動點路徑長專題含答案

1、動點路徑長專題一.選擇題（共2小題）1.如圖，拋物線y=x2-L-衛(wèi)與直線y=x-2交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），動點P從A點出發(fā)，先22到達拋物線的對稱軸上的某點E,再到達x軸上的某點F,最后運動到點B.若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）A.B.|C.D.|圖1圖22.如圖，半徑為4的。O中，CD為直徑，弦ABLCD且過半徑OD的中點，點E為。O上一動點，CFXAE于點F.當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為（）A.B.|C.D.|2 .填空題（共9小題）3. （2013?鄂爾多斯）如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P為線段OA上的

2、動點，連接BP,過點A作AM垂直于直線BP,垂足為M,當點P從點O運動到點A時，則點M運動路徑的長為.圖3圖4圖54. 如圖，半徑為2cm,圓心角為90的扇形OAB的AB上有一運動的點P.從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H.設(shè)OPH的內(nèi)心為I,當點P在標上從點A運動到點B時，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為.5. （2011?江西模擬）已知扇形的圓心角為60,半徑為1,將它沿著箭頭方向無滑動滾動到OAB位置，點O到O的路徑是OO1一O1O2一O2O;點。到O的路徑是157斤一同一號二；點O在Oi一O2段上運動路線是線段。1。2；點O到O的所經(jīng)過的路徑長為技江.以上命題正確的是.6. （2013?寧德

3、）如圖，在RtAABC紙片中，/C=90,AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應(yīng)點D（P在C點時，點C的對應(yīng)點是本身），則折疊過程對應(yīng)點D的路徑長是.圖6圖7圖87. 如圖，已知AB=10,P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊4ACP和PDB,連接CD,設(shè)CD的中點為G,當點P從點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是.8. （2013?湖州）如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2dm的一個定點，ACx軸于點M,交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點，/APB=30,BAXPA,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求

4、當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.9. （2013?桂林）如圖，已知線段AB=10,AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB,設(shè)正方形對角線的交點分別為Oi、。2,當點P從點C運動到點D時，線段O1O2中點G的運動路徑的長是.圖9圖10圖1110. （2013?竹溪縣模擬）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=1;P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊4AEP和等邊PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點為G;當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是.11. 如圖，一根長為2米的木棒AB斜靠

5、在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A處并且AC=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為米.3 .解答題（共1小題）12.（2012?義烏市模擬）如圖，邊長為4的等邊4AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限.一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點O向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是t秒.在點P的運動過程中，線段BP的中點為點E,將線段PE繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得PC.（1）當點P運動到線段OA的中點時，點C的坐標為;（2）在點P從點O到點A的運動過程中，用含t的代數(shù)式表示點C的坐標；（3）在點P從點O到點A的運動過程中，求出點C所經(jīng)過

6、的路徑長.動點路徑長專題參考答案與試題解析一.選擇題（共2小題）1.如圖，拋物線y=xL-與直線y=x-2交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），動點P從A點出發(fā)，先22到達拋物線的對稱軸上的某點E,再到達x軸上的某點F,最后運動到點B.若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）A.B.C.D.考二次函數(shù)綜合題.點：專壓軸題.題：分首先根據(jù)題意求得點A與B的坐標，求得拋物線的對稱軸，然后作點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點A,作點B關(guān)于x軸的對稱點B；連接AB,則直線AB與直線x=的交點是E,與x軸的交點是F,4而且易得AB即是所求的長度.解解：如圖答，:拋物線y=x2-L-e與直線y

7、=x-2交于A、B兩點，22 .x2-x-=x-2,22解得：x=1或x=2當x=1時，y=x-2=-1,當x=義時，y=x-2=- 點A的坐標為（，-2）,點B的坐標為（1,-1）,22 拋物線對稱軸方程為：x=-2=12X14作點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=1的對稱點A；作點B關(guān)于x軸的對稱點B,4連接AB:則直線AB與對稱軸（直線x=2）的交點是E,與x軸的交點是F,4BF=BF,AE=A巳，點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB延長BB,AA相交于C,.AC=1+1+(1-2)=1,BC=1+冬E,44222 ABFa；c+bc#=, 點p運動的總路徑的長為趙.2故

