高等數(shù)學(xué)第一節(jié) 定積分概念與性質(zhì)ppt課件

1、曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系下，曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系下， 由閉區(qū)間由閉區(qū)間a, b上的延續(xù)曲線上的延續(xù)曲線 y = f (x) 0， 直線直線 x = a，x = b 與與 x 軸圍成的平面圖形軸圍成的平面圖形 AabB.yxOabABx = ax = by = f (x)基于這種想法，基于這種想法， 可以用一組平行于可以用一組平行于 y 軸的直線軸的直線把曲邊梯形分割成假設(shè)干個小曲邊梯形，把曲邊梯形分割成假設(shè)干個小曲邊梯形，只需分割得較細(xì)，只需分割得較細(xì)，每個小曲邊梯形很窄，每個小曲邊梯形很窄， 那么其那么其高高 f (x) 的變化就很小的變化就很小. 這樣，可以在每個小曲邊梯形這樣，可以在每個

2、小曲邊梯形上作一個與它同底，上作一個與它同底， 底上某點(diǎn)函數(shù)值為高的矩形，底上某點(diǎn)函數(shù)值為高的矩形，曲線曲線 y = f (x) 是延續(xù)的，是延續(xù)的， 所以，當(dāng)點(diǎn)所以，當(dāng)點(diǎn) x 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上某處變化很小時，上某處變化很小時， 那么相應(yīng)的高那么相應(yīng)的高 f (x) 也就也就變化不大變化不大.顯然，分割越細(xì)，顯然，分割越細(xì)， 近似程度就越高，近似程度就越高，當(dāng)無限細(xì)分時，當(dāng)無限細(xì)分時， 那么一切小矩形面積之和的那么一切小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值極限就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值.用小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積，用小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用一切小矩

3、形面積之和近似替代整個曲邊進(jìn)而用一切小矩形面積之和近似替代整個曲邊梯形面積梯形面積.(1) (1) 分割分割在區(qū)間在區(qū)間a, b內(nèi)恣意插入內(nèi)恣意插入 n 1 個分點(diǎn)：個分點(diǎn)：a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b， 把區(qū)間把區(qū)間a, b分成分成 n 個小區(qū)間：個小區(qū)間：x0, x1，x1, x2， ，xi-1, xi ， ，xn-1, xn.這些小區(qū)間的長度分別記為這些小區(qū)間的長度分別記為 xi = xi xi -1 (i = 1, 2, , n). 過每一分點(diǎn)作平行于過每一分點(diǎn)作平行于 y 軸的直線，軸的直線， 它們把曲邊梯它們把曲邊梯形分成形分成 n 個小曲邊梯形

4、個小曲邊梯形.根據(jù)以上分析，可按下面四步計算曲邊梯形面積根據(jù)以上分析，可按下面四步計算曲邊梯形面積.a = x0a = x0 x1xi-1xn= bOy = f (x)yBAxxiOyBAx(2) (2) 近似替代近似替代在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 xi-1, xi(i = 1, 2, , n)上取一點(diǎn)上取一點(diǎn) xi (xi-1 xi xi),以以 f(xi) f(xi)為高，為高， xi xi 為底作小矩為底作小矩形，形，用小矩形面積用小矩形面積 f (xi) xi 近似替代相應(yīng)的小曲邊梯形近似替代相應(yīng)的小曲邊梯形面積面積 Ai ，即即 Ai f (xi) xi (i = 1, 2, , n)

5、 .x1x1x2x2xixixnxnxOy = f (x)yBAa = x0a = x0 x1xi-1xn= b xi(4) (4) 取極限取極限當(dāng)分點(diǎn)個數(shù)當(dāng)分點(diǎn)個數(shù) n 無限添加，無限添加，即即.)(lim10iniixfA = = = =x x (3) (3) 求和求和把把 n 個小矩形面積加起來，個小矩形面積加起來，,)(1iniixf = =x x得和式得和式它就是曲邊梯形面積的近似值，它就是曲邊梯形面積的近似值，即即.)(11ininiiixfAA = = = = =x x 且小區(qū)間長度的最大值且小區(qū)間長度的最大值 (即即 = max xi)趨近于趨近于 0 時，時， 上述和式的極限

6、就是上述和式的極限就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，設(shè)一物體作直線運(yùn)動，設(shè)一物體作直線運(yùn)動， 知速度知速度 v = v(t) 是時間是時間 t 的延續(xù)函數(shù)，的延續(xù)函數(shù)， 求在時間間隔求在時間間隔T1,T2上物體所經(jīng)過上物體所經(jīng)過的路程的路程 s .(1) (1) 分割分割在時間間隔在時間間隔 T1,T2內(nèi)恣意插入內(nèi)恣意插入 n - 1 個分點(diǎn)：個分點(diǎn)：T1 = t0 t1 t2 ti-1 ti tn-1 tn = T2 ， 把把T1,T2分成分成 n 個小區(qū)間：個小區(qū)間：t0, t1，t1, t2， ，ti-1, ti ， ，tn-1, tn.這些小區(qū)間的長度分別為：這些小區(qū)間的

