數(shù)學運算-宜昌市事業(yè)單位筆試課件

1、數(shù)學運算數(shù)學運算代入使用代入使用識別題型識別題型確定方法確定方法第一章第一章 解題思想解題思想常用題型常用題型多位數(shù)問題、余數(shù)問題、不定方程、年齡問題以及多位數(shù)問題、余數(shù)問題、不定方程、年齡問題以及沒有思路的問題。沒有思路的問題?！纠纠? 1】有一個三位數(shù)，其百位數(shù)是個位數(shù)的有一個三位數(shù)，其百位數(shù)是個位數(shù)的2 2倍，十位數(shù)等倍，十位數(shù)等于百位數(shù)和個位數(shù)之和，那么這個三位數(shù)是（于百位數(shù)和個位數(shù)之和，那么這個三位數(shù)是（ ）。）。 A.211 A.211B.432B.432 C.693 C.693D.824D.824【例【例2 2】某校的學生總數(shù)是一個三位數(shù)，平均每個班某校的學生總數(shù)是一個三位數(shù)，

2、平均每個班3535人，人，統(tǒng)計員提供的學生總數(shù)比實際總?cè)藬?shù)少統(tǒng)計員提供的學生總數(shù)比實際總?cè)藬?shù)少270270人。原來，他在人。原來，他在記錄時粗心地將該三位數(shù)的百位與十位數(shù)字對調(diào)了。該學校記錄時粗心地將該三位數(shù)的百位與十位數(shù)字對調(diào)了。該學校學生總數(shù)最多是多少人（學生總數(shù)最多是多少人（ ） A.748 B.630 A.748 B.630 C.525 D.360C.525 D.360【例【例3 3】今年父親年齡是兒子年齡的今年父親年齡是兒子年齡的1010倍，倍，6 6年后父親年齡是年后父親年齡是兒子年齡的兒子年齡的4 4倍，則今年父親、兒子的年齡分別是倍，則今年父親、兒子的年齡分別是( )( )。A

3、.60A.60歲，歲，6 6歲歲B.50B.50歲，歲，5 5歲歲C.40C.40歲，歲，4 4歲歲D.30D.30歲，歲，3 3歲歲【例【例4 4】有一些信件，把它們平均分成三份后還剩有一些信件，把它們平均分成三份后還剩2 2封，將其中兩封，將其中兩份平均三等分還多出份平均三等分還多出2 2封，問這些信件至少有多少封？封，問這些信件至少有多少封？( )( ) A.32 A.32 B.26 B.26 C.23 D.29 C.23 D.29【例【例5 5】裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝1111個個，小盒每盒能裝，小盒每盒能裝8 8個，要把個，

4、要把8989個產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個盒子個產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個？都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個？ A.3 A.3，7 7B.4B.4，6 6 C.5 C.5，4 4 D.6D.6，3 3【例【例6 6】從和式從和式1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/121/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12中必須去中必須去掉哪兩個分數(shù)，才能使余下的分數(shù)之和等于掉哪兩個分數(shù)，才能使余下的分數(shù)之和等于1?1? A A1/21/2，1/41/4 B B1/61/6，1/81/8 C C1/81/8，1/101/10 D D1/10,1/121/10,

5、1/12內(nèi)容內(nèi)容奇偶特性，比例倍數(shù)特性（難點），尾數(shù)特性。奇偶特性，比例倍數(shù)特性（難點），尾數(shù)特性。解題關鍵解題關鍵熟練掌握行測考試中常用的數(shù)字特性。熟練掌握行測考試中常用的數(shù)字特性。意義：意義：最具有技巧性的，最能體現(xiàn)行測考試特點的最具有技巧性的，最能體現(xiàn)行測考試特點的111.奇偶性偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)= =奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)= =偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)= =偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)= =奇數(shù)奇數(shù)同類為偶同類為偶異類為奇異類為奇（1 1）兩個數(shù)的和為奇數(shù)）兩個數(shù)的和為奇數(shù)差也是奇數(shù)。差也是奇數(shù)。 兩個數(shù)的和為偶數(shù)兩個數(shù)的和為偶數(shù)差也是偶數(shù)。差也是偶數(shù)。推論推論 應用應用（

6、1 1）知差求和，知和求差；）知差求和，知和求差；（2 2）aX+bY=c,aX+bY=c,不定方程的求解。不定方程的求解。（2 2）兩個數(shù)的和或差是奇數(shù)）兩個數(shù)的和或差是奇數(shù) 兩數(shù)奇偶相反。兩數(shù)奇偶相反。 兩個數(shù)的和或差是偶數(shù)兩個數(shù)的和或差是偶數(shù) 兩數(shù)奇偶相同。兩數(shù)奇偶相同?！纠? 1】某次測驗有某次測驗有5050道判斷題，每做對一道題的道判斷題，每做對一道題的3 3分，不做分，不做或做錯一題倒扣或做錯一題倒扣1 1分，某學生共得分，某學生共得8282分，問答對題和答錯題數(shù)分，問答對題和答錯題數(shù)（包括不做）相差多少？（包括不做）相差多少？（ ） A.33 B.39 A.33 B.39 C.

