初中數(shù)學(xué)全等輔助線添加初步和倍長中線

1、筆記區(qū)全等輔助線添加初步和倍長中線模塊一 輔助線添加初步1添加輔助線的目的： 凸顯和集散 2添加輔助線的基本作圖方法： （1）連接兩點(diǎn)：連接 * ； （2）作延長線：延長 * 交* 的延長線于 *； （ 3）作平行線：過點(diǎn) * ，作 * 的平行線，與 * 交于點(diǎn) * ； （4）作垂線：過點(diǎn) *，作* 的垂線，垂足為 *；模塊二 倍長中線C1作法： 延長*到*，使*，連接 *； 如圖，在三角形 ABC中， AM為中線，則延長 AM到點(diǎn) T， 使 TM AM ，連接 BT（CT）2目的：產(chǎn)生一對 SAS的全等三角形， 得到對應(yīng)邊相等， 對應(yīng)角相等 3兩個重要總結(jié)：（1）倍長中線不重要，重要的是倍長

2、過中點(diǎn)的線 如圖，在三角形 ABC 中， M 點(diǎn)為 BC 的中點(diǎn)， N 點(diǎn)為 AC 上 任意一點(diǎn)，則延長 NM 到點(diǎn) T，使 TM=NM ，連接 BT（2）倍長中線后，連接哪個點(diǎn)不重要，重要的是構(gòu)造二次 全等模塊一 輔助線添加初步引例我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過，有兩條邊相等的三角形的是等腰三角形，等腰三角形中有條重要的 性質(zhì)：等邊對等角，等角對等邊AB=AC，求證： B= C B= C，求證： AB=AC（ 1）已知：如圖 1，在 ABC 中，（ 2）已知：如圖 2，在 ABC 中，CC解析】 （1）作 AD垂直 BC于點(diǎn) D ，則RtABD Rt ACD （HL） ， B=C （2）作 AD 垂直

3、BC于點(diǎn) D，則 ABDACD（AAS），AB=AC教師備課提示 】通過這道題可以講解輔助線的作用在凸五邊形中筆例題 1BDABCABECDABCDBECDBAAEBED1-22）如圖 1-2，AB AEAED ，BC ED ，點(diǎn)圖 1-11）如圖 1-1，已知 ACCFDAD AC ， BC BD ，求證： AD BCAFC AFDCF 圖AFD90 ，這道題主要講解基本輔助線連接兩點(diǎn)D， BC DE ， M 為 CD 中點(diǎn)求證： AM CDE ， C解析】 （1）連接 CD ，RtADC和 RtBCD 中 AC BDDC CDRtADC RtBCD ， AD BC （ 2）連接 AC、 A

4、D，AB AE ， ABCABC AED ， 點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)， ACF ADF ，AFC AFD 180AFC 90 ， AF教師備課提示F 是 CD 的中點(diǎn)求證： AF CD AAED ， BC EDAC AD ，CF DF ，GMDMDCCFAE，交直線 CD 于 F， AED ， FBC EDM ， BCF解析】 延長 AB， ABC BCM在 BCF 與EDG 中GGEDEDG 記FBC GEDBC EDBCF EDG BCF EDG (ASA) ， F GFC GD， AG AF， CM MD ， FM MG ，在 AMF 與 AMG中AM AMFM MGAF AG180

5、AMF AMG (SSS) ， AMF AMG 90 ， AM CD 2 教師備課提示 】這道題主要講解基本輔助線作延長線例題3 如圖，平面上有一邊長為 2的正方形 ABCD ，O為對角線的交點(diǎn)，正方形 OEFG 的頂點(diǎn)與 O重合， OE、OG分別與正方形 ABCD 的邊交于 M、N兩點(diǎn)（1）如圖 3-1，當(dāng) OE AB 時，四邊形 OMBN 的面積為四邊形 OMBN 的面積會發(fā)生變化嗎？試（2）如圖 3-2，當(dāng)正方形 OEFG 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)時， 證明你的結(jié)論C圖(32-)2AG 圖 3-1 圖(1)解析】 （1） 1；（2）不會解法一：過 O點(diǎn)作 OP AB于 P，OQABCD 是正方形，

