數(shù)學(xué)建模中的微分方程模型

1、6 微分方程模型微分方程模型 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)涉及到某些變量的變化率或?qū)?shù)， 這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求解微分方程。 求解微分方程有三種方法： 1）求精確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。建立微分方程模型的方法：（1）根據(jù)規(guī)律列方程 利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立微分方程模型。（2）微元分析法 利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。（3）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象

2、的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。觀眾廳地面設(shè)計(jì)觀眾廳地面設(shè)計(jì) 1 問(wèn)題的提出 在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會(huì)為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場(chǎng)內(nèi)的觀眾都在朝臺(tái)上看，如果場(chǎng)內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會(huì)遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)良好的報(bào)告廳地面坡度曲線。o在臺(tái)上的設(shè)計(jì)視點(diǎn)b第一排觀眾的眼睛到x軸的垂 直距離 a第一排觀眾與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離d相鄰兩排的排距視線升高標(biāo)準(zhǔn)x表示任一排與

3、設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離求任一排x與設(shè)計(jì)視點(diǎn)o的垂直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無(wú)遮擋要求。)(xyy 問(wèn)題：建立坐標(biāo)系obxyadd2 問(wèn)題的假設(shè)（1）觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。（2）同一排的座位在同一等高線上。（3）每個(gè)坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。（4）每個(gè)坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。（5）所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個(gè)座位的人的頭頂擦過(guò)即可。3 建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程),( yxFdxdy初始條件byaxxobyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點(diǎn)的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升

4、起曲線是凹的。dMABMABMAKMM11MAdyxyMAdxdxyKMM1yoC1(x-d,0) C(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABND2）選擇某排),(yxM和相鄰排),(11ydxM),(22ydxM，21MMxyMMKKK)(則ABMNNM11由知：MAN1 相似于oMC 由得：再計(jì)算2MMKoNC 相似于22CoM xxdyyDM2得：由yxyxdDM2xdxyd于是22MMM DKMDdxxydxydxdydxxy所以dxyKMM1又因4 模型求解 定義在某個(gè)區(qū)域D上，且微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)),(),(yxFyxf1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D

5、上有不等式),(),(yxFyxf則初值問(wèn)題00yxyxfdxdy)(),(與00yxyxFdxdy)(),(的解)(),(xx 在它們共同存在區(qū)間上滿足0 xxxx當(dāng)),()(0 xxxx當(dāng)),()(1( )lnbxy xxxada)(ln)(12axaxxdxabxydxydxdydxxy由于bydxydxdyax111bydxxydxdyax222令axxdxabln)(xy)(ln1axaxxdxab于是所求曲線的近似曲線方程為：( )ln(1)2bxxy xxxadaa折衷法221yyy5 總結(jié)與討論有時(shí)只需求近似解。方法： 利用微分不等式建模；模型討論：obxyadd1）視點(diǎn)移動(dòng)時(shí)

6、升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯(cuò)位。3）衡量經(jīng)濟(jì)的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。 一一 古尸年代鑒定問(wèn)題古尸年代鑒定問(wèn)題 在巴基斯坦一個(gè)洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有在巴基斯坦一個(gè)洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實(shí)驗(yàn)室，作碳把它帶到實(shí)驗(yàn)室，作碳14年代測(cè)定，分析年代測(cè)定，分析表明，表明， 與與 的比例僅僅是活組織內(nèi)的的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？，能否判斷此人生活在多少年前？14c12c 年代測(cè)定：年代測(cè)定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素 ，這種放射性碳是由于宇

7、宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過(guò)一系列交換過(guò)程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達(dá)到平衡濃度，這意味著在活體中，的數(shù)量與穩(wěn)定的 的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過(guò)程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少。14c14c14c12c背景：背景：則，當(dāng)1412( )( )ccy txtx設(shè) 為死后年數(shù)，t14148000ccdxxdt 14c8000ydtdy0t 時(shí)，0yy即活體中 與 數(shù)量的12c比例800080000ttykey e積分得：00.0624yy8000 ln 0.062422400t 當(dāng) 時(shí)，求得：此即所求死亡年數(shù)。14c年代測(cè)定的修訂：年代測(cè)定的修訂： 1966年，耶魯實(shí)

8、驗(yàn)室的Minze Stuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報(bào)告中指出：在2500到10000年前這段時(shí)間中測(cè)得的結(jié)果有差異，其根本原因在于那個(gè)年代，宇宙射線的放射性強(qiáng)度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。他們提出了一個(gè)很成功的誤差公式，用來(lái)校正根據(jù)碳測(cè)定出的2300年到6000年前這期間的年代：真正的年代1.490014c 年 二二 范范. 梅格倫（梅格倫（Van Meegren）偽造名畫案）偽造名畫案 第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Verme

9、er的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過(guò)荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實(shí)這一切，在獄中開(kāi)始偽造Vermeer的畫耶穌在學(xué)者中間。當(dāng)他的工作快完成時(shí)，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。 為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國(guó)際專門小組，采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法，動(dòng)用了X-光線透視等，對(duì)顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。 這樣，偽造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑，1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)

10、作而死去。 但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因?yàn)椋?Vanmeegren在獄中作的畫實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問(wèn)題。原理：原理：著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出： 物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè) 時(shí)刻的原子數(shù)為 ，則有t)(tNNdtdN為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件00NNtt0()0( )ttN tN e求解得：0N001lnNttN能測(cè)出或算出，只要知道 就可算出)(,tN這正是問(wèn)題的難處，下面是間接確定 的方法。0N年代。半衰期21lnT138T 天釙-210億年45

11、T鈾-238年1600T鐳-226年22T鉛-210討論涉及半衰期的相關(guān)知識(shí)：油畫中的放射性物質(zhì)油畫中的放射性物質(zhì) 白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來(lái)時(shí)， Pb210的絕大多數(shù)來(lái)源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。鈾238鐳226鉛210釙210鉛206億年45T年1600T年22T天138T（放射性）（無(wú)放射性）假設(shè)假設(shè)（2）釙的

12、半衰期為138天容易測(cè)定，鉛210的半衰期為22年，對(duì)要鑒別的300多年的顏料來(lái)說(shuō)，每克白鉛中每分鐘釙的衰變?cè)訑?shù)與鉛210的衰變?cè)訑?shù)可視為相等。（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17 世紀(jì)的油畫感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變?cè)訑?shù)可視為常數(shù)，用 表示。r建模建模設(shè) 時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為 ，t)(ty0y為制造時(shí)刻 每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。0t 為鉛210的衰變常數(shù)。則在 時(shí)間內(nèi)油畫中鉛210的含量變化了 ，它們有如下關(guān)系：()yyrtty00ytyrydtdy)(從而求解求解)()()(0001tttteyerty從而可算出白鉛中鉛的衰變率 ，再與當(dāng)時(shí)的礦物比較，以鑒別真?zhèn)巍?y00()()0( )1t tt tyy t er erty ),(,均可測(cè)出。其中測(cè)定結(jié)果與分析：測(cè)定結(jié)果與分析：畫名畫名鉛鉛210衰變?cè)訑?shù)衰變?cè)訑?shù)鐳鐳226衰變?cè)訑?shù)衰變?cè)訑?shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂(lè)譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0若第一幅畫是真品，則3000tt00()()0( )1t tt tyy t er e)(13