第1講 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 1.關(guān)于數(shù)學(xué)建模關(guān)于數(shù)學(xué)建模 2.數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例 3.數(shù)學(xué)建模論文的撰寫(xiě)方法數(shù)學(xué)建模論文的撰寫(xiě)方法A.人口預(yù)報(bào)問(wèn)題人口預(yù)報(bào)問(wèn)題B. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？C.雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效1. 什么是數(shù)學(xué)模型？什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象特定對(duì)象，一個(gè)特定目的特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假必要的假設(shè)設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是

2、用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律一、名詞解釋一、名詞解釋2. 什么是數(shù)學(xué)建模什么是數(shù)學(xué)建模? 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解 觀點(diǎn)：觀點(diǎn)：“所謂所謂高科技高科技就是一種就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)技術(shù)” 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說(shuō)有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題，就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻畫(huà)

3、該實(shí)際問(wèn)題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來(lái)求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的必備手段之一. 二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒(méi)有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征特征： 模型的可靠性可靠性和模型的使用性使用性建模的一般方法： 機(jī)理分析 測(cè)試

4、分析方法 機(jī)理分析機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 測(cè)試分析方法：測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型 測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)系統(tǒng)辯識(shí) 將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法 在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見(jiàn)右圖符合實(shí)

5、際不符合實(shí)際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè) 確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實(shí)際問(wèn)題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來(lái)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型建模過(guò)程示意圖 模型模型 數(shù)學(xué)模型的分類：數(shù)學(xué)模型的分類： 按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等 按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等數(shù)學(xué)模型符號(hào)模型思維模型物理模型直觀模型抽象模型具體模型圖形模型數(shù)式模型三、數(shù)學(xué)模型及其分類三、數(shù)學(xué)模型及其分類四

6、、近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題四、近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題A 逢山開(kāi)路 1994 B 鎖具裝箱 A 一個(gè)飛行管理問(wèn)題 1995 B 天車(chē)與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度 A 節(jié)水洗衣機(jī)問(wèn)題 1996 B 最優(yōu)捕魚(yú)問(wèn)題 A 零件的參數(shù)設(shè)計(jì) 1997 B 最優(yōu)截?cái)嗲懈顔?wèn)題 A 投資的收益和風(fēng)險(xiǎn) 1998 B 災(zāi)情巡視路線 A 自動(dòng)化車(chē)床管理 1999 B 鉆井布局 A DNA 序列分類 2000 B 鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸 返回返回1. 指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）： 英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出2. 阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型（logistic模型）3.

7、 更復(fù)雜的人口模型更復(fù)雜的人口模型 隨機(jī)性模型、考慮人口年齡分布的模型等 可見(jiàn)數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善，使之能符合實(shí)際情況的變化人口模型1. 如何預(yù)報(bào)人口如何預(yù)報(bào)人口？ 要預(yù)報(bào)未來(lái)若干年的人口數(shù)，最重要的影響因素是今年的人口數(shù)和今后這些年的增長(zhǎng)率（即人口出生率減死亡率），根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行人口預(yù)報(bào)是很容易的記今年人口為 ，k 年后人口為 ，年增長(zhǎng)率為r，則預(yù)報(bào)公式為： 預(yù)報(bào)正確的條件： 年增長(zhǎng)率r保持不變kkrxx10kx數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例0 x 2. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？ 把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而有人認(rèn)

8、為只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了，對(duì)嗎？問(wèn)題分析問(wèn)題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對(duì)稱性

9、的對(duì)稱性xBADCOD C B A 用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個(gè)距離兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對(duì)稱性對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少一個(gè)為至少一個(gè)為

10、0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線，對(duì)角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)

11、0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因?yàn)橐驗(yàn)閒( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.評(píng)注和思考評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子 和和 f( ), g( )的確定的確定3. 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效 北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣，如左圖所示，據(jù)說(shuō)這樣

12、做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失 我們要建立一個(gè)模型來(lái)描述熱量通過(guò)窗戶的熱傳導(dǎo)（即流失）過(guò)程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為2d）的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果 返回返回2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問(wèn)問(wèn)題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱

13、傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻

14、室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對(duì)對(duì)Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計(jì)，作最保守的估計(jì)，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù) k2 2, , 而這要求空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過(guò)天花板、