數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)文化——第二講_數(shù)學(xué)概觀

1、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化第二講 數(shù)學(xué)科學(xué)概觀內(nèi)容一. 前言二. 數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)容三. 數(shù)學(xué)進(jìn)展的大致概況四. 數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)五. 數(shù)學(xué)家的思維六. 數(shù)學(xué)家介紹（華羅庚、陳省身）一. 前言 被后人稱為“數(shù)學(xué)王子”的德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss, 1777-1855）曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王，它常常屈尊去為天文學(xué)和其他自然科學(xué)效勞，但在所有的關(guān)系中，它都堪稱第一” 隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的地位也日益提高，這是因?yàn)楫?dāng)今科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要特點(diǎn)是高度的、全面的定量化定量化實(shí)際上就是數(shù)學(xué)化因此，人們把數(shù)學(xué)看成是與自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)并列的一門科學(xué)，叫數(shù)學(xué)科學(xué)二.數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)容數(shù)學(xué)科學(xué)按其內(nèi)

2、容可分成五個(gè)大學(xué)科：1）純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學(xué)（Pure mathematics）2）應(yīng)用數(shù)學(xué)（Applied mathematics）3）計(jì)算數(shù)學(xué)（Computational mathematics）4）運(yùn)籌與控制（Operational research and control）5）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（Probability and mathematical statistics）三. 數(shù)學(xué)進(jìn)展的大致概況 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史非常悠久，大約在一萬(wàn)年以前，人類從生產(chǎn)實(shí)踐中就逐漸形成了“數(shù)”與“形”的概念，但真正形成數(shù)學(xué)理論還是從古希臘人開(kāi)始的公元300多年以前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，公元前33

3、0-前275）寫(xiě)了幾何原本一書(shū)，這是自古以來(lái)所有科學(xué)著作中發(fā)行量最廣、沿用時(shí)間最長(zhǎng)的巨著 兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)的發(fā)展大體可以分為三個(gè)階段：17世紀(jì)以前是數(shù)學(xué)發(fā)展的初級(jí)階段，其內(nèi)容主要是常量數(shù)學(xué)，如初等幾何、初等代數(shù)、；從文藝復(fù)興時(shí)期開(kāi)始，數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入第二個(gè)階段，即變量數(shù)學(xué)階段，產(chǎn)生了微積分、解析幾何、高等代數(shù)；從19世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)獲得了巨大的發(fā)展，形成了近代數(shù)學(xué)階段，產(chǎn)生了實(shí)變函數(shù)、泛函分析、非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)、近世代數(shù)、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯等新的數(shù)學(xué)分支初等數(shù)學(xué)階段進(jìn)代數(shù)學(xué)階段現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段時(shí) 間17世紀(jì)前17-18世紀(jì)19世紀(jì)-對(duì) 特象 點(diǎn)數(shù)常量形簡(jiǎn)單圖形變量曲線（形與數(shù)統(tǒng)一）曲面集合、空間構(gòu)件、流

4、形（以集合和映射 為工具）代 表課 程初等代數(shù)立體幾何數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何（老三樣）泛函分析、近世代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)（新三樣） 近半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，現(xiàn)代自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，正在改變著傳統(tǒng)的學(xué)科分類與科學(xué)研究的方法“數(shù)、理、化、天、地、生”這些曾經(jīng)以縱向發(fā)展為主的基礎(chǔ)學(xué)科與日新月異的技術(shù)相結(jié)合，使用數(shù)值、解析和圖形并舉的方法，推出了橫跨多種學(xué)科門類的新興領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)科學(xué)內(nèi)也產(chǎn)生了新的研究領(lǐng)域和方法，如混沌（Chaos）、分形幾何（Fractal geometry）、小波分析（Wavelet transform）等可以這樣說(shuō)，數(shù)學(xué)發(fā)展至今，已經(jīng)擁有100多個(gè)分支的科學(xué)體系，盡管如此， 數(shù)學(xué)科學(xué)的

5、核心領(lǐng)域還是： -代數(shù)學(xué)研究數(shù)的理論； -幾何學(xué)研究形的理論； -分析學(xué)溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分總結(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個(gè)主要分支學(xué)科的龐大的“共和國(guó)”。大體說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學(xué)通過(guò)數(shù)與形這兩個(gè)概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。 四. 數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn) 1. 抽象性 2. 精確性 3. 應(yīng)用的廣泛性1. 抽象性 數(shù)學(xué)研究的“形”和“數(shù)”與現(xiàn)實(shí)世界中的物質(zhì)內(nèi)涵沒(méi)有直接聯(lián)系。

