空間解析幾何方法

1、(空間解析幾何)之內容方法內容：空間直角坐標系；平面的點法式與一般式方程；空間直線的對稱式與一般式方程及它們間的平行與垂直等相關位置；曲面與空間曲線的方程等。它是以后學習二重積分和三重積分的基礎。本章的重點是：平面的點法式方程；直線的對稱式方程；球面方程；母線平行于坐標軸的柱面方程。難點是：母線平等于行坐標軸的柱面方程的概念和空間曲線在坐標軸上的投影曲線的概念。一空間直角坐標系空間直角坐標系是平面直角坐標系的推廣。每點由三個有序實數(shù)確定P（x, y, z）.兩點間的距離為：定比分點公式為：其中為P分線段P1P2的定比，即P1PPP2.二 方向余弦與方向數(shù)有向線段：以P1為始點，P2為終點的線段

2、，它與三個坐標軸正向的夾角稱為方向角；方程角的余弦值稱為方程余弦。其計算公式為：且滿足直線的方向數(shù)A，B，C：其中，是直線上某個有向線段的方向角。若A，B，C是直線的方向數(shù)，則kA, kB, kC也是。這時直線的方向余弦為兩直線L1，L2的夾角為：其中和分別是L1，L2的方向數(shù)。平行于L2其中若分母為0，則相應的分子也為0。三平面與空間直線1 平面的點法式方程：其中是平面上一點，A，B，C是平面的方向數(shù)。由于同時垂直于平面內兩相交直線的直線即為平面的法線，所以一般都可以求平面的點法式方程。2 平面的一般式方程：（A，B，C不同時為0），A，B，C是平面法線的方向數(shù)。在平面的一般式方程中平面過原

3、點平面平行于x軸平面過x軸平面平行于xoy坐標面為常數(shù)）其它類似，故從略。求平面的一般式方程時，可用待定系數(shù)法；也可先求其點法式方程，再化為一般式方程。3 直線的對稱式方程（或點向式）方程：其中為直線上一定點，為直線的方向數(shù)。由立體幾何知識，直線通?？汕笃鋵ΨQ式方程；由于點、向的不唯一，所以直線的對稱式方程也不唯一。4 直線的一般方程：兩相交平面的交線。直線的對稱式中只有兩個獨立的等式（若某分母為0，則分子為0），聯(lián)立即得一般式方程；反之，由于直線與兩相交平面的法線垂直，故可從直線的一般式求得直線的方向數(shù)。另外，令直線的一般式中某變量為0，解出另兩個變量的值即得直線上一點，故可從直線的一般式方

4、程可求得其對稱式方程。5 兩平面平行的充要條件是其法線的方向數(shù)成比例。即兩平面垂直的條件是其法線垂直。即直線L與平面p平行的充要條件是直線與平面的法線垂直。即直線L與平面p垂直的充要條件是四曲面與空間曲線曲面的一般方程：球心在，半徑為的球面方程為：空間曲線的方程：。即它作為兩曲面的交線。表示：母線平行于軸，準線為的柱面。同樣，分別表示母線平行軸和軸的柱面。空間曲線在坐標面上的射影曲線求法：從空間曲線方程中消去變量得，再與聯(lián)立，即為所求。它就是空間曲線對面的射影柱面與面的交線。五 二次曲面橢球面：時為球面。單葉雙曲面：，。雙葉雙曲面：，。橢圓拋物面：，。注意：頂點坐標的變化，如：表頂點在開口向下

5、的橢圓拋物面。雙曲拋物面：，等。錐面：，。以上均為各類曲面的標準方程，應熟練準確地畫出其大致圖形并觸類旁通。另外，上述各方程左端正項的兩系數(shù)相等時，表旋轉曲面。例7.1已知空間中兩點。求1P1P2；2.的方向余弦；3.直線的方向數(shù)。解：1. 2. . 3. 方向數(shù)為例7.2已知平面過，與平面垂直且與直線平行。求該平面的方程。解：方法一：先求法式方程設該平面的法線的方向數(shù)為，則由題意得，解得。所以所求平面的點法式方程為，化為一般式為：方法二：待定系數(shù)法設平面的一般方程為不全為0）。由平面過點得：（1）由另兩條件得：（2）（3）聯(lián)立（1），（2），（3）并解得。故所求平面的方程為：注：因平面的一般式方程中的系數(shù)為其法線的方向數(shù)，所以這兩種方法實質上是一樣的。例7.3求過點且與直線平行的直線的標準方程。解：先從一般式方程中求已知直線的方向數(shù)。設其方向數(shù)為則，解得。故所求直線的對稱式方程為：注：在已知直線的一般式方程中，令得，解得從而求得直線上一點為故可化已知直線的一般式方程為標準方程為：例7.4已知球面的球心在且過點求1 該球面的方程；2 該球面與的交線對坐標面的射影柱面的方程；3 該球面與的交線對坐標面上的射影曲線的方程。解：1.