三章一階微分方程的解的存在定理ppt課件

1、第三章第三章 一階微分方程的解的存在定理一階微分方程的解的存在定理需解決的問題?,)(),(1000的解是否存在初值問題yxyyxfdxdy?,)(),(2000是否唯一的解是存在若初值問題yxyyxfdxdy3.1 解的存在唯一性定理與逐解的存在唯一性定理與逐步逼近法步逼近法一 存在唯一性定理1 定理1 考慮初值問題) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形區(qū)域其中)2 . 3(,00byyaxx,上連續(xù):條件滿足并且對Lipschitzy常成立使對所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf,) 1 . 3(0上的解存在

2、且唯一在區(qū)間則初值問題hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里(1) 初值問題(3.1)的解等價于積分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx的連續(xù)解.證明思路(2) 構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列)(xn0100( )( ,( )xxxyfd 得右側(cè)的代入任取一連續(xù)函數(shù),)5 . 3(,)(),(000ybyxx得右側(cè)的代入否則將為解則若,)5 . 3()(,)(),()(1001yxxxx0201( )( ,( )xxxyfd ,)5 . 3()(,)(),()(2112yxxxx右側(cè)的代入否則將為解則若010( )( ,( ),xnnxxyfd ,)(0byxn這

3、里要求,)(),()(1為解則若xxxnnn)(xn列否則一直下去可得函數(shù)(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法).(,)()3(00 xhxhxxn上一致收斂于在函數(shù)序列這是為了010lim( )lim( ,( )xnnxnnxyfd 00lim( ,( )xnx nyfd 即00( )( , ( ),xxxyfd ).(,(,)(,(00 xxfhxhxxxfn致收斂于上一在只需函數(shù)列)()()(,()(,(xxLxxfxxfnn由).(,)(00 xhxhxxn上一致收斂于在只需),()()()(110 xxxxnnkkk由于等價于函數(shù)項級數(shù)斂性上一致收在于是函數(shù)列,)(00hxhxxn,)

4、()()(110nnnxxx.,00上一致收斂性在hxhx.,)5 . 3()()4(00且唯一上連續(xù)解定義于是積分方程hxhxx下面分五個命題來證明定理,為此先給出積分方程的解如果一個數(shù)學關系式中含有定積分符號且在定積分符號下含有未知函數(shù), 則稱這樣的關系式為積分方程.積分方程.,)(:0程就是一個簡單的積分方如xxdttyey.)(,)(,()(),(,),(0000為該積分方程的解則稱上恒成立在區(qū)間使得上的連續(xù)函數(shù)如果存在定義在區(qū)間對于積分方程xyIdtttfyxxyIdtytfyyxxxx命題1 初值問題(3.1)等價于積分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx證明:則的連續(xù)解

5、為若,) 1 . 3()(xy,)()(,()(00yxxxfdxxd取定積分得到對第一式從xx0dxxxfxxxx0)(,()()(0即dxxxfyxxx0)(,()(0.)5 . 3()(的連續(xù)解為故xy) 1 . 3( ,)(),(00yxyyxfdxdy則有的連續(xù)解為若,)5 . 3()(xy反之dtttfyxxx0)(,()(0,),(上連續(xù)在由于Ryxf,)(,(連續(xù)從而ttf故對上式兩邊求導,得)(,()(xxfdxxd且00000)(,()(ydxxxfyxxx.) 1 . 3()(的連續(xù)解為即xy構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )

6、xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n)7 . 3(問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通, 即上述的積分 是否有意義?.)(,)(000的常數(shù)值往往取方便但實際上為可任取一般來說連續(xù)函數(shù)yxx注命題2連續(xù)且滿足和對于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn證明:(用數(shù)學歸納法)時1ndyfyxxx),()(0010且上連續(xù)在顯然,)(001hxxx01)(yxdyfxx0),(0dyfxx),(000 xxMMhb),min(Mbah ),(),(yxfMaxMRyx,2時成立當設命題kn 上連續(xù)且在即,)(00hxxxkbyxk0)(時當1 kndfyxkxxk)(,