6、 O 是對角線交點(diǎn)， OP OQ ， OP AB 于 P ， OQ OPM OQN 90BC 于 Q，BC 于 Q，POQ OEFG 是正方形， MOPMON 90 ，NOQ ， MOP NOQ ， S S 1S 1SOMBN SOPBQSABCD 1 490 ，記筆ADEMOCBNFG教師備課提示例題 4BCDFAFAFCBFA90BEGCFHFN區(qū)的中點(diǎn)G、HBE CFEG FHD 是 EF 垂足分別為ME CFBE NFBGD是 EF 的中點(diǎn)F 點(diǎn)作 FN/AB交 BC 的延長線于 NBDE NDF ， ED FD 解法三：分別過 E、F 作 BC 的垂線ACB 在 BDE 和 NDFB

7、DE NDFFCH ，BGE CHF解析】 解法一：過 E 點(diǎn)作 EM/AC 交 BC 于 M AB ACEM ACABC FNDEMD FCDABC ACB BC ， 中，如圖， ABC中， AB AC，E在AB上，F(xiàn)在 AC延長線上 EF 的中點(diǎn)AB AC ， EG BC， FH 在 BEG 和 CFHEBG FCHBGE CHF ，ABC ACB ，F(xiàn)NCABC ，F(xiàn)CN FNC ， FN 中，ABC ACB ， BME ACBEDM FDCED FD 解法二：過AB ACFN /AB，且 BE CF 求證： D 是 AABC EMB ， BE ME ， EMC FCM BE CF， M

8、E CF ， 在 EDM 和FDC 中，EDM FDC解法二：連接 OA、OB， ABCD 是正方形， O 是對角線交點(diǎn)， OA OB ， AOB 90 ， MON 90 ， AOM BON 又 OAM OBN 45 ，AOM BON ， S S 1S1SOMBN S AOBSABCD 14 這道題主要講解基本輔助線作垂線，當(dāng)然連接兩點(diǎn)也可以CD C HCDB M D CAC AB 2AM AB AC 在 EDG 和 FDH 中，EDG FDH EGD FHD ，EG FHEDG FDH ， ED FD， D是 EF的中點(diǎn) 教師備課提示 】這道題主要講解基本輔助線作平行線模塊二 倍長中線例題

9、5 已知： ABC中， AC AB，AM 是中線求證：解析】 如圖所示，延長 AM 到 E，使 EM 利用 SAS 證得 ABM ECM ， AB CE ， ACE 中， AE AC CE， 2AM AB AC， 2AM AC AB AC AB 2AM AB AC 教師備課提示】 這道題作為倍長中線的引入，梳理作法和過程例題6 如圖，在ABC中，AD 平分 BAC ，E、F分別在 BD、AD 上，DE CD，EF AC求 證： EF/AB 解析】 延長 AD 到 M，使 DM AD ，連接 EM ， 在 ADC 和 MDE 中DM DAADC MDE ，CD ED ADC MDE ， 3M，A

10、C EM ，又 AC EF ， EM EF ， 1M ， 1 3 ，AD 平分 BAC ， 23，12 ， EF/AB 例題 7已知 AD 為ABC的中線，在 AB上有 求證： BE CF EF 點(diǎn) E，AC 上有一點(diǎn) F，連接 DE 、DF ，且 DEDF ，解析】 延長 FD 到 N，使 DN DF ，連接 BN、EN 易證 BND CFD ， BN CF ，又 EDF EDN 90 ，利用 SAS 證明 EDN EDF ， EN EF ，在 EBN 中， BE BN EN ， BE CF EF 教師備課提示 】例6和 7這兩道題主要講解倍長中線不重要， 重要的是倍長過中點(diǎn)的線例題8在 A

11、BC中，AB AC ，CE是 AB邊上的中線，延長 AB到 D，使 BD AB 求證：CD 2CEF解析】 延長 CE 到 F，使 EF CE ，連接 BF CE 是 AB 的中線， AE EB 在 EBF 和EAC 中AE BEAEC BEF ，CE FE EBF EAC ， BFACBD，EBF EAC ， FBC FBE EBCAACBDBC在 FBC 和 DBC 中FB DBFBC DBC ，BC BC FBC DBC ， CDCF2CE 例題 9在 ABC 中，分別以 AB、 AC 為邊長，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE 和正方形 ACFG ，M為 BC中點(diǎn)，求證：1） EG 2AM

