高一數(shù)學(xué)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字

1、2.2 2.2 用樣本估計(jì)總體用樣本估計(jì)總體.2.2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征數(shù)字特征 第一課時(shí)第一課時(shí) 問(wèn)題提出問(wèn)題提出1.1.對(duì)一個(gè)未知總體，我們常用樣本的頻率分對(duì)一個(gè)未知總體，我們常用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，其中表示樣本數(shù)據(jù)的頻布估計(jì)總體的分布，其中表示樣本數(shù)據(jù)的頻率分布的基本方法有哪些？率分布的基本方法有哪些？ 2.2.美國(guó)美國(guó)NBANBA在在2006200720062007年度賽季中，甲、年度賽季中，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在隨機(jī)抽取的乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在隨機(jī)抽取的1212場(chǎng)比賽中場(chǎng)比賽中的得分情況如下：的得分情況如下：甲運(yùn)動(dòng)員得分：甲運(yùn)動(dòng)員

2、得分：1212，1515，2020，2525，3131，3131， 3636，3636，3737，3939，4444，49.49.乙運(yùn)動(dòng)員得分：乙運(yùn)動(dòng)員得分：8 8，1313，1414，1616，2323，2626， 2828，3838，3939，5151，3131，29.29. 如果要求我們根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估如果要求我們根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計(jì)、比較甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員哪一位發(fā)計(jì)、比較甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員哪一位發(fā)揮得比較穩(wěn)定，就得有相應(yīng)的數(shù)據(jù)作揮得比較穩(wěn)定，就得有相應(yīng)的數(shù)據(jù)作為比較依據(jù)，即通過(guò)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體為比較依據(jù)，即通過(guò)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究，用樣本的數(shù)字的數(shù)字特征進(jìn)行研究，用樣本的數(shù)字特

3、征估計(jì)總體的數(shù)字特征特征估計(jì)總體的數(shù)字特征. 甲運(yùn)動(dòng)員得分：甲運(yùn)動(dòng)員得分：1212，1515，2020，2525，3131，3131， 3636，3636，3737，3939，4444，49.49.乙運(yùn)動(dòng)員得分：乙運(yùn)動(dòng)員得分：8 8，1313，1414，1616，2323，2626， 2828，3838，3939，5151，3131，29.29.知識(shí)探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)知識(shí)探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) 思考思考1 1：在初中我們學(xué)過(guò)眾數(shù)、中位數(shù)和在初中我們學(xué)過(guò)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)如何信息

4、的數(shù)字特征，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ 思考思考2 2：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個(gè)小矩形內(nèi)？由此估計(jì)總體的眾數(shù)是哪個(gè)小矩形內(nèi)？由此估計(jì)總體的眾數(shù)是什么？什么？ 月均用水量月均用水量/t頻率頻率組距組距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O思考思考3 3：在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積表示

5、什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？取最高矩形下端取最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.252.25作為眾數(shù)作為眾數(shù). . 思考思考4 4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個(gè)小矩形的面率分布直方圖中，從左至右各個(gè)小矩形的面積分別是積分別是0.040.04，0.080.08，0.150.15，0.220.22，0.250.25，0.140.14，0.060.06，0.040.04，0.02.0.02.由此估計(jì)總體的由此估計(jì)總體的中位數(shù)是什么？中位數(shù)是什么？ 月均用

6、水量月均用水量/t頻率頻率組距組距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.010.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.50.50.10.10.25=0.020.25=0.02，中位數(shù)是，中位數(shù)是2.02.2.02. 思考思考5 5：平均數(shù)是頻率分布直方圖的平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個(gè)小矩

7、形的重心在哪里？從直直方圖中，各個(gè)小矩形的重心在哪里？從直方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？多少？0.250.25，0.750.75，1.251.25，1.751.75，2.252.25， 2.752.75，3.253.25，3.753.75，4.25.4.25. 月均用水量月均用水量/t頻率頻率組距組距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O O思考思考6 6：根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)期望

8、原理，將頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù)估值平均數(shù). . 由此估計(jì)總體的平均數(shù)是什么？由此估計(jì)總體的平均數(shù)是什么？0.250.250.040.04+ +0.750.750.080.08+ +1.251.250.150.15+ +1.751.750.220.22+ +2.252.250.250.25+ +2.752.750.140.14+ +3.253.25 0.060.06+ +3.753.750.040.04+ +4.254.250.02=2.020.02=2