7、()(001,),(上連續(xù)性知在由Ryxf上連續(xù)在,)(,(00hxxxxfk上連續(xù)且在從而,)(001hxxxk01)(yxkdfkxx)(,(0dfxxk0)(,(0 xxMMhb,12時成立當即命題 kn,2都成立對所有從而命題n命題3.,)(00上一致收斂在函數(shù)序列hxxxn.,),()(lim00hxxxxxnn記證明:考慮函數(shù)項級數(shù))9 . 3(,)()()(00110hxxxxxxnnn它的前n項部分和為),()()()()(110 xxxxxSnnkkkn.)9 . 3()(一致收斂性等價一致收斂性與級數(shù)于是xn對級數(shù)(3.9)的通項進行估計)()(01xxdfxx0)(,(0

8、0 xxM)()(12xxdffxx0)(,()(,(01dLxx0)()(01dxMLxx0)(020)(2xxML,條件得到的其中第二個不等式是由Lipschitz條件由Lipschitz有不等式設對于正整數(shù) , n)()(1xxnn,)(!01nnxxnML條件有由時則當Lipschitzhxxx,00)()(1xxnndffxxnn0)(,()(,(1dLxxnn0)()(1dxnMLxxnn0)(!0,)()!1(10nnxxnML于是由數(shù)學歸納法得知,對所有正整數(shù)n,有)()(1xxnn,)(!01nnxxnML)11. 3(,00hxxx,00時從而當hxxx)()(1xxnnn

9、nxxnML)(!01,!11收斂由于正項級數(shù)nnnhnML.,)9 . 3(,00上一致收斂在級數(shù)判別法知由hxxsWeierstras.,)(00上一致收斂在因而函數(shù)序列hxxxn,!1nnhnML現(xiàn)設),()(limxxnn,00hxxx,)(00得的連續(xù)性和一致收斂性在則由hxxxn且上連續(xù)在,)(00hxxxbyx0)(命題4.,)5 . 3()(00上連續(xù)解定義于是積分方程hxxx證明:條件有由Lipschitz)(,()(,(xxfxxfn)()(xxLn,)(00的一致收斂性得在以及hxxxn),(xfn函數(shù)列),(,(,00 xxfhxx上一致收斂于函數(shù)在)(,()(xxfx

10、fnn得兩邊取極限因此對,)7 . 3()(limxnn001lim( ,( )xnxnyfd 001lim( ,( )xnx nyfd 即)(x00( , ( )xxyfd .,)5 . 3()(00上連續(xù)解定義于是積分方程故hxxx命題5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx則一個連續(xù)解上的定義于是積分方程設證明:, )()()(xxxg設,)(00上非負連續(xù)函數(shù)是定義于則hxxxg00( )( , ( )xxxyfd 00( )( ,( )xxxyfd 由條件得的及Lipschitzyxf),()()()(xxxg00( ,( )( , ( )xxxxfdfd 0

11、( ( ,( )( , ( )xxffd 0( ,( )( , ( )xxffd 0( )( )xxLd 0( )xxLgd0( )( ( ,( )( , ( )xxg xffd 0( )( ),xxu xLgd令,)(00上連續(xù)可微函數(shù)是定義于則hxxxu于是且),()(),()(0 , 0)(0 xLgxuxuxgxu),()(xLuxu, 0)()(LxexLuxu, 0)()(00LxLxexuexu積分得到對最后一個不等式從xx0, 0)()(LxexLuxu, 0)()(xuxg故., 0)(00hxxxxg即綜合命題15得到存在唯一性定理的證明.)()(0 xuxg一 存在唯一性

12、定理1 定理1 考慮初值問題) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形區(qū)域其中)2 . 3(,00byyaxx,上連續(xù):條件滿足并且對Lipschitzy常成立使對所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf,) 1 . 3(0上的解存在且唯一在區(qū)間則初值問題hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里命題1 初值問題(3.1)等價于積分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n