7、17 D.16 C.17 D.16【例【例2 2】某兒童藝術(shù)培訓中心有某兒童藝術(shù)培訓中心有5 5名鋼琴教師和名鋼琴教師和6 6名拉丁舞教師名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共7676人分別平均人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來由于學生人數(shù)減少，培訓中心只保留生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來由于學生人數(shù)減少，培訓中心只保留了了4 4名鋼琴教師和名鋼琴教師和3 3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數(shù)名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數(shù)量不變，那么目前培訓中

8、心還剩下學員多少人量不變，那么目前培訓中心還剩下學員多少人?( )?( )A.36A.36B.37B.37C.39C.39D.41D.41152.2.整除特性整除特性【1 1】2 2（5 5）、）、4 4（2525）、）、8 8（125125）【2 2】3 3、9 93.3.比例倍數(shù)特性比例倍數(shù)特性如果如果 （m m、n n互質(zhì)），則互質(zhì)），則【1 1】a a是是m m的倍數(shù)，的倍數(shù)，b b是是n n的倍數(shù)；的倍數(shù)；【2 2】a a b b 是是 m m n n的倍數(shù)；的倍數(shù)；【3 3】 。【例【例3 3】出版社編輯小朱校對一本書，已校對與未校出版社編輯小朱校對一本書，已校對與未校對的比為對的

9、比為4545，后來又校對了，后來又校對了6060頁，兩者之比變?yōu)轫?，兩者之比變?yōu)?454。這本書的頁數(shù)為。這本書的頁數(shù)為( )( )。 A. 240 A. 240 B. 300 B. 300 C. 500 C. 500 D. 540 D. 540 【例【例4 4】一袋糖里裝有奶糖和水果糖，其中奶糖的顆一袋糖里裝有奶糖和水果糖，其中奶糖的顆數(shù)占總顆數(shù)的數(shù)占總顆數(shù)的3/53/5?，F(xiàn)在又裝進。現(xiàn)在又裝進1010顆水果糖，這時奶顆水果糖，這時奶糖的顆數(shù)占總顆數(shù)的糖的顆數(shù)占總顆數(shù)的4/74/7。那么，這袋糖里有多少顆。那么，這袋糖里有多少顆奶糖？（奶糖？（ ） A.100 A.100 B.112 B.1

10、12 C.120 C.120 D.122 D.122 【例例5 5】某公司三名銷售人員某公司三名銷售人員20112011年的銷售業(yè)績?nèi)缦履甑匿N售業(yè)績?nèi)缦拢杭椎匿N售額是乙和丙銷售額的：甲的銷售額是乙和丙銷售額的1.51.5倍，甲和乙的銷倍，甲和乙的銷售是丙的銷售額的售是丙的銷售額的5 5倍，已知乙的銷售額是倍，已知乙的銷售額是5656萬元，萬元，問甲的銷售額是問甲的銷售額是 ( ) ( )。 A.140 A.140萬元萬元B.144B.144萬元萬元 C.98 C.98萬元萬元 D.112 D.112萬元萬元 【例【例6 6】一位馬虎的采購員買了一位馬虎的采購員買了3636只垃圾桶，洗衣服時只垃

11、圾桶，洗衣服時將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：3636只桶，共只桶，共 67.9 67.9 元（元（ 內(nèi)的數(shù)字洗掉了），則他一共用了內(nèi)的數(shù)字洗掉了），則他一共用了( )( )元。元。 A A267.94267.94B B267.96267.96 C C367.92367.92D D367.98367.98【例例7 7】兩個派出所某月內(nèi)共受理案件兩個派出所某月內(nèi)共受理案件 160 160 起，其中起，其中甲派出所受理的案件中有甲派出所受理的案件中有 17%17%是刑事案件，乙派出所是刑事案件，乙派出所受理的案件中有受理的案件中有 20%20%是刑事案件，問乙派出所

12、在這個是刑事案件，問乙派出所在這個月中共受理多少起月中共受理多少起 非刑事案件（非刑事案件（ ） A.48A.48B.60B.60C.72C.72D.96D.961.1.適用題型：適用題型：大部分含有公式的題型。大部分含有公式的題型。（等量關系明顯的題型）（等量關系明顯的題型）2.2.?？碱}型：常考題型：方程、不定方程方程、不定方程（重點）（重點）方程三步走方程三步走1.設未知數(shù)設未知數(shù) 2.列方程列方程 3.解方程解方程 【1 1】一般情況下，求誰設誰。一般情況下，求誰設誰。 【2 2】設中間變量。設中間變量。 【3 3】設比例份數(shù)（有分數(shù)、百分數(shù)、比例倍數(shù)）。設比例份數(shù)（有分數(shù)、百分數(shù)、比

13、例倍數(shù)）。找準等量關系，所設方程應便于計算。找準等量關系，所設方程應便于計算。 【1 1】“加減消元法加減消元法”； 【2 2】“代入消元法代入消元法”。 【3 3】 未知數(shù)對稱時，整體考慮。未知數(shù)對稱時，整體考慮。 【例【例1 1】出租車隊去機場接某會議的參會者，如果每出租車隊去機場接某會議的參會者，如果每車坐車坐3 3名參會者，則需另外安排一輛大巴送走余下的名參會者，則需另外安排一輛大巴送走余下的5050人；如每車坐人；如每車坐4 4名參會者，則最后正好多出名參會者，則最后正好多出3 3輛空輛空車。問該車隊有多少輛出租車車。問該車隊有多少輛出租車? ? A. 50 B. 55A. 50 B

14、. 55 C. 60 D. 62C. 60 D. 62【例【例2 2】現(xiàn)有國畫和油畫作品共現(xiàn)有國畫和油畫作品共116116幅參加某次評選，幅參加某次評選，若已知獲獎的國畫占國畫總數(shù)的若已知獲獎的國畫占國畫總數(shù)的1/71/7，獲獎的油畫，獲獎的油畫有有1212幅，未獲獎的國畫與油畫數(shù)量相等，則此次參幅，未獲獎的國畫與油畫數(shù)量相等，則此次參賽的國畫比油畫少（賽的國畫比油畫少（ ）幅）幅A.4 B.5A.4 B.5C.6 D.7C.6 D.7 【例【例3 3】某校初一年級共三個班，一班與二班人數(shù)之和為某校初一年級共三個班，一班與二班人數(shù)之和為9898，一，一班與三班人數(shù)之和為班與三班人數(shù)之和為106

15、106，二班與三班人數(shù)之和為，二班與三班人數(shù)之和為108108，則二班，則二班人數(shù)為人數(shù)為（ ） A.48 B.50 A.48 B.50 C.58 D.60 C.58 D.60【例例4 4】甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4個數(shù)，每次去掉一個數(shù)，將其余個數(shù)，每次去掉一個數(shù)，將其余3 3個數(shù)個數(shù)求平均值，這樣算了求平均值，這樣算了4 4次，得到以下次，得到以下4 4個平均數(shù)：個平均數(shù)：5050、6060、6565、7575。這。這4 4個數(shù)的平均數(shù)是（個數(shù)的平均數(shù)是（ ）A A6262 B B62.562.5C C6565 D D63.563.5不定方程不定方程1.1.數(shù)字特性法（重點）數(shù)字特性

