)下棋的盤數(shù) , 22 kn最后兩局甲勝，前最后兩局甲勝，前 k2局局甲乙各勝甲乙各勝 k局。局。前前 k2局兩盤兩盤看成一個(gè)盒子，每個(gè)盒子中放入局兩盤兩盤看成一個(gè)盒子，每個(gè)盒子中放入 和和V,X表示甲先贏后輸，表示甲先贏后輸，VX表示甲先輸后贏，表示甲先輸后贏，種，所以種，所以k2共有共有則每個(gè)盒子有則每個(gè)盒子有2 2種種, , 02)2(kkkkqppp222qpp pqp2112 02)2(kkpqp)1( qp13. 13. 甲、乙二人比賽，如果甲勝的概率甲、乙二人比賽，如果甲勝的概率 ,21 p三局兩勝的比賽規(guī)則對(duì)甲有

11、利，還是五局三勝的三局兩勝的比賽規(guī)則對(duì)甲有利，還是五局三勝的 規(guī)則對(duì)甲有利？規(guī)則對(duì)甲有利？解解 設(shè)三局兩勝下甲取勝的概率為設(shè)三局兩勝下甲取勝的概率為 ,1p則則 322222123)1(22pppppqppp 設(shè)五局三勝下甲取勝的概率為設(shè)五局三勝下甲取勝的概率為 ,2p則則345233321015663pppqpqppp 所以所以 0)12()1(32212 ppppp 即五局三勝對(duì)甲有利即五局三勝對(duì)甲有利 14. 14. 一副眼鏡第一次落地摔壞的概率是一副眼鏡第一次落地摔壞的概率是0.50.5，若，若 第一次沒摔壞，第二次摔壞的概率是第一次沒摔壞，第二次摔壞的概率是0.70.7，若第二次，若

12、第二次 沒摔壞第三次落地摔壞的概率是沒摔壞第三次落地摔壞的概率是0.90.9，求該眼鏡落地，求該眼鏡落地 三次沒有摔壞的概率。三次沒有摔壞的概率。 iA眼鏡第眼鏡第 次落地沒有摔壞，次落地沒有摔壞，解解 令令 i3 , 2 , 1 i)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 015. 01 . 07 . 05 . 0 15.15.甲吸煙時(shí)在兩盒有差別的火柴中任選一盒，使用甲吸煙時(shí)在兩盒有差別的火柴中任選一盒，使用 其中的一根火柴，設(shè)每盒火柴中有其中的一根火柴，設(shè)每盒火柴中有 n根火柴，求遇到根火柴，求遇到 一盒空而另外一盒剩下一盒空而另外一盒剩下 r根火柴的概率。根火柴的概

13、率。解解 吸煙一次看做一次試驗(yàn)，重復(fù)了吸煙一次看做一次試驗(yàn)，重復(fù)了 rn 2次，次， 兩盒火柴有差別，則兩盒火柴有差別，則rnnnrnCp )21()21(22注注 此題改為兩盒火柴無差別，此題改為兩盒火柴無差別， rnnnrnCp )21()21(216.16.一枚深水炸彈擊沉、擊傷和不能擊中一艘潛水艇一枚深水炸彈擊沉、擊傷和不能擊中一艘潛水艇 的概率。的概率。21,31,61的概率分別是的概率分別是和和設(shè)擊傷該艘潛水艇兩次也設(shè)擊傷該艘潛水艇兩次也使該潛水艇沉沒，求用使該潛水艇沉沒，求用4 4枚深水炸彈擊沉該艘潛水艇枚深水炸彈擊沉該艘潛水艇解解 令令 A潛水艇未被擊中潛水艇未被擊中 （四枚全

14、不中或三枚不中且一枚擊傷）（四枚全不中或三枚不中且一枚擊傷）1296133613)21()61()61()(23344 CAP129612831296131)( APk17. 17. 設(shè)一輛出租車一天內(nèi)穿過設(shè)一輛出租車一天內(nèi)穿過個(gè)路口的概率是個(gè)路口的概率是, pm為為求這輛出租車一天內(nèi)遇到求這輛出租車一天內(nèi)遇到個(gè)紅燈的概率。個(gè)紅燈的概率。 ),2 , 1 , 0( ,! kkepkk是正常數(shù)，如果各個(gè)路口是正常數(shù)，如果各個(gè)路口的紅綠燈是獨(dú)立工作的，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率的紅綠燈是獨(dú)立工作的，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率解解 設(shè)設(shè) kBk)2 , 1 , 0( k出租車一天穿過出租車一天穿過個(gè)路口

