五年級(jí)奧數(shù)正式教材學(xué)生用(共62頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上（1） 數(shù)的整除如果整除a除以不為零數(shù)b，所得的商為整數(shù)而余數(shù)為0，我們就說(shuō)a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數(shù)，a叫做b的倍數(shù)。數(shù)的整除的特征：（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是2、4、6、8、0，那么這個(gè)整數(shù)一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么這個(gè)整數(shù)一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5

2、，那么這個(gè)整數(shù)一定能被5整除。（5）能被6整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)能被2整除，又能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)分成兩個(gè)數(shù)，末三位為一個(gè)數(shù)，其余各位為另一個(gè)數(shù)，如果這兩個(gè)數(shù)之差是0或是7（或11或13）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除。1、 例題與方法指導(dǎo)例1. 一個(gè)六位數(shù)2

3、356是88的倍數(shù),這個(gè)數(shù)除以88所得的商是_或_.思路導(dǎo)航：一個(gè)數(shù)如果是88的倍數(shù),這個(gè)數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)8的倍數(shù),它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個(gè)六位數(shù)個(gè)位上的數(shù)是0或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0或11的倍數(shù),從已知的四個(gè)數(shù)看,這個(gè)六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個(gè)方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的,因此這個(gè)六位數(shù)有兩種可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 =2620 =2711所以,本題的答案是2620或2711.例2. ,這個(gè)十一位數(shù)能被36整除,那么這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是_.思路導(dǎo)航：因?yàn)?6=94,所以這個(gè)

4、十一位數(shù)既能被9整除,又能被4整除.因?yàn)?+2+9=45，由能被9整除的數(shù)的特征，（可知+之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數(shù)的特征:這個(gè)數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù),可知是00,04,，36，72，96.這樣,這個(gè)十一位數(shù)個(gè)位上有0,2,6三種可能性.所以,這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是0.例3. 下面一個(gè)1983位數(shù)333444中間漏寫了一個(gè)數(shù)字(方框),已 991個(gè) 991個(gè)知這個(gè)多位數(shù)被7整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是_.思路導(dǎo)航：333444 991個(gè) 991個(gè)=33+3+444 990個(gè) 990個(gè) 因?yàn)槟鼙?/p>

5、7整除，所以333和444都能被7整除,所以只要 990個(gè) 990個(gè)34能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.例4. 有三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是11的倍數(shù).這三個(gè)數(shù)是_.思路導(dǎo)航：三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù),已知其和是11的倍數(shù),而3與11互質(zhì),所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3個(gè),它們是33、66、99.所以有當(dāng)和為33時(shí),三個(gè)數(shù)是10,11,12；當(dāng)和為66時(shí),三個(gè)數(shù)是21,22,23；當(dāng)和為99時(shí),三個(gè)數(shù)是32,33,34.所以，答案為 10,11,12或21,22,23或32,33,34。注“三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除”可證明

6、如下：設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n,n+1,n+2,則n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.2、 鞏固訓(xùn)練1. 有這樣的兩位數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和能被4整除,而且比這個(gè)兩位數(shù)大1的數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是_.2. 一個(gè)小于200的自然數(shù),它的每位數(shù)字都是奇數(shù),并且它是兩個(gè)兩位數(shù)的乘積,那么這個(gè)自然數(shù)是_.3. 任取一個(gè)四位數(shù)乘3456,用A表示其積的各位數(shù)字之和,用B表示A的各位數(shù)字之和,C表示B的各位數(shù)字之和,那么C是_.4. 有0、1、4、7、9五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)字組成不同的四位數(shù)，如果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來(lái)，第五

7、個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是_.3、 拓展提升1.找出四個(gè)互不相同的自然數(shù),使得對(duì)于其中任何兩個(gè)數(shù),它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小,那么這四個(gè)數(shù)里中間兩個(gè)數(shù)的和是多少？2只修改21475的某一位數(shù)字,就可知使修改后的數(shù)能被225整除,怎樣修改？3500名士兵排成一列橫隊(duì).第一次從左到右1、2、3、4、5（1至5）名報(bào)數(shù)；第二次反過(guò)來(lái)從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報(bào)數(shù)，既報(bào)1又報(bào)6的士兵有多少名？4.試問(wèn),能否將由1至100這100個(gè)自然數(shù)排列在圓周上,使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中,都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除？如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法；如果