16、法（重點）2.2.代入排除法。代入排除法。3.3.尾數(shù)法尾數(shù)法不定方程的解法：不定方程的解法：【例例5 5】有有271271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有大客車有3737個座位，小客車有個座位，小客車有2020個座位。為保證每位個座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是（輛數(shù)是（ ）A.1A.1輛輛 B.3 B.3輛輛 C.2C.2輛輛 D.4 D.4輛輛【例例6 6】王某應聘到王某應聘到A A公司，月工資公司，月工資25002500元，數(shù)月后他元，數(shù)月后他 又到又到B B公

17、司兼職，月工資公司兼職，月工資500500元。年終他從兩公司共得元。年終他從兩公司共得到工資到工資2500025000元，則他在元，則他在B B公司兼職的時間為：（公司兼職的時間為：（ ）A.5A.5個月個月 B.6B.6個月個月C.7C.7個月個月 D.8D.8個月個月【例【例7 7】某單位向希望工程捐款，其中部門領導每人某單位向希望工程捐款，其中部門領導每人捐捐5050元，普通員工每人捐元，普通員工每人捐2020元，某部門所有人員共捐元，某部門所有人員共捐款款320320元。已知該部門總?cè)藬?shù)超過元。已知該部門總?cè)藬?shù)超過1010人，問該部門可人，問該部門可能有幾名領導？（能有幾名領導？（ ）

18、A.1A.1 B.2 B.2C.3C.3 D.4 D.4【例【例8 8】超市將超市將9999個蘋果裝進兩種包裝盒，大包裝盒每個蘋果裝進兩種包裝盒，大包裝盒每個裝個裝1212個蘋果，小包裝盒每個裝個蘋果，小包裝盒每個裝5 5個蘋果，共用了十多個蘋果，共用了十多個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個?( )?( )A.3 B.4A.3 B.4C.7 D.13C.7 D.13第二章第二章 初等數(shù)學初等數(shù)學1.1.概念概念 如果一個自然數(shù)如果一個自然數(shù)a a除以整數(shù)除以整數(shù)b b（其中（其中b0b0） 除除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，則稱得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)

19、，則稱a a為為b b的倍數(shù)。的倍數(shù)。2.2.最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 如果一個自然數(shù)如果一個自然數(shù)c c既是既是a a的倍數(shù)又是的倍數(shù)又是b b的倍數(shù)，那的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是么這個數(shù)就是a a、b b的公倍數(shù)，如果這個數(shù)的公倍數(shù)，如果這個數(shù)c c在在a a、b b的的所有公倍數(shù)里為最小，那這個數(shù)所有公倍數(shù)里為最小，那這個數(shù)c c就是最小公倍數(shù)。就是最小公倍數(shù)。 倍數(shù)倍數(shù)【例【例1 1】某事業(yè)單位小范每某事業(yè)單位小范每5 5天去體育館打一次羽毛球天去體育館打一次羽毛球，小徐每，小徐每9 9天去一次，老劉每天去一次，老劉每1212天去一次，某天三人天去一次，某天三人在體育館相遇，那么下一次相遇至少

20、需要多少天？在體育館相遇，那么下一次相遇至少需要多少天？A.120A.120B.180B.180C.540C.540D.80D.80 【例例2 2】甲、乙、丙三人是某公司的職員，三人分別甲、乙、丙三人是某公司的職員，三人分別每隔每隔4 4天、天、5 5天、天、7 7天到經(jīng)理辦公室匯報工作一次，三天到經(jīng)理辦公室匯報工作一次，三人在經(jīng)理辦公室兩次相遇至少需要多少天？（人在經(jīng)理辦公室兩次相遇至少需要多少天？（ ）A.70 A.70 B.140 B.140 C.120 C.120 D.240D.240【例【例3 3】小張、加工某零件要經(jīng)過三道工序，第一道、小張、加工某零件要經(jīng)過三道工序，第一道、第二道

21、、第三道工序上每個工人每個小時分別能加工第二道、第三道工序上每個工人每個小時分別能加工4 4個、個、5 5個和個和8 8個，要盡快完成加工任務，三道工序至少共個，要盡快完成加工任務，三道工序至少共需要配（需要配（ ）人。）人。A.18A.18B.21B.21C.23C.23D.27D.27 周期問題周期問題2.2.公式公式 一串事物以一串事物以T T為周期，若為周期，若A AT=NaT=Na，則第，則第A A項項等同于第等同于第a a項，過項，過A A天等同于過天等同于過a a天。天。1.1.概念概念 事物按照一定的周期重復出現(xiàn)或者循環(huán)排列。事物按照一定的周期重復出現(xiàn)或者循環(huán)排列。過過n n天

22、天= =第第n+1n+1天天【例【例4 4】書架的某一層上有書架的某一層上有136136本書，且是按照本書，且是按照“3 3本小本小說、說、4 4本教材、本教材、5 5本工具書、本工具書、7 7本科技書，本科技書，3 3本小說、本小說、4 4本本教材教材”的順序循環(huán)從左至右排列的。問該層最右的順序循環(huán)從左至右排列的。問該層最右邊的一本是什么書？（邊的一本是什么書？（ ）A.A.小說小說B.B.教材教材C.C.工具書工具書D.D.科技書科技書【例例5 5】 把黑桃、紅桃、方片、梅花四種花色的撲克牌把黑桃、紅桃、方片、梅花四種花色的撲克牌按黑桃按黑桃1010張、紅桃張、紅桃9 9張、方片張、方片7