7、長度分別為： ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .相應(yīng)的路程相應(yīng)的路程 s 被分為被分為 n 段小路程：段小路程： si (i = 1, 2, , n) .(2) (2) 近似替代近似替代在每個小區(qū)間上恣意取一點(diǎn)在每個小區(qū)間上恣意取一點(diǎn) xi (ti-1 xi ti),用用 xi 點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度 v (xi) 近似替代物體在小區(qū)間上的近似替代物體在小區(qū)間上的速度，速度，用乘積用乘積 v (xi) v (xi) ti ti 近似替代物體在小區(qū)間近似替代物體在小區(qū)間 ti-1 , ti ti-1 , ti 上所經(jīng)過的路程上所經(jīng)過的路程 si si ，即即 si v(xi)

8、 ti (i =1, 2, , n) .(3) (3) 求和求和.)(11ininiiitvss = = = = =x x(4) (4) 取極限取極限.)(lim10iniitvs = = = =x x 二、定積分的定義二、定積分的定義定義設(shè)函數(shù)定義設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上有定義上有定義恣意取分點(diǎn)恣意取分點(diǎn)a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b由于由于 xi-1 xi ， xi = xi - xi-1 b ，同樣可給出定積分，同樣可給出定積分即可，即可，根據(jù)定積分的定義，上面兩個例子都可以表根據(jù)定積分的定義，

9、上面兩個例子都可以表示為定積分：示為定積分：(1) 曲邊梯形面積曲邊梯形面積 A 是曲邊函數(shù)是曲邊函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，上的定積分，即即;d)( = =baxxfA(2) 變速直線運(yùn)動的路程變速直線運(yùn)動的路程 s 是速度函數(shù)是速度函數(shù) v (x) 在時間間隔在時間間隔 T1,T2 上的定積分，上的定積分， 即即.d)(21 = =TTttvS例例 1 1用定義計算用定義計算.de10 - -xx解被積函數(shù)解被積函數(shù) f (x) = e-x， 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上延續(xù)，上延續(xù)，所以所以 e-x 在在 0, 1 上可積上可積 . 為了計算方便起見，為了計算方便起見

10、，把區(qū)間把區(qū)間 0, 1 等分成等分成 n 份，份， 分點(diǎn)為分點(diǎn)為 , 1,2,1, 0210= = = = = = =nnxnixnxnxxni每個子區(qū)間的長度都是每個子區(qū)間的長度都是 ,1nxi= = 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間 - -nini,1上都取左端點(diǎn)為上都取左端點(diǎn)為 xi ，,1nii- -= =x x即即于是和式為于是和式為iniixf = =1)(x xnnini1e11 = =- - -= =)eee1(1121nnnnn- - - - - = =nnnn11e1)e (11- - - - -= =,1e1)e1(11- - - -= =- - -nn當(dāng)當(dāng) l = maxxi

11、0 + 時，即時，即 n + 有有. 11e1lim1= =- - - -nnn于是有于是有 - -10dexxiniixf = = = =10)(limx x 1e1)e1(lim11- - - -= =- - -nnn1e1lim)e1(11- - - -= =- - - -nnn.e11- - -= =AabBy=f (x)三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義當(dāng)當(dāng) f (x) 0 時，時， 定積分在幾何上表示定積分在幾何上表示 曲邊曲邊 y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上方的曲邊梯形面積，上方的曲邊梯形面積，.d)(Axxfba= = 假設(shè)假設(shè) f (x) 0 ，曲邊梯形在

12、曲邊梯形在 x 軸下方，軸下方，此時該定積分為負(fù)值，此時該定積分為負(fù)值，它在幾何上表示它在幾何上表示 x 軸下方軸下方的曲邊梯形面積是負(fù)值，的曲邊梯形面積是負(fù)值，.d)(Axxfba- -= = 即即yxO當(dāng)當(dāng) f (x) 在在 a, b 上有正有負(fù)時，上有正有負(fù)時， d)(在在幾幾何何上上表表示示 baxxf x 軸上方的曲邊梯形面軸上方的曲邊梯形面積減去積減去 x 軸下方的曲邊梯形面積軸下方的曲邊梯形面積yx定積分定積分.d)(321AAAxxfba- - - -= = y = f (x)ABabA1A2A3四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì)下面各性質(zhì)中的函數(shù)都假設(shè)是可積的下面各性質(zhì)中的函數(shù)