8、回答：“不能”，則需給出說(shuō)明.（2） 數(shù)字謎小朋友們都玩過(guò)字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒(méi)關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天。“碼頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個(gè)地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來(lái)了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說(shuō)一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無(wú)法辨認(rèn)，需要運(yùn)用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，通過(guò)推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原?！跋x食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用、等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎

9、的延伸，用文字或字母來(lái)代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來(lái)看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導(dǎo)例1 ，8，97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：（1）64÷56=0，（2）78÷37=1，（3）33÷2=17，（4）8

10、7;58=6。分析：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796÷=9998的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399.98。例4 我學(xué)數(shù)學(xué)樂(lè)×我學(xué)數(shù)學(xué)樂(lè)=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂(lè)”分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂(lè)”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？ 分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6 ，81619*81619=例5 ÷（÷÷）=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入

11、4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)當(dāng)a=1時(shí)，有6*8/2=24，8*9/3=24；當(dāng)a=2時(shí)，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；所以，滿足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8

12、÷9）=24。例6 ×=5； 12+=，把1至9這9個(gè)數(shù)字分別填入上面兩個(gè)算式的各個(gè)方框中，使等式成立，這里有3個(gè)數(shù)字已經(jīng)填好。分析：根據(jù)第一個(gè)等式，只有兩種可能：7*8=56，6*9=54；如果為7*8=56，則余下的數(shù)字有：3、4、9，顯然不行；而當(dāng)6*9=54時(shí)，余下的數(shù)字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。2、 訓(xùn)練鞏固1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)×學(xué)學(xué)=數(shù)賽賽數(shù)，春春×春春=迎迎賽賽2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯3、 拓展提升1.在下列各式的中分別填入相同的兩

13、位數(shù)：(1)5×=2；(2)6×3。2. 將39中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求各式中無(wú)重復(fù)的數(shù)字：(1)÷=÷；(2)÷÷。3.在下列各式的中填入合適的數(shù)字：(1)448÷=；(2)2822÷=；(3)13×= 46。4. 在下列各式的中填入合適的數(shù)：(1) ÷32831；(2)573÷3229；(3)4837÷7427。豎式字謎一、例題與方法指導(dǎo)例1 在圖4-1所示的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字那么“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)是多少？分

14、析： 首先看個(gè)位，可以得到“歡”是0或5，但是“歡”是第二個(gè)數(shù)的十位，所以“歡”不能是0，只能是5。 再看十位，“歡”是5，加上個(gè)位有進(jìn)位1，那么，加起來(lái)后得到的“人”就應(yīng)該是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)就是85。例2 在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“數(shù)字謎”所代表的三位數(shù)是多少？分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎”相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎”，“謎”必定是5（0顯然可以排出）； 接著看十位，四個(gè)“字”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“

15、字”，那說(shuō)明“字”只能是6； 再看百位，三個(gè)“數(shù)”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，“數(shù)”可能是4或9； 再看千位，（1）如果“數(shù)”為4，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位1，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說(shuō)明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6與“字”等于6重復(fù)，不能； （2）如果“數(shù)”為9，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說(shuō)明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字請(qǐng)把這個(gè)豎式翻譯成數(shù)字算式 分析：首先萬(wàn)位上“華”=1

16、； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相應(yīng)的只能是0或1。但是“華”=1，所以，“人”就是0； 再看百位，“人”=0，那么，十位上必須有進(jìn)位，否則“港”+“人”還是“港”。由此可知“回”比“港”大1，這樣就說(shuō)明“港”不是9，百位向千位也沒(méi)有進(jìn)位。于是可以確定“香”等于9的； 再看十位，“回”+“愛”=“港”要有進(jìn)位的，而“回”比“港”大1，那么“愛”就等于8；同時(shí)，個(gè)位必須有進(jìn)位； 再看個(gè)位，兩數(shù)相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然“港”=5，“回”=6，“歸”=7。 這樣，整個(gè)算式就是：9567+1085=10652。例4 圖4-4是一個(gè)加法豎式，其中E，F(xiàn)，I，N，

17、O，R S，T，X，Y分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F，S不等于零那么這個(gè)算式的結(jié)果是多少？ 分析：先看個(gè)位和十位，N應(yīng)為0，E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因?yàn)镹等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進(jìn)位是2，且X不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個(gè)；如果T=7，X=3，這是只剩下了2、4、6三個(gè)數(shù)，無(wú)法滿足S、F是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F(xiàn)=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結(jié)果是31486。2、 訓(xùn)練鞏固1. 在圖4-5所示的減法算式中，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字那么D+G等于多少