23、 7張、梅花張、梅花5 5張的順序循環(huán)張的順序循環(huán)排列。問第排列。問第20152015張撲克牌是什么花色？（張撲克牌是什么花色？（ ）A.A.黑桃黑桃B.B.紅桃紅桃C.C.梅花梅花D.D.方片方片第三章第三章 工程問題工程問題工作總量工作總量= =工作效率工作效率 x x 工作時間工作時間?？碱}型常考題型常用方法常用方法給定時間型給定時間型 給定人數(shù)機器數(shù)給定人數(shù)機器數(shù)賦值法、方程法賦值法、方程法核心公式：核心公式：【例例1 1】要折疊一批紙飛機，若甲單獨折疊要半個小要折疊一批紙飛機，若甲單獨折疊要半個小時完成，乙單獨折疊需要時完成，乙單獨折疊需要4545分鐘完成。若兩人一起折，分鐘完成。若

24、兩人一起折，需要多少分鐘完成？需要多少分鐘完成？( )( )A.10A.10 B.15B.15C.16C.16 D.18D.18【例【例2 2】一項工程，甲、乙合作一項工程，甲、乙合作1212天完成，乙、丙合天完成，乙、丙合作作9 9天完成，丙、丁合作天完成，丙、丁合作1212天完成。如果甲、丁合作，天完成。如果甲、丁合作，則完成這項工程需要的天數(shù)是（則完成這項工程需要的天數(shù)是（ ）。）。A. 16 B. 18A. 16 B. 18C. 24 D. 26C. 24 D. 26【例【例3 3】一口水井，在不滲水的情況下，甲抽水機用一口水井，在不滲水的情況下，甲抽水機用4 4小小時可將水抽完，乙抽

25、水機用時可將水抽完，乙抽水機用6 6小時可將水抽完。現(xiàn)用甲、小時可將水抽完?，F(xiàn)用甲、乙兩臺抽水機同時抽水，但由于滲水，結(jié)果用了乙兩臺抽水機同時抽水，但由于滲水，結(jié)果用了3 3小時小時才將水抽完。問在滲水的情況下，用乙抽水機單獨抽，才將水抽完。問在滲水的情況下，用乙抽水機單獨抽，需幾小時抽完需幾小時抽完? ? （ ）A. 12A. 12小時小時 B. 13 B. 13小時小時C. 14C. 14小時小時 D. 15 D. 15小時小時 【例【例4 4】單獨完成某項工作，甲需要單獨完成某項工作，甲需要1616小時，乙需要小時，乙需要1212小時。如果按照甲、乙、甲、乙小時。如果按照甲、乙、甲、乙的

26、順序輪流工作的順序輪流工作，每次，每次1 1小時，那么完成這項工作需要多長時間？小時，那么完成這項工作需要多長時間？ A. 13A. 13小時小時4040分鐘分鐘 B. 13B. 13小時小時4545分鐘分鐘 C. 13C. 13小時小時5050分鐘分鐘 D. 14D. 14小時小時【例【例5 5】小張和小趙從事同樣的工作，小張的效率是小小張和小趙從事同樣的工作，小張的效率是小趙的趙的1.51.5倍。某日小張工作幾小時后小趙開始工作，小倍。某日小張工作幾小時后小趙開始工作，小趙工作了趙工作了1 1小時之后，小張已完成的工作量正好是小趙小時之后，小張已完成的工作量正好是小趙的的9 9倍。再過幾個

27、小時，小張已完成的工作量正好是小倍。再過幾個小時，小張已完成的工作量正好是小趙的趙的4 4倍？倍？A. 1A. 1B. 1.5B. 1.5C. 2C. 2D. 3D. 3【例【例6 6】一項工程由甲、乙、丙三個工程隊共同完成需一項工程由甲、乙、丙三個工程隊共同完成需要要1515天，甲隊與乙隊的工作效率相同，丙隊天，甲隊與乙隊的工作效率相同，丙隊3 3天的工作天的工作量與乙隊量與乙隊4 4天的工作量相當。三隊同時開工天的工作量相當。三隊同時開工2 2天后，丙隊天后，丙隊被調(diào)往另一工地，甲、乙兩隊留下繼續(xù)工作。那么，開被調(diào)往另一工地，甲、乙兩隊留下繼續(xù)工作。那么，開工工2222天以后，這項工程（天

28、以后，這項工程（ ）。）。A.A.已經(jīng)完工已經(jīng)完工B.B.余下的量需甲乙兩隊共同工作余下的量需甲乙兩隊共同工作1 1天天C.C.余下的量需乙丙兩隊共同工作余下的量需乙丙兩隊共同工作1 1天天D.D.余下的量需甲乙丙三隊共同工作余下的量需甲乙丙三隊共同工作1 1天天 【例【例7 7】一項工作，甲做一項工作，甲做3 3天、乙做天、乙做4 4天可以完成總數(shù)天可以完成總數(shù)的的1/31/3；甲做；甲做5 5天、乙做天、乙做3 3天也可以完成總數(shù)的天也可以完成總數(shù)的1/31/3。那。那么甲是乙工作效率的么甲是乙工作效率的( )( )倍。倍。 A.2 A.2 B.0.5 B.0.5 C.0.8 C.0.8

29、D.0.25 D.0.25第四章第四章 溶液問題溶液問題1.1.基本公式：基本公式：溶液=溶質(zhì)+溶劑；2.2.十字交叉法十字交叉法溶質(zhì)溶質(zhì)濃度溶液溶質(zhì)溶劑ArbAaBbAB rBar【例【例1 1】某鹽溶液某鹽溶液100100克，加入克，加入2020克水稀釋，濃度變克水稀釋，濃度變?yōu)闉?0%50%，然后加入，然后加入8080克濃度為克濃度為25%25%的鹽溶液，此時，的鹽溶液，此時，混合后的鹽溶液濃度為（混合后的鹽溶液濃度為（ ）。）。A. 30% B. 40%A. 30% B. 40%C. 45% D. 50%C. 45% D. 50%【例【例2 2】甲乙兩部門員工參加同一次業(yè)務考試，兩部甲