6、 全部數(shù)學(xué)概念都具有抽象性。但都有非?，F(xiàn)實(shí)的背景。 數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)在于： I.在數(shù)學(xué)抽象中保留了量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他； II.數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的,它們所達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了其他學(xué)科中的一般抽象; III.數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關(guān)系的圈子之中.2. 精確性 數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性，推理和計(jì)算的邏輯嚴(yán)格性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無(wú)疑與無(wú)可爭(zhēng)辯性。 數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)推理和一絲不茍的計(jì)算，使得每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都是牢固的、不可動(dòng)搖的。這種思想方法不僅培養(yǎng)了科學(xué)家，而且它也有助于提高人的科學(xué)文化素質(zhì)，它是全人類共有的精神財(cái)富。 數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)密性就要求學(xué)數(shù)學(xué)的人在學(xué)

7、習(xí)的過(guò)程中，不僅要做習(xí)題,掌握解題方法，而且要重視和學(xué)會(huì)證明結(jié)論的思想和技巧，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題背后的精神、方法。3. 應(yīng)用的廣泛性 1959年5月，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在人民日?qǐng)?bào)上發(fā)表了大哉數(shù)學(xué)之為用的文章，精辟的敘述了數(shù)學(xué)的各種運(yùn)用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各方面，無(wú)處不有數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)?！?凡是出現(xiàn)“量”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量的關(guān)系，量的變化關(guān)系，量的關(guān)系的變化等現(xiàn)象都少不了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)之為用貫穿到一切科學(xué)部門的深處，而成為它們的得力助手與工具，缺少了它就不能準(zhǔn)確刻畫(huà)出客觀事物的變化，更不能由已知數(shù)據(jù)推出其他數(shù)據(jù)，因而就減少了科學(xué)預(yù)見(jiàn)的準(zhǔn)確性。

8、例子： -飛機(jī)制造 -沙漠風(fēng)暴與數(shù)學(xué)戰(zhàn) -通訊技術(shù)五. 數(shù)學(xué)家的思維 數(shù)學(xué)家的思維特點(diǎn)取決于數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)家的思維特點(diǎn)歸納起來(lái)就是思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、思維的抽象性（廣闊性）、思維的靈活性及思維的批判性此外，還有數(shù)學(xué)家的直覺(jué)和想象、美感和審美能力 還要特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)家的拼搏精神和奉獻(xiàn)精神，他們?yōu)榱税l(fā)展數(shù)學(xué)，廢寢忘食、勤奮鉆研，甚至忘記了自我數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)之所以如此執(zhí)著、甚至癡迷，是因?yàn)樗麄兿矏?ài)數(shù)學(xué)，不斷地用數(shù)學(xué)中的“美”來(lái)陶冶自己 數(shù)學(xué)是一個(gè)生機(jī)勃勃的科學(xué)，有無(wú)數(shù)未解決的問(wèn)題，有許多形形色色的未開(kāi)墾的處女地，等待有想象力、有創(chuàng)新精神和堅(jiān)忍不拔毅力的學(xué)者去征服！六. 數(shù)學(xué)家介紹（華羅庚、陳省身） 1. 華

9、羅庚（1910-1985） -初中文憑，獨(dú)步中華 華羅庚，1910年11月12日出生于江蘇金壇縣。父親以開(kāi)雜貨鋪為生。他幼時(shí)愛(ài)動(dòng)腦筋，因思考問(wèn)題過(guò)于專心常被同伴們戲稱為“羅呆子”。他進(jìn)入金壇縣立初中后，其數(shù)學(xué)才能被老師王維克發(fā)現(xiàn)，并盡心盡力予以培養(yǎng)。初中畢業(yè)后，華羅庚曾入上海中華職業(yè)學(xué)校就讀，因拿不出學(xué)費(fèi)而中途退學(xué)，故一生只有初中畢業(yè)文憑。 此后，他開(kāi)始頑強(qiáng)自學(xué)，每天達(dá)10個(gè)小時(shí)以上。他用5年時(shí)間學(xué)完了高中和大學(xué)低年級(jí)的全部數(shù)學(xué)課程。1928年，他不幸染上傷寒病，雖挽回性命，卻落下左腿殘疾。20歲時(shí)，他以一篇論文轟動(dòng)數(shù)學(xué)界，被清華大學(xué)（算學(xué)系主任熊慶來(lái)）破例于1931年請(qǐng)去任數(shù)學(xué)系助理員。 從