18、？2. 王老師家的電話號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得9063，把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529求王老師家的電話號(hào)碼3. 將一個(gè)四位數(shù)的各位順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)如果新數(shù)比原數(shù)大7902，那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？3、 拓展提升1.已知圖4-6所示的乘法豎式成立那么ABCDE是多少？ 2. 某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍問(wèn)原數(shù)最小是多少？ 3. 在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字則符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”是多少？ （

19、3） 定義新運(yùn)算定義新運(yùn)算通常是用特殊的符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。它的符號(hào)不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定的符號(hào)，例如“+、-、×、÷、>、<”等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是使用四則運(yùn)算符號(hào)，例如ab=3a-3b，新運(yùn)算使用的符號(hào)是，而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算意義的則是四則運(yùn)算符號(hào)。正確解答定義新運(yùn)算這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進(jìn)行運(yùn)算。如果沒(méi)有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過(guò)給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四則運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性

20、質(zhì)解題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4×a-3×b,試計(jì)算56，65。解56-5×4-6×3=20-18=2 65=6×4-5×3=24-15=9說(shuō)明 例1定義的沒(méi)有交換律，計(jì)算中不得將前后的數(shù)交換。例2.對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3×a+2×b,試計(jì)算（56）7，5（67）。思路導(dǎo)航：先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。解 （56）7=（5×3+6×2）7=277=27×3+7×2=95 5（67）=5（6×3+7

21、15;2）=532=5×3+32×2=79說(shuō)明 本題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有區(qū)別的。例3.已知23=2×3×4，42=4×5，一般地，對(duì)自然數(shù)a、b，ab 表示a×(a+1)×（a+b-1）.計(jì)算（63）-（52）。思路導(dǎo)航：原式=6×7-5×6 =336-30規(guī)定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路導(dǎo)航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）×100÷2=5050（2）原式

22、即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 鞏固訓(xùn)練1.若對(duì)所有b,ab =a×x,x是一個(gè)與b無(wú)關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)÷2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。2. 如果規(guī)定：=2×3×4，=3×4×5，=4×5×6，=8×9×10，求+-+-+-的值。3、 能力提升（4） 行程問(wèn)題行程問(wèn)題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專題，不論在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在“小升初”的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問(wèn)

23、題中包括：火車過(guò)橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問(wèn)題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問(wèn)題無(wú)論怎么變化，都離不開“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系”：這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)三個(gè)關(guān)系：1. 簡(jiǎn)單行程： 路程 = 速度 × 時(shí)間2. 相遇問(wèn)題： 路程和 = 速度和 × 時(shí)間3. 追擊問(wèn)題： 路程差 = 速度差 × 時(shí)間牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問(wèn)題還是有很多方法可循的。追擊及遇問(wèn)題1、 例題與方法指導(dǎo)例1.有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙

24、相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？思路導(dǎo)航：這個(gè)三人行程的問(wèn)題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘”的時(shí)間。第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）第一個(gè)追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過(guò)程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228÷ （38-36）=114（分鐘）第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）×11

25、4=8892（米）我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問(wèn)題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長(zhǎng)217.5千米，甲車以每小時(shí)25千米的速度從東到西地，1.5小時(shí)后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過(guò)3小時(shí)兩車還相距15千米。乙車每小時(shí)行多少千米？思路導(dǎo)航：            從圖中可以看出，要求乙車每小時(shí)行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時(shí)間。解：（1）甲車一共行多少小時(shí)？1.5+3=4.5（小時(shí)）（2）甲車一共行多少千米路程？25×4.5=1

26、12.5（千米）（3）乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙車每小時(shí)行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）答：乙車每小時(shí)行30千米。例3.兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來(lái)在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？思路導(dǎo)航： 從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時(shí)他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因此本題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過(guò)幾分鐘相

27、遇？”的問(wèn)題，解答就容易了。解：（1）從家到學(xué)校的距離的2倍：1400×2=2800（米）（2）從出發(fā)到相遇所需的時(shí)間：2800÷（200+80）=10（分）（3）相遇處到學(xué)校的距離：1400-80×10=600（米） 答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學(xué)校有600米。2、 鞏固訓(xùn)練1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行28千米，乙每小時(shí)行22千米，乙在中途修車耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？2. 快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，已知快車每小時(shí)行40千米，經(jīng)過(guò)3小時(shí)快車已過(guò)中點(diǎn)12