13、命題2連續(xù)且滿足和對于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn命題3.,)(00上一致收斂在函數(shù)序列hxxxn命題4.,)5 . 3()(00上連續(xù)解定義于是積分方程hxxx.,),()(lim00hxxxxxnn記命題5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx則一個連續(xù)解上的定義于是積分方程設2 存在唯一性定理的說明.,),() 1 (件容易判斷的兩個充分條下面給出在實際應用中一般比較困難條件滿足驗證它是否關于根據(jù)定義去上有定義的函數(shù)對于給定在LipschitzyyxfR.),(,),(),(10條件滿足上關于在則有界存在且的偏導數(shù)上關于在如果Lip

14、schitzyRyxfyxfyRyxfy.),(,),(),(20條件滿足上關于在則連續(xù)的偏導數(shù)上關于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy),(),(21yxfyxf21212)(,(yyyyyxfy21yyL的幾何意義定理中,min)2(Mbah ,),(MyxfR中有在矩形,) 1 . 3(之間與的解曲線的斜率必介于故初值問題MM,),(00的直線和分別作斜率為過點MMyx;)(),)(00中有定義在解所示如圖時當axxaxxyaabM.)(,;)(),)(0000內(nèi)在證解才能保時只有當使得無意義外去矩形它有可能在區(qū)間內(nèi)跑到中有定義在不能保證解所示如圖時而當RxyMbxxM

15、bxRaxxaxxybabM.0hxx范圍為故要求解的存在即為線性方程時當方程,) 1 . 3() 3()()(xQyxpdxdy.,)(,1,)(),(000且連續(xù)有定義在所確定的解且任一初值的條件能滿足定理上連續(xù)時在則當xyxyxQxP3 一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程)5 . 3(, 0),(yyxF的某鄰域中滿足如果在點),(000yyx,),(),(10連續(xù)且存在連續(xù)偏導數(shù)對所有變元yyxyyxF, 0),(20000yyxF, 0),(30000yyyxF則方程(3.5)存在唯一解)(),(0為足夠小的正數(shù)hhxxxyy滿足初始條件)8 . 3(,)(;)(0000

16、0yxyyxy三 近似計算和誤差估計求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,這里00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n內(nèi)誤差估計為在和真正解次近似解對方程的第,)()(00hxhxxyxnn)19. 3(,)!1()()(1nnnhnMLxx注:上式可用數(shù)學歸納法證明)()(0 xxdfxx0)(,(0 xxMMh,!)(!)()(1011nnnnnhnMLxxnMLxx設那么)()(xxndffxxn0)(,()(,(1dLxxn0)()(1dxnMLxxnn0)(!010)()!1(nnxxnML.)!1(1nnhnML)(,xn數(shù)選取

17、適當?shù)闹鸩奖平梢愿鶕?jù)誤差要求在進行近似計算時這樣例1 討論初值問題0)0(,22yyxdxdy解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超. 11, 11:,05. 0yxR其中的近似解的表達式過解, 2),(),(yxfMaxMRyx這里2121, 1minh所以由于yyf2L 2由(3.19)1)!1()()(nnnhnMLxx1)()!1(1nLhnLM)!1(1n05. 005. 0)!1(1n作出如下的近似表達式因此我們可以因而可取, 3n, 0)(0 xxdxxxx02021)()(33xxdxxxx02122)()(xdxxx062963373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx01410623969189295953520792633151173xxxx.05. 021,21,)(3解誤差不會超過上與真正在區(qū)間就是所求的近似解x例2 求初值問題0)0(,12yydxdy解的存在唯一區(qū)間.解,ba對任意均在矩形區(qū)域函數(shù)),(yxf,| ),(byaxyxR計算有連續(xù)的偏導數(shù)且對內(nèi)連續(xù),y),(),(yxfMaxMRyx;12b1,min2bbah,都可任意取和由于ba最大使我們選取21,b