二次函數(shù)與一元二次方程（2）（教學(xué)設(shè)計(jì)說明）

1、第二章 二次函數(shù)8.二次函數(shù)與一元二次方程（二）廣東省深圳市羅湖外語學(xué)校 羅惠萍一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在上學(xué)期學(xué)習(xí)了用多種方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通過這些方法他們可以準(zhǔn)確的求出方程的根。在上節(jié)課，他們學(xué)習(xí)了通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來討論一元二次方程的根的情況；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這些知識(shí)基礎(chǔ)完全可以使他們很好的完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在本章第4節(jié)學(xué)習(xí)了“二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象”，其間他們學(xué)習(xí)

2、了用列表、描點(diǎn)的方法畫出拋物線。上節(jié)課他們又學(xué)習(xí)了利用“數(shù)”與“形”兩種方法來研究二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的問題，因此他們積累了一定的數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)可以讓他們很好的理解本節(jié)新課的學(xué)習(xí)任務(wù)。二、教學(xué)任務(wù)分析本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：進(jìn)一步體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系；通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，估計(jì)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的取值，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決問題的能力;由于學(xué)生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，學(xué)生在知識(shí)準(zhǔn)備上，他們已經(jīng)有了較充分的準(zhǔn)備。本節(jié)課就是對(duì)上節(jié)課從

3、實(shí)踐方面對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系進(jìn)行一次體驗(yàn)。教師在課堂上只需要通過新課前的熱身練習(xí)題組，由易到難的設(shè)問，讓學(xué)生回顧上節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，再通過挑戰(zhàn)性的語言，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)新課充滿期待和探索的欲望。在想一想、填一填、議一議、試一試等活動(dòng)中，讓他們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，從而感受數(shù)學(xué)的理論學(xué)習(xí)最終要落實(shí)到實(shí)踐應(yīng)用上。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：知識(shí)與技能1鞏固理解二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的根；2鞏固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)過程與方法1經(jīng)歷一元二次方程ax2+bx+c=0的根的

4、近似值的探索得到的過程；2經(jīng)歷一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的過程。情感態(tài)度與價(jià)值觀1通過對(duì)一元二次方程根的近似值探索過程，進(jìn)一步體會(huì)二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：仔細(xì)觀察、大膽聯(lián)想；課前熱身、耐心填一填；用心想一想、馬到成功；教材題變形、拓展提高；大膽嘗試、練一練；課堂小結(jié)；課內(nèi)外提高、布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié) 仔細(xì)觀察、大膽聯(lián)想問題：函數(shù)y = ax2 +bx +c的圖象如下圖所示，x= 為該圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)圖象 信息你能得到關(guān)于系數(shù)a，b，c的一些 -1 1什么結(jié)論？ -1分析點(diǎn)撥： a0 -1c0 b2-4ac0; x= , 2a

5、=-3b; 由，(4)得b0 由,得 abc0; 考慮x = 1時(shí)y0，所以有a+b+c0 又x = -1 時(shí) y0，所以有a-b+c0; 考慮頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，有0c-1。 活動(dòng)目的：通過一道開放性的訓(xùn)練題，來訓(xùn)練學(xué)生由“形”到“數(shù)”的形數(shù)結(jié)合能力，由于結(jié)論開放，可以考察出不同層次學(xué)生的思維能力，觀察問題的是否仔細(xì)、全面。教學(xué)中先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，再小組議論的形式，借此培養(yǎng)學(xué)生合作探究、相互交流、取長補(bǔ)短的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。實(shí)際教學(xué)效果：由于本練習(xí)題思考解決的入手點(diǎn)的多樣性，學(xué)生回答問題的積極性很高，小組間的議論很熱烈。教學(xué)中，我開展了看哪個(gè)小組得到的結(jié)論多的活動(dòng)，同學(xué)們之間、學(xué)習(xí)小組之間

6、的競爭氣氛被很好的調(diào)動(dòng)起來。有的小組得到了5個(gè)結(jié)論，有的小組得到了6個(gè)結(jié)論，我及時(shí)帶領(lǐng)同學(xué)再認(rèn)真從不同角度審圖，精簡點(diǎn)撥之后，又有些小組受到啟發(fā)，踴躍搶答。當(dāng)同學(xué)們回答完我事先準(zhǔn)備好的答案后，他們還提出了另一些結(jié)論：如a+2b+4c0，2等。課堂的氣氛被學(xué)生精彩的回答渲染的非常熱烈。-11-1第二環(huán)節(jié) 課前熱身、耐心填一填活動(dòng)內(nèi)容： 1. 拋物線y=ax2bxc經(jīng)過點(diǎn)（0，0）與（12，0），最高點(diǎn)縱坐標(biāo)是3，求這條拋物線的表達(dá)式_ . 2若a0，b0，c0，0，那么拋物線y=ax2bxc經(jīng)過象限3. 在平原上，一門迫擊炮發(fā)射的一發(fā)炮彈飛行的高度y（m）與飛行時(shí)間x（s）的關(guān)系滿足y=x210