28、千米與慢車相遇，慢車每小時(shí)行多少千米？3. 小華和小明同時(shí)從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？ 3、 拓展提升1. 客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48千米，兩車相遇后又以原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙站后立即返回，貨車到達(dá)甲站后也立即返回，兩車再次相遇時(shí)，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？2.甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來(lái)的卡車分別在他們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙

29、三車相遇。求丙車的速度。 3. 兩列火車從某站相背而行，甲車每小時(shí)行58千米，先開出2小時(shí)后，車以每小時(shí)62千米才開出，乙車開出5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？火車過(guò)橋    過(guò)橋問(wèn)題也是行程問(wèn)題的一種。首先要弄清列車通過(guò)一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過(guò)橋的總路程是橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)，這是解決過(guò)橋問(wèn)題的關(guān)鍵。過(guò)橋問(wèn)題也要用到一般行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系：    過(guò)橋問(wèn)題的一般數(shù)量關(guān)系是：因?yàn)椋哼^(guò)橋的路程 = 橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng) 所以有：通過(guò)橋的時(shí)間 =（橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)）÷車速車速 = （橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)）÷過(guò)橋時(shí)間

30、公式的變形：    橋長(zhǎng) = 車速×過(guò)橋時(shí)間 車長(zhǎng)車長(zhǎng) = 車速×過(guò)橋時(shí)間 橋長(zhǎng)后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^(guò)隧道的問(wèn)題和過(guò)橋問(wèn)題的道理是一樣的，也要通過(guò)上面的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.一列客車經(jīng)過(guò)南京長(zhǎng)江大橋，大橋長(zhǎng)6700米，這列客車長(zhǎng)100米，火車每分鐘行400米，這列客車經(jīng)過(guò)長(zhǎng)江大橋需要多少分鐘？思路導(dǎo)航：                 

31、          從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過(guò)這座大橋的過(guò)程，也就是過(guò)橋的路程是橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)。通過(guò)“過(guò)橋的路程”和“車速”就可以求出火車過(guò)橋的時(shí)間。    （1）過(guò)橋路程：6700 + 100 = 6800（米）    （2）過(guò)橋時(shí)間：6800÷400 = 17（分）    答：這列客車通過(guò)南京長(zhǎng)江大橋需要17分鐘。    例2.一列火車長(zhǎng)160米，全車通過(guò)440米的

32、橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導(dǎo)航：    要想求火車過(guò)橋的速度，就要知道“過(guò)橋的路程”和過(guò)橋的時(shí)間。    （1）過(guò)橋的路程：160 + 440 = 600（米）    （2）火車的速度：600÷30 = 20（米）    答：這列火車每秒行20米。例3.某列火車通過(guò)360米的第一個(gè)隧道用了24秒鐘，接著通過(guò)第二個(gè)長(zhǎng)216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長(zhǎng)度？思路導(dǎo)航：    火車通過(guò)第一個(gè)隧道比通過(guò)第二個(gè)隧道多用了8秒

33、，為什么多用8秒呢？原因是第一個(gè)隧道比第二個(gè)隧道長(zhǎng)360216 = 144（米），這144米正好和8秒相對(duì)應(yīng)，這樣可以求出車速?；疖?4秒行進(jìn)的路程包括隧道長(zhǎng)和火車長(zhǎng)，減去已知的隧道長(zhǎng)，就是火車長(zhǎng)。    （1）第一個(gè)隧道比第二個(gè)長(zhǎng)多少米？    360216 = 144（米）    （2）火車通過(guò)第一個(gè)隧道比第二個(gè)多用幾秒？    2416 = 8（秒）    （3）火車每秒行多少米？    144÷8

34、= 18（米）    （4）火車24秒行多少米？    18×24 = 432（米）    （5）火車長(zhǎng)多少米？    432360 = 72（米）答：這列火車長(zhǎng)72米。2、 鞏固訓(xùn)練    1.某列火車通過(guò)342米的隧道用了23秒，接著通過(guò)234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長(zhǎng)88米，速度為每秒22米的列車錯(cuò)車而過(guò)，問(wèn)需要幾秒鐘？2. 一列火車全長(zhǎng)265米，每秒行駛25米，全車要通過(guò)一座985米長(zhǎng)的大橋，問(wèn)需要多少秒鐘？3. 一