30、乙兩部門員工參加同一次業(yè)務考試，兩部門參加考試的員工均分為門參加考試的員工均分為7272分和分和7676分，所有參加考分，所有參加考試的員工的平均分為試的員工的平均分為74.474.4，則參加考試的甲乙兩部，則參加考試的甲乙兩部門的員工人數(shù)之比為：（門的員工人數(shù)之比為：（ ）A.1:2 B.2:3A.1:2 B.2:3C.3:4 D.4:5C.3:4 D.4:5 【例【例3 3】某單位女員工的平均年齡是某單位女員工的平均年齡是2727歲，男員工的平歲，男員工的平均年齡是均年齡是3232歲，全體員工的平均年齡是歲，全體員工的平均年齡是3030歲。如果女歲。如果女員工比男員工少員工比男員工少131

31、3名，那么該單位共有名，那么該單位共有( )( )員工。員工。 A.66 A.66 B.69 B.69 C.65 C.65 D.63 D.63 【例【例4 4】某市現(xiàn)有某市現(xiàn)有7070萬人口，如果萬人口，如果5 5年后城鎮(zhèn)人口增加年后城鎮(zhèn)人口增加 4 4，農(nóng)村人口增加，農(nóng)村人口增加5.45.4，則全市人口將增加，則全市人口將增加4.84.8，那么，那么這個這個市現(xiàn)有城鎮(zhèn)人口多少萬？（市現(xiàn)有城鎮(zhèn)人口多少萬？（ ） A.30 A.30萬萬 B. 31.2 B. 31.2萬萬 C.40 C.40萬萬 D. 41.6D. 41.6萬萬 【例【例5 5】三個容積相同的瓶子裝滿酒精溶液，酒精與水三個容積相

32、同的瓶子裝滿酒精溶液，酒精與水的比分別是的比分別是3 3：2 2，3 3：1 1，1 1：1 1。當把三瓶酒精溶液混。當把三瓶酒精溶液混合時，酒精與水的比是：（合時，酒精與水的比是：（ ） A A7:47:4B B8:58:5 C C4:34:3D D37:2337:23第五章第五章 行程問題行程問題1.1.核心公式：核心公式： 基礎行程基礎行程完全通過：完全通過：S=橋長橋長+ +車長車長完全在橋上：完全在橋上：S=橋長橋長- -車長車長路程路程 = = 速度速度時間時間s = vts = vt2.2.火車運動問題：火車運動問題：L橋橋L車車完全過橋距離完全過橋距離=L橋橋+L車車1.完全過

33、橋完全過橋L橋橋L車車完全在橋上距離完全在橋上距離=L橋橋-L車車2.完全在橋上完全在橋上【例例1 1】一列長為一列長為 280280米的火車，速度為米的火車，速度為 2020米秒，經(jīng)過米秒，經(jīng)過28002800米的大橋，火車完全通過這座大橋需多少時間？（米的大橋，火車完全通過這座大橋需多少時間？（ ） A.2A.2分分3838秒秒B.2B.2分分20 20 秒秒 C.2C.2分分2828秒秒D.2D.2分分3434秒秒 【例例1 1】一輛汽車從一輛汽車從A A地開到地開到B B地需要一個小時，返回時速度為每地需要一個小時，返回時速度為每小時小時7575公里，比去時節(jié)約了公里，比去時節(jié)約了20

34、20分鐘，問分鐘，問ABAB兩地相距多少公里？兩地相距多少公里？（ ） A.30 A.30 B.50 B.50 C.60 C.60 D.75 D.75相遇追及核心公式：相遇追及核心公式： 相遇的路程和公式相遇的路程和公式（相向）（相向） s s相相=s=s和和（v v大大+v+v小?。?t t相相追及的路程差公式追及的路程差公式（同向）（同向） s s追追s s差差（v v大大- v- v小?。?t t追追 二、相遇追及問題二、相遇追及問題【例例3 3】甲、乙兩人沿直線從甲、乙兩人沿直線從A A地步行至地步行至B B地，丙從地，丙從B B地步行至地步行至A A地。已知甲、乙、丙三人同時出發(fā)，甲

35、和丙相遇后地。已知甲、乙、丙三人同時出發(fā)，甲和丙相遇后5 5分鐘，乙分鐘，乙與丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分別為與丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分別為8585米米/ /分鐘、分鐘、7575米米/ /分鐘、分鐘、6565米米/ /分鐘。問分鐘。問ABAB兩地距離為多少米兩地距離為多少米?( )?( )A.8000A.8000米米 B.8500B.8500米米C.10000C.10000米米 D.10500D.10500米米【例例4 4】張陽和劉芳家相距張陽和劉芳家相距10261026米，劉芳從家中出發(fā)，張陽米，劉芳從家中出發(fā)，張陽帶著帶著小狗也從家出發(fā)，和劉芳相向而行。張陽每分鐘走小狗也從

36、家出發(fā)，和劉芳相向而行。張陽每分鐘走5454米，劉芳米，劉芳每分鐘走每分鐘走6060米，小狗每分鐘跑米，小狗每分鐘跑7070米。當小狗和劉芳相遇后立即米。當小狗和劉芳相遇后立即返回跑向張陽，遇到張陽后又立即返回跑向劉芳，這樣跑來跑返回跑向張陽，遇到張陽后又立即返回跑向劉芳，這樣跑來跑去，直到二人相遇。問小狗共跑了多少米去，直到二人相遇。問小狗共跑了多少米( )( )A.630A.630米米B.700B.700米米C.840C.840米米D.960D.960米米 【例【例5 5】小李和小王各自在公路上往返于甲、乙兩地跑步，即到小李和小王各自在公路上往返于甲、乙兩地跑步，即到達一地便立即折回向另一