8、選A.點此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.注意找到點P運動的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)評：形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.2.如圖，半徑為4的。O中，CD為直徑，弦ABLCD且過半徑OD的中點，點E為。O上一動點，CFXAE于點F.當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為()A.B.C.D.考圓的綜合題.點：專壓軸題.題：分連接AC,AO,由ABCD,利用垂徑定理得到G為AB的中點，由中點的定義確定出OG的長，在直角析：三角形AOG中，由AO與OG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而確定出AB的長，由CO+GO求出CG的長，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長，

9、由CF垂直于AE,得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CGXAE,此時F與G重合；當E位于D時，CAXAE,此時F與A重合，可得出當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長蕊,在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出/ACG的度數(shù)，進而確定出前所對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出血的長，即可求出點F所經(jīng)過的路徑長.解解：連接AC,AO,答：ABCD, .G為AB的中點，即AG=BG=-AB,2 .OO的半徑為4,弦ABCD且過半徑OD的中點，.OG=2, 在RtAAOG中，根據(jù)勾股定理得

10、：AG=qZ口=2/，AB=2AG=4VS,又CG=CO+GO=4+2=6, 在RtAAGC中，根據(jù)勾股定理得：AC=Jag2+CgZ=4.3 .CFXAE,.ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，當E位于點B時，CGLAE,此時F與G重合；當E位于D時，CA，AE,此時F與A重合，當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長AG,E3D在RtAACG中，tan/ACG=空=圭,CG3./ACG=30,AG所對圓心角的度數(shù)為60。,直徑AC=4不，.蔡的長為更工2型1=里!為180則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為瑟兀.3故選C.點此題考

11、查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長AG,是解本題的關(guān)鍵.二.填空題（共9小題）3.（2013?鄂爾多斯）如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P為線段OA上的動點，連接BP,過點A作AM垂直于直線BP,垂足為M,當點P從點O運動到點A時，則點M運動路徑的長為_&兀考點：一次函數(shù)綜合題.分析：根據(jù)直線與兩坐標軸交點坐標的特點可得A、B兩點坐標，由題意可得點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的逐，求出證的長度即可.解答：解：:AM垂直于直線

12、BP,./BMA=90,.點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的OA,連接ON,直線y=-x+4與兩坐標軸交A、B兩點，OA=OB=4,ONLAB,./ONA=90,AB=Voa2+ob2=4訴，ON=25，.謨二史匹?2e=冗.180故答案為：Ve兀.點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了兩坐標軸交點坐標及點的運動軌跡，難點在于根據(jù)/BMC=90,判斷出點M的運動路徑是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們要注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力.4.如圖，半徑為2cm,圓心角為90的扇形OAB的AB上有一運動的點P.從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H.設(shè)OPH的內(nèi)心為I,當點P在標上從點A運動到點

13、B時，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為弧長的計算；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.計算題.如圖，連OI,PI,AI,由OPH的內(nèi)心為I,可得到/PIO=180/IPO/IOP=180-1(/HOP+/OPH)2=135,并且易證OPIOAI,得到/AIO=/PIO=135,所以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為135的一段劣弧上；過A、I、O三點作。O,如圖，連OA,OO,在優(yōu)弧AO取點P,連PA,PO,可得/APO=180-135=45o,得/AOO=90,OO=Y2oA=1X2=的，然后利用弧長公式計算弧OA的22長.解：如圖，連OI,PI,AI,.OPH的內(nèi)心為I, ./IOP=Z