7、x（1）經(jīng)過_時(shí)間，炮彈達(dá)到它的最高點(diǎn)？最高點(diǎn)的高度是_？（2）經(jīng)過_秒，炮彈落在地上爆炸？4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象拋物線與直線_交點(diǎn)的_坐標(biāo)。5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象拋物線與直線_交點(diǎn)的_坐標(biāo) .活動(dòng)目的：教學(xué)第二個(gè)環(huán)節(jié)課前熱身訓(xùn)練準(zhǔn)備利用5分鐘時(shí)間讓學(xué)生盡快進(jìn)入到學(xué)習(xí)新知識(shí)的準(zhǔn)備中來。問題（1）的設(shè)置解題入手方向有三個(gè)，可以分別從一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式考慮解決。以此來鞏固學(xué)生求二次函數(shù)解析式的分析、運(yùn)算能力。問題（2）是考察學(xué)生對(duì)二次函數(shù)系數(shù)a、b、c、如何決定拋物線圖象位置，培養(yǎng)學(xué)

8、生從“數(shù)”到“形”的探究能力。問題（3）是對(duì)上節(jié)課知識(shí)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，考察學(xué)生對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的理解是否準(zhǔn)確。問題（4）、（5）即作為對(duì)上節(jié)課內(nèi)容的回顧，又為引入本節(jié)新課作好了鋪墊。實(shí)際教學(xué)效果： 學(xué)生對(duì)第（1）小題的解答確實(shí)出現(xiàn)了三種解法，由于時(shí)間有限，我沒有做詳細(xì)點(diǎn)評(píng)，只是提示了可以用三種方法得到，但三種方法的簡潔程度的確不同。第（2）小題從已知a、b、c的條件只能判斷出圖象的開口、對(duì)稱軸的位置，還不能判定頂點(diǎn)的位置，但學(xué)生很容易聯(lián)想到上節(jié)課學(xué)習(xí)的0可以決定圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的結(jié)論，最終較準(zhǔn)確判斷出拋物線的位置。第（3）小題由于是上節(jié)課例題的簡單變形，學(xué)生通過變形為頂點(diǎn)式和解方程

9、很快的得到結(jié)論。第（4）（5）小題考察學(xué)生對(duì)上節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，在實(shí)際教學(xué)中，他們大多能夠準(zhǔn)確回答出，為隨后的新課作好了引如的準(zhǔn)備。第三環(huán)節(jié) 用心想一想，馬到功成活動(dòng)內(nèi)容：你能利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？分析解答：(1) 用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象(2) 觀察估計(jì)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知：圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)在-5與-4之間,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-4.3和2.3.(3) 確定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根為:x1-4.3,x22.3活動(dòng)

10、目的： 這一環(huán)節(jié)是本節(jié)新課的重點(diǎn)內(nèi)容，例題的設(shè)計(jì)意圖一是讓學(xué)生鞏固對(duì)二次函數(shù)圖象拋物線的形成的認(rèn)識(shí)，其二主要是讓他們運(yùn)用二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，經(jīng)歷一元二次方程根的近似值探索過程，進(jìn)一步體會(huì)二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。 實(shí)際教學(xué)效果：在帶領(lǐng)學(xué)生回顧二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，我引導(dǎo)學(xué)生明確了除應(yīng)用求根公式計(jì)算二次方程的根之外，還可以利用畫二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)求二次方程的根。起初學(xué)生不明白為什么能用求根公式很快計(jì)算出根來，偏偏還要用畫圖的方法。此時(shí)，我向同學(xué)們解釋說，用求根公式求解是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想中“

11、數(shù)”的一面，我們現(xiàn)在準(zhǔn)備利用“形”的一面來解題。于是學(xué)生便饒有興趣的思考下去了。利用列表、描點(diǎn)畫拋物線的方法學(xué)生顯的比較陌生了，我就在黑板上邊啟發(fā)、邊示范、邊講解，取自變量之前，最好先把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，先找出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再在它左右等距離取不同的自變量值，然后分別求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值。在坐標(biāo)系中描出各個(gè)點(diǎn)后，用光滑的曲線連接即成草圖。在觀察估計(jì)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，由于畫圖誤差，觀察數(shù)據(jù)與實(shí)際值有較大偏差。此時(shí)我向同學(xué)們提出一個(gè)問題：“如何更準(zhǔn)確的估計(jì)出根的取值？如果精確到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、

12、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一個(gè)更準(zhǔn)確呢？”我故意把這9個(gè)數(shù)值在黑板上一一列出來，學(xué)生馬上想到可將-4到-5之間的單位長再十等分,把這9個(gè)自變量值分別代入函數(shù)中，借助計(jì)算器確定哪一個(gè)的函數(shù)值最接近0，那么它就是根的近似值。教學(xué)中雖然我發(fā)現(xiàn)了學(xué)生普遍感覺到這種方法很麻煩，但在探索求根的近似值的過程中，有必要讓他們感受到數(shù)學(xué)探索的過程并不是總充滿樂趣，有時(shí)還是很艱辛的。第四環(huán)節(jié) 教材題變形，拓展延伸活動(dòng)內(nèi)容：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.分析解答：(1) 用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象(2) 作直線y=3；(3) 觀察估計(jì)拋物線y=x2+2x-1