37、地跑步，設開始時他們分別從兩地同達一地便立即折回向另一地跑步，設開始時他們分別從兩地同時相向出發(fā)，若在距離甲地時相向出發(fā)，若在距離甲地3 3百米處他們第一次相遇，第二次相百米處他們第一次相遇，第二次相遇的地點在距乙地遇的地點在距乙地2 2百米處，則甲、乙兩地的距離可能為百米處，則甲、乙兩地的距離可能為( )( )百米。百米。 A A9 9B B6 6 C C8 8D D7 7【例例6】李某早上去上班，他若騎普通自行車每分鐘走李某早上去上班，他若騎普通自行車每分鐘走150米，米，會遲到會遲到5分鐘；他若騎電動自行車每分鐘走分鐘；他若騎電動自行車每分鐘走300米，會早到米，會早到12分分鐘。他家距

38、離單位（鐘。他家距離單位（ ）米。）米。 A.4900 B.5100 C.5500 D.6000 流水行船流水行船【例例7】甲、乙兩港口相距甲、乙兩港口相距360千米，氣墊船往返兩港口需千米，氣墊船往返兩港口需3 5小時，逆流航行比順流航行多花了小時，逆流航行比順流航行多花了5小時，現(xiàn)在有一艘機械船，小時，現(xiàn)在有一艘機械船，在靜水中航行速度是每小時在靜水中航行速度是每小時9千米，這舨機械船往返兩港口要千米，這舨機械船往返兩港口要( )小時？小時？A90B64C54D70第六章第六章 經(jīng)濟利潤問題經(jīng)濟利潤問題一、常見題型：一、常見題型：基礎利潤問題基礎利潤問題 分段計費問題分段計費問題 最優(yōu)方案

39、問題最優(yōu)方案問題二、常用方法二、常用方法方程法、方程法、賦值法賦值法 基本公式：基本公式： 利潤利潤 = 售價售價- 成本成本 利潤率利潤率 = 利潤利潤成本成本 = 售價售價成本成本-1 售價售價 = 成本成本（1+利潤率）利潤率） 【例【例1 1】一種商品原定價一種商品原定價150150元，利潤率為元，利潤率為50%50%，后來搞促銷活，后來搞促銷活動打七折銷售，則后來利潤率為：（動打七折銷售，則后來利潤率為：（ ） A.5% B.10% A.5% B.10% C.15% D.20% C.15% D.20% 【例例2 2】甲、乙兩種毛巾售價比為甲、乙兩種毛巾售價比為5:45:4，采購員小趙

40、買甲、乙，采購員小趙買甲、乙毛巾的數(shù)量之比為毛巾的數(shù)量之比為3:53:5，最后小趙買毛巾共花去，最后小趙買毛巾共花去700700元，則他元，則他買甲毛巾比買乙毛巾：（買甲毛巾比買乙毛巾：（ ） A. A.多花多花100100元元 B.B.少花少花100100元元 C. C.多花多花120120元元 D.D.少花少花120120元元 【例【例3 3】某產(chǎn)品售價為某產(chǎn)品售價為67.167.1元，在采用最新技術(shù)生產(chǎn)節(jié)約元，在采用最新技術(shù)生產(chǎn)節(jié)約10%10%成成本之后，售價不變，利潤可比原來翻一番。問該產(chǎn)品最初的成本之后，售價不變，利潤可比原來翻一番。問該產(chǎn)品最初的成本為多少元本為多少元? ? A.5

41、1.2 A.51.2 B.54.9 B.54.9 C.61 C.61 D.62.5D.62.5 【例【例4 4】某商店的兩件商品成本價相同，一件按成本價多某商店的兩件商品成本價相同，一件按成本價多25%25%出出售，一件按成本價少售，一件按成本價少13%13%出售，則兩件商品各售出一件時盈利出售，則兩件商品各售出一件時盈利為多少為多少? ? （ ） A. 6% B. 8% A. 6% B. 8% C. 10% D. 12% C. 10% D. 12%分段計費問題：分段計費問題： 關鍵是分段列出方程或者式子，注意分段節(jié)點。關鍵是分段列出方程或者式子，注意分段節(jié)點。 【例【例5 5】為節(jié)約用水，某

42、市決定用水收費實行超額超收，月標為節(jié)約用水，某市決定用水收費實行超額超收，月標準用水量以內(nèi)每噸準用水量以內(nèi)每噸2.52.5元，超過標準的部分加倍收費。某用戶元，超過標準的部分加倍收費。某用戶某月用水某月用水1515噸，交水費噸，交水費62.562.5元。若該用戶下個月用水元。若該用戶下個月用水1212噸，噸，則應交水費多少錢（則應交水費多少錢（ ） A.42.5 B.47.5 A.42.5 B.47.5 C.50 D.55 C.50 D.55最優(yōu)方案問題：最優(yōu)方案問題：優(yōu)先選擇最劃算的方式優(yōu)先選擇最劃算的方式 【例【例6】某商場在進行某商場在進行“滿百省滿百省”活動，滿活動，滿100省省10，

43、滿，滿200省省30，滿，滿300省省50.大于大于400的消費只能折算為等同于幾個的消費只能折算為等同于幾個100、200、300的加和。已知一位顧客買某款襯衫的加和。已知一位顧客買某款襯衫1件支付了件支付了175元，那么買元，那么買3件這樣的襯衫最少需要（件這樣的襯衫最少需要（ ）。）。 A.445元元 B.475元元 C.505元元 D.515元元 【例【例7】某單位組織活動，購買某單位組織活動，購買5 0瓶礦泉水，現(xiàn)在知道甲、乙瓶礦泉水，現(xiàn)在知道甲、乙、丙、丁、丙、丁4個店都有銷售，且價格都是個店都有銷售，且價格都是2.5元，正值元，正值“五一五一”，各個商店采取了不同的優(yōu)惠辦法：，各

44、個商店采取了不同的優(yōu)惠辦法： 甲店：買甲店：買1 0瓶礦泉水免費贈送瓶礦泉水免費贈送2瓶，不足瓶，不足1 0瓶不贈送；乙店瓶不贈送；乙店：每瓶礦泉水優(yōu)惠：每瓶礦泉水優(yōu)惠0.5元；丙店：購物滿元；丙店：購物滿1 0元，返還現(xiàn)金元，返還現(xiàn)金2元元；丁店：購物打；丁店：購物打8.5折。為節(jié)眢開省，你認為應該到折。為節(jié)眢開省，你認為應該到( )商店商店購買礦泉水最合算。購買礦泉水最合算。 A甲甲 B乙乙 C丙丙 D丁丁第七章第七章 容斥原理容斥原理1.1.常考類型?？碱愋蛢杉闲?，三集合型兩集合型，三集合型2.2.解題方法解題方法公式法、圖示法公式法、圖示法一、兩集合標準型核心公式：一、兩集合標準型核

