勾股定理專題復(fù)習(xí)

1、勾股定理專題復(fù)習(xí)1 .勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2b2c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方在運(yùn)用勾股定理計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，要注意如下三點(diǎn)：(1)注意勾股定理的使用條件：只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形；(2)注意分清斜邊和直角邊

2、，避免盲目代入公式致錯(cuò)；(3)注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長(zhǎng).即c2=a2+b2,a2=c2b2,b2=c2a2.2 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：122方法：4sS正方形efghS正方形abcd，43ab(ba)c,化間可證.方法四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S41abc22abc22大正方形面積為S（

3、ab）2a22abb2所以a2b2c21112方法二：S弟形(ab)(ab),S弟形2SadeSabe2abc,化間行證2223 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形4 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在ABC中，C90,則cJa2b2,bJc2a2,aJc2b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2b2c2,那么這個(gè)三角

4、形是直角三角形，其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2,時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c：時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a,b,c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2c2b2,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于

5、兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形6 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a,b,c為正整數(shù)時(shí)，稱a,b,c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：2222n1,2n,n1（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n2n,2n2n1（n為正整數(shù)）22-22mn,2mn,mn（mn,m,n為正整數(shù)）7 .勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角

6、三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決.常見圖形：題

7、型一：直接考查勾股定理勾股定理單獨(dú)命題的題目較少，常與方程、函數(shù)，四邊形等知識(shí)綜合在一起考查，在中考試卷中的常見題型為填空題、選擇題和較簡(jiǎn)單的解答題例1.(1)如圖1是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸(單位：mm),計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為mm(2)如圖2,直線l上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面積為()A.4B.6C.16D.55題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例2.在ABC中，ACB90,AB5cm,BC3cm,CD圖2AB于D,CD=已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為3:4,斜邊長(zhǎng)為15,則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長(zhǎng)為30cm,

8、斜邊長(zhǎng)為13cm,則這個(gè)三角形的面積為分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解例3.如圖ABC中，C90,12,CD1.5,BD2.5,求AC的長(zhǎng)C例4.如圖RtABC,C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用較為廣泛，它常常單獨(dú)命題，有時(shí)也與方程、函數(shù)，四邊形等知識(shí)綜合在一起考查，在中考試卷中的常見題型為填空題、選擇題和較簡(jiǎn)單的解答題例5(1)如圖有兩棵樹，一棵高8cm,另一棵高2cm,兩樹相距8cm,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少

9、飛了m(2) .如圖17,客輪在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B處測(cè)得燈塔A的方位角為北偏東80：,測(cè)得C處的方位角為南偏東25：,航彳t1小時(shí)后到達(dá)C處，在C處測(cè)得A的方位角為北偏東20：,則C到A的距離是()A.15、6km;B.15、.2km;C.15(.6、2)km;D.5(,63、2)km題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形本部分內(nèi)容是勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，它在中考試卷中不單獨(dú)命題，常與其它知識(shí)綜合命題例6(1).三邊長(zhǎng)為a,b,c滿足ab10,ab18,c8的三角形是什么形狀？例6(2).如圖10,A、B兩點(diǎn)都與平面鏡相距4米，且A、B兩點(diǎn)相距6米，一束光線由A射向平面鏡反射之后恰巧經(jīng)過B點(diǎn)，求B點(diǎn)到入射點(diǎn)的距離例6(3).如圖2-14.長(zhǎng)萬體的局為3cm,底面是正萬形，邊長(zhǎng)為2cm現(xiàn)有繩子從A出發(fā)，沿長(zhǎng)萬形表面到達(dá)C處，問繩子最短是多少厘米？題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例7(1).如圖2-2,把一張長(zhǎng)方形紙片ABC所疊起來，使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合，？若其長(zhǎng)BC為a,寬AB為b,則折疊后不重合部分的面積是多少?例7(2).如圖8:要修建一個(gè)育苗棚，棚高h(yuǎn)=1.8m