10、1931年起，華在清華大學(xué)邊工作邊學(xué)習(xí)，用一年半時(shí)間學(xué)完了數(shù)學(xué)系全部課程。他自學(xué)了英、法、德文，在國(guó)外雜志上發(fā)表了3篇論文后，被破格任用為助教。 1936年夏，華羅庚被保送到英國(guó)劍橋大學(xué)進(jìn)修，與著名數(shù)學(xué)家相互切磋，兩年中發(fā)表了10多篇論文，引起國(guó)際數(shù)學(xué)界贊賞。 1938年，在抗日的烽火中，華毅然回國(guó)，在西南聯(lián)大任教。在昆明郊外一間牛棚似的小閣樓里，他艱難地寫(xiě)出名著堆壘素?cái)?shù)論。 1946年3月，他應(yīng)邀訪問(wèn)蘇聯(lián)，回國(guó)后不顧反動(dòng)當(dāng)局的限制，在昆明為青年作“訪蘇三月記”的報(bào)告。 1946年9月，華羅庚應(yīng)紐約普林斯頓大學(xué)邀請(qǐng)去美國(guó)講學(xué)，并于1948年被美國(guó)伊利諾依大學(xué)聘為終身教授。 1949年10月1日

11、中華人民共和國(guó)成立，華羅庚毅然放棄伊力諾依大學(xué)的優(yōu)裕生活攜全家返回祖國(guó)。在歸國(guó)途中發(fā)表了致中國(guó)全體留美學(xué)生的公開(kāi)信，他在信中深情地說(shuō)：“梁園雖好，非久居之鄉(xiāng)，歸去來(lái)兮！” 1950年3月，他到達(dá)北京，隨后擔(dān)任了清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任、中科院數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)等職。50年代，他在百花齊放、百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)空氣下著述頗豐，還發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)了王元、陳景潤(rùn)等數(shù)學(xué)人才。 1956年，他著手籌建中科院計(jì)算數(shù)學(xué)研究所。 1958年，他擔(dān)任中國(guó)科技大學(xué)副校長(zhǎng)兼數(shù)學(xué)系主任。 從1960年起，華羅庚開(kāi)始在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中推廣統(tǒng)籌法和優(yōu)選法，足跡遍及27個(gè)省自治區(qū)直轄市，創(chuàng)造了巨大的物質(zhì)財(cái)富和經(jīng)濟(jì)效益。 1978年3月，他被任命為中科院

12、副院長(zhǎng)并于翌年入黨。 晚年的華羅庚不顧年老體衰，仍然奔波在建設(shè)第一線。他還多次應(yīng)邀赴歐美及香港地區(qū)講學(xué)，先后被法國(guó)南錫大學(xué)、美國(guó)伊利諾依大學(xué)、香港中文大學(xué)授予榮譽(yù)博士學(xué)位，還于1984年以全票當(dāng)選為美國(guó)科學(xué)院外籍院士。1985年6月12日，他在日本東京作學(xué)術(shù)報(bào)告時(shí)，因心臟病突發(fā)不幸逝世，享年74歲。 華羅庚初中學(xué)歷，自學(xué)成才，經(jīng)過(guò)艱苦的努力成為國(guó)際公認(rèn)的世界級(jí)大數(shù)學(xué)家，在他研究的數(shù)論、代數(shù)、矩陣幾何學(xué)、多復(fù)變函數(shù)論、調(diào)和分析與應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中，都有以他的名字命名的定理與方法。華羅庚為中國(guó)和世界的數(shù)學(xué)事業(yè)作出了巨大貢獻(xiàn)。華羅庚的名言-聰明在于學(xué)習(xí)，天才在于 積累。-埋頭苦干是第一，熟練生 出