15、，個(gè)路口， mAm)2 , 1 , 0( m出租車一天內(nèi)遇到出租車一天內(nèi)遇到個(gè)紅燈，個(gè)紅燈， )(mAP 則則 （mk 時(shí)概率為時(shí)概率為0 0） mkkmkBAPBP)()( mkkke! mkmkmkppmkmkke)1()!( ! mkmmkppC )1( mkmkmkmmpmkmep)1()!(1! 0!)1(!lllmmlpmep )1(!pmmemep pmemp !)()2 , 1 , 0( m18. 18. 甕甕I I中有中有2 2個(gè)白球個(gè)白球3 3個(gè)黑球，甕個(gè)黑球，甕IIII中有中有4 4個(gè)白球個(gè)白球 和和1 1個(gè)黑球，甕個(gè)黑球，甕IIIIII有有3 3個(gè)白球和個(gè)白球和4 4個(gè)

16、黑球，隨機(jī)選一個(gè)個(gè)黑球，隨機(jī)選一個(gè) 甕并從中隨機(jī)地抽取一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是白球，求甕甕并從中隨機(jī)地抽取一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是白球，求甕I I被被 選到的概率。選到的概率。, i解解 設(shè)設(shè) iA3 , 2 , 1 i選中甕選中甕 B取白球取白球 31111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP57147331543152315231 19. 19. 甲乘汽車、火車的概率分別為甲乘汽車、火車的概率分別為0.60.6、0.40.4，汽車，汽車和和火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.80.8、0.90.9，現(xiàn)在甲已經(jīng)，現(xiàn)在甲已經(jīng) 正點(diǎn)到達(dá)，求甲乘火車的概率。正點(diǎn)到達(dá)，求甲乘火車的概率。

17、解解 設(shè)設(shè) A甲乘汽車，甲乘汽車， B甲正點(diǎn)到，則甲正點(diǎn)到，則)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 738 . 06 . 09 . 04 . 09 . 04 . 0 1 n)0(nii i20.20.設(shè)有設(shè)有個(gè)口袋，第個(gè)口袋，第個(gè)口袋中有個(gè)口袋中有in 個(gè)白球，個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)紅球， 先在這先在這 1 n個(gè)口袋中任意個(gè)口袋中任意選定一個(gè)，然后在這袋中有放回地抽取選定一個(gè)，然后在這袋中有放回地抽取 r個(gè)球，個(gè)球， 如果這如果這r個(gè)球都是紅球，求再抽一個(gè)也是紅球的概率。個(gè)球都是紅球，求再抽一個(gè)也是紅球的概率。 iAni, 2 , 1 , 0 解解 設(shè)設(shè)選中第選中第個(gè)口

18、袋，個(gè)口袋，i jBjrj, 2 , 1 第第次抽紅球，次抽紅球， niiiABPAPBP111)|()()( nininn111 niiiABBPAPBBP12121)|()()(21)(11 nininn niirirABBBPAPBBBP12121)|()()(rnininn)(111 )()()(11111rrrrrBBPBBBPBBBP nirrnirrrnnnrnnn0011)()1(1)()1(1 nirnirrnnrn001)()( A解解 設(shè)設(shè)機(jī)器良好機(jī)器良好 21.21.一臺(tái)機(jī)床工作狀態(tài)良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率是一臺(tái)機(jī)床工作狀態(tài)良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率是%,99機(jī)床發(fā)生故障時(shí)產(chǎn)品的

19、合格率是機(jī)床發(fā)生故障時(shí)產(chǎn)品的合格率是 %,50設(shè)每次新開設(shè)每次新開 機(jī)器時(shí)機(jī)床處于良好狀態(tài)的概率是機(jī)器時(shí)機(jī)床處于良好狀態(tài)的概率是 %,95如果新開如果新開機(jī)器后生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品，求機(jī)床處于良好機(jī)器后生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品，求機(jī)床處于良好 狀態(tài)的概率。狀態(tài)的概率。 B產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格 則則%,99)( ABP%,50)( ABP%,95)( AP%5)( AP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 50. 005. 099. 095. 099. 095. 0 974. 096559405 nnnkAnk22.22.口袋中有質(zhì)地相同的口袋中有質(zhì)地相同的 個(gè)白球和

20、個(gè)白球和一次取一次取個(gè)，用個(gè)，用表示這表示這個(gè)球中恰有個(gè)球中恰有個(gè)紅球個(gè)紅球個(gè)紅球，從中個(gè)紅球，從中)(kAP（1 1）計(jì)算）計(jì)算nnnkknCC202)( （2 2）證明）證明,mnmnnkknmknCCC 0（3 3）對(duì)正整數(shù)）對(duì)正整數(shù)證明證明解（解（1 1） nnknnnknnknkCCCCCAP222)()( （2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)閚AAA,10組成完備事件組，則組成完備事件組，則 nkkAP0)(1 nkknnnCC022)(1nnnkknCC202)( m（3 3）假設(shè)口袋中有）假設(shè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)白球，n個(gè)紅球，從中一次取個(gè)紅球，從中一次取n個(gè)，令個(gè)，令 kBn取到的取到的個(gè)球中有個(gè)球中有個(gè)紅球，則個(gè)紅球，則knBBB,10組成完備事件組組成完備事件組 nkkBP0)(1 n