45、心公式：A+B-AB=A+B-AB=總個數(shù)總個數(shù)- - 都不滿足的個數(shù)都不滿足的個數(shù)ABAB總個數(shù)總個數(shù)都不滿足的個數(shù)都不滿足的個數(shù)【例【例1 1】某班對某班對5050名學生進行體檢，有名學生進行體檢，有2020人近視，人近視，1212人超重，人超重，4 4人既近視又超重。該班有多少人既不近視又不超重人既近視又超重。該班有多少人既不近視又不超重? ? （ ）A.22A.22人人B.24B.24人人C.26C.26人人D.28D.28人人【例【例2 2】運動會上運動會上100100名運動員排成一列，從左向右依次編號名運動員排成一列，從左向右依次編號為為1-1001-100，選出編號為，選出編號為

46、3 3的倍數(shù)的運動員參加開幕式隊列，而的倍數(shù)的運動員參加開幕式隊列，而編號為編號為5 5的倍數(shù)的運動員參加閉幕式隊列。問既不參加開幕的倍數(shù)的運動員參加閉幕式隊列。問既不參加開幕式又不參加閉幕式隊列的運動員有多少人式又不參加閉幕式隊列的運動員有多少人?( )?( )A.46A.46 B.47 B.47C.53C.53 D.54 D.54二、三集合標準型核心公式：二、三集合標準型核心公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總個數(shù)總個數(shù)- -都不滿足的個數(shù)都不滿足的個數(shù)AB總個數(shù)總個數(shù)都不滿足的個數(shù)都不滿足的個數(shù)CABC【例例3】如圖所示，如圖所示，

47、X、Y、Z分別是面積為分別是面積為64、180、160的的三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為總共蓋住的面積為290。且。且X與與Y、Y與與Z、Z與與X重疊部分面積重疊部分面積分別為分別為24、70、36。問陰影部分的面積是多少。問陰影部分的面積是多少?( )A.15 B.16C.14 D.18【例4】某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個職位，結(jié)果共職位，結(jié)果共4242人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數(shù)人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數(shù)分別是分別是2222人、人、16

48、16人、人、2525人，其中同時報甲、乙職位的人人，其中同時報甲、乙職位的人數(shù)為數(shù)為8 8人，同時報甲、丙職位的人數(shù)為人，同時報甲、丙職位的人數(shù)為6 6人，那么同時報人，那么同時報乙、丙職位的人數(shù)為乙、丙職位的人數(shù)為：（：（ ）A. 7A. 7人人B. 8B. 8人人C. 5C. 5人人D. 6D. 6人人第九章第九章 排列組合排列組合主要內(nèi)容基本原理基本知識簡單概率1.加法原理：分類用加法（一步到位） 2.乘法原理：分步用乘法（分步完成）基本原理基本原理【熱身1】 張明去玩具商店給兒子買一件玩具，商店里有四種玩具槍，三種球，五種積鐵，若不考慮挑選次序，問可以有幾種選擇方法？（ ） A.60

49、B.12 C.15 D.7 【熱身2】 南陽中學有語文教師8名、數(shù)學教師7名、英語教師5名和體育教師2名?，F(xiàn)要從以上四科教師中各選出1名教師去參加培訓，問共有幾種不同的選法？（ ） A.22 B.124 C.382 D.560交換順序交換順序產(chǎn)生新情況情況沒變化排列：與順序有關組合：與順序無關基本知識基本知識1.基本概念基本知識基本知識2.基本計算【例1】在一條線段中間另有6個點，則這8個點可以構(gòu)成多少條線段？（ ）A.15B.21C.28D.36【例2】某鐵路線上有25個大小車站，那么應該為這條路線準備多少種不同的車票？（ ）A.500B.600C.400D.450【例3】廚師從12種主料中

50、挑出2種，從13種配料中挑選出3種來烹飪某道菜肴，烹飪的方式共有7種，那么該廚師最多可以做出多少道不一樣的菜肴？（ ） A.130468B.131204C.132132D.133456【例4】有顏色不同的五盞燈，每次使用一盞、兩盞、三盞、四盞或五盞，并按一定次序掛在燈桿上表示不同的信號，這些顏色不同的燈共可表示多少種不同的信號？（ ） A.240B.300C.320D.325簡單概率簡單概率 = = 滿足條件的情況數(shù)總的情況數(shù)簡單概率簡單概率逆向思維：逆向思維：滿足條件的概率=1-不滿足條件 的概率雙色球雙色球中獎概率3333紅球，紅球，1616籃球籃球一等獎：6紅球，1籃球6 6紅球，紅球，

51、1 1籃球籃球=117721088二等獎：6紅球，0籃球=1107568三等獎：5紅球，1籃球1=6328961開獎【例5】某單位共有四個科室，第一科室20人，第二科室21人，第三科室25人，第四科室34人，隨機抽取一人到外地考察學習，抽到第一科室的概率是多少？（ ）A.0.3B.0.25C.0.2D.0.15【例6】某辦公室5人中有2人精通德語。如從中任意選出3人，其中恰有1人精通德語的概率是多少？（ ）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.75【例7】小王開車上班需經(jīng)過4個交通路口，假設經(jīng)過每個路口遇到紅燈的概率分別為0.1、0.2、0.25、0.4，則他上班經(jīng)過4個路口至少有一處遇到綠燈