13、百巧來(lái)，勤能補(bǔ)拙是良 訓(xùn)，一份辛勤一份才。-人做了書(shū)的奴隸，便把活 人帶死了。把書(shū)作為人的 工具，則書(shū)本上的知識(shí) 便活了，有生命了。2. 陳省身（1911-2004） 1911年10月26日生于浙江嘉興少年時(shí)就喜愛(ài)數(shù)學(xué)，覺(jué)得數(shù)學(xué)既有趣又較容易，并且喜歡獨(dú)立思考，自主發(fā)展，常?！白约褐鲃?dòng)去看書(shū)，不是老師指定什么參考書(shū)才去看” 1927年進(jìn)入南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)系，該系的姜立夫教授對(duì)陳省身影響很大在南開(kāi)大學(xué)學(xué)習(xí)期間，他還為姜立夫當(dāng)助教 1930年畢業(yè)于南開(kāi)大學(xué)，1931年考入清華大學(xué)研究院，成為中國(guó)國(guó)內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生之一在孫光遠(yuǎn)博士指導(dǎo)下，發(fā)表了第篇研究論文，內(nèi)容是關(guān)于射影微分幾何的1932年4月應(yīng)邀來(lái)

14、華講學(xué)的漢堡大學(xué)教授布拉?？藢?duì)陳省身影響也不小，使他確定了以微分幾何為以后的研究方向 1934年，他畢業(yè)于清華大學(xué)研究院，同年，得到漢堡大學(xué)的獎(jiǎng)學(xué)金，赴布拉?？怂诘臐h堡大學(xué)數(shù)學(xué)系留學(xué)在布拉?？搜芯渴宜瓿闪瞬┦空撐模芯康氖羌萎?dāng)方法在微分幾何中的應(yīng)用 1936年獲得博士學(xué)位從漢堡大學(xué)畢業(yè)之后，他來(lái)到巴黎1936年至1937年間在法國(guó)幾何學(xué)大師E嘉當(dāng)那里從事研究E嘉當(dāng)每?jī)蓚€(gè)星期約陳省身去他家里談一次，每次一小時(shí)“聽(tīng)君一席話，勝讀十年書(shū)”大師面對(duì)面的指導(dǎo)，使陳省身學(xué)到了老師的數(shù)學(xué)語(yǔ)言及思維方式，終身受益陳省身數(shù)十年后回憶這段緊張而愉快的時(shí)光時(shí)說(shuō)，“年輕人做學(xué)問(wèn)應(yīng)該去找這方面最好的人” 陳省身先后

15、擔(dān)任我國(guó)西南聯(lián)大教授，美國(guó)普林斯頓高等研究所研究員，芝加哥大學(xué)、伯克利加州大學(xué)終身教授等，是美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)研究所、南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的創(chuàng)始所長(zhǎng) 陳省身的數(shù)學(xué)工作范圍極廣，包括微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程、代數(shù)、幾何、李群和幾何學(xué)等多方面 他是創(chuàng)立現(xiàn)代微分幾何學(xué)的大師早在40年代，他結(jié)合微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的方法，完成了黎曼流形的高斯博內(nèi)一般形式和埃爾米特流形的示性類論他首次應(yīng)用纖維叢概念于微分幾何的研究，引進(jìn)了后來(lái)通稱的陳氏示性類（簡(jiǎn)稱陳類）為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具他引進(jìn)的一些概念、方法和工具，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的范圍，成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要組成部分 。 陳省身還是一位杰出的教育家，他培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的博士生他本人也獲得了許多榮譽(yù)和獎(jiǎng)勵(lì)，例如1975年獲美國(guó)總統(tǒng)頒發(fā)的美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)，1983年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)“全體成就”靳蒂爾獎(jiǎng)，1984年獲沃爾夫獎(jiǎng)中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)在1985年通過(guò)決議設(shè)立陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)被國(guó)際數(shù)學(xué)界尊為“微分幾何之父”韋伊曾說(shuō)，“我相信未來(lái)的微分幾何學(xué)史一定會(huì)認(rèn)為他是嘉當(dāng)?shù)睦^承人”。 菲爾茲獎(jiǎng)（1983年）得主、華人數(shù)學(xué)家丘成桐這樣評(píng)價(jià)他的老師：“陳省身是世界上領(lǐng)先的數(shù)學(xué)家沒(méi)有什么障礙可以阻止一個(gè)中國(guó)人成為世界級(jí)的數(shù)學(xué)家” 2004