13、0和直線y=3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知,它們有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)在-5與-4之間,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-4.7和2.7.(4) 確定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根為:x1-4.7,x22.7活動(dòng)目的： 鞏固學(xué)生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這一代數(shù)原理，培養(yǎng)學(xué)生熟練畫函數(shù)圖象的能力，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和熟練使用計(jì)算器的能力。由于要列表、取值計(jì)算、描點(diǎn)的工作量較大，教學(xué)中我組織了學(xué)生在學(xué)習(xí)小組內(nèi)合作、分工來完成，借此培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí)。實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生經(jīng)過前一

14、例題的學(xué)習(xí)，他們都躍躍欲試。我知道要完整給出圖象解法是很費(fèi)時(shí)間的，于是我組織了小組間的畫圖競賽，看哪個(gè)小組完成的又好又準(zhǔn)確。學(xué)習(xí)小組之間首先設(shè)計(jì)好解題思路，列表、取點(diǎn)、計(jì)算、描點(diǎn)、連線。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)左邊的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在-5到-4之間時(shí)，模仿例題的方法也對(duì)將單位長進(jìn)行了十等分,借助計(jì)算器求出了函數(shù)值，起初他們發(fā)現(xiàn)值都在3的左右而不是0時(shí)有些迷惑，隨后便恍然大悟。看到他們完全沉浸在數(shù)學(xué)探索、發(fā)現(xiàn)的樂趣中的樣子，我心理很欣慰。在小組成果對(duì)比中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)有個(gè)小組的圖象和別人的不同，起初有些議論，我就請(qǐng)了這個(gè)小組的成員上了講臺(tái)發(fā)言。原來他們把方程x2+2x-10=3轉(zhuǎn)化成了x2+2x-13=0，這樣問題就

15、轉(zhuǎn)化成前面已經(jīng)解決了問題了。附創(chuàng)新解法2：(1) 原方程可變形為x2+2x-13=0；(2) 用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=x2+2x-13的圖象(3) 觀察估計(jì)拋物線y=x2+2x-13和x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知,它們有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)在-5與-4之間,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-4.7和2.7。(4) 確定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根為:x1-4.7 ，x22.7同學(xué)們明白了這種解法的簡潔原因，我也不失時(shí)機(jī)的向全班同學(xué)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“化陌生為熟悉、化繁為簡”的化歸思想的重要性。第五環(huán)節(jié) 大膽嘗試、練一練活動(dòng)內(nèi)容：問題1：利用二次函數(shù)的圖象

16、求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根分析解答：1)用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=-2x2+4x+1的圖象；2)觀察估計(jì)二次函數(shù)y=-2x2+4x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)在-1與0之間,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-0.2和2.2(3) 確定方程x2+4x+1=0的解;由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根為:x1-0.2, x22.2問題2：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.分析解答：(1) 原方程可變形為3x2-x-1=0；(2) 用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=3x2-x-1的圖象(3) 觀察估計(jì)拋物線y=3x2-x-1和

17、x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；圖象可知,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)在-1與0之間,另一個(gè)在0與1之間,分別約為-0.4和0.8.（4） 可估計(jì)x1-0.4, x20.8 活動(dòng)目的：本環(huán)節(jié)是考察同學(xué)們是否理解了用圖象法求方程根的方法，能否快速準(zhǔn)確的利用圖象探求方程根的近似值，觀察他們是否能自覺利用化歸思想把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化簡單情況解決。實(shí)際教學(xué)效果：在課堂巡視觀察中，學(xué)生基本上掌握了用圖象法估計(jì)方程根的方法，對(duì)第（2）小題也都能自覺轉(zhuǎn)化為簡單情況加以解決，說明學(xué)生基本上都掌握了本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)。但他們也表示以后真的碰到這個(gè)問題時(shí)，他們準(zhǔn)備先用求根公式把根計(jì)算出來，估計(jì)出根的近似值，再同時(shí)畫出圖象會(huì)更加快捷一些。第六環(huán)節(jié) 歸納小節(jié)、說一說活動(dòng)目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談一談他們對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，通過學(xué)生的發(fā)言，觀察他們是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是否掌握了用畫圖象的方法來探求方程根的方法。實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，他們普遍認(rèn)同了函數(shù)問題研究時(shí)，應(yīng)該用數(shù)形結(jié)合思想從兩方面來考慮問題，說明數(shù)形結(jié)合思想在他們的數(shù)學(xué)思維中逐漸形成 。但他們也表示有的時(shí)候從“數(shù)”的一面研究比較方便，有時(shí)從“形”的一面研究問題會(huì)更