角的平分線的性質(zhì)1

1、 (1)工人師傅經(jīng)常用角尺平分一個(gè)任意角.做法如下: 如圖,AOB 是一個(gè)任意角,在邊OA,OB上分別取OM=ON,移動(dòng)角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與M,N重合,過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是AOB的平分線.為什么?請(qǐng)用三角形全等的知識(shí)來說明畫法的道理.OABMNC (2)如右圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?ADCB(3)你能用的類似方法說明畫法的道理嗎?已知已知:AOB求作：求作：AOB的平分線的平分線（1）以）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧

2、，交OA于于M，交，交OB于于N。（2）分別以）分別以M、N為圓心，大于為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AOB的內(nèi)部交的內(nèi)部交于點(diǎn)于點(diǎn)C。（3）作射線）作射線OC。射線。射線OC即為所求。即為所求。A0MNC做法：做法：BO仔細(xì)觀察步驟仔細(xì)觀察步驟ABOAOEBCPD 將AOB對(duì)折,在折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論? 可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個(gè)距離相等.折一折角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：BA

3、DOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離。）垂直距離。定理的作用： 證明線段相等。證明線段相等。應(yīng)用定理的書寫格式：OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD = PE （在角的平分線上的點(diǎn)在角的平分線上的點(diǎn) 到這個(gè)角的兩邊的距離相等。到這個(gè)角的兩邊的距離相等。）推理的理由有三個(gè)，推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。了任何一個(gè)。 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離

4、相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（）3、ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D到到AB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE 如圖，由如圖，由 于點(diǎn)于點(diǎn) D ， 于點(diǎn)于點(diǎn) E，PD

5、= PE ， 可以得到什么可以得到什么結(jié)論結(jié)論 ？ OBPE PD OA 已知：如圖，已知：如圖， ， ，垂足分別是，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上。的角平分線上。AOBOAPD OBPE BADOPE 已知：如圖，已知：如圖， ， ， 垂足分別是垂足分別是 D、E，PD=PE， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上。的角平分線上。AOB OAPD OBPE 證明： 90PEOPDO作射線OP 點(diǎn)點(diǎn)P在在 角的平分線上角的平分線上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）BOPAOP （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） OP = OP （公共邊公共邊

6、）PD = PE （ 已已 知知 ）PEORt PDORt BADOPEOAPD OBPE 定理定理 2的應(yīng)用書寫格式的應(yīng)用書寫格式：OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD= PE （到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)， 在這個(gè)角的平分線上在這個(gè)角的平分線上）DEOPABBADOPECPD = PEOP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分線的平分線AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：證線段相等用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線用途：判定一條射線是角平分線已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平

7、分線BM、CN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.例題講解：BACPNM證明證明：過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作PD PD 、PEPE、PFPF分別垂直于分別垂直于ABAB、BCBC、CACA，垂足為，垂足為D D、E E、F F （在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等） 同理同理 PE=PF.PE=PF. PD=PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P P到邊到邊ABAB、BCBC、 CACA的距離相等的距離相等BMBM是是ABCABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P P在在BMBM上上PD=PEPD=PE1 如圖，如圖，DEAB，DFBC，垂足，垂足分別是分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則，則 EBF= 度，度，BE= 。ABCDCEF60BF2 2 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC