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1、:多應(yīng)用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在;) 1 ( 測量距離;)2(測量高度.) 3( 測量角度包含不可達到的點1為了測量 B、C 之間的距離,在河岸 A、C 處測量,如)D圖 2,測得下面四組數(shù)據(jù),較合理的是(圖 2Ac 與Cb、c 與Bc 與 bDb、與測量寬度例1:如圖 5 某河段的兩岸可視為平行,為了測量該河段的寬度,在河段的一岸邊選取兩點 A、B,觀察對岸的點 C,測得CAB75,CBA45,且 AB100 米(1)求 sin75;(2)求該河段的寬度圖 5解:(1)sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45(2)CAB75,CBA45,ACB180CA
2、BCBA60,由正弦定理得:ABsinACBBCsinCAB.ABsin75.sin60BC=如圖5,過點 B 作 BD 垂直于CD,垂足為D,則BD 的長就是該河段的寬度在RtBDC 中,求不可到達兩點之間的距離問題例2:如圖 7,A、B 兩點都在河的對岸(不可到達),在河岸邊選定兩點 C、D,測得 CD1 000 米,ACB30,BCD30,BDA30,ADC60,求 AB 的長圖 7解:由題意知ACD 為正三角形,所以 ACCD1 000 米在BCD 中,BDC90,測量不能達到的兩點間的距離,利用解斜三角形是一個重要的方法解決這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個或幾個三角形,測出有關(guān)邊長和角,用正
3、、余弦定理進行計算航行問題例 3:一船在 A 處向北偏西 30的方向以每小時 30 海里的速度航行,一個燈塔原來在船的北偏東 15,經(jīng)過 40 分鐘后,船在 B 處,燈塔 C 在船的北偏東 45,求船和燈塔之間原來的距離解:如圖9.圖 9由已知:AB20 海里,CAB45,ABC105.在ABC 中,根據(jù)正弦定理得:AC ABsinABC sinC解決有關(guān)航行問題的應(yīng)用題,關(guān)鍵是對一些數(shù)學(xué)術(shù)語要理解好,把它翻譯到圖形中作出草圖,然后運用正弦、余弦定理求解1.2.2測量高度問題1仰角和俯角是指與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線與目標(biāo)視線的_,目標(biāo)視線在水平視線上方時叫_,目標(biāo)視線在水平視線下方
4、時叫_.圖 1,仰角為_,俯角為_.夾角仰角俯角12圖 1例 1.如圖 4,測量河對岸的塔高 AB 時,可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個測點 C 與 D.測得 BCD15,BDC30,CD30 米,并在點 C 測得塔頂 A 的仰角為 60,求塔高 AB.圖4解:在BCD 中,CBD1801530135,由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD.所以 BC30sin30sin135152.在 RtABC 中,ABBCtanACB152tan60156(m)測量高度問題山高問題例 2:如圖6,在山頂鐵塔上 B 處測得地面上一點 A 的俯角為,在塔底 C 處測得 A 的俯角為,已知鐵塔 BC
5、 的高度為 h m,求山高 CD.思維突破:利用正弦定理、余弦定理解三角形ABhsin(90)sin()hcossin(),圖 6解:在ABC 中,BAC,BCA90.又BCh,由正弦定理得,在RtABD 中,BAD,BDABsin.CDBDhhcossinsin()hhcossinsin().答:山高CD 為hcossinsin()m.求三角形的邊或角時,盡可能考慮轉(zhuǎn)化為解直角三角形,這樣計算簡單,在上題解法中,先由正弦定理求出AB 后最后解 RtABD 求出BD,最后求出CD.一船向正北航行,看見正西方向有相距 10 n mile 的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈
6、塔在船的南偏西60 ,另一燈塔在船的南偏西75 ,則這只船的速度是每小時()CA5 n mileC10 n mileB5D10 n mile n mile解析: A、 B 為兩燈塔,船由C 向正北航行半小時后到達 D,則BDADAB15 ,BDAB10,又DBC30 ,DC10sin30 5,v50.510(n mile/h) 1.2.3測量角度問題船的航向問題例 1:如圖 1,當(dāng)甲船位于 A 處時獲悉在其正東方向相距20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西 30,相距 10 海里 C 處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救
7、援(角度精確到 1)?圖 1解:要求乙船的航向,即求ACB 的度數(shù)易知C90,AB20,AC10,CAB120.在CAB 中,故乙船應(yīng)朝北偏東70方向直線前往 B 處2.如下圖,已知半圓的直徑如下圖,已知半圓的直徑AB=2,點,點C在在AB的延長線上,的延長線上,BC=1,點,點P為半圓上的動點。為半圓上的動點。以以PC為邊作等邊為邊作等邊PCD,且點,且點D與圓心與圓心O分分別在別在PC的兩側(cè),求四邊形的兩側(cè),求四邊形OPDC的面積的最的面積的最大值大值。CPDOAB解:解:。,四邊形的面積為設(shè)yPOBcos2222OCOPOCOPPCPOC中,由余弦定理得則在cos45PCDOPCSSy435cos3sin)cos45(3sin21sin2121435)3sin(2435)cos23sin21(243526523maxy時,即當(dāng)1 1、審題(分析題意,弄清已知和所求,、審題(分析題意,弄清已知和所求,根據(jù)提意,畫出示意圖;根據(jù)提意,畫出示意圖;2.2.建模(將實際問題
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