52、的概率是( )。A.0.899B.0.988C.0.989D.0.998小小 結(jié)結(jié)第十章第十章 最值問題最值問題主要內(nèi)容最不利構(gòu)造數(shù)列構(gòu)造1.1.特征特征:至少(最少)保證2.2.方法方法：最不利情況數(shù)最不利情況數(shù)+1+1最不利構(gòu)造最不利構(gòu)造【例1】一只魚缸有足夠多條魚，共有五個品種，問至少撈出多少條魚，才能保證有五條相同品種的魚？( )A.10B.11C.20D.21科班秘訣：科班秘訣：保N變?yōu)镹-1，乘以種類再加1，個別不到N-1，全部都要加到底?！纠?】一副完整的撲克牌，至少從中摸出多少張牌才能確保至少有6張牌的花色相同?( )A.21 B.22C.23 D.24【例3】有軟件設計專業(yè)學

53、生90人，市場營銷專業(yè)學生80人，財務管理專業(yè)學生20人及人力資源管理專業(yè)學生16人參加求職招聘會，問至少有多少人找到工作就一定保證有30名找到工作的人專業(yè)相同？（ ）A.59B.75C.79D.951. 1.特征特征:最最；排名第最2. 2.方法步驟方法步驟:構(gòu)造數(shù)列構(gòu)造數(shù)列構(gòu)造有序數(shù)列；設未知數(shù)（求什么設什么）；列出各項（注意題目限制條件，如是否相注意題目限制條件，如是否相等，不為零，整數(shù)等等，不為零，整數(shù)等）；列方程求解?！纠?】100人參加7項活動，已知每個人只參加一項活動，而且每項活動參加的人數(shù)都不一樣且不為零，那么，參加人數(shù)第四多的活動最多有幾個人參加?( )A.22B.21C.2

54、4D.23【例5】 現(xiàn)有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數(shù)各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（ ）朵鮮花。A.6 B.7 C.8 D.9【例6】某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個不同部門。假設行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門都多，問行政部分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名？A.10 B.11C.12 D.13小小 結(jié)結(jié)第十一章第十一章 幾何問題幾何問題扇形面積扇形面積S=S=2360Rn6a2【例例1 1】水壩的橫截面是一個梯形，它的面積為水壩的橫截面是一個梯形，它的面積為32.532.5平方米，高平方米，高為為5 5米，下底比上底的米，下底比上底的2 2倍多倍多1

55、1米，梯形上底是多少米？（米，梯形上底是多少米？（ ）。）。 6 6 B. 4 B. 4C. 5C. 5 D. D. 7【例例2 2】某學校準備重新粉刷國旗的旗臺，該旗臺由兩個正方體上某學校準備重新粉刷國旗的旗臺，該旗臺由兩個正方體上下疊加而成，邊長分別為下疊加而成，邊長分別為1 1米和米和2 2米。問需要粉刷的面積為（米。問需要粉刷的面積為（ ）。）。3030平方米平方米 B. 29B. 29平方米平方米C. 26C. 26平方米平方米 D. 24D. 24平方米平方米【例【例3 3】一個體積為一個體積為490490立方厘米的長方體橫著截去一段后變成一立方厘米的長方體橫著截去一段后變成一個正

56、方體，表面積減少了個正方體，表面積減少了8484平方厘米，則截得的正方體棱長為平方厘米，則截得的正方體棱長為（ ）厘米。）厘米。A.6 B.7A.6 B.7C.8 D.9C.8 D.9【例【例4 4】如下圖，如下圖，ABCDABCD是正方形。求陰影部分的面積為（是正方形。求陰影部分的面積為（ ）（=3=3）。）。A A2525B B6.256.25C C18.7518.75D D3.443.441.一幾何圖形，若其尺度（長度）變?yōu)樵瓉淼腘倍，則：對應角度不變；對應周長變?yōu)樵瓉淼腘倍；對應面積變?yōu)樵瓉淼腘2倍；對應體積變?yōu)樵瓉淼腘3倍。幾何特性法幾何特性法2.平面圖形中：若周長一定，越接近于圓，

57、面積越大； 若面積一定，越接近于圓，周長越小。3.立體圖形中：若表面積一定，越接近于球，體積越大； 若體積一定，越接近于球，表面積越小?！纠纠? 5】正四面體正四面體 的棱長增長的棱長增長10%，則表面積增加多少？，則表面積增加多少？ A.21% B.15% C.44% D.40%【例例6 6】將一根鐵絲分別彎制成圓形、正方形、長方形，問彎成將一根鐵絲分別彎制成圓形、正方形、長方形，問彎成哪種形狀時該鐵絲所圍的面積最大哪種形狀時該鐵絲所圍的面積最大?( )?( ) A. A.圓形圓形 B.B.正方形正方形 C. C.長方形長方形 D.D.一樣大一樣大 【例【例7 7】相同表面積的四面體、六面

58、體、正十二面體及正二相同表面積的四面體、六面體、正十二面體及正二十面體其中體積最大的是（十面體其中體積最大的是（ ）？）？ A. A.四面體四面體 B. B.六面體六面體 C. C.正十二面體正十二面體 D. D.正二十面體正二十面體第十一章 趣味雜題基本題型包括基本題型包括植樹問題、牛吃草問題、空瓶換瓶問題問題、過河爬井。植樹問題、牛吃草問題、空瓶換瓶問題問題、過河爬井。做題方法做題方法公式法公式法 1.1.植樹問題核心公式植樹問題核心公式單邊線型植樹公式：棵數(shù)單邊線型植樹公式：棵數(shù)= =總長總長間隔間隔+1+1；單邊環(huán)型植樹公式：棵數(shù)單邊環(huán)型植樹公式：棵數(shù)= =總長總長間隔；間隔；單邊樓間植樹公式：棵數(shù)單邊樓間植樹公式：棵數(shù)= =總長總長間隔間隔-1-1；雙邊植樹問題公式：棵數(shù)雙邊植樹問題公式：棵數(shù)= =單邊單邊2 2【例例1 1】長度為長度為250250米的馬路上每隔米的馬路上每隔5 5米植樹一棵，米植樹一棵，則該條路上共有樹木幾棵？則該條路上共有樹木幾棵？( )( )A.50A.50棵棵 B.51B.