13、都假設(shè)是可積的.性質(zhì)性質(zhì) 1 (1) 兩個函數(shù)和的定積分等于它們兩個函數(shù)和的定積分等于它們定積分的和，定積分的和，即即 baxxgxfd)()( = =babaxxgxxf.d)(d)(2) (2) 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分外面，被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分外面，即即 baxxkfd)(.d)( = =baxxfk證證 只證性質(zhì)只證性質(zhì) 1 .根據(jù)定積分的定義，根據(jù)定積分的定義，有有 baxxgxfd)()( iniiixgf = = = =10)()(limx xx x = = = = =niniiiiixgxf1100)(lim)(limx xx x = =babaxxgxxf.d

14、)(d)(性質(zhì)性質(zhì) 1 1 的的(1) (1) 可推行到有限多個函數(shù)代數(shù)可推行到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況，即和的情況，即 banxxfxfxfd)()()(21.d)(d)(d)(21 = =banbabaxxfxxfxxf性質(zhì)性質(zhì) 2 2 假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間 a, b a, b 上上 f (x) f (x) 1 1 ，那么那么.dd1abxxbaba- -= = = 性質(zhì)性質(zhì) 3 3( (積分對區(qū)間可加性積分對區(qū)間可加性) )假設(shè)積分區(qū)間假設(shè)積分區(qū)間 a, b a, b 被點(diǎn)被點(diǎn) c c 分成兩個區(qū)間分成兩個區(qū)間 a, c a, c 和和 c, b c, b，那么那么 baxxfd)(.d

15、)(d)( = =bccaxxfxxf當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) c 不介于不介于 a 與與 b 之間，之間， 即即 c a b 或或 a b 0 (i = 1, 2, , n)，移項，得移項，得推論推論 由性質(zhì)由性質(zhì) 4 可得可得,0d)(d)( - -babaxxgxxf.d)(d)( babaxxgxxf.d| )(|d)( babaxxfxxf 所以上式右端的極限所以上式右端的極限值非正，值非正，從而有從而有性質(zhì)性質(zhì) 5 5( (估值定理估值定理) )假設(shè)存在兩個數(shù)假設(shè)存在兩個數(shù) M M，m m，使函數(shù)使函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b有有 m f (x) M， 那么那么該性質(zhì)的幾何解釋是：

16、該性質(zhì)的幾何解釋是：曲線曲線 y = f (x) 在在 a, b 上上的曲邊梯形面積的曲邊梯形面積 介于與區(qū)介于與區(qū)間間a, b 長度為底，長度為底， 分別分別以以 m 和和 M 為高的兩個矩為高的兩個矩形面積之間形面積之間.m (b - a) M (b - a) baxxfd)(y = f (x)yxabmMOBA性質(zhì)性質(zhì) 6 (積分中值定理積分中值定理)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) f (x) 在在區(qū)間區(qū)間 a, b上延續(xù)，上延續(xù)， baxxfd)(= f (x) (b - a) 那么在區(qū)間那么在區(qū)間 a, b 上至少存上至少存在一點(diǎn)在一點(diǎn) x ， 使下面等式成立：使下面等式成立：證由于證由于 b a

17、 0，由估值定理得，由估值定理得由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的介值定理知道由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的介值定理知道 在在 a, b 上至少存在一個點(diǎn)上至少存在一個點(diǎn) x ， - -= =baxxfabf,d)(1)(x x于是得于是得當(dāng)當(dāng) b a 時，時， 上式仍成立上式仍成立 . 使使 - -= =babaabfxxf).()(d)(x xx x - -baMxxfab.d)(1m 該性質(zhì)的幾何解釋是：該性質(zhì)的幾何解釋是： 一條延續(xù)曲線一條延續(xù)曲線 y = f (x) 在在 a, b 上的曲邊梯形面積上的曲邊梯形面積y xOf (x)x xy = f (x)abBA 等于區(qū)間等于區(qū)間 a, b 長度為底，長度

18、為底，a, b 中一點(diǎn)中一點(diǎn) x 的函數(shù)值為高的矩形面積的函數(shù)值為高的矩形面積 .例例 2 2比較以下各對積分值的大小：比較以下各對積分值的大小：;dd)1(101033 xxxx與與.d )1ln(d)2(1010 xxxx與與解解(1) 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在 0, 1 上，有上，有由性質(zhì)由性質(zhì) 4 ，得，得.33xx;dd101033 xxxx(2) (2) 令令 f (x) = x - ln(1 f (x) = x - ln(1 + x)+ x)，f (x)x - -= =11101 = =xx函數(shù)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上單調(diào)添加，上單調(diào)添加，所以，所以，f (x) f (0) = x - ln(1 + x)|x = 0 = 0，從而有從而有 x ln(1 + x)，由性質(zhì)由性質(zhì) 4 ，得，得.d)1ln(d1010 xxxx知知由