35、列長(zhǎng)50米的火車，穿過(guò)200米長(zhǎng)的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？3、 拓展提升1.一列長(zhǎng)240米的火車以每秒30米的速度過(guò)一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長(zhǎng)多少米？2.一列貨車全長(zhǎng)240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過(guò)一條隧道和一座橋，共用40秒鐘，橋長(zhǎng)150米，問(wèn)這條隧道長(zhǎng)多少米？3.一列火車開過(guò)一座長(zhǎng)1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過(guò)路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長(zhǎng)多少米？4.在上下行軌道上，兩列火車相對(duì)開來(lái)，一列火車長(zhǎng)182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯(cuò)車而過(guò)用了10秒鐘，求另一列火車長(zhǎng)多少米？（5） 列方程解應(yīng)用題同學(xué)

36、們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到一些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的，或較隱蔽的逆向問(wèn)題。用算術(shù)方法解答比較困難，如果用方程解就簡(jiǎn)便得多。它可以進(jìn)一步培養(yǎng)我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，抽象思維能力，列方程解應(yīng)用題一般分為五步：（一）審題；（弄清已知數(shù)和未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系）（二）用字母表示未知數(shù)；（通常用“x”表示）（三）根據(jù)等量關(guān)系列出方程；（四）解方程求出未知數(shù)的值；（五）驗(yàn)算并答題。一、例題與方法指導(dǎo)例1. 金臺(tái)小學(xué)學(xué)生參加申奧植樹活動(dòng)，六年級(jí)共植樹252棵，比五年級(jí)植樹總數(shù)的倍少8棵，五年級(jí)植樹多少棵？思路導(dǎo)航：六年級(jí)比五年級(jí)植樹總數(shù)的倍少8棵，就是六年級(jí)的倍的數(shù)少8，等于六年級(jí)植樹的總數(shù)。等量關(guān)系是

37、：五年級(jí)的倍8六年級(jí)的植樹總數(shù)。 解：設(shè)五年級(jí)植樹x棵，根據(jù)題意列方程，得 驗(yàn)算：把代入原方程 左邊 右邊252 左邊右邊 是原方程的解。 答：五年級(jí)植樹208棵。  例2. 一瓶農(nóng)藥700克，其中水比硫磺粉的6倍還多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，這瓶農(nóng)藥里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？思路導(dǎo)航：這是道比較復(fù)雜的“和倍應(yīng)用題”，硫磺粉和水有直接關(guān)系，硫磺粉和石灰也有直接關(guān)系，因此應(yīng)設(shè)未知數(shù)硫磺粉為x克。水的重量是硫磺的6倍還多25克，也就是（6x25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是克。等量關(guān)系式表示為： 水硫磺粉石灰農(nóng)藥重量 解：設(shè)硫磺粉的重量是x克，那么，水的重

38、量是（）克，石灰重量是克。根據(jù)題意列方程，解。 驗(yàn)算：把代入原方程 左邊 右邊700 左邊右邊 是原方程的解。  例3. 兩袋米同樣重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的第一袋剛好是第二袋的2倍，兩袋原來(lái)各有多少千克？思路導(dǎo)航：題中告訴我們?cè)瓉?lái)兩袋大米同樣重，解答時(shí)可以設(shè)兩袋大米原來(lái)各重x千克，第一袋剩下的則是千克，第二袋剩下的則是千克。根據(jù)題意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍，也就是說(shuō)，如果把第二袋剩下的擴(kuò)大2倍就和第一袋剩下的相等。 解：設(shè)兩袋大米原來(lái)的重量各為x千克，根據(jù)題意，列方程得 驗(yàn)算：左邊 右邊321814 左邊右邊 x32是原方程的解 答：兩袋大米原來(lái)