9、.02（t t）. . 平均數(shù)是平均數(shù)是2.02.2.02. 平均數(shù)與中位數(shù)相等，是必然還是巧合？平均數(shù)與中位數(shù)相等，是必然還是巧合？思考思考7 7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是樣本的眾數(shù)是2.32.3，中位數(shù)是，中位數(shù)是2.02.0，平均數(shù)是，平均數(shù)是1.9731.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？ 頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個(gè)估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組到的是一個(gè)估計(jì)值，且所得估值與

10、數(shù)據(jù)分組有關(guān)有關(guān). .注注: :在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均們可以按上述方法估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計(jì)總體特征數(shù)，并由此估計(jì)總體特征. .思考思考8 8：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)額成為缺點(diǎn)，你能舉例說(shuō)明嗎？樣也會(huì)額成為缺點(diǎn)，你能舉例說(shuō)明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說(shuō)明什么問(wèn)題？你怎樣理解說(shuō)

11、明什么問(wèn)題？你怎樣理解“我們單位我們單位的收入水平比別的單位高的收入水平比別的單位高”這句話的含這句話的含義？義？ 如：樣本數(shù)據(jù)收集有個(gè)別差錯(cuò)不影響中如：樣本數(shù)據(jù)收集有個(gè)別差錯(cuò)不影響中位數(shù)；大學(xué)畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位位數(shù)；大學(xué)畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低可能收入較低. . 平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說(shuō)明平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較?。┑臉颖緮?shù)據(jù)中存在許多較大（或較小）的極端值極端值. . 這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資的某個(gè)中心點(diǎn)，它收入水平是員工工資的某個(gè)中心點(diǎn)，它可以是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)可以是

12、眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù). .知識(shí)探究（二）：標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)探究（二）：標(biāo)準(zhǔn)差 樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“中心值中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描

13、述數(shù)據(jù)的中心位置，用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度. 思考思考1 1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊1010次，每次命中的環(huán)次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：數(shù)如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7

14、 7 甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分別為多少環(huán)？別為多少環(huán)？77乙甲， xx77乙甲， xx77乙甲， xx思考思考2 2：甲、乙兩人射擊的平均成績(jī)相等，觀甲、乙兩人射擊的平均成績(jī)相等，觀察兩人成績(jī)的頻率分布條形圖，你能說(shuō)明其察兩人成績(jī)的頻率分布條形圖，你能說(shuō)明其水平差異在那里嗎？水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（甲）（甲）環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O

15、O（乙）（乙）甲的成績(jī)比較分散，極差較大，乙的甲的成績(jī)比較分散，極差較大，乙的成績(jī)相對(duì)集中，比較穩(wěn)定成績(jī)相對(duì)集中，比較穩(wěn)定. 思考思考3 3：對(duì)于樣本數(shù)據(jù)對(duì)于樣本數(shù)據(jù)x x1 1，x x2 2，x xn n，設(shè)想通過(guò)各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離設(shè)想通過(guò)各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來(lái)反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個(gè)來(lái)反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個(gè)平均距離如何計(jì)算？平均距離如何計(jì)算？ 12| |nxxxxxxn-+-+-L思考思考4 4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s s表示表示. .假設(shè)假設(shè)樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)

16、x x1 1，x x2 2，x xn n的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是：差的計(jì)算公式是：22212()()()nxxxxxxsn-+-+-=L 那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0 0的樣本數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？的樣本數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？ s0s0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為0 0的樣本數(shù)據(jù)都相等的樣本數(shù)據(jù)都相等. . 思考思考5 5：對(duì)于一個(gè)容量為對(duì)于一個(gè)容量為2 2的樣本：的樣本：x x1 1，x x2 2(x(x1 1x x2 2) )，則，則 , , 在數(shù)軸上，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有什么幾何意義？在數(shù)軸上，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差的大小

17、對(duì)數(shù)據(jù)的離散程度有由此說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對(duì)數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？何影響？ 122xxx+=212xxs-=標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍在平均數(shù)周圍. . 知識(shí)遷移知識(shí)遷移 s s甲甲=2=2，s s乙乙=1.095. =1.095. 計(jì)算甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)的計(jì)算甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，比較其射擊水平的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)差，比較其射擊水平的穩(wěn)定性. 甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7 7小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均