14、IOA,/IPO=ZIPH, ./PIO=180-ZIPO/IOP=180-(/HOP+/OPH),2而PHOA,即/PHO=90, .ZPIO=180-1(/HOP+/OPH)=180-1(180-90)=135,22y.-op=oa,oi公共,而/IOP=/IOA,.,.OPIAOAI,./AIO=/PIO=135,段劣弧上;n表示弧所對的圓心角的度數(shù).同時考查了三所以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為，過A、I、O三點作。O,如圖，連OA,OO,在優(yōu)弧AO取點P,連PA,PO, ./AIO=135, ./APO=180-135=45, ./AOO=90,而OA=2cm,.OO=蟲OA=

15、X2=e,22_,t90X7TXJ?如無.弧OA的長=1=1(cm),1302所以內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為Ucm.2故答案為：返二cm.2本題考查了弧長的計算公式：1=史處,其中11180角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周隹5. (2011?江西模擬)已知扇形的圓心角為60,半徑為1,將它沿著箭頭方向無滑動滾動到OAB位置,點O到O的路徑是OO1一O1O2一O2O;點。到O的路徑是。1。一。？。；點O在0102段上運動路線是線段O1O2；點o到o的所經(jīng)過的路徑長為a冗.以上命題正確的是3-考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計算.分析：圓心0由0到01的路徑是以A為圓心，以0A為半徑的圓??；由01

16、到02圓心所經(jīng)過的路線是線段0102；由O2到O,圓心經(jīng)過的路徑是：以B為圓心，以0B為半徑的圓弧.據(jù)此即可判斷.解答：解：圓心0由0到01的路徑是以A為圓心，以0A為半徑的圓?。挥?1到02圓心所經(jīng)過的路線是線段0102；由02至U0,圓心經(jīng)過的路徑是：以B為圓心，以O(shè)B為半徑的圓弧.故正確的是：.故答案為：.點評：本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，正確確定圓心0經(jīng)過的路線是解決本題的關(guān)鍵.6. （2013?寧德）如圖，在RtAABC紙片中，/0=90,AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應(yīng)點D（P在C點時，點C的對應(yīng)點是本身），則折疊過程對應(yīng)點D的路徑長是.考點：翻折變

17、換（折疊問題）；弧長的計算.分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及4ABC是等腰直角三角形判斷出點D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的扇形，然后利用弧長公式列式計算即可得解.解答：解：C=90,AC=BC,.ABC是等腰直角三角形，如圖，點D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的扇形，路徑長=絲巴里=2兀.|180故答案為：2兀.點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，弧長的計算，判斷出點D的路徑是扇形是解題的關(guān)鍵.7. 如圖，已知AB=10,P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊4ACP和PDB,連接CD,設(shè)CD的中點為G,當點P從點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是考點：

18、三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.分析：分別延長AC、BD交于點H,易證四邊形CPDH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡AHAB的中位線MN,運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可.解答：解：如圖，分別延長AC、BD交于點H, ./A=ZDPB=60,AH/PD, ./B=/CPA=60,BH/PC, 四邊形CPDH為平行四邊形， CD與HP互相平分. .G為CD的中點， .G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為AHAB的中位線MN.MN=3AB=5,即G的移動路徑長為5.2故答案為：5.點評：本題考查了三角

19、形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點G移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強.8.（2013?湖州）如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2dq的一個定點，ACx軸于點M,交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點，/APB=30,BA，PA,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.考點：專題：分析：一次函數(shù)綜合題.解答:壓軸題.（1）首先，需要證明線段BoBn就是點B運動的路徑（或軌跡），如答圖所示.利用相似三角形可以證明；（2）其次，如答圖所示，利用相似三角形ABoBnSAON,求出線段BoBn的