39、各重32千克。2、 鞏固訓(xùn)練1.李紅看一本小說(shuō)，上午看了60頁(yè)，相當(dāng)于下午看的頁(yè)數(shù)的又4頁(yè)，李紅這天共看了多少頁(yè)小說(shuō)？思路導(dǎo)航：這道題和求的問(wèn)題是這一天共看了多少頁(yè)小說(shuō)。題目中已知上午看了60頁(yè)，所以，只要求出下午看的頁(yè)數(shù)，就可以了。題目中明確告訴了我們等量關(guān)系即“上午看了60頁(yè)，相當(dāng)于下午看的頁(yè)數(shù)的又4頁(yè)”。 等量關(guān)系：下午看的頁(yè)數(shù)×4上午看的頁(yè)數(shù) 解：法（一）：設(shè)下午看了x頁(yè)。 6064124頁(yè) 答：這天共看了124頁(yè)。 解：解法（二）：這一天共看了x頁(yè)。 答：這一天共看了124頁(yè)。 2. 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20米，如果把它的寬減少4米，新得到一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積想法于原來(lái)長(zhǎng)方

40、形的面積的，原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？思路導(dǎo)航：這道題的所求問(wèn)題是求原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，而題目中明確告訴了我們等量關(guān)系即“新得到的長(zhǎng)方形的面積相當(dāng)于原來(lái)長(zhǎng)方形面積的?！比绻麤](méi)有原來(lái)長(zhǎng)方形的寬為x米，原來(lái)長(zhǎng)方形的面積就是20x平方米；新的長(zhǎng)方形的寬就是（x4）米；新的長(zhǎng)方形面積就是平方米。 等量關(guān)系：原長(zhǎng)方形面積×新長(zhǎng)方形面積 解：設(shè)原長(zhǎng)方形的寬是x米 根據(jù)題意列方程，得 答：原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是68米。 3. 兩根繩共長(zhǎng)90米，已知第一根繩長(zhǎng)的等于第二根繩長(zhǎng)的，求兩根繩各長(zhǎng)多少米？思路導(dǎo)航：解答時(shí)，首先抓住題目中的等量關(guān)系“第一根繩長(zhǎng)的等于第二根繩長(zhǎng)的”再根據(jù)第一根繩長(zhǎng)為（90x）米，就可

41、以列出方程。 等量關(guān)系：第一根繩長(zhǎng)×第二根繩長(zhǎng)× 解：設(shè)第一根繩長(zhǎng)x米，第二根繩長(zhǎng)（）米，根據(jù)題意列方程，得 905040 答：第一根繩長(zhǎng)50米，第二根繩長(zhǎng)40米。3、 拓展提升 1. 甲乙兩個(gè)糧倉(cāng)共有糧食55萬(wàn)千克，如果甲倉(cāng)運(yùn)出，乙倉(cāng)運(yùn)出6萬(wàn)千克，則甲乙兩倉(cāng)存糧相等，甲、乙兩倉(cāng)原來(lái)各存糧多少萬(wàn)千克？ 解：設(shè)甲倉(cāng)原有糧食有x萬(wàn)千克，則乙倉(cāng)原有糧食（）萬(wàn)千克。根據(jù)題意列方程，得 553520 答：甲倉(cāng)原有35萬(wàn)千克，乙倉(cāng)原有20萬(wàn)千克。 2. 用5千克含鹽20%的鹽水，如果把它稀釋為含鹽15%的鹽水，需要加水多少千克？ 解：設(shè)需要加水x千克。 答：需要加水千克。 3. 有甲、

42、乙兩筐蘋果，如果從甲筐取10千克放入乙筐，則兩筐相等；如果從兩筐中各取出10千克，這時(shí)甲筐余下的比乙筐余下的多5千克。求兩筐蘋果原來(lái)各多少千克？ 解：設(shè)乙筐原有蘋果x千克。 402060 答：甲筐原有蘋果60千克，乙筐原有40千克。 4. 同學(xué)們到郊區(qū)野炊。一個(gè)同學(xué)到老師那里去領(lǐng)碗，老師問(wèn)他領(lǐng)多少，他說(shuō)領(lǐng)55個(gè)。又問(wèn)“多少人吃飯”，他說(shuō)：“一人一個(gè)飯碗，兩人一個(gè)菜碗，三人一個(gè)湯碗。”算一算，有多少人吃飯。 解：設(shè)參加野炊活動(dòng)的人數(shù)為x人。 答：參加野炊活動(dòng)的有30人。 （6） 抽屜原理如果將5個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。道理很簡(jiǎn)單，如果

43、每個(gè)抽屜中放的蘋果都少于2個(gè)，即放1個(gè)或不放，那么3個(gè)抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個(gè)蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿籠里，那么一定有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。說(shuō)明這個(gè)原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個(gè)抽屜中的物品或者是一件，或者沒(méi)有。這樣，n個(gè)抽屜中所放物品的總數(shù)就不會(huì)超過(guò)n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個(gè)