12、 ；（2） AM EG 解析】 延長 AM到N，使 MN MA，連接 NC，延長 MA交EG于點(diǎn) PMA MN在 ABM 和 NCM 中 AMB NMC ，BM CM ABM NCM ， CN AB AE ， ABMNCM ， AB NC， ACN BAC 180 ，又 EAG BAC 180 ， EAG ACN ，AE CN在 EAG 和 NCA 中 EAGNCA ，AG CA EAG NCA， EG NA 2AM ， NACEGA，又 NAC GAP 90 ，AGP GAP 90 ， MA EG 教師備課提示 】例 8 和例 9 這兩道題主要講解倍長中線后連接哪點(diǎn)不重要，重要的是構(gòu) 造二次

13、全等，例 9 可以看成婆羅摩笈多定理的應(yīng)用，請老師自行拓展記復(fù)習(xí)鞏固模塊輔助線添加初步演練1AB/CDCABABDCCDBABDABDCCBCDBCABBA圖 1-2BD DB2）如圖 1-2， AD BC， AC BD ，求證1）如圖 1-1，在四邊形 ABCD 中， AB CD求證： AD BCABD CDB ， AD （ 2）連接 AB， 在 ADB 與 BCA 中AD解析】 （ 1）連接 BD ， AB/CD 在 ABD 和 CDB 中AB CDABD CDBCDDABACBDADB BCA，DC如圖 2-1，已知 ABC中， AB BC 1，ABC 90 ，把一塊含 30 角的直角三

14、角板 DEF DE，長直角邊為 DF ），將直 AB 于 M ，直線 DF 交直線 BC演練2的直角頂點(diǎn) D 放在 AC 的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為 角三角板 DEF 繞 D 點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)直線 DE 交直線 于 N直角三角板 DEF 與ABC 的（ 1）在圖 2-1 中，證明 DM DN ；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分為四邊形 DMBN ，請說明四邊形 DMBN 的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請 說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；筆記區(qū)（ 2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖 2-2 的位置， 成立，請說明理由；（ 3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖 2-3 的位置，DM DN 是否仍然成立？若成立，請給

15、出證明；若不DM DN 是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明F圖圖2-22解析】 （1）在 RtABC 中， AB BC， ADDB DC AD ， BDC 90 連接 BD ，MDBMDBABD C 45 BDN CDN BDN 90 NDC BMDCND DC DM（另：也可證明 ADM BDN ）DMBNDN 圖3四邊形 由知： S BMD的面積不發(fā)生變化；BMDCND ，S CND S四邊形 DMBNS DBNS DMBSDBNSDNCS 1SDBC ABC2（ 2） DM DN 仍然成立， 證明：連結(jié) DB 在 RtABC中， AB BC ， DB DC ， BDC 90 DCB DB

16、MDBCDCNADDC，NDCCDNCDM BDM BDMCDM 90CDN BDM DMDN 3） DM DN 注意：作垂線也可以）45 135 模塊倍長中線CD，在 ADB 和 EDC 中，AD EDADB EDC ，演練3 在 ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線 （1）求證： AB AC 2AD ；（2）若 AB 5 ， AC 9 ，求 AD 的取值范圍解析】 （ 1）延長 AD 到點(diǎn) E，使得 AD AD 是 BC 邊上的中線， BDDCBEGDC DB ADB EDC ， AB EC ，在 ACE 中， AC CE AE 2AD，即 AB AC 2AD （2）由（ 1）得， AC AB 2AD AB AC ，即 4 2 AD 14 ，得 2 AD 7 演練 4 如圖，已知在 ABC中， AD 是 BC邊上的中線， E是 AD 上一點(diǎn)，延長 BE交AC 于F，解析】 延長 AD 到 G，使 DG AD ，連接 BG BD CD ， BDG CDA ， AD GD ， ADC GDB AC GB G 又 AF EF ， G BED ，EAF，EAF AEF ，BE BG， BE AC 演練5如圖所示，求證：（1）BAC DAE 90 ，