20、長度，即點B運動的路徑長._解：由題意可知，OM=2的，點N在直線y=-x上，ACx軸于點M,則4OMN為等腰直角三角形，ON=/2OM=V2x2加=26.如答圖所示，設(shè)動點P在O點（起點）時，點B的位置為Bo,動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn,連接BoBn.AOXABo,ANABn,-ZOAC=ZBoABn,又.ABo=AO?tan30,ABn=AN?tan3。，.ABo：AO=ABn：AN=tan3o,ABoBnSAON,且相似比為tan30,BoBn=ON?tan30=2加注=2加.3現(xiàn)在來證明線段BoBn就是點B運動的路徑（或軌跡）如答圖所示，當點P運動至ON上的任一點時，設(shè)其

21、對應(yīng)的點B為Bi,連接AP,ABi,BoBi. AOXABo,APXABi,./OAP=/BoABi,又.ABo=AO?tan30,ABi=AP?tan30,.AB0：AO=ABi：AP,.ABoBiSAOP,，/ABoBi=/AOP.又.ABoBnSAON,，/ABoBn=/AOP, ZABoBi=ZAB0Bn, 點Bi在線段BoBn上，即線段BoBn就是點B運動的路徑（或軌跡）綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段BoBn,其長度為2血.故答案為：2血.C_點評：本題考查坐標平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點的運動軌跡，難度很大.本題的要點有兩個：首先，確定點B的運動路徑是本題的核心，這要求考生有

22、很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關(guān)系求出點B運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關(guān)系的復(fù)雜運算之中.9.（2013?桂林）如圖，已知線段AB=10,AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB,設(shè)正方形對角線的交點分別為Oi、O2,當點P從點C運動到點D時，線段O1O2中點G的運動路徑的長是HK考點：專題：分析：解答:正方形的性質(zhì)；軌跡.壓軸題.根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進而得出線段長.解：如圖所示：當P移動到C點以及D點時，得出G點移動路線是直利用正方形的性質(zhì)即線段O1O2中點G的運動路徑的

23、長就是O2O的長,線段AB=10,AC=BD=2,當P與C重合時，以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB,.AP=2,BP=8,貝UOiP=&,02P=4血，02P=O2B=4近，當P與D重合，貝UPB=2,貝UAP=8,.OP=4jiOP=。ho=bo=&,020=42-2=32.故答案為：3M.點評:此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出O1O2中點G的運動路徑的線,/訝。認HKG點移動的路線是解題關(guān)鍵.10.（2013?竹溪縣模擬）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=1;P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊

24、4AEP和等邊PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點為G;當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是二AD5考點：分析：三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).分別延長AE、BF交于點H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN,再求出CD的長，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可.解答:點評:解：如圖，分別延長AE、BF交于點H, ./A=/FPB=60,AH/PF, ./B=/EPA=60,BH/PE, 四邊形EPFH為平行四邊形， EF與HP互相平分. .G為EF的中點，.G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的

25、中點，所以G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN. CD=10-1-1=8,MN=4,即G的移動路徑長為4.故答案為：4.本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點律，判斷出其運動路徑，綜合性較強.HDBG移動的規(guī)11.如圖，一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A處并且AC=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為一口一米.68考點：勾股定理的應(yīng)用；弧長的計算.專題：壓軸題.分析：先根據(jù)三角函數(shù)求出/BAC的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/ACP的度數(shù)，同理求出/BCP的度數(shù)，可得/PCP的度數(shù)，再根據(jù)弧長的計算公式求解即可.解

26、答：解：連接CP,CP. ./ACB=90,BC=1米，AB=2米， .ZBAC=30,P是木棒AB的中點， .PC=PA=1米，4/PCA=300,同理求出/BCP=300,弋47,貝U/PCP=30, 木棒AB的中點P運動的路徑長為：&2兀1=工米.3606故答案為：JZ米.6點評：考查了三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)和弧長的計算公式，木棒AB的中點P運動的路徑為半徑為1的扇形的弧長.三.解答題(共1小題)12.(2012?義烏市模擬)如圖，邊長為4的等邊4AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限.一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點O向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是t秒.在點P的運動過程中，線段BP的中點為點E,將線段PE繞點P按順時針方向旋