44、抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。從最不利原則也可以說(shuō)明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入1件物品，共放入n件物品，此時(shí)再放入1件物品，無(wú)論放入哪個(gè)抽屜，都至少有1個(gè)抽屜不少于2件物品。這就說(shuō)明了抽屜原理1。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個(gè)抽屜，將367名小朋友看作367個(gè)物品。這樣，把367個(gè)物品放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2.在任

45、意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？分析與解：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜”。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里。將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除。例3.在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2?，F(xiàn)在，對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來(lái)加以討論。第一種情形。

46、有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。第二種情形。至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。2、 鞏固訓(xùn)練1.有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來(lái)考慮抽屜的設(shè)計(jì)。對(duì)于每堆水果中的蘋果、桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇

47、數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有4種情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性。將這4種情形看成4個(gè)抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。2.用紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個(gè)小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？分析與解：用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，只

48、有下面四種情形：將上面的四種情形看成四個(gè)“抽屜”。根據(jù)抽屜原理，將五列放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。在上面的幾個(gè)例子中，例1用一年的366天作為366個(gè)抽屜；例2與例3用整數(shù)被3除的余數(shù)的三種情形0，1，2作為3個(gè)抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個(gè)抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數(shù)與桔子數(shù)的奇偶搭配情形作為4個(gè)抽屜；例6將每列中兩個(gè)小方格涂色的4種情形作為4個(gè)抽屜。由此可見，利用抽屜原理解題的關(guān)鍵，在于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造抽屜。 3.在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米？分析與解：把長(zhǎng)度10厘米的線段10等

49、分，那么每段線段的長(zhǎng)度是1厘米（見下圖）。將每段線段看成是一個(gè)“抽屜”，一共有10個(gè)抽屜?，F(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）。由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會(huì)大于1厘米。所以，在長(zhǎng)度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米。3、 拓展提升1.有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，

50、3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.把每人的3枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因此共有5個(gè)蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。2. 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計(jì)1

51、0種情況.把這10種花色配組看作10個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果.所以至少有11個(gè)人。3.從2、4、6、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。（7） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（1）我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形.我們的面積及

52、周長(zhǎng)都有相應(yīng)的公式直接計(jì)算.如下表：實(shí)際問(wèn)題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長(zhǎng)無(wú)法應(yīng)用公式直接計(jì)算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形。那么，不規(guī)則圖形的面積及周長(zhǎng)怎樣去計(jì)算呢？我們可以針對(duì)這些圖形通過(guò)實(shí)施割補(bǔ)、剪拼等方法將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，問(wèn)題就能解決了。一、例題與方法指導(dǎo)例1如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。思路導(dǎo)航：陰影部分的面積等于甲、乙兩個(gè)正方形面積之和減去三個(gè)“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面積之和。例2如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，ABE、ADF

53、與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積. 思路導(dǎo)航：ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，四邊形 AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形ABCD的。在ABE中，因?yàn)锳B=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面積為2×2÷2=2。所以SAEF=S四邊形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。BC例3兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。思路導(dǎo)航：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，陰影部分面積=SABG-SBEF

54、=25-8=17（平方厘米）。例4如右圖，A為CDE的DE邊上中點(diǎn)，BC=CD，若ABC（陰影部分）面積為5平方厘米.求ABD及ACE的面積.思路導(dǎo)航：取BD中點(diǎn)F，連結(jié)AF.因?yàn)锳DF、ABF和ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.ACD的面積等于15平方厘米，ABD的面積等于10平方厘米。又由于ACE與ACD等底、等高，所以ACE的面積是15平方厘米。二、鞏固訓(xùn)練1.如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。解：過(guò)E作BC的垂線交AD于F。在矩形ABEF中AE是對(duì)角線，所以SABE=SAEF=8.在矩形C

55、DFE中DE是對(duì)角線，所以SECD=SEDF。D2.如右圖，已知：SABC=1，AE=ED,BD=BC.求陰影部分的面積。解：連結(jié)DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3.如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長(zhǎng)DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？解：連結(jié)AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.SAGD=4×4÷2=8，又DG=5，SAGD=AH×DG÷2，AH=8×2÷5=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。4.如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AED的面